Egzamin dla Aktuariuszy z 16 maja 2005 r.
Matematyka Finansowa
Zadanie 1
)
4
(
~
1
λ
kursUSD
k
−
÷
ø
ö
ç
è
æ
−
100
1
P
-
ś
rodki własne zaanga
Ŝ
owane
zwrot:
5
,
0
)
var(
400
05
,
0
)
1
(
1
=
⋅
−
+
R
k
P
R
stopa zwrotu B:
1
100
1
400
05
,
1
1
1
−
−
−
+
P
k
P
R
}
42
0
15000
400
1025
,
1
16
400
05
,
1
5
,
0
100
1
1
4
5
,
0
2
var wukl.
2
2
2
2
≈
→
=
+
−
→
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
⋅
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
−
=
⋅
p
p
p
P
P
lub p>100 co niemo
Ŝ
liwe
Zadanie 2
1
2
)
1
(
1
3
3
)
1
(
2
2
2
3
3
−
=
−
−
+
−
=
−
−
n
n
n
n
n
n
n
...
1
...)
3
2
1
(
3
...)
3
2
1
(
3
...
...)
3
2
(
3
2
...)
3
2
1
(
3
...
)
1
3
3
3
3
(
)
1
2
3
2
3
(
1
)
1
(
...
2
1
...
3
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
3
3
2
3
3
3
+
+
+
+
+
+
+
−
+
+
+
=
=
+
+
+
+
+
−
−
+
+
+
=
=
+
+
⋅
−
⋅
+
+
⋅
−
⋅
+
=
−
+
+
=
+
+
+
=
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
I
v
v
Iv
v
v
I
A
4
4
4
3
4
4
4
2
1
...
1
...)
3
2
1
(
2
...
)
1
3
2
(
)
1
2
2
(
1
)
1
(
...
2
1
2
2
2
2
2
2
2
−
−
−
−
+
+
+
=
+
−
⋅
+
−
⋅
+
=
−
+
+
=
v
v
v
v
v
v
v
A
v
v
Av
B
4
4
4
3
4
4
4
2
1
2
2
2
)
1
(
1
...
1
)
1
(
...
2
v
B
v
v
v
B
v
v
Bv
−
=
→
+
+
+
=
−
+
+
=
79981
1
1
1
)
1
(
3
)
1
(
)
1
(
3
)
1
(
1
1
1
1
)
1
(
2
2
3
3
2
≈
−
−
+
−
−
−
+
=
→
−
+
=
−
−
−
−
=
v
v
v
v
v
I
v
v
v
v
v
A
Zadanie 3
Bierze kredyt, wpłaca na depozyt: arbitra
Ŝ
gdy depozyt po roku wi
ę
kszy od kredytu po roku
Zało
Ŝ
enie: inwest.1 w PLN
Jest 6 mo
Ŝ
liwo
ś
ci (oczywi
ś
cie bierzemy tylko pod uwag
ę
w ró
Ŝ
nych walutach)
1
2
3
4
5
6
Kredyt:
PLN PLN EUR EUR USD USD
Dep:
EUR USD PLN USD PLN EUR
1. kredyt 1,1-PLN
dep: 0,2*1,03-EUR A)1,0918 E) 1,03
2. KREDYT: 1,1-PLN
DEP: 0,25*1,02-USD B(1,09395)
3. KREDYT: 0,2*1,06-EUR A) 1,1236 E) 1,06
DEP: 1,05-PLN
4. KREDYT: 0,2*1,06-EUR
DEP: 0,25*1,02-USD C)0,202725 D) 0,21428 EUR z tego wynika D) przy kursie
5. KREDYT: 0,25*1,04-USD
DEP: 1,05-PLN
6. KREDYT: 0,25*1,04-USD
DEP: 0,2*1,03-EUR
Zadanie 4
)
1
,
0
(
~
)
5
,
0
;
2
,
0
(
~
0
WYK
R
J
R
A
−
[
]
ú
û
ù
ê
ë
é
≥
+
=
≥
+
+
+
5
,
47
5
100
)
1
(
4
,
47
)
1
(
5
,
47
0
0
R
R
P
R
R
P
A
A
Znajdujemy rozkład
ò
∞
∞
−
−
=
+
dy
y
g
y
u
g
u
g
R
R
A
)
(
)
(
)
(
:
2
1
0
)
;
2
,
0
(
∞
−
∈
x
dy
e
y
x
x
g
y
y
)
(
)
;
0
(
10
]
5
,
0
;
2
,
0
(
10
)
(
7
,
0
1
)
(
∞
−
∞
∞
−
−
⋅
−
=
ò
χ
χ
[
]
ò
+
+
−
−
−
=
=
∈
0,2
x
0
)
2
,
0
(
10
10
1
7
10
10
0,7
1
g(x)
(-0,2;0,5)
x
x
y
e
dy
e
dla
[
]
ò
+
−
+
−
−
−
−
−
=
=
≥
2
,
0
5
,
0
)
2
,
0
(
10
)
5
,
0
(
10
10
7
10
10
7
,
0
1
)
(
0,5
x
x
x
x
x
y
e
e
dy
e
x
g
dla
[
]
ò
−
+
−
+
−
≈
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
−
+
+
−
=
−
−
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
−
=
5
,
47
5
2
,
0
)
2
,
0
5
,
47
5
(
10
)
2
,
0
(
10
%
70
1
,
0
2
,
0
1
,
0
5
,
47
5
7
10
1
1
7
10
1
5
,
47
5
1
e
dx
e
F
ODP
x
Zadanie 5
A - depozyt
B - WWW
C - ZZZ
A+B+C=1000000
Jak oba indeksy malej
ą
lub tylko w to LOK=1000000
12
,
1
1000000
1000000
12
,
1
:
=
→
≥
⋅
A
A
WYP
bo wy
Ŝ
ej zale
Ŝ
y bardziej od indeksów
)
12
,
1
1
1
(
1000000
−
=
+
C
B
1. oba indeksy rosn
ą
i w bardziej od z
÷
ø
ö
ç
è
æ
−
⋅
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
−
≤
÷
ø
ö
ç
è
æ
−
−
−
⋅
2400
2400
)
(
2000
2400
2000
2000
)
(
2000
250
24000
24000
)
(
2000
2000
)
(
;
0
max
1000000
z
ind
C
w
ind
B
z
ind
w
ind
k
Z tego wynika: max gdy %w=%z
2. indeks w ro
ś
nie, z maleje
(
)
2000
)
(
250
2000
2000
)
(
1000000
−
≤
−
w
ind
B
w
ind
k
1.
0
12
8
2000
2000
)
(
2000
24000
2000
2000
)
(
250
2000
0
≥
+
→
−
⋅
+
−
⋅
≤
C
B
w
ind
C
w
ind
B
2.
k
B
500
250
≥
)
12
,
1
1
1
(
1000000
−
=
+
C
B
znale
źć
przeci
ę
cie:
)
12
,
1
1
1
(
1000000
12
8
−
=
+
−
=
C
B
B
C
I wstawi
ć
do nierówno
ś
ci 2, z tego wychodzi k=2,56
Zadanie 6
Tu jest chyba bł
ą
d:
Tylko (iii) prawdziwe bo:
ò
ò
ò
∞
∞
−
−
−
−
−
−
+
−
=
−
=
t
t
t
s
t
s
t
s
ds
e
s
k
ds
e
s
k
t
S
ds
e
s
k
t
S
t
NPV
0
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
δ
δ
δ
(i)
NIE
ò
∞
−
=
+
−
′
=
′
0
0
)
(
)
(
)
(
)
(
t
k
ds
e
s
k
e
t
S
t
V
NP
s
t
δ
δ
δ
(iii)
TAK:
ò
∞
−
−
−
−
=
−
=
t
t
s
s
t
ds
e
e
e
t
NPV
0
60
200
)
(
)
(
2
,
0
1
,
0
1
,
0
Analogicznie (ii) NIE
Zadanie 7
I po rozpisaniu: 3,3,3,6,6,6,9,9,9,.....
)
1
)(
1
(
3
1
1
)
1
(
3
)
1
(
...
9
6
3
(
3
3
2
3
2
7
4
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
I
A
−
−
=
−
−
−
=
+
+
+
+
+
=
4
4
4
3
4
4
4
2
1
3
4
3
10
7
4
3
1
3
...
3
3
)
1
(
...
9
6
3
v
v
v
v
v
A
v
v
v
Av
−
=
+
+
=
−
+
+
+
=
II.
6
100
...
3
1
2
1
1
1
100
...
1
,
1
2
1
,
1
1
,
1
1
1
,
1
100
2
2
2
2
2
2
2
2
Π
=
úû
ù
êë
é
+
+
+
=
ú
û
ù
ê
ë
é
+
+
285
≈
+
II
I
Zadanie 8
(i)
TAK:
)
;
0
max(
)
;
0
max(
2
)
;
0
max(
3
2
1
K
x
K
x
K
x
−
+
−
−
−
(ii)
NIE
)
;
0
max(
)
;
0
max(
2
)
;
0
max(
3
2
1
x
K
x
K
x
K
−
+
−
−
−
(iii)
NIE
)
;
0
max(
)
;
0
max(
2
)
;
0
max(
3
2
1
x
K
K
x
x
K
−
+
−
−
−
(iv)
NIE
)
;
0
max(
)
;
0
max(
2
)
;
0
max(
3
2
1
K
x
x
K
K
x
−
+
−
−
−
i sprawdzamy w przedziałach
Zadanie 9
1
)
(
)
1
(
:
)
)
(
exp(
)
(
2
2
0
2
2
−
+
=
ò
n
a
n
a
ODP
ds
s
t
a
t
δ
ò
ò
−
−
+
=
→
+
=
=
t
t
t
t
t
s
t
ds
s
t
a
0
0
1
1
1
1
1
)
1
ln(
)
(
)
1
(
)
)
(
exp(
)
(
δ
δ
)
1
(
1
)
1
ln(
1
)
1
ln(
1
)
(
2
1
+
−
+
=
úû
ù
êë
é
+
−
=
t
t
t
t
t
t
dt
d
t
δ
d
ąŜ
y do zera na mocy Hospitala
Z tego wynika:
0
=
α
t
t
t
t
+
+
=
2
2
1
2
)
(
δ
ò
+
=
t
s
s
s
0
2
2
)
ln(
)
(
δ
n
n
n
n
s
s
s
n
a
n
a
n
n
n
n
2
2
ln
exp
)
(
exp
))
(
)
(
exp(
)
(
)
1
(
1
2
1
0
0
2
2
2
2
+
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
−
=
+
ò
ò
ò
+
+
δ
δ
δ
n
n
n
n
n
ODP
2
2
=
−
+
=
Zadanie 10
Stopa jest mniejsza od 0,05 bo dla 0,05 byłoby 1000
1100
1000
)
1
(
50
)
(
100
100
−
+
−
=
v
i
v
i
f
1100
1000
50
100
bo
4900
−
+
⋅
=
=
iX
i
ODP
Numerycznie sprawdzaj
ą
c mo
Ŝ
na zaw
ę
zi
ć
do 110100