Przykład 3: Dług w wysokości 1000 zł będzie spłacony w trzech ratach 300, 400, 406,88 przy stopie i=5%. Na podstawie powyŜszych czterech zaleŜności oblicz dług bieŜący po zapłaceniu drugiej raty. Części kapitałowe rat wynoszą U = 250
=
=
1
, U
362 5
,
2
, U
387 5
,
3
.
1. ZaleŜność retrospektywna j
j
j−m
K =
⋅ +
− ∑
⋅
j
K0 (1 i)
R
(1 i)
m 1
=
+
m
2
2
2−m
K =
⋅ +
− ∑
⋅
2
K0 (1 i)
R
(1 i)
m 1
=
+
m
K = 1000 ⋅ 0
,
1 52 − 300 ⋅ 0
,
1 5 − 400 = 387 5
,
2
2. ZaleŜność prospektywna n
j−m
K = ∑
⋅
j
R
(1 i)
m=
+
j 1
+
m
3
2−m
K = ∑
⋅
2
R
(1 i)
m=
+
2 1
+
m
K =
−
406 8
, 8 ⋅ 0
,
1 5 1 = 387 5
,
2
3. ZaleŜność od części kapitałowych rat 1, 2, …, j j
2
K
=
− ∑
=
−
−
=
j = K 0 − ∑ U m ,
K
K
U
1000 250 362 5
,
387 5
,
2
0
m
m =1
m 1
=
4. ZaleŜność od części kapitałowych rat j+1, j+2, …, n n
3
K
= ∑
=
j =
∑Um ⇒ K
U
387 5
,
2
m
m= j+1
m=2 1
+
Przykład 4: Dług 10 000 zł będzie spłacony w czterech równych ratach z odsetkami obliczanymi przy stopie i=4%. Zbudować tabelę spłaty tego długu.
K
10000
10000
R
0
=
=
=
= 2754 9
,
a
a
3,63
n i
4 4%
K j 1
−
R
I j= K j 1
− ⋅i
U = R - I
K = K
U
j
j
j
j 1
− -
j
1 10 000 2 754,9
400
2 354,9
7 645,1
2 7 645,1 2 754,9
305,8
2 449,1
5 196
3
5 196
2 754,9
207,84
2 547,06
2 648,94
4 2 648,94 2 754,9
105,96
2 648,94
0
∑
10 000
Przykład 5: Dług jest spłacany ratami annuitetowymi. Wiadomo, Ŝe R = 178 ,
5 26 , U = 1616 9
, 6
=
2
, U
168 ,
2 29
4
. Obliczyć: a) stopę procentową w okresie bazowym i, b) wysokość kredytu K0 , c) liczbę rat n, d) dług bieŜący po wpłaceniu drugiej raty K2 , e) część odsetkową piątej raty I5.
a)
U = U − ⋅ (1+ i)
j
j 1
2
U =
⋅ + =
⋅ +
4
U3 (1 i) U2 (1 i)
U4 1682,29
2
=
= (1+ i) ,
i = 2%
U2 1616,96
U
1616,96
b)
U = U ⋅ (1+ i)
=
=
=
2
1
, U
2
158 ,
5 26
1
1 + i
1 + 2%
I = R − U = 1785,26 − 1585,26 = 200
1
1
I
200
I = K ⋅ i
=
=
=
1
0
,
K
1
10
0
000
i
0
,
0 2
−
K
K
1− (1+ i) n
c)
0
R =
,
0 = a =
a
R
n i
i
n i
K
10000
ln1 − i
0
⋅
ln1 − 0
,
0 2 ⋅
R
178 ,
5 26
n = −
= −
= 6
ln(1+ i)
ln 1
( + 0
,
0
)
2
d) K = K − (U + U )
=
−
+
=
2
0
1
2 ,
K
10000
1
( 58 ,
5 26 1616 9
, 6)
6797 7
, 8
2
e) I = R − U = R − U ⋅ (1+ i)4 = 178 , 5 26 −158 ,
5 26 ⋅ 0
,
1 24 = 69 3
, 2
5
5
1
Przykład 6: Dług 10 000 zł będzie spłacony w czterech ratach o stałej części kapitałowej z odsetkami obliczanymi przy stopie i=4%. Zbudować tabelę spłaty tego długu.
K
10000
U
0
=
=
= 2500
n
4
j
K j 1
−
R j= I j+ U
I = K
U =U
K = K
j
j 1
− ⋅i
j
j
j 1
− - U
1 10 000
2 900
400
2 500
7 500
2
7 500
2 800
300
2 500
5 000
3
5 000
2 700
200
2 500
2 500
4
2 500
2 600
100
2 500
0
∑
10 000
a) zmiana poziomu stopy procentowej: począwszy od trzeciego okresu i' = %
3
.
j
K j 1
−
R j
I j
U j
K j
1 10 000
2 500
2
2 500 5 000
3
5 000
2 650
150=5 000⋅0,03
2 500 2 500
4
2 500
2 575
75
2 500
0
b) zwiększenie liczby rat: na początku trzeciego okresu pozostała część długu będzie rozłoŜona na cztery raty o stałej części kapitałowej
K j 1
−
R j
I j
U j
K j
1 10 000
2 500
2
2 500
5 000
3
5 000
1 450
200
1 250= 5000
3 750
4
4
3 750
1 400
150
1 250
2 500
5
2 500
1 350
100
1 250
1 250
6
1 250
1 300
50
1 250
0
c) R = 0
j
dla pewnego j i korekta w okresie j+1 (zapłata zaległej raty wraz z naleŜnymi odsetkami): w drugim okresie dłuŜnik nie zapłaci raty R 2 , wpłacając ją wraz z naleŜnymi odsetkami razem z ratą R3
j
K j 1
−
R j
I j
U j
K j
1 10 000
2 900
400
2 500
7 500
2
7 500
0
300
-300
7 800
3
7 800
5 612= *
R3
312
5 300
2 500
4
2 500
2 600
100
2 500
0
R* = R + R ⋅ (1 + i) = 2700 + 2800 ⋅ 0
,
1 4 = 5612
3
3
2
R* = (7800 − 250 )
0 + 7800 ⋅ 0
,
0 4 = 5612
3
d) opóźnienie w rozpoczęciu spłaty: pierwsza rata płacona na koniec drugiego okresu, H=1, n=4
j
K j 1
−
R j
I
j
U j
K
j
1 10 000
0
400
-400
10 400
2 10 400
3 016
416
2 600=10400
7 800
4
3
7 800
2 912
312
2 600
5 200
4
5 200
2 808
208
2 600
2 600
5
2 600
2 704
104
2 600
0