Egzamin dla Aktuariuszy z 31 maja 2010 r.
Matematyka Finansowa
Zadanie 1
F
S
FD
SD
ODP
=
to jest:
duration-based hedge ratio – współczynnik zabezpieczenia oparty na czasie trwania
price sensitivity hedge ratio – współczynnik zabezpieczenia wrażliwości cenowej
gdzie:
+
=
25
1
,
0
;
25
1
,
1
08
,
1
08
,
0
1000000
a
S
+
=
15
09
,
0
;
15
09
,
1
06
,
1
06
,
0
100000
a
F
( )
⋅
+
=
25
1
,
0
25
1
,
1
08
,
1
25
08
,
0
1000000
Ia
S
D
S
( )
⋅
+
=
15
09
,
0
15
09
,
1
06
,
1
15
06
,
0
100000
Ia
FD
F
58
,
11
55
,
11
09
,
1
06
,
1
15
09
,
1
1
1
09
,
1
1
15
09
,
0
09
,
1
1
1
06
,
0
1
,
1
08
,
1
25
1
,
1
1
1
1
,
1
1
25
1
,
0
1
,
1
1
1
08
,
0
10
15
16
15
25
26
25
≈
≈
⋅
+
−
−
−
⋅
+
−
−
−
⋅
=
ODP
Zadanie 2
4
4
4
3
4
4
4
2
1
4
4
4
3
4
4
4
2
1
B
A
v
v
v
v
v
v
ODP
...
7
5
3
...
8
5
2
6
4
2
5
3
+
+
+
+
+
+
+
=
(
)
2
3
2
3
3
2
3
5
3
2
5
3
2
1
2
1
3
2
2
1
3
2
...
3
3
2
1
...
5
2
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
A
v
v
Av
−
+
=
−
+
−
=
−
+
=
+
+
+
=
−
+
+
=
(
)
2
2
3
1
2
v
v
v
A
−
+
=
(
)
2
4
2
2
4
4
2
2
4
2
6
4
2
2
6
4
2
1
3
1
2
3
3
1
2
3
...
2
2
3
1
...
5
3
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
B
v
v
Bv
−
−
=
−
+
−
=
−
+
=
+
+
+
=
−
+
+
=
(
)
2
2
4
2
1
3
v
v
v
B
−
−
=
(
)
540
05
,
1
1
gdzie
1
3
2
2
2
4
2
3
≈
→
=
−
−
+
+
=
ODP
v
v
v
v
v
v
ODP
Zadanie 3
Przy scenariuszu 1:
(
)
5
,
37
250
15
,
1
250
−
=
−
⋅
−
=
WYP
Przy scenariuszu 2:
(
)
(
)
5
,
22
09
,
0
1
250
250
−
=
−
−
−
=
WYP
25
,
0
15
60
5
,
22
056
,
1
5
,
227
5
,
37
056
,
1
5
,
287
0
0
0
0
0
0
−
=
∆
→
−
=
∆
→
−
=
+
∆
−
=
+
∆
B
B
Z tego:
55
,
32
056
,
1
5
,
37
25
,
0
5
,
287
0
≈
−
⋅
=
B
Zadanie 4
Mamy sytuację gdy stopa kwartalna wynosi 0,08/4=0,02 czyli mamy n=40 okresów i m=3
płatności w okresie. Szukamy płatności kwartalnej:
57
,
3655
02
,
1
1
1
02
,
0
100000
100000
40
02
,
0
;
40
≈
−
⋅
=
→
=
R
Ra
czyli co miesiąc spłata=R/3
wtedy amortyzacja kredytu przebiega tak: (dla
[
]
nm
t
;
0
∈
)
−
=
−
−
3
1
40
02
,
1
1
1
3
)
(
t
R
t
OD
3
1
40
02
,
1
1
3
)
(
−
−
=
t
R
t
KAP
1. KAP(t)>OD(t)
3
1
40
3
1
40
02
,
1
1
1
02
,
1
1
−
−
−
−
−
>
t
t
5
,
0
02
,
1
1
3
1
40
>
−
−
t
5
,
0
ln
02
,
1
1
ln
3
1
40
>
−
−
t
<
−
−
02
,
1
1
ln
5
,
0
ln
3
1
40
t
02
,
1
ln
2
ln
40
3
1
−
>
−
t
16
99
,
15
1
02
,
1
ln
2
ln
40
3
1
=
→
≈
+
−
>
n
t
2. KAP(t)>2OD(t)
3
1
40
3
1
40
02
,
1
1
2
2
02
,
1
1
−
−
−
−
−
>
t
t
3
2
02
,
1
1
3
1
40
>
−
−
t
>
−
−
3
2
ln
02
,
1
1
ln
3
1
40
t
02
,
1
ln
3
ln
2
ln
3
1
40
−
−
<
−
−
t
02
,
1
ln
2
ln
3
ln
40
3
1
−
−
>
−
t
60
57
,
59
1
02
,
1
ln
2
ln
3
ln
40
3
2
=
→
≈
+
−
−
>
n
t
75
,
3
16
60
1
2
=
=
=
n
n
ODP
Zadanie 5
Gdy
(
)
)
2
1
exp(
;
2
2
δ
ω
δ
ω
+
=
→
≅
X
Ee
N
X
Przy braku arbitrażu:
015
,
0
015
,
0
06
,
0
045
,
0
06
,
0
)
0
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
0
(
e
S
A
e
A
e
e
A
ES
e
S
=
→
=
=
=
−
−
−
( )
)
15
,
0
exp(
)
0
(
)
0
(
)
0
(
)
0
(
6
,
0
06
,
0
03
,
0
06
,
0
6
,
0
03
,
0
2
S
e
E
e
e
S
e
e
e
S
S
E
ODP
Z
Z
=
=
=
−
−
Zadanie 6
(
) (
) (
)
+
+
+
+
+
+
+
+
=
4
4
3
3
2
2
1
1
)
1
(
1
1
1
1000
1000
s
i
s
i
s
i
s
i
(
)
(
) (
) (
)
4
4
3
3
2
2
1
4
4
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
s
s
s
s
s
i
+
+
+
+
+
+
+
+
−
=
02
,
0
1
3
10
14
100
1
1
=
−
−
=
s
036
,
0
1
6
10
28
100
1
2
=
−
−
=
s
04
,
0
1
9
10
42
100
1
3
=
−
−
=
s
1100
46
1
12
10
56
100
1
4
=
−
−
=
s
%
1
,
4
14
,
4
1100
46
1
1
04
,
1
1
036
,
1
1
02
,
1
1
1100
46
1
1
1
4
3
2
4
≈
≈
+
+
+
+
+
−
=
i
Zadanie 7
WE – wartość obecna emerytury na koniec 20 roku
004
,
0
004
,
1
1
1
3000
3000
60
004
,
0
;
60
−
=
=
a
WE
W1 – wartość funduszu na koniec 10 roku
(
)
[
]
119
10
4000
(
...
006
,
1
10
4000
006
,
1
4000
06
,
0
1
118
119
⋅
+
+
+
+
+
⋅
=
W
W2 – wartość funduszu na koniec 20 roku
[
(
)
...
005
,
1
002
,
1
)
119
10
4000
(
005
,
1
002
,
1
119
10
4000
100
005
,
1
1
2
118
2
119
120
+
⋅
+
+
⋅
⋅
+
+
⋅
=
x
W
W
]
0
120
005
,
1
002
,
1
)
119
10
4000
(
...
⋅
+
+
+
(
)
119
006
,
0
006
,
1
1
006
,
1
119
006
,
1
...
006
,
1
006
,
1
006
,
0
006
,
1
119
006
,
1
118
...
006
,
1
2
006
,
1
006
,
1
119
006
,
1
118
...
006
,
1
2
006
,
1
119
118
119
2
118
119
117
118
−
−
=
−
+
+
+
=
⋅
⋅
+
⋅
+
+
⋅
+
=
⋅
+
⋅
+
+
⋅
+
=
A
A
A
(
)
006
,
0
119
006
,
0
006
,
1
1
006
,
1
2
119
−
−
=
A
(
)
−
−
+
⋅
−
=
006
,
0
1190
006
,
0
006
,
1
1
006
,
1
10
4000
006
,
0
1
006
,
1
06
,
0
1
2
119
120
W
−
−
⋅
⋅
+
⋅
=
005
,
1
002
,
1
1
005
,
1
002
,
1
1
005
,
1
002
,
1
5190
100
005
,
1
1
2
120
119
120
x
W
W
W2=WE
(
)
7
,
7
100
005
,
1
002
,
1
1
005
,
1
002
,
1
1
005
,
1
002
,
1
5190
006
,
0
1190
006
,
0
006
,
1
1
006
,
1
10
4000
006
,
0
1
006
,
1
005
,
1
06
,
0
004
,
0
004
,
1
1
1
3000
120
119
2
119
120
120
60
≈
⋅
−
−
⋅
⋅
−
−
+
⋅
−
⋅
−
−
=
x
Zadanie 8
OZNACZENIE:
i
i
=
4
)
4
(
X – płatności nieparzyste
K - kredyt po połowie rat
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
8
6
4
2
7
5
3
)
1
(
1
)
1
(
1
)
1
(
1
)
1
(
1
5
,
3
)
1
(
1
)
1
(
1
)
1
(
1
1
1
i
i
i
i
X
i
i
i
i
X
K
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
16
4
2
15
3
)
1
(
1
...
)
1
(
1
)
1
(
1
5
,
3
)
1
(
1
...
)
1
(
1
1
1
55
,
0
i
i
i
X
i
i
i
X
K
+
−
+
−
+
+
+
−
+
−
+
=
+
−
+
−
+
+
+
−
+
−
+
2
16
2
2
16
2
8
2
2
8
)
1
(
1
1
)
1
(
1
1
)
1
(
1
5
,
3
)
1
(
1
1
)
1
(
1
1
1
1
55
,
0
)
1
(
1
1
)
1
(
1
1
)
1
(
1
5
,
3
)
1
(
1
1
)
1
(
1
1
1
1
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
18
16
17
16
10
8
9
8
)
1
(
1
)
1
(
5
,
3
55
,
0
)
1
(
1
)
1
(
55
,
0
)
1
(
1
)
1
(
5
,
3
)
1
(
1
)
1
(
i
i
i
i
i
i
i
i
+
−
+
⋅
+
+
−
+
=
+
−
+
+
+
−
+
5
,
3
55
,
0
)
1
(
5
,
3
55
,
0
)
1
(
55
,
0
)
1
(
55
,
0
)
1
(
5
,
3
)
1
(
5
,
3
)
1
(
)
1
(
16
17
8
16
9
17
⋅
−
+
⋅
+
+
−
+
=
+
−
+
+
+
−
+
i
i
i
i
i
i
i
[
]
[
]
[
]
[
]
1
)
1
(
5
,
3
55
,
0
1
)
1
(
)
1
(
55
,
0
1
)
1
(
)
1
(
5
,
3
1
)
1
(
)
1
(
16
16
8
8
8
9
−
+
⋅
+
−
+
+
=
−
+
+
+
−
+
+
i
i
i
i
i
i
i
[
]
[
]
1
)
1
(
5
,
3
55
,
0
1
)
1
(
)
1
(
55
,
0
)
1
(
5
,
3
)
1
(
8
8
8
9
+
+
⋅
+
+
+
+
=
+
+
+
i
i
i
i
i
5
,
3
55
,
0
)
1
(
5
,
3
55
,
0
)
1
(
55
,
0
)
1
(
55
,
0
)
1
(
5
,
3
)
1
(
8
9
8
9
⋅
+
+
⋅
+
+
+
+
=
+
+
+
i
i
i
i
i
925
,
1
)
1
(
55
,
0
)
1
(
575
,
1
)
1
(
45
,
0
8
9
+
+
=
+
+
+
i
i
i
[
]
)
1
(
55
,
0
925
,
1
)
1
(
55
,
0
925
,
1
)
1
(
77
63
8
i
i
i
+
+
=
+
+
+
1
)
1
(
77
63
8
=
+
i
63
77
)
1
(
8
=
+
i
%
10
4
%
100
1
63
77
125
,
0
≈
=
→
⋅
−
=
i
ODP
i
Zadanie 9
gdzie
B
A
ODP
,
=
∑
∑
∞
=
∞
=
−
−
+
−
=
1
1
2
2
1
2
2
)
1
2
(
)
2
(
2
)
1
2
(
n
n
n
n
v
n
n
v
n
n
A
∑
∑
∞
=
∞
=
−
−
+
−
=
1
1
2
1
2
)
1
2
(
2
2
)
1
2
(
n
n
n
n
v
n
n
v
n
n
B
(
)
∑
∑
∞
=
∞
=
−
+
+
−
=
1
1
2
2
3
2
4
8
2
1
2
2
1
n
n
n
n
v
n
n
v
n
n
v
A
(
)
∑
∑
∞
=
∞
=
−
+
−
=
1
1
2
2
2
2
4
2
1
1
1
n
n
n
n
v
n
n
v
n
v
B
(
)
(
)
2
2
2
1
2
2
4
2
2
1
6
4
2
1
1
4
2
2
1
1
1
...
1
...
2
....
2
v
v
R
v
v
v
v
v
R
v
v
v
R
v
v
nv
R
n
n
−
=
→
−
=
+
+
=
−
+
+
=
+
+
=
=
∑
∞
=
∑
∞
=
=
1
2
2
1
n
n
v
n
R
∑
∞
=
−
−
=
=
1
2
1
2
2
1
2
2
n
n
v
v
v
dv
dR
∫
∫
−
=
2
2
1
2
v
v
dv
dR
dygresja:
−
=
=
→
=
−
=
+
→
−
−
+
+
=
−
−
+
+
=
+
+
−
5
,
0
5
,
0
1
0
1
)
(
1
)
1
(
)
1
(
1
1
2
2
b
a
b
a
b
a
v
b
a
v
b
a
v
v
b
v
a
v
b
v
a
∫
∫
=
−
=
+
−
−
−
=
+
−
−
=
−
2
2
2
1
1
ln
)
1
ln(
)
1
ln(
1
1
1
1
1
2
R
v
v
v
v
v
v
v
−
=
2
2
1
1
ln
v
R
(
)
(
) (
)
...
2
3
1
2
1
1
...
2
1
...
2
1
6
3
3
4
3
3
2
3
2
3
6
3
4
3
2
3
1
4
3
2
3
2
3
3
+
−
+
−
+
=
−
+
+
=
+
+
=
=
∑
∞
=
v
v
v
v
R
v
v
v
R
v
v
v
n
R
n
n
dygresja:
1
3
3
1
3
3
)
1
(
2
3
2
3
3
3
+
+
=
−
+
+
+
=
−
+
n
n
n
n
n
n
n
n
(
)
(
)
(
)
(
)
∑
∑
∑
∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
+
+
+
=
+
+
=
+
+
=
−
0
0
0
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
1
3
3
1
3
3
1
n
n
n
n
n
n
n
n
v
n
n
v
v
v
v
n
n
v
v
n
n
v
R
(
)
(
)
...
1
2
1
1
...
2
1
...
2
1
4
2
2
2
2
2
3
6
2
4
2
2
3
1
4
2
2
2
2
2
3
+
−
+
=
−
+
+
=
+
+
=
=
∑
∞
=
v
v
v
S
v
v
v
S
v
v
v
n
S
n
n
dygresja:
1
2
1
2
)
1
(
2
2
2
2
+
=
−
+
+
=
−
+
n
n
n
n
n
n
(
)
∑
∑
∑
∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
+
=
+
=
+
=
+
=
−
0
0
2
1
2
1
0
2
2
2
2
2
2
3
2
2
)
1
2
(
1
n
n
n
n
n
n
n
n
v
R
v
v
nv
v
v
n
v
S
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
(
)
3
2
2
4
3
2
2
2
4
2
2
2
3
2
4
3
2
2
2
2
2
1
1
1
2
1
1
2
1
1
1
2
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
S
v
v
v
v
−
+
=
−
−
+
=
−
+
−
=
→
−
+
−
=
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
(
)
=
−
−
+
+
+
−
=
−
+
−
+
+
−
=
−
3
2
2
4
4
6
2
2
2
2
2
2
3
2
2
4
2
2
2
2
3
1
1
3
3
3
1
1
3
1
3
1
1
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
R
(
)
(
)
3
2
6
4
2
3
2
6
4
4
6
6
4
2
1
4
1
3
3
3
3
2
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
−
+
+
=
−
−
+
+
+
+
−
=
(
)
4
2
6
4
2
3
1
4
v
v
v
v
R
−
+
+
=
3
3
2
2
2
1
4
8
1
1
ln
2
1
1
2
2
1
S
R
v
v
v
R
v
A
−
+
−
+
−
−
=
1
3
2
2
2
2
4
2
1
1
1
R
S
R
v
v
v
B
−
+
−
−
=
(
)
(
)
(
)
3
2
2
4
4
2
6
4
2
2
2
2
2
2
2
1
4
4
1
8
32
8
1
1
ln
2
1
1
2
1
2
1
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
A
−
+
−
−
+
+
+
−
+
−
−
−
=
(
) (
)
2
2
2
3
2
2
4
2
2
2
1
2
1
4
4
1
1
ln
2
1
1
1
v
v
v
v
v
v
v
v
v
B
−
−
−
+
+
−
−
−
=
(
)
(
)
(
)(
)
(
)
=
−
+
−
−
+
−
+
+
+
−
−
−
=
2
4
2
2
2
4
6
4
2
3
2
2
2
1
1
ln
2
1
1
1
4
4
8
32
8
1
2
1
2
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
A
(
)
=
−
+
−
+
−
+
+
+
+
−
+
−
+
−
=
2
4
2
6
2
6
4
2
7
5
3
5
3
1
1
ln
2
1
1
4
4
8
32
8
2
6
6
2
2
4
2
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
(
)
−
+
−
+
+
+
+
−
=
2
4
2
6
4
2
7
5
3
1
1
ln
2
1
1
12
32
4
2
4
2
v
v
v
v
v
v
v
v
v
(
)
(
)
(
)
=
−
−
−
−
−
+
+
−
=
2
3
2
2
2
2
4
2
2
1
1
ln
2
1
1
1
2
4
4
1
v
v
v
v
v
v
v
v
v
B
(
)
(
)
−
−
−
+
+
+
−
=
−
−
−
+
−
+
+
+
−
=
2
3
2
2
4
5
3
2
3
2
4
2
2
4
5
3
1
1
ln
2
1
1
2
6
2
1
1
ln
2
1
1
2
2
4
4
2
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
32
≈
=
B
A
ODP
Zadanie 10
( )
[
]
∫
∞
∞
−
−
−
≥
=
−
−
=
=
0
0
1
,
0
1
,
0
1
,
0
0
100
100
10
sup
t
t
t
k
k
e
te
dt
te
a
I
[
]
∫
∫
−
+
=
+
=
−
=
−
−
N
N
N
N
t
t
t
e
N
e
t
v
dt
a
0
0
1
,
0
0
1
,
0
100
100
10
100
10
1
,
0
1
( )
[
]
∫
∫
∫
=
−
−
=
−
−
=
−
−
−
−
k
k
k
t
t
t
t
t
te
e
dt
te
e
dt
a
I
0
0
0
1
,
0
1
,
0
1
,
0
1
,
0
10
100
100
1
,
0
1
,
0
1
[
]
2000
100
2000
100
1000
100
1000
100
1
,
0
1
,
0
0
1
,
0
1
,
0
1
,
0
−
+
+
=
+
+
+
=
−
−
−
−
−
k
k
k
t
t
t
ke
e
k
e
te
e
t
0
2000
100
2000
100
1
lim
0
1
,
0
0
1
,
0
=
−
+
+
→
−
→
−
∞
→
4
3
42
1
4
3
42
1
k
k
k
ke
e
k
→
−
=
→
−
=
−
→
−
=
−
=
−
−
−
10
14
4
10
10
4
1
,
0
1
1
,
0
1
,
0
1
,
0
N
e
N
e
N
e
a
N
N
N
N
∫
=
−
−
+
=
−
−
+
=
−
+
=
→
−
N
N
t
N
N
N
N
e
N
dt
a
0
1
,
0
40
100
10
140
10
100
10
14
100
10
100
100
10
4000
0
1
40
100
=
−
⋅
=
ODP
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
2010.05.31 matematyka finansowa
2003 05 17 matematyka finansowaid 21697
2010.12.13 matematyka finansowa
2005 05 16 matematyka finansowaid 25340
2010 03 15 matematyka finansowaid 26987
2010.05.31 prawdopodobie stwo i statystyka
2005.05.16 matematyka finansowa
2010.10.04 matematyka finansowa
2007 05 14 matematyka finansowaid 25650
2010 10 04 matematyka finansowaid 27009
2010 05 31 prawdopodobie stwo i statystyka
2010 12 13 matematyka finansowa
więcej podobnych podstron