Egzamin dla Aktuariuszy z 31 maja 2010 r.
Matematyka Finansowa
Zadanie 1
SDS
ODP =
to jest:
FDF
duration-based hedge ratio – współczynnik zabezpieczenia oparty na czasie trwania price sensitivity hedge ratio – współczynnik zabezpieczenia wrażliwości cenowej gdzie:
,
1 08
S = 1000000 ,
0 08 a
+
25;0 1
,
25
1
,
1
,
1 06
F = 100000 ,
0 06 a
+
1 ;
5 0,09
15
,
1 09
D S
S
= 1000000 ,
0 0 (
25 ,
1 08
8 Ia 25 )
⋅
+
0 1
,
25
1
,
1
FD
F = 100000
,
0 06(
15 ,
1 06
Ia 15 )
⋅
+
0,09
15
,
1 09
1
1 − 1,
1 25
1
− 25
1
,
0
1
,
1 26
25 ⋅ ,
1 08
,
0 08
+
1
1
,
1 25
1 − 1,
1
ODP = 10 ⋅
≈ 11 5
, 5 ≈ 11 5
, 8
1
1 − ,10915
1
−15
,
0 09
,
1 0916
15 ⋅ ,
1 06
,
0 06
+
1
,
1 0915
1 − ,109
Zadanie 2
ODP
3
5
2
4
6
=
+
+
+ +
+
+
+
1
2 v
4
4
4 v
5 2 v
8
4
4
4
3
...
1
v
3
4
4
4 v
5 2 7 v 4
4
4
3
...
A
B
2
3
5
Av = 2 v + 5 v + ...
(
v
2 v − 2 v + 3 v 2 v + v
2
A 1 − v )
3
3
3
3
3
5
= 2 v + 3 v + 3 v + ... = 2 v + 3
=
=
2
2
2
1 − v
1 − v
1 − v
3
2 v + v
A = (
1 − v )2
2
4
6
Bv = 3 v + 5 v + ...
−
+
−
B(
v
3 v
3 v
2 v
3 v
v
2
1 − v )
4
2
4
4
2
4
2
4
6
2
= 3 v + 2 v + 2 v + ... = 3 v + 2
=
=
2
2
2
1 − v
1 − v
1 − v
2
4
3 v − v
B = (
1 − v )2
2
2
3
v + v + 3 2
4
v − v
1
ODP =
(
v =
→ ODP ≈
2
1
2
− v )
g
dzi
e
540
0
,
1 5
Zadanie 3
Przy scenariuszu 1: WYP = −(250 ⋅ 1
,
1 5 − 250) = −37 5
,
Przy scenariuszu 2: WYP = −(250 − 25 (
0 1 − 0
,
0 9) = −22 5
,
287 5
, ∆ + 0
,
1 56 B = −37 5
,
0
0
→ 60∆ = −15 → ∆ = − ,
0 25
227 5
, ∆ + 0
,
1 56 B = −22 5
,
0
0
0
0
Z tego:
287 5
, ⋅ ,
0 25 − 37 5
,
B =
≈ 32 5
, 5
0
,
1 056
Zadanie 4
Mamy sytuację gdy stopa kwartalna wynosi 0,08/4=0,02 czyli mamy n=40 okresów i m=3
płatności w okresie. Szukamy płatności kwartalnej: 100000 ⋅ ,
0 02
Ra
= 100000 → R =
≈ 3655 5
, 7
40;0,02
1
1 − ,10240
czyli co miesiąc spłata=R/3
wtedy amortyzacja kredytu przebiega tak: (dla t ∈ [ ; 0 nm])
t −
− 1
40
R
1
3
OD( t) =
1 −
3 ,102
t 1
−
40−
R
3
1
KAP( t) =
3 ,
1 02
1. KAP(t)>OD(t)
t 1
−
t 1
−
40−
40−
3
3
1
1
> 1−
,
1 02
,
1 02
−
40
− t
1
3
> 5
,
0
,
1 02
−1 1
40 − t
ln
> ln 5
,
0
3
,
1 02
t −
−
1
40
< ln 5
,
0
3
1
ln
,
1 02
t −1
ln 2
> 40 −
3
ln ,
1 02
ln 2
t > 3 40 −
+1 ≈ 15 9
, 9 → n = 16
ln ,
1 02
1
2. KAP(t)>2OD(t)
t 1
−
t 1
−
40−
40−
3
3
1
1
> 2 − 2
,
1 02
,
1 02
1
−
40
− t
1
3
2
>
,
1 02
3
t −1 1
2
40 −
ln
> ln
3
,
1 02
3
−1
ln 2 − ln 3
40 − t
< −
3
ln ,
1 02
t − 1
ln 3 − ln 2
> 40 −
3
ln ,
1 02
ln 3 − ln 2
t > 3 40 −
+1 ≈ 59 5
, 7 → n = 60
ln ,
1 02
2
n
60
2
ODP =
=
= 7
,
3 5
n
16
1
Zadanie 5
X
1
Gdy X ≅ N (
2
ω;δ )
2
→ Ee = ω + δ
2
Przy braku arbitrażu:
0
− ,06
0,045
0
− ,06
0
− ,015
0,015
S (0) = e
ES )
1
(
= A )
1
( e
e
= A )
1
( e
→ A )
1
(
= S(0) e
S( )
0 2
0,03
0,6 Z
−0,06
ODP = E
−
e
e
e
= S( )
0 0,03
0,06
e
e
E( 0,6
e Z ) = S( )
0 exp( 1
,
0
)
5
S( )
0
i
i
i
1
( + i
1000 =
)
1000
+
+
+
1+ s 1 (1+ s )2
1 s
1 s
2
( + )3
3
( + 4)
4
1
1 − (1+ s )4
4
i =
1
1
1
1
+
+
+
1 + s
+
+
+
1
(1 s )2 1 s
1 s
2
(
)3
3
(
)4
4
1 14 −10
s =
= ,
0 02
1
100 3 −1
1 28 −10
s =
= ,
0 036
2
100 6 −1
1 42 −10
s =
= ,
0 04
3
100 9 −1
1 56 −10
46
s =
=
4
100 12 −1
1100
1
1 −
4
46
1 +
1100
i =
≈ 1
,
4 4 ≈ 1
,
4 %
1
1
1
1
+
+
+
,
1 02
,
1 0362
,
1 043
4
46
1+
1100
Zadanie 7
WE – wartość obecna emerytury na koniec 20 roku 1
1 − ,100460
WE = 3000 a
= 3000
60;0,004
,
0 004
W1 – wartość funduszu na koniec 10 roku W 1 = ,
0 0 [
6 4000 ⋅ ,
1 006119 + (4000 +10) ,
1 006118 + ... + (4000 + 10 ⋅119]
W2 – wartość funduszu na koniec 20 roku W 2 =
x
W 1⋅ ,
1 005120 +
[ (4000 +10⋅119) ,1002⋅ ,1005119 + (4000 +10⋅119 ,1
) 0022 ,
1 005118 + ...
100
120
0
+ ... + (4000 +10 ⋅119 ,1
) 002
,
1 005
]
A = ,
1 006118 + 2 ⋅ ,
1 006117 + ... + 118 ⋅ ,
1 006 + 119
A ⋅ ,
1 006 = ,
1 006119 + 2 ⋅ ,
1 006118 + ... + 118 ⋅ ,
1 0062 + 119 ⋅ ,
1 006
−
119
( ,1006119
118
)1 ,1006
A ⋅ ,
0 006 = ,
1 006
+ ,1006 + ... + ,
1 006 −119 =
−119
,
0 006
( 0,
1 06119 − )
1 0
,
1 06
119
A =
−
0
,
0 062
0
,
0 06
,
1 06120 −1
( 0,
1 06119 − )
1 0
,
1 06
1190
W 1 =
0
,
0 6
⋅ 4000 +10
−
2
0
,
0 06
0
,
0 06
0
,
0 06
120
,
1 002
1 −
x
120
119
,
1 005
W 2 = W 1⋅ ,
1 005
+
5190 ⋅ ,
1 002 ⋅ ,
1 005
100
,
1 002
1 −
,
1 005
W2=WE
1
1 − ,100460
,
1 006120 −
−
120
1
( ,1006119 )1,1006 1190
3000
− ,
0 06 ⋅ ,
1 005
⋅ 4000 +10
−
,
0 004
,
0 006
,
0 0062
,
0 006
x =
⋅100 ≈ 7,7
120
,
1 002
1 −
,
1 005
5190 ⋅ ,
1 002 ⋅ ,
1 005119
,
1 002
1 − ,1005
Zadanie 8
i (4)
OZNACZENIE:
= i X – płatności nieparzyste 4
K - kredyt po połowie rat
1
1
1
1
1
1
1
1
K = X
+
+
+
5
,
3 X
3
5
7
+
+
+
+
2
4
6
8
1 + i
1
( + i)
1
( + i)
1
( + i)
1
( + i)
1
( + i)
1
( + i)
1
( + i)
1
1
1
1
1
1
K = 5
,
0 5 X
+
+ ... +
5
,
3 X
...
3
15
+
+
+ +
2
4
16
1 + i
1
( + i)
1
( + i)
1
( + i)
1
( + i)
1
( + i)
1
1
1
1
1 −
1 −
1
1
8
8
−
−
16
16
1
1
( + i)
1
1
( +
+
i)
i
i
5
,
3
=
1
1
( + )
1
1
( +
5
,
0 5
+
)
5
,
3
1 + i
1
1
( + 2
i)
1
1+ i
1
1
( + 2
i)
1
1 −
1 −
1
1
2
2
−
−
2
2
1
( + i)
1
( + i)
1
( + i)
1
( + i)
8
8
16
16
1
( + i) − 1
1
( + i) −1
1
( + i) −1
1
( + i) −1
+ 5
,
3
= 5
,
0 5
+ 5
,
0 5 ⋅ 5
,
3
9
10
17
18
1
( + i)
1
( + i)
1
( + i)
1
( + i)
1
( + i)17 − 1
( + i)9 +
1
(
5
,
3
+ i)16 −
1
(
5
,
3
+ i)8 = 5
,
0 5 1
( + i)17 − 5
,
0 5 1
( + i) + 5
,
0 5 ⋅
1
(
5
,
3
+ i)16 − 5
,
0 5 ⋅ 5
,
3
1
( + i)9 [ 1
( + i)8 − ]
1 +
1
(
5
,
3
+ i)8[ 1
( + i)8 − ]
1 = 5
,
0 5 1
( + i [
) 1
( + i)16 − ]
1 + 5
,
0 5 ⋅
[5,
3
1
( + i)16 − ]
1
1
( + i)9 +
1
(
5
,
3
+ i)8 = 5
,
0 5 1
( + i [
) 1
( + i)8 + ]
1 + 5
,
0 5 ⋅
[5,
3
1
( + i)8 + ]
1
1
( + i)9 +
1
(
5
,
3
+ i)8 = 5
,
0 5 1
( + i)9 + 5
,
0 5 1
( + i) + 5
,
0 5 ⋅
1
(
5
,
3
+ i)8 + 5
,
0 5 ⋅ 5
,
3
,
0 45 1
( + i)9 + 5
,
1 75 1
( + i)8 = 5
,
0 5 1
( + i) + 9
,
1 25
63 1(+ i)8[ 9,
1 25 + 5
,
0 5 1
( + i)] = 9
,
1 25 + 5
,
0 5 1
( + i)
77
77
8
77
1
( + i) =
63
0 1
, 25
77
i =
−1 ⋅100% → ODP = 4 i ≈ 10%
63
Zadanie 9
A
ODP =
, gdzie
B
∞
2
∞
A = ∑ (2 n − )
1
2 n−1
v
+ ∑
2
(2 n) (2 n −
2
)
1
n
v
n
n=
2
1
n=1
∞
∞
B = ∑ (2 n − )
1
2 n−1
v
+ ∑2 n(2 n −
2
)
1
n
v
n
n=
2
1
n=1
∞
∞
A = 1 ∑
1
2 n − 2 +
2 n
v
+ ∑( 3
8 n −
2
4 n ) 2 n
v
v
n
n=
2
1
n=1
∞
∞
B = 1 ∑
1
1 −
2 n
v
+ ∑( 2
4 n − 2 n) 2 n
v
v
n
n=
2
1
n=1
∞
2 n
2
4
R = ∑ nv
= v + 2 v + ....
1
n 1
=
2
4
6
R v = v + 2 v + ...
1
R (
v
v
2
1 − v
= v + v + ... =
→ R =
1
)
2
2
2
4
2
1
1 − v
(1− v )22
∞
R = ∑ 1 2 n
v
2
n
n=1
∞
dR
v
n
2
2 = ∑ 2 −1
2 v
=
2
dv
n=1
1 − v
∫ dR
2 v
2 = ∫
dv
1 − 2
v
a
b
a 1
( + v) + b 1
( − v)
a + b + v( a − b)
a + b = 0
a = 5
,
0
dygresja:
+
=
=
→
→
1 − v
1 + v
1 − 2
v
1 − 2
v
a − b = 1
b = − 5
,
0
∫ 2 v =
1
1
1
ln 1
(
v)
ln 1
(
v)
ln
R
2
∫
−
= −
− −
+ =
=
1 − v
1 − v 1 + v
1 − v
2
2
1
R
ln
2 =
1 − 2
v
3
2
R = ∑ n v n = 13 2
v + 23 4
v + ...
3
n 1
=
2
R v = 13 4
v + 23 6
v + ...
3
R (1
2
− v = v +
− v +
−
v +
3
) 13 2 (23 13) 4 (33 23) 6 ...
dygresja: ( n + )
1 3
3
3
− n = n + 3 2
n + 3 n + 1
3
− n = 3 2
n + 3 n + 1
R (1− 2
v
3 n
3 n 1
n
v
v
3 n
3 n 1
n
n
v
v
v
v
3 n
3
n
n v
3
) ∞
∞
∞
∞
= ∑( 2 + + ) 2 +2 = 2 ∑( 2 + + ) 2 = 2 ∑ 2 + 2 ∑( 2 + ) 2
n=0
n=0
n=0
n=1
∞
2
2
S = ∑ n v n = 12 2
v + 22 4
v + ...
3
n 1
=
2
S v = 12 4
v + 22 6
v + ...
3
S (1
2
− v = v +
− v +
3
) 12 2 (22 12) 4 ...
dygresja: ( n + )
1 2
2
2
− n = n + 2 n +1
2
− n = 2 n +1
S (1− 2
v
(2 n
)
1
n
v
v
2
n
n
nv
v
v
2
n
R
v
3
) ∞
∞
∞
∞
= ∑
2 +
+
2 = 2 ∑
2
+ ∑
2
= 2
1 + ∑
2
=
n=0
n=1
n=0
n=0
2
4
2
4
2
2 v
1
2 v
v
2 v + v 1 − v v + v
2
( 2) 4 2
= v
+
(
→ S =
+
=
=
2
1 −
)2
2
3
1 − v
v
(1− v )32 (1− v )2
2
(1− v )32
(1− v )32
R (
2
2
4
2
2
2
2
6
4
4
2
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
1 −
1
3
3
3
1
2
v
v
3
3
3
)
2
+
( − ) + + + ( − )
=
+
+
1 − 2
v
3
2
3
(1− 2
v )
(1− 2 v) =
( 2
1 v )
=
−
2
4
6
6
4
4
6
2
4
6
v − 2 v + v + 3 v + 3 v + 3 v − 3 v v + 4 v + v
=
(
=
1 − v )3
2
(1− v )32
2
4
6
v + 4 v + v
R =
3
(1− v )42
2
1
v
1
1
A =
2 R − 2
+ ln
+ 8 R − 4 S
1
2
2
3
3
v
1 − v
2
1 − v
2
1 v
1
B =
− R + 4 S − 2 R
2
2
3
1
v 1
− v
2
2
2
2
4
6
4
2
1
2 v
2 v
1
1
8 v + 32 v + 8 v 4 v + 4 v
A =
−
+
+
−
v (
ln
2
1 − v )2
2
2
1 − v
2
1 − v
(1− v )42
(1− v )32
2
4
2
2
1 v
1
1
4 v + 4 v
2 v
B =
− ln
+
−
2
2
v 1
− v
2
1 − v
(1− v )32 (1− v )2
2
2
− 2 v(1− v )3
2
+ 2
8 v +
4
32 v +
6
8 v − ( 4
4 v +
2
4 v )(1− 2
v )
1
1
A =
(
ln
1 − v )
+
=
4
2
2 v
1 − 2
v
2 v −
3
4 v +
5
2 v − 2 v +
3
6 v −
5
6 v +
7
2 v +
2
8 v +
4
32 v +
6
8 v −
2
4 v +
6
4 v
1
1
=
(
ln
1 − v )
+
=
4
2
2 v
1 − 2
v
3
2 v −
5
4 v +
7
2 v +
2
4 v +
4
32 v +
6
12 v
1
1
=
(
ln
1 − v )
+
4
2
2 v
1 − 2
v
v(1− v )2
2
+ 4
4 v +
2
4 v −
2
2 v (1− 2
v )
1
1
B =
(
ln
1 − v )
−
=
3
2
2 v
1 − 2
v
v −
3
2 v + 5
v +
4
4 v +
2
4 v −
2
2 v +
4
2 v
1
1
v −
3
2 v + 5
v +
4
6 v +
2
2 v
1
1
=
(
ln
ln
1 − v )
−
=
3
2
2 v
1 − 2
v
(1− v )
−
3
2
2 v
1 − 2
v
= A
ODP
≈ 32
B
Zadanie 10
sup( Ia )
∞
= ∫ −01, t
te
dt
te
e
k
= [
−
−
0 1
,
10
t −
0 1
,
100
t ]∞
−
100
0
=
k ≥0
0
N
N
t
∫
1 v
a dt
1 t
0
10 e 0 1,
0
10 N
10 e 0 1,
0
100
t
∫ −
=
= [ +
−
] Nt 0 =
+
−
N −
1
,
0
0
0
1 − −0 t
e 1,
0 t
te 1,
k
k
− −
k
∫(
1
,
0
Ia ) dt
dt
100 10 e 0 1,
0
1 t
0 e 0 1,
t
= ∫
= ∫[ −
− t −
− t ]=
1
,
0
0
0
0
= [
k
100 t + 1000 0
− 1
, t
e
+100 0− 1, t
te
+1000 0− 1, t
e
] =100 k +2000 0−1, k e
+100 0− 1, k
ke
− 2000
0
1
lim
= 0
→∞ 100 k + 2000 −0 1, k k
e
+100 −0 1, k
ke
− 2000
4
1
4
2 3
4
1
4
2 3
→0
→0
1 − −0 1,
e
N
−
N
N
N
0 1
,
−0 1
,
14 −
a
=
= N − 4 → 10 −10 e
= N − 4 → e
=
→
N
1
,
0
10
N
→ ∫
−
14
0 1
,
N
N
−
a dt
10 N
10 e
0
100
10 N
100
100
10 N
140 10 N
100
40
t
=
+
−
=
+
−
=
+
−
−
=
10
0
100 ⋅ 40
ODP =
= 4000
1 − 0