Egzamin dla Aktuariuszy z 15 czerwca 2002 r.

Matematyka Finansowa

Zadanie 1

t

æ

A t

( )

1

exp

δ ds

I

= +

=

t

I

÷ö

ç

2

è ò s

0

ø

æ

A

t

( )

2

t

exp

δ ds

II

= + =

t

II

÷ö

çèò s

0

ø

Z tego wynika:

æ

ö

ln 1 + t = t I

çç

÷÷ ò δ ds

è

2 ø

s

0

ln(2 + t) = ò t II

δ ds

s

0

1

1

4

− 2

1

I

t

t

Po obustronnym obliczeniu pochodnych mamy: II

δ =

⋅

=

δ

=

t

2

t

t

4 t

1 t

6 − t

4

2 + t

1 + 2

Czyli:

1

2 4 t − 2 t

= t

→ 4 2

t − 4 t + 48 = 8 t (2 + t) 2 + t

3 16 t − 4 2

t

Po podniesieniu obustronnym do kwadratu mamy: 4

t − 6 3

t + 9 2

t − 40 t + 144 = 0

4 jest pierwiastkiem i nie ma ujemnych więc dzielimy przez t-4

3

→ t − 2 2

t + t − 36

Znowu nie ma ujemnych i 4 jest pierwiastkiem, znowu dzielimy przez t-4 i otrzymujemy: 2

t + 2 t + 9 > 0 → t =

4 jedyne r

ozwiąozwi

bo

e

∆ < 0

Zadanie 2

I.

NIE bo:

m

t

( )

∂

m

mi

m

i

å vm =

→

=

≠ m

=

1

1

+

∂

1

( + 2

t

i

i

i)

II.

TAK bo

1 − 1

( − d ) n

1 − 1

( − d ) n

n

∂

2

n 1

nawias kl

amrowy =

−

+ n 1

( − d ) →

= − n 1

(

d ) −

−

d

d

∂ d

III.

NIE bo

a

ln 1

( + i)

∂

i − 1

( + i) ln 1

( + i)

n

=

→

=

2

a

i

i

∂

1

( + i) i

n

1

( − vn )

LEWA =

i −

+ i

+ i

2 [

1

(

) ln 1

(

)]

1

( + i) ln 1

( + i) i

PRAWA ≠ LEWA

Zadanie 3

L = X a

1

∞

v

1

a∞ =

=

1 − v

ief

ZAD 0 = L = X a 1

∞

ZAD

9

,

0

'

ZAD = X a∞ −1 %

0

= 9

,

0 X a∞ = X a∞ → X = 9

,

0 X

1 =

X a

1

∞

1

1

1

2

2

1

ZAD

9

,

0

2 =

2 X a

1

∞

L

X =

1

a∞

W 1

P = X + 1

,

0 X a

→ WP = X + Z

1

,

0

AD

X = 9

,

0 X

1

1

∞

i

i

i 1

−

2

1

WP 2 = X + 1

,

0 ⋅ 9

,

0 X a

i

9

,

0

1

− L

X = 9

,

0 2 X

2

1

∞ X =

3

1

i

...

a∞

...

...

ZAD

i

= 9

,

0

L

...

i

Spłacony kapitał:

i 1

−

i

i 1

SK

ZAD

ZAD

L

L

L

i =

i

−

i =

9

,

0

− 9

,

0

= 1

,

0

9

,

0

−

1

−

i 1

−

9

,

0

−

1

L

i

i 1

−

i

I = WP − SK = X +

Z

1

,

0

AD

− L

1

,

0

9

,

0

=

+ 1,

0 ⋅ 9

,

0

L

1

− 1,

0 ⋅ 9

,

0

− L =

i

i

i

i

i 1

−

a∞

i 1

( 9

,

0

− L) 1

( − v)

i 1

=

= 9

,

0

− Lief

v

ì

∞

∞

I = å Ii = å 9

,

0 i 1

− i L

ef

= 10

ï

Lief

5000

í

i=

i=

→ I =

≈

1

1

22700

,

2 2

ï

i−

⋅ 1

,

0

1

,

1 I + 5000 = å 9

,

0

1 1

,

1 i

,

1 2 L

ef

→ 3

,

1 2 i

1

L 0

î

ef

Zadanie 4

ì1 . K = Xa

+ 12

v

Y v

v

v

0,012 ⋅

( 3 + 6 + ... + 12 )

ïï

12;0,012

í2 . K = ,

1 2 Xa

+ 12

v ⋅ ,

0 7 Y ( 3

v + 6

v + 9

v + 12

v )

ï

12

ïî3 . OD = 12 X + 4 Y − K = 6 X − 3000

,

0 2 K

1. ⋅ ,

1 2 − 2. → Y =

12

3

12

5

,

0 v ( v + ... + v ) 3

,

0 K

1. ⋅ ,

0 7 − 2. → X =

5

,

0 a 12

Wstawiamy do 3:

3000

→ K =

to l

iczone p

rzy s

topie i

= 1,2%

8

,

1

8

,

0

1 −

−

5

,

0 a

5

,

0

12

v ( 3

v + ...

12

+ v )

12

Oznaczenia:

A - w I roku

B - w II roku

12 A

12 X

AY

=

→ B =

12 B

Y

4

3 X

12

K = Aa + v Ba

-

tu s

topa 1

%

12

12

AY

K

12

K = Aa + v a

→ A =

≈ 920

12

3

12

12

X

æ 1 ö

+ ç

÷

Y

a

a

12;0,01

è 0

,

1 1ø 3

12;0,01

X

Zadanie 5

2

50

51

99

I = 5 v + 5

( + 2 ⋅ )

5 v + ... + 5

( + ... + 50 ⋅ )

5 v

+ 5

( + ... + 49 ⋅ )

5 v

+ ... + 5 v

1

4

4

4

4

4

4

4

2

4

4

4

4

4

4

4

3

1

4

4

4

4

4

2

4

4

4

4

4

3

A

B

2

50

51

54

II = 5 v + 5

( + 2 ⋅ )

5 v + ... + 5

( + ... + 50 ⋅ )

5 v

+ 5

( + ... + 51⋅ )

5 v

+ ... + 5

( + ... + 54 ⋅ )

5 v

+

55

59

107

+ 5

( + ... + 53 ⋅ )

5 v

+ ... + 5

( + ... + 49 ⋅ )

5 v

+ ... + 5 v

I = A + B

54

58

II = A +

5

k

5

8

v B + å ( k + ) 1 kv + å 1

( 08 − k) 1

( 09 − k) k

v te s

umy l

iczymy n

a "

piechotęi

k =

2

k

2

51

=55

2

51

5 é

2 Ia

− a − 50 v ù

50

50

A =

ê Ia +

ú -

to m

ozn

a wyprowad i

z ć

2

50

ê

1

ë

− v

úû

B=5576-A

8

II = A + v

.

B .... ≈ 5700

Zadanie 6

0,02

e

- zwrot w ci

⋅

ągu 3 miesięcy = 0,08 0,25

e

ψ - cena instrumentu pierwotnego dającego 1,2 lub 0,8

i

Z teorii wiemy:

ì ,

1 2ψ + 8

,

0 ψ = 1

1

2

í

→ψ 1

0,02

î e

(ψ +ψ ) = 1

1

2

0,02

P = ψ e

≈ 5 %

5

1

1

Zadanie 7

20

P = 1500 ⋅ 5

,

1 ja

+1500 v

20;

j

j

15

P 5 = 1500 ⋅ 5

,

1 ja

+1500 v

15;

j

j

3000

5

KW = 3000 1

( + i) =

5

vi

P 5 + KW = 2000 a 5;0,08

15

3000

5

3000

2250 ja

+1500 v

a

v

j

+

= 2000

→ i =

≈

15; j

5

5;0,08

3

vi

2000 a

−150 (

0 5

v )3

v

j

− 2250 −

5;0,08

( ( 5 j) ) 5,0

1

Zadanie 8

5

3

òδ

t = 1 ò 6 t + 24 t + 24 t = 1 ln t t

t

6

( 6 +6 4 +12 2 +8)

3

t + ...

3

ò1δ s = 1ln − 1

27

ln 8 = ln 5

,

1

0

3

3

1 + i = exp(ò1δ )

s

= 5

,

1 → i = 5

,

0

0

3

6

4

2

T

æ

ö

ò

ç T + T

6

+1 T

2

+ 8 ÷

δ

ln

s =

0

ç

÷

è

2

ø

3

6

t + 6 4

t + 12 2 + 8

f ( t) =

t

(

A t) − B( t) = 1

( + 5

,

0 t) −

2

(

5

,

0

....)

f (

′ t) = 5

,

0 −

( 5 3

2 t + 8 t + 8 t) 5

3

3

= 0 → 2 t + 8 t + 8 t = ..... i podnosimy do 3

6

4

2

t + 6 t + 12 t + 8

trzeciej potęgi obustronnie

3

12

10

8

10

8

6

8

6

4

6

4

2

4

2

8 t ( t

+ 4 t + 4 t + 8 t + 32 t + 32 t + 24 t + 96 t + 96 t + 32 t +128 t +128 t +16 t + 64 t + 6 ) 4 =

12

10

8

4

2

8

6

4

= t +12 t + 36 t +144 t +192 t + 64 + 24 t +160 t + 96 t Z tego wynika, że 8 3

t = 1 → t = 5

,

0

Zadanie 9

10

9

8

P( i) = 1

( + i) + 1

(

2 + i) + 1

(

4 + i)

10

X ( i) = 7 1

( + i)

Można naszkicować wykres:

Analogicznie dla banku B:

10

9

8

P( j) = 1

( + j) + 1

(

2 + j) + 1

(

4 + j)

10

X ( j) = 7 1

( + j)

Stąd:

BC

8 − P( i )

1

P (

′ i ) ≈

=

1

i − i

i − i

1

1

Z rysunku widać, że

0,9

0,8

8

æ 8 ö

æ 8 ö

− − ç ÷ − ç ÷

0 1

,

8

2

4

0 1

,

æ 8 ö

7

è 7 ø

è 7 ø

æ 8 ö

i = ç ÷

−1 → i =

+ ç ÷ −1

1

è 7

0,9

0,8

0,7

ø

æ 8 ö

æ 8 ö

æ 8 ö

è 7 ø

10ç ÷

+18ç ÷ + 32ç ÷

è 7 ø

è 7 ø

è 7 ø

Analogicznie:

0,9

0,8

10

æ10 ö

æ10 ö

10 −

− 2ç ÷ − 4ç ÷

0 1

,

7

è 7 ø

è 7 ø

æ10 ö

j =

+ ç ÷ −1

0,9

0,8

0,7

æ10 ö

æ10 ö

æ10 ö

è 7 ø

10ç

÷ +18ç ÷ + 32ç ÷

è 7 ø

è 7 ø

è 7 ø

Z tego :

ODP = 1

( + i + j)10 + 1

(

2 + i + j)9 + 1

(

4 + i + j)8 ≈ 11 3

, 5

Zadanie 10

Z parytetu opcji kupna i sprzedaży: C − P + dK = S

C - cena opcji kupna

P - cena opcji sprzedaży

1

d - dyskonto w okresie =

n

p.

r

1 + n

K - cena wykonania

S - bieżąca cena akcji

1

1

,

5 2 − ,

2 2 +

⋅ 95 = ,

6 2 − ,

4 7 +

⋅100 → r o

bliczone

r

3

1 +

1 +

r

4

4

Po podstawieniu wychodzi około 96,29