Egzamin dla Aktuariuszy z 30 listopada 2009 r.

Matematyka Finansowa

Zadanie 1

f ( r, t = V r, t − V r, t 0 )

A (

0 )

L (

0 )

muszą być spełnione warunki:

1. f ( r , t =

0

0 )

0

df

2.

( r , t =

0

0 )

0

dr

5

−

1

− 0

1

− 5

1 − 1

( + )

1 − 1

( + )

1 − 1

( + )

V

,

= 1200 ⋅

+1200

+1200

L ( r t 0 )

r

r

r

r

r

r

V

L ( r , t

≈

0

0 )

2104 ,

9 72

dVL =120 [0− 1(+ −2

r)

− ... − 1

(

5 +

−6

r) ]+120 [

0 − 1

( +

−2

r)

− ... −10 1

( +

−11

r)

]+

dr

1− v 5

1 − v 10

1

6

11

− v 15



v

5

10 v

10 v 16

+120 [

0 − 1

( +

−

r 2

)

− ... −15 1

( +

−

r 16

)

]



−

−

−



= −1200 v i

+

i

+

i

 →



i

i

i











→ dVL ( r , t ≈ −

0

0 )

98594 5

, 4

dr

−

−

V r t

= X + r

+ X

+ r

A ( ,

t

t

0 )

1 (1

) 1

2 (1

) 2

dV ( r, t 0 )

− t

A

−

− t −

1

2

= − t X 1+ r

− t X 1

( + r)

1

1 (

) 1

1

2

2

dr

sprawdzamy: V

A ( r , t

0

0 )

a) ≈ 21050

b) ≈ 26733

z tego b) odpada

c), d ), e) ≈ 21050

dV

sprawdzamy:

A ( r , t

0

0 )

dr

a) ≈ −127613

c) ≈ −84391 z tego najbliżej odpowiedź d) d ) ≈ 9

− 5394

e) ≈ 1

− 14250

Zadanie 2

ODP = ( 8

,

0 ⋅ 5000 + ,

0 2 ⋅

) 1

50000

+

(8

,

0

,

0 75 ⋅ 5000 + ,

0 25 ⋅

) 1

50000

+

2

,

1 07

,

1 07

+ 8

,

0 ⋅ ,

0 7 (

5 ,

0 65 ⋅105000 + 3

,

0 5 ⋅

) 1

50000

=

3

,

1 07

1

1

1

= 14000 ⋅

+13000 ⋅

+ 51450 ⋅

≈ 66437

,

1 07

,

1 07 2

,

1 073

Zadanie 3

Do funduszu wpłacamy tyle by na koniec mieć 200 000 czyli: r

I . X [ 1

( + r)4 + ... + ]

200000

1 = 200000 → X =

1

( + r)5 − 1

odsetki skumulowane w funduszu:

1000000 r

OD( F ) = 200000 − 5 X = 200000 −

1

( + r)5 −1

Odsetki zapłacone:

OD( Z ) = 1

,

0 ⋅ 200000 ⋅ 5 = 100000

r

II . Y [ 1

( + r)9 + ... + ]

200000

1 = 200000 → Y =

1

( + r)10 −1

2000000 r

OD( F ) = 200000 −10 Y = 200000 −

1

( + r)10 −1

OD( Z ) = 200000

1000000 r

r

1.

−100000 = 6876 ,

5 75 →

= 1

,

0 6876575

1

( + r)5 −1

1

( + r)5 −1

2000000 r

2000000 r

1

2.

= 13481 ,

5 41 →

= 13481 ,

5 41

1

( + r)10 −1

1

( + r)5 −1 1

( + r)5 + 1

Z tego:

2000000 ⋅ 1

,

0 6876575 = 13481 ,

5 4 [

1 1

( + r)5 − ]

1 → r ≈ 5

,

8 %

Zadanie 4

OD(6)=12-KAP(6)

OD(12)=14-KAP(12)

KAP(6)=DŁ(5)-DŁ(6)

KAP(12)=DŁ(11)-DŁ(12)

2

5

6

7

10

DL )

5

(

= 12 v +14 v + ... + 20 v +17 v +14 v + ... + 5 v 2

4

5

6

9

DL(6) = 14 v + 16 v + ... + 20 v + 17 v + 14 v + ... + 5 v 2

3

4

DL 1

( )

1 = 14 v + 11 v + 8 v + 5 v 2

3

DL 1

( 2) = 11 v + 8 v + 5 v

KAP(6) = 12 v +

2

14 v + ... +

5

20 v +

6

17 v +

7

14 v + ... +

10

5 v

−14 v −

2

16 v − ... −

4

20 v −

5

6

9

2

3

4

5

6

7

8

9

10

−17 v −14 v − ... − 5 v = −2 v − 2 v − 2 v − 2 v + 3 v + 3 v + 3 v + 3 v + 3 v + 5 v 2

3

4

2

3

2

3

4

KAP 1

( 2) = 14 v + 11 v + 8 v + 5 v −11 v − 8 v − 5 v = 3 v + 3 v + 3 v + 5 v ODP = OD(6) − OD 1

( 2) = 12 + 2 v + 2 2

v + 2 3

v + 2 4

v − 3 5

v − 3 6

v − 3 7

v − 3 8

v − 3 9

v − 5 10

v

− 2 =

= − 5 10

v wystepuj

e tylk

o w

E

i

B

, -

3v9 tylk

o w B

→ ( B a

) le f

ormalnie d

alej p

rzekszta c

l amy)) =

= 3 a + 2 v + 2 2

v + 2 3

v + 4 4

v − 3 5

v a + 3 5

v a − 3 5

v − 3 6

v − 3 7

v − 3 8

v − 3 9

v − 5 10

v

− 2 =

4

5

5

= 3 a + 2 a + 2 4

v − 2 5

v − 3 5

v a + 3 5

v a − 3 5

v − 3 6

v − 3 7

v − 3 8

v − 3 9

v − 5 10

v

− 2 =

4

5

5

5

= 3 a + (2 − 3 5

v a

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

4

) + 2 4 −2 5 +3 6 +3 7 +3 8 +3 9 +3 10 −3 5 −3 6 −3 7 −3 8 −3 9 −5 10 −2 =

5

= 3 a + (2 − 3 5

v a + v − v − v −

4

) 2 4 5 5 2 10 2

5

Zadanie 5

X – rata w 1 okresie

Y – rata w 2 okresie

K – kredyt

Z – niewiadoma = ODP

A

B

6

4

4

4

4

4

7

4

4

4

4

4

8

6

4

4

4

4

7

4

4

4

4

8

 1

1

1



1

 1

1



1. X 

+

+ ... +

...

3

6

24  + Y

24 



+ +

12 

 = K

 ,

1 03

,

1 03

,

1 03 

,

1 03

 ,

1 03

,

1 03 

2.8 X + 1 Y

2 − K = 2 X + Y

3 + 100000

3. 9

,

0 XA + ,

1 Y

2 B = K

z 2: 6X+9Y=100000+K

 XA + YB = K

B



o

dejmujemy s

tronam

i → 0,1XA = 0,2YB → X = 2

Y

 9

,

0 XA + ,

1 Y

2 B = K

A

wstawiamy do 2:

12 B Y + Y

9 = 100000 + 3 BY

A

100000

100000 A

Y =

=

12 B

12 B + 9 A − 3 AB

+ 9 − 3 B

A

200000 B

300000 AB

X =

, K =

12 B + 9 A − 3 AB

12 B + 9 A − 3 AB

1

 1

1

1



100000 AB

XA + Z

+

+ ...



+

 → Z =

,

1 0324  ,

1 033

,

1 036

,

1 0312 

1

( 2 B + 9 A − 3 AB C

)

1

4

4

4

4

4

4

2

4

4

4

4

4

4

3

c

1

1 −

1

,

1 0324

,

1 0324 −1

A =

=

,

1 033

1

,

1 0324 ( ,

1 033 − )

1

1 − ,1033

1

1 −

1

,

1 0312

,

1 0312 −1

B =

=

,

1 0325

1

,

1 0336 ⋅ ,

0 03

1 − ,103

1

1 −

1

1

,

1 0312

,

1 0312 −1

C =

=

,

1 0324 ,

1 033

1

,

1 0336 ( ,

1 033 − )

1

1 − ,1033

Z tego: ODP ≈ 61400

Zadanie 6

Obliczamy duration zobowiązań:

L( ZOB)

DUR( ZOB) =

M ( ZOB)

L( ZOB) = 10000(

2

20

v + 2 v + ... + 20 v ) 10

15

+ 500000 v +1500000 v

M ( ZOB) = 10000(

2

20

v + v + ... + v ) 10

15

+ 50000 v +100000 v

20

1 − v

21

− 20 v

i

10

15

10000

+ 500000 v +1500000 v

1 −

DUR( ZOB)

v

=

20

1 − v

10

15

10000

+ 50000 v +100000 v

i

ODP=x

Duration 1 obligacji:

10

1 − v

11

−10 v

i

+

v

50(

2

10

v + 2 v + ... + 10 v ) 10

10

50

10000

+10000 v

−

dur( I )

v

=

=

50(

1

2

10

v + v + ... + v ) 10

10

+1000 v

1 − v

10

50

+1000 v

i

Duration 2 obligacji:

20

1 − v

21

− 20 v

i

+

v

250(

2

20

v + 2 v + ... + 20 v ) 20

20

250

100000

+100000 v

−

dur( II )

v

=

=

250(

1

2

20

v + v + ... + v ) 20

20

+ 5000 v

1 − v

20

250

+ 5000 v

i

x ⋅ dur( I ) + 1

( − x) dur( II ) = DUR( ZOB) DUR( ZOB) − dur( II ) x =

≈ 52%

dur( I ) − dur( II )

Zadanie 7

N – nominał obligacji



20

1

1

9

,

0 9



20

650 = N ⋅

9

,

0 9

2

 9

,

0 9 ⋅

+ 9

,

0 9

+ ... +

0

,

0 3

N

2

20 



+

=



0

,

1 5

0

,

1 5

0

,

1 5



20

0

,

1 5

20



 33







1 − 





20

33

 35 

 33  

650

=

⋅ ,

0 03 + 



⋅ N → N =



35

33

 35





C



1 −





35





1

4

4

4

4

4

2

4

4

4

4

4

3

C

650000

S = 1000 N =

C

650000

X = ,

0 7

⋅ ,

1 023 ≈ 743000

C

Zadanie 8

∞

∑

k

a v

można wiele strumieni a utworzyć np: k

=

1

3

k

k =1

1

( − v)

v

1

1

a = a → a ⋅

=

→ a = a =

k

3

10

2

1 − v

1

( − v)

v 1

( − v)

2 przykład:

1

1

10

a

>

0 a =

0 d

l

a k ≠ 10 → a ⋅ v

=

→ a =

10

k

10

3

10

10

3

1

( − v)

v

1

( − v)

z tego wynika, że (E) jest prawidłową odpowiedzią Zadanie 9

w=wartość opcji = wartość wewnętrzna + time value p – prawdopodobieństwo wzrostu ceny 110 ⋅ 1

,

1 p + 110 ⋅ 9

,

0

1

( − p) = 110 ⋅ ,

1 04

p = ,

0 7

w1=33,1

w2=8,9

w3=8,9

w4=0



1



5

w = max 2 ;

1



( ,07⋅331,+ 3,

0 ⋅ 9

,

8 ) ≈ 24 8

, 4



,

1 04



1

6

w = 9

,

8 p ⋅

,

1 04

w = max (

[ p 5

w + 1

( − p) 6

w )⋅ v 1

; 0] ≈ 1 ,

8 45

ODP = 1 ,

8 45 −10 = ,

8 45

Zadanie 10

Brak arbitrażu więc:

 ,

2 6 = 4 pv + 2 qv



a

l

e p + q = 1

 ,

1 05 = 2 pv + 5

,

0 qv

 ,

2 6 = 2 pv + 2 v



4

4

→ 

4 → I −

II → ,

1 2 =

v → v = 9

,

0

,

1 05 = 5

,

1 pv + 5

,

0

v ⋅

3

3



3

,

2 6 = 8

,

1 p + 8

,

1

13

9

−

4

4

5

5

5

p =

= → p = , q =

9

9

9

9

5