Egzamin dla Aktuariuszy z 5 października 2009 r.
Matematyka Finansowa
Zadanie 1
1
( + i) a = a&
&
n
n
(
−
Da)
n
an
=
n
i
(
n
&
& −
Ia)
a
nv
n
=
n
i
10
n
10
&
&
D − I = ∑ n − a a
nv
n −
n +
= 1∑[ n − (2 + i) a + n nv
i Da
Ia
n
] 11+
=
10
⋅10 − (2 + )( )10 + ( )
10
=
i
i
i
n=
n
2
1
=1
10 − a
a&
&
−10 v 10
1
10 −
10
10
a
a&
&
−10 v 10 55 −
(2 + i) +
= 55 −
10 (2 + i) + 10
=
i
i
=
i
i
i
i
55 i − 20 −10 i + 2 a + ia + a −
10
10 v
55 i − 20 + (2 + i + 1 + i) a −
10
10 v
−10 i
=
10
10
10
=
10
=
2
2
i
i
45 i − 20 + 3
( + 2 i) a −
10
10 v
=
10
→ (ii) TAK
2
i
sprawdzamy (i)
1 + 2 1
( +
a&
& v = a →
i
3
( + 2 i) a = 3
( + 2 i) a&
& v =
) a&& = ( v + 2) a&& ≠ (2 v + )1 a&& → (i) NIE
10
10
10
10
1 +
10
10
10
i
sprawdzamy (iii)
45 i − 20 + 3
( + 2 i) a −
10
10 v
= 45 i −10 −10 + a + 2 a + 2 ia −
10
20 v
+
10
10 v
=
10
10
10
10
= 45 i −10 + a − 20 10
v
+ 2 a&& +10 10
v
−10 → (iii) NIE
10
10
sprawdzamy (iv)
45 i − 20 + 3
( + 2 i) a −10 10
v
= 45 i + 3 a + 2 ia −12 10
v
+ 2 10
v
−18 − 2 =
10
10
10
= 4 i
5 −18 + a
3
−12 v 10 + i
2 a
+ 2 v 10 − 2
10
1 1 4
40 2
4
4 3
X
1 − 10
X =
v
2 i
+ 2 10
v
− 2 = 2 − 2 10
v
+ 2 10
v
− 2 = 0 → (iv) TAK
i
czyli odpowiedź D jest prawidłowa
Zadanie 2
i=3,5%
zysk w k-tym roku:
ZYSK( k) = REZ ( k − ) 1 ⋅ max( i
k − i 0
; ) d
l
a k
= 1,2,...,25
i - stopa zwrotu w k-tym roku k
200000 ⋅ ,
0 035
200000 = Ra
→ R =
25
25
1 − v
26− k
Całkowity zysk:
25
5
10
15
25
ZYSK = ∑ ZYSK( k) = ∑ Ra
⋅ ,
0 025 + ∑ Ra
⋅ ,
0 015 + ∑ Ra
⋅ ,
0 005 + ∑ Ra
⋅ ,
0 01 =
26− k
26− k
26− k
26− k
k =1
k =1
k =6
k =11
k =21
= R[ ,002 (
5 a
+ a + ... + a
,
0 015 a
a
...
a
,
0 005 a
...
a
,
0 01 a
...
a
25
24
21 ) +
( + + +
20
19
16 ) +
( + +
15
11 ) +
( + +
5
1 )] =
5 − v 20 a
5 − v 15 a
5 − v 10 a
5 − a
= ,
0 005 R
5
5
+
5
3
+
5 +
5
2
=
i
i
i
i
1
= R[55 − a v + v + v +
5 (5 20
3 15
10
2)]
7
ODP = 90% ⋅ ZYSK ≈ 36413
Zadanie 3
∞
∞
N ∑
1
k
v = ∑ 1
2
k
v
k k
k
k =
(
)
1
1
+
k =1
1
1
1
= −
k ( k + )
1
k
k + 1
∞
f ( v = ∑ 1
)
k
v
k
k =1
∞
f ′( v) = ∑ k−
1
1
1
v
=
→ f ( v) = ∫
= −ln 1
( − v) + C a
le f
(0) = 0 → C =
f
i
0
(v) = -ln(1- v)
v
v
k =
1
1
1
−
−
∞
∞
∞
∞
∑ 1
k
v = ∑ 1
1 k
1 k
1
1
−
v = ∑ v − ∑
k +1
v
=
k k
k
k
k
v
k
k =
(
)
1
k
1
k
k
1
1
+
=1
+
=1
=1
+
∞
∞
∞
= ∑ 1 k 1
v −
∑ 1
k
v − v = ∑ 1
k
1
v 1 − + 1
k
v
k
k
v
k =1
k=1
k =1
1
N − ln 1
( − v)1 − + 1
= −2 ln 1
( − v)
v
2 ln 1
( − v)
2 ln 1
( − 9
,
0 )
N =
=
≈ 1,
6 8
1
1
ln 1
( − v)1 − −1
ln 1
( − 9
,
0 )1 −
−1
v
9
,
0
czyli N musi być równe co najmniej 7
Zadanie 4
V (
1 )
0 = C + X
t
− q( T − t
V (
2 )
0 = S e
) + P
t
t
V1: kwota X w momencie T daje
r ( T t )
Xe
−
Jeśli wartość akcji w T S > X to d aje S
T − X
T
Czyli ł
−
ącznie
r ( T t )
S − X + Xe
T
gdy S
< X to będziemy mieli
r ( T t )
Xe
−
T
V2: zakładamy, że mamy opcję europejską o P
t
W związku z reinwestycją otrzymanych dywident liczba akcji na T=1 zatem wartość wyniesie S
T
Gdy S > X t
o S
T
T
Gdy S < X t
o X
- S
T + S
= X
T
T
Gdy S > X V (
1 T )
r ( T − t )
= S − X + Xe
≥ S = V 2( T ) T
T
T
Gdy S < X V (
1 T )
r ( T − t )
= Xe
≥ X = V 2( T)
T
Z tego: V (
1 T ) ≥ V 2( T ) (przy założeniu na opcję europejską) Przy braku arbitrażu możemy przyjąć, że nierówność prawdziwa także w chwili obecnej Jeżeli zamienimy w V2 opcję europejską na amerykańską wiedząc że: am
eur
− q( T − t)
− q( T − t
P
≤ P to d
aj
e C
+ X ≥ S e
+ P → S e
) − X ≤ C − P
t
t
t
t
t
t
t
t
analogicznie analizuj
−
−
ąc V3 i V4 dostajemy:
r ( T t )
C − P ≤ S − Xe t
t
t
czyli odpowiedź E jest prawidłowa
Zadanie 5
f : X →
R jest m
ierzalna g
dy {
x ∈ X : f ( x) > }
a m
ierzalny d
la k
azdego a
∈ R
OZN : { x ∈ X : f ( x) > }
a = A
sprawdzamy (a)
w w
1 (
i ) = 72 i
=
W =
1,2,3,4
w w
1 (
i ) = 8
4 i
= 5,6,7,8
dla a
< 7
2 A
= Ω ∈ F1
dla a
∈ [72,84) A
= {w , w , w , w ∈ F z tego wynika, że (a) TAK
5
6
7
8 }
1
dl
a a
≥ 8
4 A
= pusty ∈ F1
sprawdzamy (b)
dl
a a
< 7
2 A
= Ω ∈ F1
z tego wynika, że (b) NIE
dl
a a
∈ [72,84) A
= {w , w , w , w ∉ F
4
6
7
8 }
1
sprawdzamy c
F = pusty, ,
Ω w , w ,..., w
3
{
1
2
8 }
sprawdzamy F - mierzalność
1
w
9
, w
1
2
W = w
6
, w , w , w
3
4
5
6
w
3
, w
7
8
dl
a a
<
3 A
= Ω ∈ F1
z tego wynika, że c NIE
dl
a a
∈ [3,6) A
= {w , w ,..., w ∉ F
1
2
6 }
1
sprawdzamy (d)
a <
3 A
= Ω ∈ F3
a ∈ [ ,
3 6) A
= {w ,..., w ∈ F
1
6 }
3 z tego wynika, że (d) TAK
a ∈ [ 9
,
6 ) A
= {w , w ∈ F
1
2 }
3
a ≥
9 A
= pusty ∈ F3
czyli odpowiedź C jest prawidłowa
Zadanie 6
Bull spread oznacza, że kupujemy 1 opcję kupna z ceną wykonania X1 i wystawiamy 1 opcję kupna z ceną wykonania X2 oraz X2>X1
Profil wypłaty:
dl
a S
< X 1 0
5
dl
a S
∈ X X
− X
5
[ ,1 2) S
1
5
dl
a S
≥ X
2 S
− X 1− S − X = X − X
5
5
(
2
5
)
2
1
Z powyższego i z obrazka widać, że:
Dla S = X 1 zaczyna rosnąć więc X1=110 i stąd X2=140
5
− RT
P = P − S + Xe
- PARYTET
p
C
1
,
0 3 = P
C ( X )
−5 0
⋅ ,07
−0,35
1 −125 + 110 e
→ P ( X )
1
C
= 125 1
, 3 −110 e
−5⋅0,07
0
− ,35
8
,
1 4 = P ( X 2)
C
−125 +140 e
→ P ( X 2)
C
= 126 8
, 4 −140 e
ODP = P ( X )
1
C
− P ( X 2)
C
= 30 0−,35
e
− ,171 ≈ 1 ,
9 43
Zadanie 7
K(i) – kredyt na koniec i-tego roku
WP(i) – wpłata na koniec i-tego roku
5
K
)
5
(
= K ⋅ ,
1 06 − K ⋅ ,
0 4 ⋅ ,
0 06 ⋅ (
2
3
4
1 + ,
1 06 + ,
1 06 + ,
1 06 + ,
1 06 )
K(10)=K(5)
przez następne 5 lat rata S:: 5 S = 3
,
0 ⋅ 300000 = 90000 → S = 18000
po 5 latach K 1
(
)
5 = K 1
( 0) ⋅ ,
1 075 −18000( ,
1 074 + ... + )
1
K 1
(
)
5 = Ra
10;0,08
1 −
5
10
−
300000( ,
1 06 − ,
0 4 ⋅ ,
0 06)5
5
,
1 07
1
,
1 08
⋅ ,
1 07 −18000
= R
→ R ≈ 59409 ≈ 60005
,
0 07
,
0 08
Zadanie 8
KW1 – kwota uzyskana przy stopie 6%
KW2 – kwota uzyskana przy stopie 8%
NAD – nadwyżka
KW (
1 i) = KW 2( i − ) 1 ⋅ ,
1 06 + 2000 ⋅ ,
1 06
KW 2( i) = KW 2( i − ) 1 ⋅ ,
1 08 + 2000 ⋅ ,
1 08
NAD( i) = KW 2( i − ) 1 ⋅ ,
0 02 + 2000 ⋅ ,
0 02
KW 2( i) = 2000( ,
1 08 i + ... + ,
1 08)
,
1 08 i 1
− −1
NAD( i) = ,
0 02 ⋅ 2000 ⋅ ,
1 08
+ 40
,
0 08
15
0
,
1 6
−
5
ODP = 2000 ⋅
1
0
,
1 6
+ ∑
15−
NAD(
0
,
1
)
4
i
i
=
0
,
0 6
i=1
15
i
0
,
1 6
−
5
5
= 2000 ⋅
1
0
,
1 6
+ 40
0
,
1 8
40
0
,
1 8
1
1
15
0
,
1 4 ∑
⋅
−
15
0
,
1 4 ∑
+ 40
i
∑
15
0
,
1 4
=
0
,
0 6
0
,
0 8
i
i=
0
,
1 4
0
,
0 8
1
i=1
0
,
1 4
0
,
1 4
5
5
,
1 08
1
1 −
1 −
,
1 0615 −1
40 ⋅ ,
1 0415 ,
1 08
,
1 04
40 ⋅ ,
1 08
15
1
,
1 04
= 2000 ⋅ ,
1 06
+
−
,
1 04
+
,
0 06
,
0 08
,
1 04 1− ,108
,
0 08
,
1 04
− 1
1
,
1 04
,
1 04
5
1
1 −
15
1
,
1 04
+ 40 ⋅ ,104
≈ ( D)
,
1 04
1
1 − ,104
Zadanie 9
1000
P(0) =
= 9151
, 4
,
1 033
1
2
0,03
1
1
,
1 03 + x = t
P )
1
(
= 1000 E
= 1000 ∫
dx =
=
,
1 03 + X
2
,
1 03
x
,
0 06
dx
dt
0,03
+
=
−
(
)
,
1 06
,
1 06
= 100000 ∫ 1
100000 1
100000
1
dt =
−
=
1−
≈ 94 ,
3 4
2
6
t
6
t
6
0
,
1 6
1
1
Zadanie 10
Możliwe scenariusze:
2. A,A,B
3. A,B,A
4. A,B,B
p(i) – prawdopodobieństwo scenariusza I p )
1
(
= p p
AA
AA =
8
,
0 2 = ,
0 64
p(2) = p
p
AA
AB =
8
,
0 ⋅ ,
0 2 = 16
,
0
p )
3
(
= p p
AB
BA =
,
0 2 ⋅ 1
,
0 = ,
0 02
p(4) = p
p
AB
BB =
,
0 2 ⋅ 9
,
0
= 18
,
0
ODP = (4 v
A + 4
2
vA + 4 3
vA +100 3
vA ) p )
1
( + (4 vA + 4 2
vA + 4 2
v v
A
B + 100
2
v v
A
B ) p(2) +
+ (4 v
A + 4 v v
A
B + 4
2
v v
A
B + 100
2
v v
A
B ) p
)
3
(
+ (4 vA + 4 v v
A
B + 4
2
v v
A
B + 100
2
v v
A
B ) p(4) =
= (4⋅ 9
,
0 5 + 4 ⋅ 9
,
0 52 + 4 ⋅ 9
,
0 53 + 100 ⋅ 9
,
0 53 ) ,
0 64 + (4 ⋅ 9
,
0 5 + 4 ⋅ 9
,
0 52 + 4 ⋅ 9
,
0 52 9
,
0
+100 ⋅ 9
,
0 52 9
,
0 ) 1
,
0 6 +
+ (4⋅ 9,
0 5 + 4 ⋅ 9
,
0 5 ⋅ 9
,
0
+ 4 ⋅ 9
,
0 52 9
,
0
+100 ⋅ 9
,
0 52 9
,
0 ) ,
0 02 +
(4⋅ 9,
0 5 + 4 ⋅ 9
,
0 5 ⋅ 9
,
0
+ 4 ⋅ 9
,
0 5 ⋅ 9
,
0 2 + 100 ⋅ 9
,
0 5 ⋅ 9
,
0 2 ) 1
,
0 8 ≈ 9 ,
4 05