Egzamin dla Aktuariuszy z 30 listopada 2009 r.
Matematyka Finansowa
Zadanie 1
f ( r, t = V r, t − V r, t 0 )
A (
0 )
L (
0 )
muszą być spełnione warunki:
1. f ( r , t =
0
0 )
0
df
2.
( r , t =
0
0 )
0
dr
5
−
1
− 0
1
− 5
1 − 1
( + )
1 − 1
( + )
1 − 1
( + )
V
,
= 1200 ⋅
+1200
+1200
L ( r t 0 )
r
r
r
r
r
r
V
L ( r , t
≈
0
0 )
2104 ,
9 72
dVL =120 [0− 1(+ −2
r)
− ... − 1
(
5 +
−6
r) ]+120 [
0 − 1
( +
−2
r)
− ... −10 1
( +
−11
r)
]+
dr
1− v 5
1 − v 10
1
6
11
− v 15
v
5
10 v
10 v 16
+120 [
0 − 1
( +
−
r 2
)
− ... −15 1
( +
−
r 16
)
]
−
−
−
= −1200 v i
+
i
+
i
→
i
i
i
→ dVL ( r , t ≈ −
0
0 )
98594 5
, 4
dr
−
−
V r t
= X + r
+ X
+ r
A ( ,
t
t
0 )
1 (1
) 1
2 (1
) 2
dV ( r, t 0 )
− t
A
−
− t −
1
2
= − t X 1+ r
− t X 1
( + r)
1
1 (
) 1
1
2
2
dr
sprawdzamy: V
A ( r , t
0
0 )
a) ≈ 21050
b) ≈ 26733
z tego b) odpada
c), d ), e) ≈ 21050
dV
sprawdzamy:
A ( r , t
0
0 )
dr
a) ≈ −127613
c) ≈ −84391 z tego najbliŜej odpowiedź d) d ) ≈ 9
− 5394
e) ≈ 1
− 14250
ODP = ( 8
,
0 ⋅ 5000 + ,
0 2 ⋅
) 1
50000
+
(8
,
0
,
0 75 ⋅ 5000 + ,
0 25 ⋅
) 1
50000
+
2
,
1 07
,
1 07
+ 8
,
0 ⋅ ,
0 7 (
5 ,
0 65 ⋅105000 + 3
,
0 5 ⋅
) 1
50000
=
3
,
1 07
1
1
1
= 14000 ⋅
+13000 ⋅
+ 51450 ⋅
≈ 66437
,
1 07
,
1 07 2
,
1 073
Zadanie 3
Do funduszu wpłacamy tyle by na koniec mieć 200 000 czyli: r
I . X [ 1
( + r)4 + ... + ]
200000
1 = 200000 → X =
1
( + r)5 − 1
odsetki skumulowane w funduszu:
1000000 r
OD( F ) = 200000 − 5 X = 200000 −
1
( + r)5 −1
Odsetki zapłacone:
OD( Z ) = 1
,
0 ⋅ 200000 ⋅ 5 = 100000
r
II . Y [ 1
( + r)9 + ... + ]
200000
1 = 200000 → Y =
1
( + r)10 −1
2000000 r
OD( F ) = 200000 −10 Y = 200000 −
1
( + r)10 −1
OD( Z ) = 200000
1000000 r
r
1.
−100000 = 6876 ,
5 75 →
= 1
,
0 6876575
1
( + r)5 −1
1
( + r)5 −1
2000000 r
2000000 r
1
2.
= 13481 ,
5 41 →
= 13481 ,
5 41
1
( + r)10 −1
1
( + r)5 −1 1
( + r)5 + 1
Z tego:
2000000 ⋅ 1
,
0 6876575 = 13481 ,
5 4 [
1 1
( + r)5 − ]
1 → r ≈ 5
,
8 %
Zadanie 4
OD(6)=12-KAP(6)
OD(12)=14-KAP(12)
KAP(6)=DŁ(5)-DŁ(6)
KAP(12)=DŁ(11)-DŁ(12)
2
5
6
7
10
DL )
5
(
= 12 v +14 v + ... + 20 v +17 v +14 v + ... + 5 v 2
4
5
6
9
DL(6) = 14 v + 16 v + ... + 20 v + 17 v + 14 v + ... + 5 v 2
3
4
DL 1
( )
1 = 14 v + 11 v + 8 v + 5 v 2
3
DL 1
( 2) = 11 v + 8 v + 5 v
2
14 v + ... +
5
20 v +
6
17 v +
7
14 v + ... +
10
5 v
−14 v −
2
16 v − ... −
4
20 v −
5
6
9
2
3
4
5
6
7
8
9
10
−17 v −14 v − ... − 5 v = −2 v − 2 v − 2 v − 2 v + 3 v + 3 v + 3 v + 3 v + 3 v + 5 v 2
3
4
2
3
2
3
4
KAP 1
( 2) = 14 v + 11 v + 8 v + 5 v −11 v − 8 v − 5 v = 3 v + 3 v + 3 v + 5 v ODP = OD(6) − OD 1
( 2) = 12 + 2 v + 2 2
v + 2 3
v + 2 4
v − 3 5
v − 3 6
v − 3 7
v − 3 8
v − 3 9
v − 5 10
v
− 2 =
= − 5 10
v wystepuj
e tylk
o w
E
i
B
, -
3v9 tylk
o w B
→ ( B a
) le f
ormalnie d
alej p
rzekszta c
l amy)) =
= 3 a + 2 v + 2 2
v + 2 3
v + 4 4
v − 3 5
v a + 3 5
v a − 3 5
v − 3 6
v − 3 7
v − 3 8
v − 3 9
v − 5 10
v
− 2 =
4
5
5
= 3 a + 2 a + 2 4
v − 2 5
v − 3 5
v a + 3 5
v a − 3 5
v − 3 6
v − 3 7
v − 3 8
v − 3 9
v − 5 10
v
− 2 =
4
5
5
5
= 3 a + (2 − 3 5
v a
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
4
) + 2 4 −2 5 +3 6 +3 7 +3 8 +3 9 +3 10 −3 5 −3 6 −3 7 −3 8 −3 9 −5 10 −2 =
5
= 3 a + (2 − 3 5
v a + v − v − v −
4
) 2 4 5 5 2 10 2
5
Zadanie 5
X – rata w 1 okresie
Y – rata w 2 okresie
K – kredyt
Z – niewiadoma = ODP
A
B
6
4
4
4
4
4
7
4
4
4
4
4
8
6
4
4
4
4
7
4
4
4
4
8
1
1
1
1
1
1
1. X
+
+ ... +
...
3
6
24 + Y
24
+ +
12
= K
,
1 03
,
1 03
,
1 03
,
1 03
,
1 03
,
1 03
2.8 X + 1 Y
2 − K = 2 X + Y
3 + 100000
3. 9
,
0 XA + ,
1 Y
2 B = K
z 2: 6X+9Y=100000+K
XA + YB = K
B
o
dejmujemy s
tronam
i → 0,1XA = 0,2YB → X = 2
Y
9
,
0 XA + ,
1 Y
2 B = K
A
wstawiamy do 2:
12 B Y + Y
9 = 100000 + 3 BY
A
100000
100000 A
Y =
=
12 B
12 B + 9 A − 3 AB
+ 9 − 3 B
A
200000 B
300000 AB
X =
, K =
12 B + 9 A − 3 AB
12 B + 9 A − 3 AB
1
1
1
1
100000 AB
XA + Z
+
+ ...
+
→ Z =
,
1 0324 ,
1 033
,
1 036
,
1 0312
1
( 2 B + 9 A − 3 AB C
)
1
4
4
4
4
4
4
2
4
4
4
4
4
4
3
c
1 −
1
,
1 0324
,
1 0324 −1
A =
=
,
1 033
1
,
1 0324 ( ,
1 033 − )
1
1 − ,1033
1
1 −
1
,
1 0312
,
1 0312 −1
B =
=
,
1 0325
1
,
1 0336 ⋅ ,
0 03
1 − ,103
1
1 −
1
1
,
1 0312
,
1 0312 −1
C =
=
,
1 0324 ,
1 033
1
,
1 0336 ( ,
1 033 − )
1
1 − ,1033
Z tego: ODP ≈ 61400
Zadanie 6
Obliczamy duration zobowiązań:
L( ZOB)
DUR( ZOB) =
M ( ZOB)
L( ZOB) = 10000(
2
20
v + 2 v + ... + 20 v ) 10
15
+ 500000 v +1500000 v
M ( ZOB) = 10000(
2
20
v + v + ... + v ) 10
15
+ 50000 v +100000 v
20
1 − v
21
− 20 v
i
10
15
10000
+ 500000 v +1500000 v
1 −
DUR( ZOB)
v
=
20
1 − v
10
15
10000
+ 50000 v +100000 v
i
ODP=x
Duration 1 obligacji:
10
1 − v
11
−10 v
i
+
v
50(
2
10
v + 2 v + ... + 10 v ) 10
10
50
10000
+10000 v
−
dur( I )
v
=
=
50(
1
2
10
v + v + ... + v ) 10
10
+1000 v
1 − v
10
50
+1000 v
i
Duration 2 obligacji:
20
1 − v
21
− 20 v
i
+
v
250(
2
20
v + 2 v + ... + 20 v ) 20
20
250
100000
+100000 v
−
dur( II )
v
=
=
250(
1
2
20
v + v + ... + v ) 20
20
+ 5000 v
1 − v
20
250
+ 5000 v
i
x ⋅ dur( I ) + 1
( − x) dur( II ) = DUR( ZOB) DUR( ZOB) − dur( II ) x =
≈ 52%
dur( I ) − dur( II )
N – nominał obligacji
20
1
1
9
,
0 9
20
650 = N ⋅
9
,
0 9
2
9
,
0 9 ⋅
+ 9
,
0 9
+ ... +
0
,
0 3
N
2
20
+
=
0
,
1 5
0
,
1 5
0
,
1 5
20
0
,
1 5
20
33
1 −
20
33
35
33
650
=
⋅ ,
0 03 +
⋅ N → N =
35
33
35
C
1 −
35
1
4
4
4
4
4
2
4
4
4
4
4
3
C
650000
S = 1000 N =
C
650000
X = ,
0 7
⋅ ,
1 023 ≈ 743000
C
Zadanie 8
∞
∑
k
a v
moŜna wiele strumieni a utworzyć np: k
=
1
3
k
k =1
1
( − v)
v
1
1
a = a → a ⋅
=
→ a = a =
k
3
10
2
1 − v
1
( − v)
v 1
( − v)
2 przykład:
1
1
10
a
>
0 a =
0 d
l
a k ≠ 10 → a ⋅ v
=
→ a =
10
k
10
3
10
10
3
1
( − v)
v
1
( − v)
z tego wynika, Ŝe (E) jest prawidłową odpowiedzią Zadanie 9
w=wartość opcji = wartość wewnętrzna + time value p – prawdopodobieństwo wzrostu ceny 110 ⋅ 1
,
1 p + 110 ⋅ 9
,
0
1
( − p) = 110 ⋅ ,
1 04
p = ,
0 7
w1=33,1
w2=8,9
w3=8,9
w4=0
1
5
w = max 2 ;
1
( ,07⋅331,+ 3,
0 ⋅ 9
,
8 ) ≈ 24 8
, 4
,
1 04
1
6
w = 9
,
8 p ⋅
,
1 04
w = max (
[ p 5
w + 1
( − p) 6
w )⋅ v 1
; 0] ≈ 1 ,
8 45
ODP = 1 ,
8 45 −10 = ,
8 45
Zadanie 10
Brak arbitraŜu więc:
,
2 6 = 4 pv + 2 qv
a
l
e p + q = 1
,
1 05 = 2 pv + 5
,
0 qv
,
2 6 = 2 pv + 2 v
4
4
→
4 → I −
II → ,
1 2 =
v → v = 9
,
0
,
1 05 = 5
,
1 pv + 5
,
0
v ⋅
3
3
3
,
2 6 = 8
,
1 p + 8
,
1
13
9
−
4
4
5
5
5
p =
= → p = , q =
9
9
9
9
5