Egzamin dla Aktuariuszy z 12 października 2002 r.
Matematyka Finansowa
Zadanie 1
3
3
5
5
a
L
Y
Ya
X
x
L
=
→
=
=
braki:
3
3
2
3
2
1
3
2
1
2
1
1
,
2
,
3
,
3
,
2
,
R
Y
R
R
Y
R
R
R
Y
R
R
R
Y
R
R
Y
R
Y
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
[
]
ú
û
ù
ê
ë
é
+
+
=
=
+
+
−
+
+
+
−
+
+
+
−
=
=
−
+
−
+
−
+
+
+
+
+
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
=
−
)
1
,
1
15
,
0
1
,
1
1
,
0
05
,
0
(
)
...
(
)
85
,
0
1
(
)
...
(
)
9
,
0
1
(
)
...
)(
95
,
0
1
(
]
)
85
,
0
1
(
)
85
,
0
1
9
,
0
1
(
(...)
..
(...)
...
)
85
,
0
1
9
,
0
1
95
,
0
1
(
)
9
,
0
1
95
,
0
1
(
)
95
,
0
1
[(
3000
2
,
0
2
1
,
0
;
5
5
2
5
5
7
6
5
4
3
2
a
Y
v
v
v
v
v
v
v
v
Y
v
v
v
v
v
v
v
Y
L
Z tego wynika:
30000
1
,
1
15
,
0
1
,
1
1
,
0
05
,
0
5
3000
2
,
0
2
1
,
0
;
5
22
,
0
;
3
≈
→
ú
û
ù
ê
ë
é
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+
+
=
−
L
a
a
L
L
Zadanie 2
(i)
NIE bo:
Np. dla S=0 i E=100 i prawdopodobieństwo, Ŝe po roku cena akcji wyniesie 120 jest równe 1.
Wtedy:
0
20
20
=
=
=
−
P
e
v
C
δ
Z tego wynika, Ŝe C>P a E nie jest mniejsze od
100
bo
)
exp(
δ
S
nie jest mniejsze od 0
(ii)
TAK - to wynika z teorii bezpośrednio
(iii)
TAK - czysta teoria
(iv)
TAK bo
Po analizie W(x)=
)
0
;
4
max(
)
0
;
4
max(
)
0
;
6
max(
)
0
;
8
max(
x
x
x
x
−
−
−
+
−
+
−
−
I sprawdzamy:
4
4
-
x
8)
-
(x
-
:
mamy
8
x
dla
4
-
x
:
mamy
(6;8)
x
dla
2
4
-
x
x
-
6
:
mamy
(4;6)
x
dla
2
x)
-
(4
-
x
-
6
:
mamy
4
x
=
+
>
∈
=
+
∈
=
<
dla
I widać Ŝe się zgadza.
Zadanie 4
2
%
10
%
5
=
=
i
[ ]
1
05
,
1
;
10
18
1
05
,
1
;
9
18
05
,
0
;
2
05
,
0
;
20
2
1
1
2
38
20
37
36
35
22
21
20
2
2
05
,
1
1000
05
,
1
1
50
50
10
05
,
1
1
)
1
(
1
...
)
1
(
1
1000
..
)
1
(
50
)
1
(
50
)
1
(
50
2
...
...
8
)
1
(
50
)
1
(
50
9
)
1
(
50
...
1
50
10
−
−
+
⋅
+
⋅
=
=
=
+
→
=
=
ú
û
ù
ê
ë
é
+
+
+
+
+
+
ú
û
ù
ê
ë
é
+
+
+
ú
û
ù
ê
ë
é
+
+
+
+
+
+
ú
û
ù
ê
ë
é
+
+
+
+
ú
û
ù
ê
ë
é
+
+
+
+
=
a
Ia
a
a
i
v
v
i
i
i
i
i
i
i
i
i
K
1
03
,
1
;
10
16
1
03
,
1
;
9
14
03
,
0
;
2
03
,
0
;
16
2
2
03
,
1
1000
03
,
1
1
50
50
10
log
)
2
(
−
−
+
+
⋅
=
=
a
Ia
a
a
icznie
ana
K
4
08
,
1
7
,
0
LATA
2
ZA
⋅
=
K
KREDYT
0,3K - wkład własny
Dostaje:
4
04
,
0
;
4
08
,
1
7
,
0
500
)
2
(
⋅
−
+
K
s
K
1
3
,
0
08
,
1
7
,
0
500
)
2
(
5
,
0
4
04
,
0
;
4
−
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
⋅
−
+
=
K
K
s
K
i
Zadanie 5
)
1
(
2
1
)
1
(
2
1
:
2
−
−
=
⋅
úû
ù
êë
é
−
−
=
=
=
=
l
n
i
i
l
i
n
OD
i
RK
A
a
B
i
n
A
i
n
[
]
[
]
i
nv
a
i
v
a
v
n
a
nv
v
n
v
n
nv
v
a
nv
v
n
v
n
nv
a
nv
X
i
OD
n
n
n
n
n
n
n
n
n
l
n
n
n
n
n
n
n
n
n
l
l
−
+
−
−
−
=
=
−
+
+
+
+
−
=
=
−
+
+
+
+
−
→=
=
+
å
+
=
+
+
)
1
(
)
1
(
2
)
1
2
(
...
)
1
(
2
)
1
2
(
...
)
1
(
2
)
1
(
2
1
2
2
2
1
ï
î
ï
í
ì
+
−
=
→
=
−
=
−
+
−
+
I
do
wstawiamy
i
1
)
1
(
)
1
(
iY
in
v
Y
a
n
X
i
nv
a
i
v
a
v
n
n
n
n
n
n
n
n
2
)
1
(
)
)(
1
)(
1
(
)
)(
1
)(
1
(
iY
in
n
Y
n
i
iY
in
Y
n
iY
in
n
i
iX
+
−
+
−
+
+
−
−
−
+
−
+
=
Z tego wynika:
15%
i
przy
05
,
0
04
,
0
8
,
0
4
800
4
04
,
0
800
8
,
0
05
,
0
20
19
19
19
19
20
=
−
+
+
=
−
+
−
=
a
vIa
v
va
v
B
va
B
vIa
v
Bv
a
B
&
&
&
&
Z tego wynik około 425
Zadanie 8
015
,
0
;
102
04
,
0
;
34
04
,
0
;
34
04
,
0
;
40
10
12
,
0
;
10
2.
miesiace
102
jest
to
zostalo
roku
pol
i
8
015
,
0
12
18
,
0
Ya
:
racie
16
po
dlug
4
X
Y
4Y
X
12
,
1
1
240000
.
1
Ka
L
Ya
Ya
Xa
=
+
=
=
→
=
⋅
+
=
suma odsetek po zmianie: 10X+6Y+102K-240000-L
odsetki pierwotne: 10X+40Y-240000
Z tego wynika:
(
)
102
36000
40
5
,
1
240000
102
6
10
240000
40
10
15
,
1
L
Y
X
K
L
K
Y
X
Y
X
+
−
+
=
→
→
−
−
+
+
=
−
+
Z 2 wynika:
015
,
0
;
102
04
,
0
;
34
015
,
0
;
102
015
,
0
;
102
04
,
0
;
34
102
5
,
25
)
36000
5
,
11
(
4
102
36000
40
5
,
1
a
Xa
a
X
X
Y
L
a
L
Y
X
L
Ya
−
−
−
=
=
=
→
→
⋅
+
−
+
=
+
Z 1 wynika:
04
,
0
;
40
10
12
,
0
;
10
12
,
1
1
4
1
240000
4
a
a
X
Y
X
⋅
+
=
=
=
Wstawiając X do wzoru na L otrzymujemy około 48 242
Zadanie 9
(i)
TAK bo:
å
å
å
å
−
=
−
−
+
=
−
−
−
=
−
=
−
=
2
2
2
2
2
2
;
1
1
)
1
(
1
1
)
1
(
)
(
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
a
v
t
t
t
t
i
t
t
(ii)
NIE bo:
Bez liczenia wiemy, Ŝe
)
(
)
(
m
n
Ia
jest funkcją malejącą od i
0
<
∂
∂
→
i
a prawa strona > 0
(iii)
TAK bo:
P
ia
ja
a
ja
j
ia
j
a
a
j
i
a
j
L
j
n
j
n
j
n
j
n
n
j
n
n
j
n
j
n
n
j
n
n
=
+
−
=
−
=
+
=
+
+
=
+
+
+
=
;
;
;
;
;
;
;
;
1
1
)
1
(
1
)
1
(
1
)
1
(
1
)
1
(
Zadanie 10
[
]
35
332500
)
1
(
2
1
-
n
1
500
1000n
:
bo
500
1000
500
)
1
(
1000
...
)
500
2
1000
(
)
500
1000
(
1000
34
35
3
2
1
=
→
=
−
+
+
+
=
=
−
+
+
+
⋅
+
+
+
+
=
n
n
Ia
a
v
n
v
v
v
R
n
[ ]
ò
=
→
=
ú
û
ù
ê
ë
é
+
−
=
=
n
t
R
a
R
v
v
v
v
v
a
dt
atv
R
0
1
1
2
2
35
35
2
...
ln
1
ln
ln
35
ò
≈
ú
û
ù
ê
ë
é
+
−
−
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
=
35
5
2
5
5
2
35
35
3
1
3
1
723
ln
ln
5
ln
ln
35
2
2
v
v
v
v
v
v
v
v
a
dt
tv
a
RX
t
