Egzamin dla Aktuariuszy z 10 października 2005 r.
Matematyka Finansowa
Zadanie 1
v
v
v
v
v
v
v
v
v
Ia
v
k
Ia
v
k
durIa
k
k
n
n
k
k
n
−
+
=
−
−
−
−
−
=
→
=
∞
∞
=
=
å
å
1
1
)
1
(
1
1
)
1
(
2
2
2
1
2
1
2
v
v
v
v
a
Ia
v
v
v
I
v
v
Iv
v
v
I
−
−
−
=
−
=
+
−
⋅
+
=
−
+
+
=
+
+
=
∞
∞
1
)
1
(
2
2
...
)
1
2
2
(
1
)
1
(
...
2
1
...
2
1
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n
n
Ia
a
n
Da
a
n
Da
Ia
−
+
=
→
+
=
+
)
1
(
)
1
(
n
n
n
k
k
n
Ia
a
n
v
k
Ia
n
durD
−
+
−
+
=
å
=
)
1
(
)
1
(
1
2
dzielimy licznik i mianownik przez (1+n) i mamy
1
1
1
)
1
(
....
.....
2
v
v
v
v
v
a
Ia
n
a
n
Ia
n
n
−
=
−
−
=
→
−
−
∞
∞
9
,
1
1
1
1
:
1
1
:
≈
+
=
−
−
+
v
v
v
v
ODP
Zadanie 2
å
å
=
=
+
−
=
−
=
−
=
k
j
j
k
j
j
n
n
Y
v
P
b
X
v
P
a
Pa
L
1
1
1
)
1
(
)
)
1
(
)
)
1
(
1
+
−
−
j
n
v
P
(i)
TAK
k
n
i
v
a
a
v
v
v
Y
X
k
n
k
k
k
n
k
j
k
j
j
j
n
=
=
⇔
=
⇔
=
⇔
=
⇔
=
−
−
=
=
+
−
å
å
lub
0
1
1
1
1
Zadanie 5
12
,
0
;
30
2
1
,
0
;
40
1
1
,
0
;
50
1
100000
a
R
a
R
a
R
=
=
å
å
=
+
−
=
+
−
−
=
−
=
30
)
(
2
1
30
12
,
0
2
40
)
(
12
1
50
1
,
0
1
)
1
(
)
1
(
parz
k
k
parz
k
k
v
R
II
v
R
I
ODP=II-I
1
,
0
2
30
11
1
11
37
39
1
1
1
15
1
,
1
1
...
1
,
1
1
1
,
1
1
15
ú
û
ù
ê
ë
é
−
−
−
=
ú
û
ù
ê
ë
é
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+
+
+
−
=
v
v
v
R
R
I
12
,
0
2
30
2
1
27
29
2
1
1
15
12
,
1
1
...
12
,
1
1
12
,
1
1
15
ú
û
ù
ê
ë
é
−
−
−
=
ú
û
ù
ê
ë
é
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+
+
+
−
=
v
v
v
R
R
II
Zadanie 6
bankructw
liczba
-
!
2
)
(
2
02
,
0
100
2
l
e
k
k
l
P
np
k
−
=
=
=
=
⋅
→
=
λ
λ
72
,
108
1
,
1
)
(
45
4
15
4
3
2
3
4
2
2
1
50
45
4
15
4
90
3
2
3
4
100
)
2
2
(
130
)
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
≈
=
→
÷
ø
ö
ç
è
æ
−
−
−
−
−
−
−
+
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
+
+
+
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
WYP
E
CENA
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
WYP
E
po jednym bankructwie
130 gdy 0,1 w 99 próbach
100 2,3
90
4,5
1
98
,
1
02
,
0
99
λ
=
=
⋅
50
>5
(
)
100
1
,
1
)
(
2
2
.....
98
,
1
130
)
(
2
98
,
1
98
,
1
≈
=
=→
+
+
=
−
−
WYP
E
CENA
itd
e
e
WYP
E
%
75
,
7
100
2
1
≈
úû
ù
êë
é
−
=
CENA
CENA
ODP
Zadanie 7
Cena wykonania
50
60
70
Cena call
7,8(a)
3,9(c)
1,8(e)
Cena put
4,1(b)
9,4(d)
16,5(f)
1. b(50-x)+d(60-x)+f(70-x)=20
2. a(x-50)+d(60-x)+f(70-x)=120-2x
3. a(x-50)+c(x-60)+f(70-x)=4x-240
4. a(x-50)+c(x-60)+e(x-70)=6x-380
Z tego 8 równa
ń
porównujemy przy x i wyrazy wolne i otrzymujemy:
a- dowolne
b=-a-2
c=4-2a
d=2+2a
e=a+2
f=-a
CENA=7,8a+4,1(-a-2)+3,9(4-2a)+9,4(2+2a)+1,8(a+2)-16,5a=29,8
Zadanie 8
)
6
,
1
;
6
,
0
(
~
)
30
;
10
(
)
30
;
10
(
~
X
X
J
C
X
J
X
∈
ò
+
−
=
−
=
−
=
X
X
X
X
C
X
X
C
dC
X
C
OPzarok
E
6
,
1
20
6
,
1
20
2
200
32
28
,
1
20
2
20
)
(
1
,
1
200
32
28
,
1
X
X
CENA
+
−
=
Pomoc: 20>0,6X bo inaczej X>33,33.. a to niemo
Ŝ
liwe
Je
ś
li 20>1,6X to całka ujemna i tu by nie wyszło, to obejmuj
ą
wyliczenia
10
x
bo
28
,
1
2
96
,
300
4
,
36
0
200
4
,
36
28
,
1
0
4
2
1
2
<
⋅
+
=
→
>
+
−
→
>
−
x
x
x
x
CENA
ò
=
ú
û
ù
ê
ë
é
−
+
−
=
30
1
4
1
,
1
200
1
,
1
32
1
,
1
28
,
1
20
1
)
(
x
A
X
X
WYP
E
55
,
1
1
,
1
≈
=
A
ODP
Zadanie 10
X - udział po
Ŝ
yczki
0,1X=(1-X)a
a- udział akcji
f - udział funduszu ale tak,
Ŝ
e a+f=1
8
,
0
6
,
1
5
,
0
)
,
cov(
=
⋅
=
f
A
r
r
r
r
X
f
r
X
a
r
X
f
A
p
+
=
+
−
+
+
−
+
+
1
)
1
)(
1
(
)
1
)(
1
(
)
1
(
Z tego wyliczamy r i liczymy wariancj
ę
któr
ą
minimalizujemy:
Minimalizujemy:
8
,
0
)
1
,
1
1
(
1
,
0
2
)
1
,
1
1
(
56
,
2
1
,
0
2
2
2
x
x
x
x
−
⋅
+
−
+
21000
)
1
(
500000
3
07
,
0
;
5
min
≈
−
=
=
⋅
v
R
ODP
Ra
x
