Egzamin dla Aktuariuszy z 9 października 2006 r.
Matematyka Finansowa
Zadanie 1
R = v + 1
( + )
1 2
v
v
v
v A
v A
1
+ 1
( + 2 ⋅ )
1 3 + 1
( + )
1 4 + 4
+ 8
1
1 + ...
1
4
4
4
4
4
4
2
4
4
4
4
4
4
3
A 1
2
3
4
4
8
R
v v
v
v
v
A v
A v
2 =
+ 1
( + 2)
+ 1
( + 2 ⋅ 2)
+ 1
( + 2)
+ 2 + 2 + ...
1
4
4
4
4
4
4
2
4
4
4
4
4
4
3
A 2
k 1
R
k =
−
v
[ A 1( 4 8
k
+ v + v + ...)]
1 − v 4
−
3
v
v 4
A = a + va ⋅ k + v k =
+
k + v 3 k k
4
3
i
i
∞
4
4
4
3
ODP = ∑
v
v
v
v
v
v
R
v
k
v k
k = ∑
k
1
1
1 1
(
)
1
−
−
−
3
−
+
+
=
+
+
= 3440
4
4
2
4
2
i
i
v
i
v
k =
1
1
1
−
−
i 1
( − v ) 1
( − v)
1
( − v ) 1
( − v)
Zadanie 2
1000000 - tyle w i-tą firmę n
X - zysk z i-tej firmy i
n
Y = ∑ X
i
i=1
P( Y ≥ 1500000) ≥ 9
,
0 9
Y − EY
1500000 − EY
P
≥
≥ 9
,
0 9
var Y
var Y
32000000
5
P X i =
= ,
0 6
n
P( X i = 0)
5
= 1− ,
0 6
13
2488320
7 3
, 4
2
EX =
EX
→ var X ≈
i
i
i
2
n
n
EY=2488320
13
7 3
, 4
var Y =
n
Z tego wynika:
(1500000 − 2488320) n ≤ − 3, 2 26 → n ≥ 406
7 3
, 413
Zadanie 3
1
i p = ,
1 0312 −1
1
i = ,
1 0612 −1
WYN
= 2000 1
( + i )479
1
480
p
1
X c
-
zesc p
ensji
i = ,
1 0312 −1
2
1
i = ,
1 0412 −1
3
240
240
239
240
239
240
2000 X [ 1
( + i )
1
( + i )
+ 1
( + i ) 1
( + i )
1
( + i )
+ ... + 1
( + i )
1
( + i ) 1
( + i )
+
1
2
p
1
2
p
1
2
240
240
241
239
479
479
+ 1
( + i )
1
( + i )
+ 1
( + i )
1
( + i )
+ ... + 1
( + i )
1
( + i )] =
6
,
0 ⋅ 2000 1
( + i )
a
p
2
p
2
p
2
p
240; 3
i
240
240
1 + i
p
1
1 −
1 −
1 + i
1 + i
240
240
1
40
479
3
2000 X 1
( + i )
1
( + i )
+ 2000 X ⋅ ,
1 03 240 = 1200 1
( + i )
1
2
1 + i
p
p
i 3
1
−
1 + i
1
Z tego x=17,6%
Zadanie 4
x
72 =
g
1 dy placimy
0wpp
I wariant x
= ,
0 x
= 1 → tu x = 1
60
45
54
II wariant x
= ,1 x = 0 → x = , 1 x
=
0 l
ub o
dwrotnie l
ub o
ba 1
60
45
72
54
II
I wariant x
= ,
1 x
= 1 → tu tak jak w wariancie I I 60
45
dodatkowo n
p x
= 1− t
o jeszcze
p
z
P
rawdopod b
o ienstwem d
ojscia d
o d
odatnieg
o wplywu
72
,
0 4
,
0 4 ⋅
2
,
0 6
,
0 6 ⋅ ,
0 4
(64 8
, − 50) ⋅
2
,
0 6 ⋅ ,
0 4
1. P1+
+
+
9
,
0 5
2
3
=
→ P =
1
,
1
1
,
1
1
,
1
3
1
,
1
2
2
,
0 6
,
0 6
,
0 6
8
(
,
6 4 − 50) ⋅
3
,
0 6 + (64 8
, − 50) ⋅
2
,
0 6 ⋅ ,
0 4
2. P1+
+
+
5
,
3 5
2
3
=
→ P =
1
,
1
1
,
1
1
,
1
3
1
,
1
,
0 6
,
0 4 ⋅
2
,
0 6
,
0 6
,
0 4
(64 8
, −
2
50) ,
0 6
,
0 4
3. P1+
+
+
2
3
=
→ P =
1
,
1
1
,
1
1
,
1
3
1
,
1
6
,
0
6
,
0 2
,
0 4 ⋅ 6
,
0
( 6
,
0 3 + 6
,
0 2 ,
0 4 ⋅ )
2
8
(
,
6 4 − 5 )
0
6
,
0 3 + (64 8
, − 5 )
0
6
,
0 2 ,
0 4 ⋅ 2
.
4 P 1
+
+
+
+
=
→ P = 7
,
3 6 max
1
,
1
1
,
1 2
1
,
1 2
1
,
1 3
1
,
1 3
1
6
,
0 2
6
,
0 2
8
(
,
6 4 − 5 )
0
6
,
0 3 + (64 8
, − 5 )
0
6
,
0 2 ,
0 4
.
5 P 1
+
+
+
=
→ P = 0
,
3
3 ODP : 4 ⋅ 7
,
3 6 ≈ 15
1
,
1
1
,
1 2
1
,
1 3
1
,
1 3
1
2 ⋅ ,
0 4 ⋅ ,
0 6
2 ⋅ ,
0 62 ,
0 4
(64 8
, − 50) ,
0 62 ,
0 4 ⋅ 2
6. P 1
+
+
+
=
→ P = ,1269
1
,
1
1
,
1 2
1
,
1 3
1
,
1 3
1
,
0 62
2 ⋅ ,
0 4 ⋅ ,
0 6
( ,062 ,04⋅2+ ,062) 8( ,64−50) ,063 +(648,−50) ,062 ,04⋅3
7. P 1
+
+
+
+
=
→ P = ,
3 46
1
,
1
1
,
1 2
1
,
1 2
1
,
1 3
1
,
1 3
Zadanie 5
X ~ J 3
( 0 9
; 0)
X
PORT 1 : i =
−1
50
,
0 6 K
,
0 4 K
,
0 6
,
0 4
PORT 2 : K 1
( + i) =
max 5
( 5 − X 0
; ) +
X → i =
max 5
( 5 − X 0
; ) +
X −1
5
50
5
50
1 55 ,
0 6
,
0 4
1 90 ,
0 4
PORT 2 : Ei =
∫
5
( 5 − X ) +
X −1 +
∫
X −1
= 1
,
0 05
60
30
5
50
60
55
50
1
1
,
0 4
8
,
0
2
2
Ei =
55
90
2
2
∫ (31 3
, 6 − ,
1 2544 x + ,
0 012544 x )
+ ∫
x
x 1
30
−
+
2
≈
60
60 55 50
50
Stąd var( i) ≈ ,
0 661908
var i( PORT ) 1 = 1
,
0 2
ODP ≈ 5
,
5
Zadanie 6
OD( k) = P 1
(
20− k 1
+
− v
)
6
20−
1
+
1
600
1600 = ∑ P 1
( − v
k
)
= 6 − v 14 a 6
=
k 1
P
400
→
→ a = 6 −
i wstawiamy do pierwszego
20
400
6
P
− +
400 = ∑ P 1
( − v 20 k 1 )
= 6 − a
P
6
k 1
= 5
1
−
1600
P −
14
400
3
800
14
= 6 − v (6 −
) → i =
−1
P
P
3 P − 200
Zadanie 7
1 ( t 2 + 2) −1
∫δ = ∫ t
1
2
1
1
2
ln 1
(
)
ln 1
(
)
t
=
2
∫
=
+ t +
=
+ t +
1
( + t)
1
( + t)2
2
1 + t
1 + t
t
t
1
1 + t
1
1
B = 1
( + t) ex
p −
+ ∫
B
ex
p
ex
p −
ds →
t
1 + t
2
s
0 1
( + s)
1 + s
1 + t
1 + s
B
t
B
1
1
t
= e−
s
+
ex
∫
p −
ds →
1
1
( + s)3
1 + s
1
( + t) ex
p
0
1 + t
1
1
1
1
B′ 1
( + t) ex
p
− B ex
p
+
ex
p
B
t
1 + t
t
1 + t 1 + t
1 + t
t
B
1
t
=
ex
p −
→
2
1
( + t)3
2
1 + t
1
( + t) ex
p
1 + t
B′
1
t =
B
1 + t
t
B = 1
( + t C
)
t
B(0)=1
Stąd
C=1 i B(t)=1+t dlatego B(2)=3
Zadanie 8
Stopa dyskontowa oznacza, Ŝe dyskonto "z góry" tzn. pierwsza płatność dyskontowana stopa dla k=0 itd.
∞
k −1
k −1
= ∑ k
ODP
∏
∞
j
k
j
1 − i
= ∑
∏
1 − i
k
j
k
j
k =
1 j
1
k
1 j
1
1
+ =0
+
=0
+ =0
+
k −1
1
1
(
i) j
1
k −1
∏( + − )
j
k
k
0
1
(
)
1
1
1
j =
+
−
i
k
+ k −
∏1− i
=
=
∏ j +
= 1
( − i) 1− i
=
0
1
!
!
0
1
j =
j +
k
k
j =
− i
k
1
1
k
k
−
= 1
( − i) (−
k
)
1 1− i = i
( − )
1 i −1
k
k
1
1
1
∞
k
k
1
∞
( i − )
1 k 1
+
1
∞
i 1
ODP =
−
∑
( i − )
1 i −1 =
∑ k i −1
=
∑ k i −1∫ tkdt =
k =
k +
i − k=
k +
i − k=
0
1
1
0
0
1
1 0
k
k
k
1
1
1
∞
∞
i 1
−
k
1
i 1
−
=
∫
k −
∑ k i −1 t dt =
∫ t∑ i −1
1
kt
dt =
i −1 0 k=
i −
k =
0
1 0
0
k
k
1
1
1
∞
∞
i 1
−
d
k
1
i 1
−
d
=
∫ t∑ i −1 t dt =
∫ t ∑ i −1 tk dt =
i −1 0
k=
dt
i −
dt k=
0
1 0
0
k
k
1
1
1
1
i−
d
i−
1
1
1
=
∫ t
1
( + t) i 1
− dt =
t 1
( + t)
i 1
i 1
−
− − ∫ 1(+ t) i 1− dt =
i −1
0
0
dt
i −1
0
1
1
1
+
1
+
1
1
1
( + t)
1
i 1
−
i 1
−
i−
i−
i
−
1
1
=
( i − )
1
1
i 1
i
−
= −
i
−
= 12 5
,
i −1
1
0
1
+1
+1( i − )
1
i −1
i −1
Zadanie 9
P( x ≤ x ) p
= p
Y = ln X ~ Ν(µ;σ ) 2
σ
1 = exp µ +
2
2
a = ( 2
eσ − )
2
1 ( 2µ+
e
σ )
2
σ
σ
−
a +
2
ln( 2
2
)
1
µ +
= 0 → a = e −1 → µ =
σ = ln( 2
a + )
1
2
2
ln X − µ ln X
ln X
p − µ
p − µ
P
≤
= p → N
p =
σ
σ
σ
ln x − µ = t
σ
1
1
(ln x − µ)2
ODP =
∫∞
tσ +
exp
µ
−
2
dx = x = e
=
1 −
x p
p
σ 2Π
2σ
tσ +
dx = e
µσ dt
= ∫∞ 1
1
2
1
exp −
t
( − σ ) exp
( 2
σ + 2µ) b
o 2
σ + 2µ =
0
N p
2Π
2
2
1
4
4
4
2
4
4
4
3
=1
i dalej = P( Y > N
) g
dzi
e Y
~ N(
p
σ ;1)
P( Y − σ > N
σ
φ
p −
) = 1 − ( N p − ln( 2
a + )
1 )
1
ODP =
(1−φ(
2
N − ln 1
( + a
p
)
1 − p
Zadanie 10
4 1
a ,
1
( 4) = ex
p
dt
∫
1 2 + t
2 1
a ,
1
( 2) = ex
p
dt
∫
1 2 + t
4 1
a( ,
2 4) = ex
p
dt
∫
2 3 + t
Z tego wynika:
a ,
1
( 4) = 2
4
a ,
1
( 2) =
3
7
a( ,
2 4) = 5
4 ⋅ 7
30 − 28
2
ODP = 2 −
=
=
3 ⋅ 5
15
15