1
MATEMATYKA FINANSOWA
W
YKŁAD
2
Z DNIA 10.03.2012
( ) ( )
̃( ) ̃( ) ( )
(
)
( )
Zadanie 1
Oblicz zakumulowaną wartość 200zł po 5 latach gdy i
(2)
= 4%.
( ) (
( )
)
(
)
( )
Przypadek szczególny:
Oblicz zakumulowaną wartość na dzień 10.03.2012 jeśli 1000zł wpłacono 01.02.2005 roku
jeśli i
(4)
=0,06.
7 lat
1000zł
? zł
01.02.2005
01.02.2012
10.03.2012
(32) (69)
( ) (
)
(
)
d
(m)
roczna stopa dyskontowa, lecz m – razy złożona w ciągu roku.
(
) (
( )
)
( )
[ ( )
]
Zadanie 2
a) Oblicz d
(2)
gdy d=0,04
( )
[ ( )
] =
b) Oblicz d gdy d
(12)
=0,06
(
)
( )
c) Oblicz d
(6)
gdy d
(2)
=0,04
{
(
( )
)
(
( )
)
(
( )
)
(
( )
)
(
)
(
( )
)
( )
(
( )
)
√
√( )
( )
[ √( )
]
( )
2
Wartość obecna (PV)
Czynniki dyskontujące
̃ ( )
̃( )
(
)
Zadanie 3
Jaką wartość ma dzisiaj kwota 100zł którą będziemy dysponować 10.03.2020 roku jeśli i=4%.
? 1000 zł
10.03.2012
10.03.2020
( )
Zadanie 4
Oblicz obecną wartość 500zł należnych za 4 lata od dziś gdy d=0,06.
PV = 500(1-0,06)
4
= 500(0,94)
4
=
Zadanie 5
Oblicz obecną wartość 1500zł należnych za 4 lata od dziś gdy i
(2)
=6%.
(
( )
)
(
)
( )
Zadanie 6
Oblicz obecną wartość 800 zł należnych za 5 lat od dziś gdy d
(2)=
0,04.
(
( )
)
(
)
( )
( )
Zadanie 7
Oblicz zakumulowaną wartość 400zł po 6 latach gdy d=0,03.
( ) ( )
( )
(
)
Zadanie 8
Oblicz zakumulowana wartość 1400zł po 6 latach gdy d
(2)
=0,03.
( ) (
( )
)
(
)
(
)
3
Ciągła stopa procentowa
( )
( )
( )
( )
( )
∫
∫
( )
( )
∫
( )
(
)
|
(
)
(
)
( )
∫
( ) ( )
Zadanie 9
Oblicz
gdy i=0,04
ln(1+0,04)=
Zadanie 10
Oblicz
gdy i
(2)
=6%.
(
( )
)
(
)
( )
( )
Zadanie 11
Oblicz
gdy d=0,045
= ln(1+i)
= ln(1-0,045)
-1
Zadanie 12
Oblicz
gdy d
(4)
=0,045
= ln(
( )
)
(
)
Zadanie 13
Oblicz zakumulowaną wartość 1000zł po 7,3755 lat gdy
= 2%.
( )
Podsumowanie
Zakumulowana wartość a(t)
Czynniki akumulujące
Wartość obecna PV
Czynniki dyskontujące
i
( )
( )
d
( )
( )
i
(m)
(
( )
)
(
( )
)
d(
m)
(
( )
)
(
( )
)
Oprocentowanie proste
( )
( )
Dyskonto proste
( )
( )
4
Renta – ciągi płatności
1. Zakumulowana wartość – ile na koncie, gdy będę wpłacał systematycznie, w
ustalonym czasie
a) płacimy z góry (z początku)
R
1
R
2
R
3
R
R
R
1
2
3
n-2
n-1
n
̈ ( ) ( )
( )
[( )
( )
( )
] [
( )[( )
]
( )
] [
( )
]
[
( )
]
czynnik akumulujący w rencie płatnej z góry
̈
̈
[
( )
]
Zadanie 14
Oblicz zakumulowaną wartość renty 15-letniej o płatnościach 800zł co roku z góry gdy
i=0,06.
̈
̈
[
( )
]
𝑅 ( 𝑖)
𝑛
𝑅 ( 𝑖)
𝑅 ( 𝑖)
5
b) płacimy z dołu (z końca – miesiąca, roku)
i = roczna
stopa
procentowa
R
1
R
2
R
3
R
R
R
1
2
3
n-2
n-1
n
n lata
(
)
( )
( )
[
( )
]
czynnik akumulujący w rencie płatnej z dołu
( ) ( )
( )
( )
∑ [ ( )
( )
( )
]
S = R zakumulowana wartość n-letniej renty o płatnościach R – stałych płatnych z dołu
przy rocznej stopie procentowej.
[
( )
]
Zadanie 15
Oblicz zakumulowaną wartość renty 10-letniej o płatnościach po 500zł co roku z dołu, gdy
i=0,04.
[
( )
]
𝑅 ( 𝑖)
𝑛
𝑅 ( 𝑖)
𝑅 ( 𝑖)
𝑅 ( 𝑖)
6
2. Wartość obecna – jaka jest obecna wartość płatności, które będą wypłacone w
przyszłości.
a) z dołu
RV
n
RV
3
RV
2
RV
n
n
n
n
n
1
2
3
n-1
n
[
]
[
( )
] [
]
[
]
[
] [
(
)
]
b) z góry
̈
̈
[
] [
(
)
]
Zadanie 16
Oblicz obecną wartość renty 10-letniej o płatnościach po 2000zł co roku z góry gdy i=0,05
.
̈
̈
[
(
)
] [
(
)
]
𝑉
𝑖
𝑆 𝑎
[
𝑞
𝑛
𝑞
]
0<V<1