Egzamin dla Aktuariuszy z 4 października 2010 r.
Matematyka Finansowa
Zadanie 1
CENA – początkowa koszyka
CENA = ,
0 45 ⋅120 + ,
0 2 ⋅ 95 + 3
,
0 5 ⋅114 = 112 9
,
OD – odchylenie koszyka a wiemy, że 2
OD = var( ,
0 45 S
,
0 2 S
3
,
0 5 S
1 +
2 +
3 ) =
=
2
,
0 45 var S +
2
,
0 2 var S
3
,
0 5 var S
2
,
0 45
,
0 2 corr S , S
OD S
OD S
1
+
2
2
3 +
⋅
⋅
⋅
( 1 2 )⋅ ( 1)⋅ ( 2 )+
+ 2 ⋅ ,
0 45 ⋅ 3
,
0 5 ⋅ corr( S , S
OD S
OD S
2
,
0 2
3
,
0 5 corr S , S
OD S
OD S
1
3 ) ⋅
( 1)⋅ ( 3)+ ⋅ ⋅
⋅
( 2 3)⋅ ( 2 )⋅ ( 3) =
= ,
0 452 ⋅ ,
0 07 2 + ,
0 22 ,
0 052 + 3
,
0 52 ,
0 0852 + 1
,
0 8 ⋅ ,
0 25 ⋅ ,
0 07 ⋅ ,
0 05 + 3
,
0 15 ⋅ 5
,
0 ⋅ ,
0 07 ⋅ ,
0 085 +
+ 1,
0 4 ⋅ ,
0 25 ⋅ ,
0 05 ⋅ ,
0 085 ≈ ... → OD ≈ ,
5 6751%
c(i) – wartość opcji w węźle i
zaczynamy od prawej strony
c(7) ≈ 13 ,
3 233 − 112 9
, ≈ 20 3
, 33
c )
8
(
≈ 118 9
, 22 −112 9
, ≈ ,
6 022 = c 9
( ) = c 1
( )
1
c 1
( 0) = c 1
( 2) = c 1
( )
3 = c 1
( 4) = 0
c )
3
(
= max 12 ,
6 078 −
1
112 ;
9
,
( c(7) 1
p + c )
8
(
p 2)
,
1 055
c(4) =
⋅ c 9
( ) ⋅ 1
p
,
1 055
1
c )
5
(
=
⋅ c 1
( )
1 ⋅ 1
p
,
1 055
c(6) = 0
c )
1
(
= max 119 3
, 07 −112 ;
9
, ( c )
3
(
1
p + c(4) p 2) 1
,
1 055
1
c(2) = c )
5
(
⋅ 1
p ⋅
,
1 055
ODP = [ c )
1
(
1
p + c(2) p ] 1
2
,
1 055
Z braku arbitrażu:
,
1 055 −1 + i
1
( + i) 1
p + 1
( − i) p 2 = ,
1 055 → 1
p =
g
dzi
e i = OD, p 2 = 1 − 1
p → ODP ≈ 1 ,
6 76
2 i
Zadanie 2
f ( r, t = V r, t − V r, t 0 )
A (
0 )
L (
0 )
Muszą być spełnione warunki:
1. f ( r , t =
0
0 )
0
df
2.
( r , t =
0
0 )
0
dr
5
−
1
− 0
1 − 1
( + )
1 − 1
( + )
V
,
= 1000
+1000
L ( r t 0 )
r
r
r
r
V
L ( r , t
≈
0
0 )
1112 ,
3 78
dVL =100 [
−2
−6
0 − 1
( + r)
− ... − 1
(
5 + r) ]+ 100 [
−2
1
− 1
0 − 1
( + r)
− ... −10 1
( + r)
]
dr
1
5
− v
− v
6
1
10
− 5 v
−10 11
v
= −
dV
1000 v
i
+
i
→
L ( r , t ≈ −
0
0 )
4060 ,
2 67
i
i
dr
−
V r t
= X + r
+ X
+ r −
A ( ,
t
t
0 )
1 (1
) 1
2
1
(
)
2
dVA (
− t −
− t −
1
2
r, t
= − t X 1
( + r)
− t X 1
( + r)
0 )
1
1
1
1
2
2
dr
Sprawdzamy: V
A ( r , t
0
0 )
A,b,c i e daje około 11124 OK
d) odpada bo około 11 870
sprawdzamy:
A ( r , t
0
0 )
dr
a) około -73200
b) około – 43 446
c) około -67159
e) około – 68461
Z tego wynika Odpowiedź b)
Zadanie 3
−
20
0
,
1 420
1
915 5
, 3 = B
= ( K −100 )
0 ⋅ 0
,
1 4
+1000 + 0
,
0 5 ⋅1000 s − Rs g dzi
e s
=
20
20
20
20
0
,
0 4
B − B = 92 1
, 2 czyli
7
8
7
8
( K −100 )
0 ⋅ 0
,
1 4 + 1000 + 0
,
0 5 ⋅1000 s − Rs − ( K −100 ) 0 ⋅ 0
,
1 4 −1000 − 0
,
0 5 ⋅1000 s + Rs
7
7
8
8
Wszystkie symbole s są przy stopie 0,04
n
915 5
, 3 = ( K −1000) ⋅
20
,
1 04
+1000 + 50 s − Rs
20
20
92 1,2 = ( K −1000)(
7
,
1 04 −
8
,
1 04 )− 50 ⋅
7
,
1 04 + R ⋅
7
,
1 04
− 8 ,
4 47 + Rs − 50 s
Z I równania:
20
20
K −1000 =
i wstawiamy do równania II
20
0
,
1 4
8 ,
4 47 − Rs + 50 s
20
20
92 1
, 2 =
0
,
1 4 − 0
,
1 4
− 50 ⋅ 0
,
1 4 + R ⋅ 0
,
1 4
20
( 8
7 )
7
7
0
,
1 4
8 ,
4 47 + 50 s 20
92 1
, 2 −
,
1 04 − ,
1 04
+ 50 ⋅ ,104
20
( 8
7 )
7
,
1 04
R =
s
7
20
,
1 04 −
,
1 04 − ,
1 04
20 (
8
7 )
,
1 04
− 8 ,
4 47 + Rs − 50 s
R
20
20
K =
+100
0 wyli z
c amy
i
≈ 0
,
0 67
0
,
1 420
K
Zadanie 4
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1000 = 200 3
, 8
+
+
+
+
+
2
2
2
2
2
2
0
,
1 7
0
,
1 7 1 + x
0
,
1 7 1 + x 0
,
1 5
0
,
1 7 1 + x 0
,
1 5
0
,
1 7
1
( + x)
0
,
1 5
0
,
1 7
1
( + x)
0
,
1 5
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1000 = 200 3
, 8
+
+
1+
0
,
1 7
0
,
1 7 1 + x
0
,
1 7 1 + x 0
,
1 5
0
,
1 7 1 + x 0
,
1 5
OZN: 1+x=t
[ ,105 t + ,105+ ]1[ ,107⋅ ,105 t + ]1
1000 = 200 3
, 8
2
2
2
,
1 07 t ,
1 05
1 072 ,
1 052 2
t = 200 3
,
(8 ,105 t + ,205)( ,107⋅ ,105 t + )1
(1000⋅ ,1072 ,1052 −200 3,8⋅ ,1052 ,107) 2 t −(200 3,8⋅ ,105+ 200 3,8⋅ ,205⋅ ,107⋅ ,105) t −200 3,8⋅ ,205 = 0
∆ ≈ 14618
, 7
− b + ∆ bo drugi pierwiastek ujemny t =
2 a
t ≈ ,
1 04 → ODP ≈ 4%
Zadanie 5
P(k) – płatność na koniec roku k
P )
1
(
= 1⋅ 1
( + )
1
P(2) = 1⋅ 1
( + )
1 + 2 ⋅ (2 + )
1
......
k
P( k) = 1⋅ 1
( + )
1 + 2 ⋅ (2 + )
1 + .... = ∑ i i
( + )
1
i=1
L
ODP =
M
∞
∞
i
L = ∑ iP( i) i v = ∑
i
i∑
j( j + )
1 v
i=1
i=1 j=1
∞
∞
i
M = ∑ P( i) i v = ∑
i
v ∑
j( j + )
1
i=1
i=1
j=1
∑ i
i
i
(
)
1 (2
)
1
1
(
)
(
)
1 (2
)
1
3 1
(
)
j( j + )
1 = ∑ j 2 + ∑
i i +
i +
i + i
i i +
i +
+ i +
j =
+
=
i =
6
2
6
j =1
j =1
j =1
i( i + )
1 (2 i + 4)
i( i + )
1 ( i + 2)
=
=
6
3
∞
2
∞
L = ∑ i ( i + ) 1 ( i + )
2
v
i
v = 1 ∑ (
i
1
4
i +
3
3 i +
2
2 i )
v =
1 11 v 11 v
v
5 ( +
+
2 + 3 )
+
i=
3
3 i
3
1
=1
1
( − v)
1
3 v
v
+ {
(1
2
+ v + v +
+ v
4
) 2
4
1
(
)}
3 1
( − v)
1
( − v)3
∞
∞
M = ∑
i i
i
v
v
v
i
( + )
1 ( + )
2
v
= 1 ∑(
i
1
3
2
3
i +
2
3 i + 2 i)
v =
(1+ 4 v+ 2 v
1
(
v)
4
)
+
+ +
3
2
i=
3
3 i
3
1
=1
1
( − v)
1
( − v)
1
( − v)
L
3274260
ODP =
=
= 41
M
79860
Z parytetu: C-P+dK=S
→ ODP = S + P − dK = 40 + , 0 71 − 35 0
− ,05
e
≈ 7,4
Zadanie 7
Moim zdaniem (E) ale coś ze znakami jest nie tak; porównując współczynniki przy K
wychodzi (E)
R – wielkość pierwszej raty
5
R
1
,
1 R
1
,
1
R
1
5
1
,
1
R +
5
1
1
,
1
R +
5
2
1
,
1
R + 1
K =
+
+ ... +
+
...
,
1 5
2,5
6,5
6,5
+
+ +
2
9
1
( + i)
1
( + i)
1
( + i)
1
( + i)
1 + j
1
( + j)
1
( + j)
1
,
1
6
1 −
a&
&
− 9 v 9
1
1 + i
1
j
K = R
+
R ⋅ 5
1
,
1
a
+ 9; j
1
( + i ,15
)
1
,
1
1
( + i 6,5
)
9; j
j
1 −
1 + i
10
6
6
a
− 9
1
1
( + i) − 1
,
1
1
v j
j
1
5
:
9
K = R
+ R
1
,
1
a
+
6,5
6,5
9; j
6,5
1
( + i)
i − 1
,
0
1
( + i)
j
1
( + i)
j + 1
6
6
1
1
( + i) − 1
,
1
j + 1
5
K = R
+ 1
,
1
a
+ a
− 9 v
6,5
9; j
(
10
9;
j
j
)
6,5
1
( + i)
i − 1
,
0
j 1
( + i)
6
6
1
( + i) − 1
,
1
6,5
5
K ⋅ j 1
( + i)
= Rj
+ 1
,
1
a
+ ( j + )
1 a
− 9 v
9; j
(
10
9;
j
j
)
i − 1
,
0
Kj 1
( + 6,5
i)
− ( j + )
1 ( a − 10
9 v j
Kj 1
(
i)
1 v
... v
v
10 v
9; j
)
+ 6,5 − − j − − 8 j − 9 j +
9
R =
=
j
=
1
( + 6
i) −
6
1
,
1
1
(
i)
1
,
1
5
+ 6 − 6
5
9
j
+ 1,
1
a
j
+ 1
,
1
(1− vj )
i −
9;
1
,
0
j
i − 1
,
0
Kj 1
( + 6,5
i)
+
9
10 v
a
j − 1 −
=
9; j
=
1
( + 6
i)
1
,
1
6
− 6
j 1
( +
5
9
i)
1
,
1
1 v
6
+
( − j )
1
( + i) ( i −
)
1
,
0
6,5
9
Kj 1
( + i)
+10 v −1− a
j
9; j
=
1 − ( 1
,
1 vi )6
6
5
j 1
( + i)
+ 1
,
1
( 9
1 − v j )
i − 1
,
0
Zadanie 8
a-ilość obligacji P(0,1)
b-ilość obligacji P(0,2)
c-ilość obligacji P(0,3)
d-ilość obligacji P(0,4)
a,b,c,d-całkowite, mogą być ujemne a) 0,9a+0,81b+0,729c+0,6561d=0 bo wydajemy 0
Żeby nie było arbitrażu to w każdym wariancie zarobimy 0 tzn:
a + 8
,
0 8 b + 6
,
0 7 c + xd = 0
a + 9,
0 b + 8
,
0 5 c + 8
,
0 2 d = 0
a + 9,
0 3 b + 9
,
0 2 c + 8
,
0 9 d = 0
10
a)mnożymy przez
→ b) a + 9
,
0 b + 8
,
0 1 c + ,
0 729 d = 0
9
b)uwzględniamy rozpisując układ równań:
− 0
,
0 2 b − 1
,
0 4 c + ( x − 7
,
0 2 )
9 d = 0
2 b +14 c −100 d( x − 7
,
0 2 )
9 =
(
0
*)
0
,
0 4 c + 0
,
0 91 d = 0
→ 4 c = − 1,
9 d
(
**)
→
0
,
0 3 b + 1
,
0 1 c + 1
,
0 61 d = 0
3b +11c + 16,1d =
(
0
***)
2 b + 14
→ x =
c + ,0729
100 d
1
,
9
Z (**) c = −
d = − ,
2 275 d i wstawiamy do (***) 4
3 b − ,
2 275 d ⋅11 + 16 1
, d = 0 → b =
9
,
2 75 d → x = ,
0 02 ⋅ 9
,
2 75 − 1
,
0 4 ⋅ ,
2 275 + ,
0 729 = ,
0 47
Zadanie 9
1
P( )
0 = 1000 ⋅ (
1 + r(
)3
)
3
,
0
P )
1
(
=
1
E 1000
(1+ r ,1
( 2 )
2
)
1
P(2) = E1000
(1+ r( )1
,
2
)
1
P(0) = 1000
= 889
,
1 043
1
P )
1
(
= 1000 E
2
0
,
1
(
4 + x)
1
P(2) = 1000 E
,
1
( 04 + x)
1
0,04
E
= ∫ 1
1
dx = 12 5
, ln ,
1 08
,
1 04 + X
,
0 08
,
1
( 04 +
−
x)
0,04
1
,
1 08
0,04
1
1
1
1
E
dx
,
1 04
x
t
12 5
,
dt
12 5
, 1
2
= ∫
=
+ = =
2
∫
=
2
−
−
,
1
( 04 + X )
0,04
,
0 08
,
1
( 04 + x)
t
,
1 08
1
1
P )
1
(
= 1000 ⋅12 5
, 1
−
= 925 9
, 3
,
1 08
P(2) = 1000 ⋅12 5
, ln ,
1 08 = 96 ,
2 01
Zadanie 10
A - pierwotna rata osoby A 1
A - rata osoby A po pierwszej zmianie 2
A - rata osoby A po drugiej zmianie 3
B - analogiczne oznaczenie dla osoby B
i
40
1 − v 0,07
21000
300000 = A a
= A
→ A =
1
1
1
40;0,07
40
0
,
0 7
1 − v 0,07
24000
300000 = B a
→ B =
1
1
40;0,08
40
1 − v 0,08
2400 (
25
0 1 − v 0,07 )
A a
= A a
→ A =
1
2
2
25;0,07
25;0,08
( 25
1 − v
1 − v
0,08 )(
40
0,07 )
2700 (
25
0 1 − v 0,08 )
B a
= B a
→ B =
1
2
2
25;0,08
2 ;
5 0,09
( 40
1 − v
1 − v
0,08 )(
25
0,09 )
2400 (
25
0 1 − v
1 − v
0,07 )
10
1
,
0 1
A a
= A a
→ A =
2
3
3
10;0,08
10;0 1
, 1
( 25
1 − v
1 − v
0
,
0 8 1 − v
0,08 )(
40
0,07 )
0,08
10
0 1
, 1
27000(
25
1 − v
1 − v
0,08 )
10
1
,
0
B a
= B a
→ B =
2
3
3
10;0,09
10;0 1
,
( 40
1 − v
1 − v
0
,
0 9 1 − v
0,08 )(
25
0,09 )
0,09
10
0 1
,
ODP = (
5 B
A
15 B
A
5 B
A
1 −
1 ) +
( 2 − 2)+ ( 3 − 3) =
24000
21000
27000(1− 25
v
24000 1 v
0,08 )
( − 25,07)
= 5
−
+15
−
40
40
40
25
25
40
1 − v
1 v
1 v
1 v
1 v
1 v
0,08
− 0,07
( − 0,08 )( − 0,09 ) ( − 0,08 )( − 0,07 ) +
30000(1 25
− v
− v
− v
− v
0,08 )(1
10
0,09 )
33000(1
25
0,07 )(1
10
0,08 )
+ 5
−
(
≈
1
40
− v
− v
− v
− v
− v
− v
0,08 )(1
25
0,09 )(1
10
0 1
, )
(1 250,08)(1 400,07)( 1001,1) 57000
1