Międzyszkolne Zawody Matematyczne

Klasa I LO i I Technikum- zakres podstawowy

Etap wojewódzki - 10.03.2007 rok

Czas rozwiązywania zadań - 150 minut

Zadanie 1 (6 pkt)

Wykaż, że podane liczby należą do zbioru liczb naturalnych:

,

Zadanie 2 (6 pkt)

Dorota ma dwa razy więcej pieniędzy niż Ela i trzy razy mniej pieniędzy niż Beata.

1. Oblicz jaki procent pieniędzy wszystkich dziewcząt stanowią pieniądze Beaty.

2. Oblicz jaką część swoich pieniędzy powinna Beata dać Eli, a jaką Dorocie, aby każda z nich miała tyle samo pieniędzy.

3. Beata wpłaciła swoje pieniądze do banku na lokatę, której oprocentowanie roczne wynosi 5%. Po roku oszczędzania i po potrąceniu 22% podatku od odsetek Beata otrzymała 623,4 złotego. Oblicz jaką kwotę wpłaciła Beata.

Zadanie 3 (6 pkt)

Funkcja f określona na zbiorze liczb naturalnych większych od 9, przyporządkowuje każdej liczbie n cyfrę dziesiątek liczby n.

1. Określ zbiór wartości funkcji f,

2. Dla ilu argumentów mniejszych od 999 funkcja f przyjmuje wartość 6?

3. Dla jakich
   , liczba 10k jest miejscem zerowym funkcji f ?

4. Dla jakich n nie zachodzi równość f(n+1) = f(n)?

Zadanie 4 (6 pkt)

W trapezie równoramiennym ABCD połączono odcinkami środki sąsiednich boków.

1. wykaż, że powstały czworokąt EFGH jest rombem,

2. oblicz pole rombu, mając dane długości a i b podstaw trapezu (a > b) i miarę
   

kąta ostrego trapezu

Zadanie 5 (6 pkt)

Wykaż, że w trójkącie prostokątnym suma długości przyprostokątnych równa się sumie średnic koła wpisanego i koła opisanego na tym trójkącie.

Życzymy powodzenia

Kryteria oceniania dla klasy I LO i I Technikum - zakres podstawowy

Nr zad	Wykonana czynność	Pkt
1	Obliczenie wartości wyrażenia k ; k= 104, 104	1
		Obliczenie wartości wyrażenia l: l=18, l	1
		Wyznaczenie kwadratu liczby m : m^2=25	1,5
		Wykazanie, że liczba m będąca sumą pierwiastków kwadratowych jest liczbą nieujemną oraz obliczenie m : m= 5 i m	1
		Zapisanie ułamka dziesiętnego okresowego w postaci ułamka zwykłego: 0,(4) =	1
		Obliczenie wartości wyrażenia t : t = 1,	0,5
	2	Zapisanie liczby pieniędzy dziewcząt za pomocą liczby pieniędzy Elżbiety: b = 6e, d= 2e, gdzie b jest to kwota, którą posiadała Beata a d kwota którą posiadała Dorota	1
		Obliczenie jaki procent wszystkich pieniędzy stanowią pieniądze Beaty :	1
		Obliczenie jaką część swoich pieniędzy powinna Beata dać Elżbiecie a jaką Dorocie aby miały tyle samo pieniędzy : Dorocie , Elżbiecie	2
		Zapisanie równania z niewiadomą x, gdzie x jest kwotą, którą wpłaciła Beata do banku:	1
		Rozwiązanie równania : i udzielenie odpowiedzi : Beata wpłaciła do banku 600 złotych	1
	3	Określenie zbioru wartości funkcji:	1
		Określenie liczby argumentów: dla stu argumentów	1,5
		Określenie liczby k : k jest liczbą podzielną przez 10	2
		Określenie n: dla tych liczb n, dla których cyfrą jedności jest cyfra 9.	1,5
	4	Udowodnienie na podstawie Twierdzenia Talesa i twierdzenia do niego odwrotnego, że odcinki EH i FG ( E środek podstawy dolnej AB, F środek ramienia BC, G środek podstawy górnej CD, H środek drugiego ramienia AD) są do siebie równoległe i tej samej długości równej połowie długości przekątnej BD	1,5
		Stwierdzenie na podstawie Twierdzenia Talesa i twierdzenia do niego odwrotnego, że odcinki EF i GH są do siebie równoległe i tej samej długości równej połowie długości przekątnej AC	1
		Wykazanie, że czworokąt EFGH jest rombem	0,5
		Zapisanie długości wysokości trapezu a tym samym długości przekątnej GE rombu w postaci :	0,5
	Zapisanie długości odcinka AH`, gdzie H` jest rzutem prostopadłym punktu H na podstawę dolną trapezu :	1
	Zapisanie długości przekątnej HF rombu :	1
	Obliczenie pola rombu :	0,5
5	Rysunek wraz z oznaczeniami np. r długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt, R długość promienia okręgu opisanego na trójkącie, a i b to długości przyprostokątnych, c długość przeciwprostokątnej trójkąta oraz zapisanie warunku, który należy udowodnić: 2r + 2R = a+ b	1
		Zauważenie, że czworokąt CB1OA1 (gdzie to punkty styczności okręgu z bokami trójkąta leżącymi naprzeciwko odpowiednio wierzchołka B, A, a C wierzchołek kąta prostego) jest kwadratem o boku długości r.	1
		Zauważenie, że 2R = c,	1
		Zauważenie, że	1
		Zapisanie długości przeciwprostokątnej w postaci : c = a - r + b - r= a + b - 2r	1
		Zapisanie równania w postaci 2R = a + b - 2r a następnie w postaci 2R + 2r = a + b	1

Za poprawnie rozwiązane zadania metodą inną aniżeli opisana w schemacie punktowania należy przyznać maksymalną liczbę punktów.

Jeżeli uczeń rozwiązał zadanie inną metodą i popełnił błędy to należy określić i ocenić czynności równoważne do wymienionych w schemacie.

Można przyznawać połówki punktów.

Międzyszkolne Zawody Matematyczne

Klasa II LO i II, III Technikum- zakres podstawowy

Etap wojewódzki - 10.03.2007 rok

Czas rozwiązywania zadań - 150 minut

Zadanie 1 (6 pkt)

Znajdź funkcję liniową, która spełnia dla każdego
następujące warunki:

Zadanie 2 (6 pkt)

Dana jest funkcja
.

1. Oblicz wartość funkcji f dla argumentu
   

2. Wyznacz współrzędne punktu przecięcia się wykresu funkcji z osią OY,

3. Określ znak liczby f(2)

4. Zbadaj ile miejsc zerowych ma funkcja f . Odpowiedź uzasadnij.

( Skorzystaj z interpretacji geometrycznej równania
)

Zadanie 3 (6 pkt)

Właściciel księgarni sprzedaje miesięcznie 20 egzemplarzy danej książki w cenie 40 złotych. Obniżka ceny książki o 1 złotych powoduje przeciętnie zwiększenie sprzedaży o jeden egzemplarz miesięcznie. Jaką cenę książki powinien ustalić właściciel księgarni, aby jego utarg był największy?

Zadanie 4 (6 pkt)

Długość ramienia trapezu jest równa m, a odległość środka przeciwległego ramienia od niego jest równa q. Znajdź pole trapezu, wiedząc, że odcinek łączący środki nierównoległych boków trapezu jest równoległy do podstaw i ma długość równą średniej arytmetycznej ich długości.

Zadanie 5 (6 pkt)

Dany jest wielomian
.

Znajdź dodatnie współczynniki a, b, wiedząc, że dwa różne pierwiastki trójmianu y=
są również pierwiastkami wielomianu W(x).

Dla wyznaczonych dodatnich wartości a, b rozwiąż równanie W(x) = 0.

Życzymy powodzenia

Kryteria oceniania dla klasy II LO i II, III Technikum - zakres podstawowy

Nr zad	Wykonana czynność	Pkt
1	Analiza zadania: wykresem funkcji jest prosta postaci y = ax + b	0,5
		Wyznaczenie współrzędnych pierwszego punktu należącego do prostej : A = (0,3)	2
		Wyznaczenie współrzędnych drugiego punktu należącego do prostej: B= (- 1, 8)	2
		Napisanie równania prostej : y = -5x +3	1,5
	2	Obliczenie wartości funkcji dla argumentu :	0,5
		Obliczenie wartości funkcji dla x = 0 :	0,5
		Zapisanie wartości funkcji dla x =2 :	0,5
		Określenie znaku liczby f(2) przy czym zwrócenie uwagi na to, że 2> i na monotoniczność funkcji w przedziale do którego należą liczby 2 i : f(2) jest ujemne	1,5
		Zapisanie równania , i przekształcenie go do postaci	1
		Sporządzenie szkiców wykresów funkcji y = cosx i y = - x^2 + 4 i odczytanie liczby wspólnych punktów wykresu: funkcja posiada dwa miejsca zerowe	2
	3	Analiza zadania: x- kwota o którą obniżono cenę książki, 40-x cena książki po obniżce, 20+x - liczba książek sprzedanych po obniżonej cenie	2
		Zapisanie funkcji pozwalającej obliczyć kwotę otrzymaną z miesięcznej sprzedaży książek o obniżonej cenie: i wyznaczenie jej dziedziny:	2
		Wyznaczenie argumentu dla którego funkcja przyjmuje maksimum:	1,5
		Obliczenie ceny książki : 30 złotych	0,5
	4	Analiza zadania, rysunek z oznaczeniami np. AB, CD podstawy trapezu, m- długość ramienia AD, E - środek ramienia AD, F- środek ramienia BC	1
		Uzasadnienie podobieństwa trójkątów AHD, EFG gdzie H to spodek wysokości trapezu poprowadzonej z wierzchołka D, a FG to odcinek o długości q.	1
		Zapisanie proporcji: lub = , gdzie h to długość wysokości trapezu.	1,5
		Zapisanie związku na podstawie twierdzenia o odcinku łączącym środki nierównoległych boków trapezu:	1,5
		Obliczenie pola trapezu: P = mq	1
	5	Wykonanie dzielenia wielomianu W(x) przez trójmian ( :	2
		Zapisanie równania :	0,5
		Zapisanie układu równań :	0,5
		Rozwiązanie układu równań: i dokonanie wyboru rozwiązania spełniającego warunki zadania.	1
		Zapisanie równania lub	1
		Rozwiązanie równania:	1

Za poprawnie rozwiązane zadania metodą inną aniżeli opisana w schemacie punktowania należy przyznać maksymalną liczbę punktów.

Jeżeli uczeń rozwiązał zadanie inną metodą i popełnił błędy to należy określić i ocenić czynności równoważne do wymienionych w schemacie.

Można przyznawać połówki punktów.

Międzyszkolne Zawody Matematyczne

Klasa III LO i IV Technikum- zakres podstawowy

Etap wojewódzki - 10.03.2007 rok

Czas rozwiązywania zadań - 150 minut

Zadanie 1 (6 pkt)

Naszkicuj w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji :
.

Korzystając z wykresów funkcji f i g, podaj liczbę dodatnich i ujemnych rozwiązań równania

Zadanie 2 (6 pkt)

Dodatnie liczby a, b, 1 tworzą ciąg arytmetyczny. Liczby a, b, a+b+1 tworzą ciąg geometryczny.

Wyznacz wyrazy ciągu geometrycznego.

Zadanie 3 (6 pkt)

Z pudełka w którym jest jednakowa liczba kul białych i czarnych losujemy trzy razy po jednej kuli, przy czym po każdym losowaniu wkładamy wylosowaną kulę z powrotem do pudełka i dokładamy jeszcze jedną kulę tego samego koloru, co wylosowana. Oblicz ile może być kul w pudełku, jeśli wiadomo, że prawdopodobieństwo wylosowania trzech kul tego samego koloru jest mniejsze od

Zadanie 4 (6 pkt)

W trapez równoramienny o podstawach długości a i b można wpisać okrąg. Udowodnij, że promień tego okręgu ma długość równą

Zadanie 5 (6 pkt)

Trójkąt równoramienny o obwodzie 16 centymetrów obracamy wokół podstawy.

Jakie powinny być długości boków tego trójkąta, aby objętość powstałej bryły była największa?

Życzymy powodzenia

Kryteria oceniania dla klasy III LO, IV Technikum - zakres podstawowy

Nr zad	Wykonana czynność	Pkt
1	Sporządzenie wykresu funkcji f(x) = cosx	1
		Sporządzenie wykresu funkcji g(x) =	2
		Przekształcenie równania do postaci :	1
		Sporządzenie wykresu funkcji	1
		Odczytanie liczby rozwiązań dodatnich i ujemnych równania: dwa ujemne i jedno dodatnie rozwiązanie	1
	2	Zapisanie wyrazów ciągu arytmetycznego w postaci: a = 1 - 2r, b = 1 - r, c = 1	1
		Zapisanie wyrazów ciągu geometrycznego w postaci: 1-2r, 1- r, 3 - 3r	1
		Zapisanie równania korzystając z własności ciągu geometrycznego:	1
		Rozwiązanie równania:	1,5
		Obliczenie wyrazów ciągu geometrycznego : -1, 0, 0 lub oraz dokonanie wyboru ciągu spełniającego warunki zadania :	1,5
	3	Analiza zadania : n - liczba kul białych , n - liczba kul czarnych, 2n - liczba wszystkich kul, A zdarzenie polegające na wylosowaniu trzech kul w tym samym kolorze	1
		Zapisanie prawdopodobieństwa zdarzenia A :	2,5
		Zapisanie nierówności i założenia :	1
		Rozwiązanie równania : i udzielenie odpowiedzi: w pudełku powinno być co najmniej po 6 kul każdego koloru aby prawdopodobieństwo było mniejsze od	1,5
	4	Analiza zadania, rysunek wraz z oznaczeniami np. długości podstaw = a, =b, długość ramion jest równa m,	1
		Zapisanie na podstawie twierdzenia o okręgu wpisanym w czworokąt równania: 2m = a + b oraz zapisanie długości odcinka AE w postaci:	2
		Zapisanie na podstawie twierdzenia Pitagorasa równania: , gdzie E jest spodkiem wysokości poprowadzonej z wierzchołka D	1
		Zapisanie równania w postaci	0,5
		Przekształcenie równania do postaci r =	1,5
	5	Analiza zadania, rysunek wraz z oznaczeniami np. długość podstawy AB równa się a, a długość ramion BC i AC jest równa b	1
		Stwierdzenie, że powstałą bryłą jest suma dwóch stożków przystających o wspólnej podstawie.	0,5
		Zapisanie objętości bryły : , gdzie rs jest wysokością w trójkącie poprowadzoną z wierzchołka C	0,5
		Zapisanie rs za pomocą a, b :	0,5
		Zapisanie rs za pomocą b wykorzystując fakt, że obwód trójkąta jest równy 16 centymetrów:	1
		Zapisanie objętości bryły w postaci : i wyznaczenie jej dziedziny	1
		Wykazanie, że funkcja przyjmuje wartość największą i obliczenie pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli: b = 6, 6	1
		Obliczenie a: a = 4 i udzielenie odpowiedzi : a = 4 centymetry, b = 6 centymetrów	0,5

Za poprawnie rozwiązane zadania metodą inną aniżeli opisana w schemacie punktowania należy przyznać maksymalną liczbę punktów.

Jeżeli uczeń rozwiązał zadanie inną metodą i popełnił błędy to należy określić i ocenić czynności równoważne do wymienionych w schemacie.

Można przyznawać połówki punktów.

---