Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r.
Matematyka Finansowa
Zadanie 1
X martyngałem gdy E( X
X τ
n+ −
n
n
=
1
) 0
n
i
(
) E( S
τ
σ
,...,
1
(
)
(
)
NIE bo
n+1 − S n
n ) = E ( X n+1
( X
X
1
n ) = EX n+1 = Ap − B
− p = A + B p − B →
zależy od parametrów
i
( i) NIE - to wynika z (i) 1
1
1
i
( ii) E( S
τ
+
1 − S
= ( + ) − =
−
→
n
n
n )
A
B
B
A
B
NIE
2
2
2
i
( v) E( Z
τ
σ
+
1 − Z
=
+
,...,
1
1
= ( + ) − = 2 −1 →
n
n
n )
E( X n
( X
X n )
A
B p
B
p
NIE
( v) E( Z
τ
+
1 − Z
= ( + )
− = 0 →
n
n
n )
B
A
B
B
TAK
A + B
Czyli 1 stwierdzenie jest prawdziwe
Zadanie 2
∞
f ( a) = ∑ [ k(− ) 1 k + a] k
v = (−1 + a) v + (2 +
2
a) v + (−3 +
3
a) v + (4 +
4
a) v + ... =
k =1
= a( v + v 2 + .. ).− ( v + v 3 3 + v
5 5 + .. ).+ (2 v 2 + 4 v 4 + .. ).
1
4
4
4
2
4
4
4
3
1 4
4 2
4
4 3
A
B
3
5
A = v + 3 v + 5 v + ...
2
3
5
7
Av = v + 3 v + 5 v + ...
(
2 v
v − v + 2 v
v + v
v + v
2
A 1 − v )
3
3
3
3
3
3
5
= v + 2 v + 2 v + ... = v +
=
=
→ A =
2
2
2
1 − v
1 − v
1 − v
(1− v )2
2
2
4
B = 2 v + 4 v + ...
2
4
6
Bv = 2 v + 4 v + ...
B(
2 v
2 v
2
1 − v )
2
2
2
4
= 2 v + 2 v + ... =
→ B =
2
1 − v
(1− v )2
2
av
v + 2
2
→
v
v
f ( a) =
−
2
0
1 − v
(
2
2
1
2
v ) +
−
(1− 2 v) = →
3
v + v − 2 2
v 1 − v
1
→ a = (
v =
→ a ≈
2
1
2
− v )
g
dzi
e
0
,
0 1
v
0
,
1 4
UWAGA: renta A stanowi spłatę kredytu zaciągniętego rok przed pierwszą ratą renty A a nie zaciągniętego w chwili obecnej i spłacanego w sposób odroczony (inaczej wychodzi inny wynik)
k , k - momenty pierwszej raty dla odpowiednich rent A
B
n , n - ilość rat
A
B
k + 3 = k
A
B
n = n + 2
B
A
,
1 2 A = B
lim d ( A + B) = k = 10 → k = 1
3
A
B
( lim d t ojestm omentp ierwszejp latnosci) i→∞
i→∞
∑ kP( k) 10 A +11 A + ...+ (10 + n A
B
B
n
B
A −
)1 +13 +14 +...+ (13+ A + )1
lim d ( A + B) =
=
i→0
∑ P( k)
An
B n
A +
( A + 2)
10 + 10 + nA −1
13 + 13 + nA +1
nA ⋅ A +
( nA + 2) B
2
2
(19 + nA) AnA + (27 + nA)( nA + 2) B 568
lim d ( A + B) =
=
=
i→0
AnA + BnA + 2 B
2( AnA + BnA + 2 B) 31
19 An
An
n
n
n
A
n
n
n
n
n
A +
2
A + (27 A + 54 +
2
A + 2
A ) ,
1 2
19 A + 2 A + 3 ,
2 4 A + 64 8
, + ,
1 2 2 A +
=
,
2 4 A =
2 An
An
A
n
n
A + 2 ⋅ ,
1 2
A + 4 ⋅ ,
1 2
2 A + ,
2 4 A + 8
,
4
,
2 2 2
n
n
A + 53 8
,
A + 64 8
,
568
=
=
→ 6 ,
8 2 2
n
n
n
A + 1667 8
,
A + 2008 8
, = 249 ,
9 2 A + 272 ,
6 4
,
4 4 nA + 8
,
4
31
+
2
83 ,
1 4
941 8
,
6 ,
8 2 n
n
n
A − 83 ,
1 4 A − 717,6 = 0 → ∆ = 941 8
, → A =
= 13
2 ⋅ 6 ,
8 2
k
k
n
n
A = 1 ,
0 B = 1 ,
3 A = 1 ,
3 B = 15
13
27
22
i
13 A − A∑ k
v = 36 ,
0 64 → A =
36 ,
0 64
→ ODP = ,
1 2
k
k
A
v
A
v
13
∑ − ∑ =
k =1
13 i −1 + v
k =13
k =10
360 6
,
i
4
1 − v 15
13
10 1 − v 13
=
,
1 v
2
− v
1 i
3 −1 + v 13
1 − v
1 − v
Zadanie 4
2
10
11
12
9
20
K = 20 v + 18 v + ... + 2 v + 3 v + 3 ⋅ 5
,
1 v
+ ... + 3⋅ 5
,
1
v
2
8
9
10
9
18
R(2) = 16 v + 14 v + ... + 2 v + 3 v + 3 ⋅ 5
,
1 v
+ ... + 3⋅ 5
,
1
v
2
7
8
9
9
17
R )
3
(
= 14 v +12 v + ... + 2 v + 3 v + 3⋅ 5
,
1 v + ... + 3 ⋅ 5
,
1
v
2
3
4
5
6
9
14
R(6) = 8 v + 6 v + 4 v + 2 v + 3 v + 3 ⋅ 5
,
1 v + ... + 3 ⋅ 5
,
1
v
2
3
4
5
9
13
R(7) = 6 v + 4 v + 2 v + 3 v + 3 ⋅ 5
,
1 v + ... + 3 ⋅ 5
,
1
v
3
4
2
9
7
R 1
( )
3 = 3 ⋅ 5
,
1
v + 3 ⋅ 5
,
1
v + ... + 3 ⋅ 5
,
1
v
4
5
2
9
6
R 1
( 4) = 3 ⋅ 5
,
1
v + 3 ⋅ 5
,
1
v + ... + 3 ⋅ 5
,
1
v
3
( ]+ 8 − [ R( )
6 − R(7)]+ [ R 1
( )
3 − R 1
(
)
4 ]
ODP = 16 − [2 v +
2
2 v + ... +
7
2 v − 8
v −
9
5
,
1 v −
2
10
5
,
1
v
− ... − 9 17
5
,
1
v
+ 3⋅ 9 18
5
,
1
v ]+
+ 8 − [2 v + 2
2 v +
3
2 v − 4
v −
5
5
,
1 v − ... −
9
13
5
,
1
v
+ 3⋅ 9 14
5
,
1
v ]−
− [ 4
5
,
1
v + ... +
9
6
5
,
1
v − 3 ⋅
9
7
5
,
1
v ]=
= 16 − [2 a − 8
3 v −
9
5
,
1 v −
2
10
5
,
1
v
− ... − 9 17
5
,
1
v
+ 3⋅ 9 18
5
,
1
v
8
]+
+ 8 − [2 a − 4
3 v −
5
5
,
1 v − ... −
9
13
5
,
1
v
+ 3⋅ 9 14
5
,
1
v
4
]+
+ [
9
7
4
9
6
3 ⋅ 5
,
1
v − 5
,
1
v − ... − 5
,
1
v ]
DYGRESJA:
16 − 2 a = 16(
8
1 − v + 16 v − 2 a = 16 a ⋅ i + 16 v − 2 a = 16 i − 2 a + 16 v 8
)
8
8
8
8
8
(
)
8
8 − 2 a = (
8
4
8 1 − v
+ 8 v − 2 a = 8 a ⋅ i + 8 v − 2 a = 8
( i − 2) a + 8 v
4
) 4
4
4
4
4
4
4
ODP = 1
( 6 i − )
2 a + 8
( i − )
2 a +
4
8 v 1 2 v
8
4
( + 4)+
+ 4
v [ 4
3 v +
5
5
,
1 v + ... +
9
13
5
,
1
v
− 3⋅ 9 14
5
,
1
v ]+ [ 4
3 v +
5
5
,
1 v + ... +
9
13
5
,
1
v
− 3⋅ 9 14
5
,
1
v ]+
+ [3⋅ 9
5
,
1
v 7 −
4
5
,
1
v − ... −
9
5
,
1
v 6 ] =
1
4
4
4
4
4
2
4
4
4
4
4
3
B
= 1
( 6 i − )
2 a + 8
( i − )
2 a +
4
8 v 1 2 v
8
4
( + 4)+
+ (1+ v 4 )[ v 4
3
+ v 5
5
,
1
+ ... + 10
5
,
1
v 14 − 3 ⋅
10
5
,
1
v 14 ]+ B
1
4
4
4
4
4
4
4
2
4
4
4
4
4
4
4
3
A
4
10
10
1
5
,
1
10
5
1
5
,
1
(
)10
4
5 1
5
,
1
(
)10
A = v
3
(1− 5,
1
v )
− ( v)
−
+ v
5
,
1
=
v
v
3
(1− v
5
,
1
)
−
+
v
v
5
,
1
=
1 −
v
5
,
1
1 −
v
5
,
1
1 −
v
5
,
1
1 −
v
5
,
1
(
)10
−
−
4
1
5
,
1
(
)10
4
5 1
5
,
1
(
)10
= v
5
,
1
[ 1(
2 −
v
5
,
1
) + v]
v
v
= v
5
,
1
(2 − v
2 ) = 1 − v = d = iv = v 3 i
1 −
v
5
,
1
1 −
v
5
,
1
1 −
v
5
,
1
B =
4
5
,
1
[ 7 5
3 v
5
,
1
− v −
2
5
,
1 v − ... −
5
6
5
,
1
v ]=
4
5
,
1
[2⋅ 6 7
5
,
1
v − v −
2
5
,
1 v − ... −
5
6
5
,
1
v −
6
7
5
,
1
v +
6
7
5
,
1
v ] =
=
1
4
5
,
1
[3⋅ 6 7
5
,
1
v − v(1+ ... +
6
6
5
,
1
v )]
= 2 ⋅ 4
7
7
6
6
5
,
1
5
,
1
v −
v(1+ 5
,
1 v + ... + 5
,
1
v ) =
2
81
4
81
7
7
1 1 −
v
5
,
1
(
)7
81
7
1 1 −
v
5
,
1
(
)7
=
= 5
,
1
⋅ 2 =
1 −1 + 5
,
1
v −
v
=
1 − 1 −
v
5
,
1
(
) +
v
=
8
8
2
1 −
v
5
,
1
8
2
1 −
v
5
,
1
81
1−
v
5
,
1
(
)7
1
7
=
81
1
v
5
,
1
(
)
1 −
(1− v
5
,
1
)
−
+ v =
1 − vi
8
1 −
v
5
,
1
2
8
1 −
v
5
,
1
4
4
1
5
,
1
(
)10
5
4
81
1
5
,
1
(
)7
ODP = a 1
( i
6 − )
2 + a
i
8
(
− )
2 + v
8
8
4
(1+ v 2 )
−
+
v
i
3 v
(1+ v )
−
v
+
1 − vi
1 −
v
5
,
1
8
1 −
v
5
,
1
A – pierwsza rata
691 ,
4 73
1
00000 −
,
0 06
,
1 069
Aa + 691 ,
4 73 9
v = 100000 → A =
→ A ≈ 15444 5
, 03
8
1
8
− v
( a) Av + ( A + R) 2
v + ... + ( A + 6 R) 7
v = 100000
( b) Av + ( A − R) 2
v + ... + ( A −17 R) 18
v
= 100000
DYGRESJA:
2
3
7
X = v + 2 v + ... + 6 v 3
4
8
Xv = v + 2 v + ... + 6 v 6
1 − v
2
8
v
− 6 v
2
8
8
9
v
−
− v − 6 v + 6 v
2
3
7
8
1
X 1
( − v) = v + v + ... + v − 6
v
v → X =
=
2
1 − v
1
( − v)
2
3
18
Y = v + 2 v + ... + 17 v 3
4
19
Yv = v + 2 v + ... + 17 v 17
1 − v
2
19
v
−17 v
2
19
19
20
v
−
− v −17 v +17 v
2
3
18
19
1
Y 1
( − v) = v + v + ... + v −17
v
v
→ Y =
=
2
1 − v
1
( − v)
( a) Aa + RX = 100000
7
( b) Aa − RY = 100000
18
1
7
− v
100000 − A
( a) → R =
i
→ R ≈ 892 1,1
X
1 − v 18
A
−100000
i
b
( ) → R =
i wstawiamy R z (a) i sprawdzamy czy L=P
Y
Równa się więc R=892,1 około
Zadanie 6
C - cena obligacji zerokuponowej 1
( − ,
0 07 )
5 = 46250
1
C
c
-
ena o
bligacji 1
0 - letniej
2
10
10
1
1
1 −
1 −
1
,
1 07
1
,
1 07
60000
C = 3000 ⋅
+ 4000 ⋅
+
2
2
2
2
10
,
1 07
,
1 07
,
1 07
1
1
1 −
1 −
,
1 07
,
1 07
A – środki własne
A =
(3
,
0
C + C
1
2 )
K − kredyt =
7
,
0 ( C + C
1
2 )
C(5) – cena obligacji 10-letniej po 5 latach
1
1
1
1
1
60000
C )
5
(
= 4000
+
+
+ 3000
+
+
3
5
2
4
5
,
1 06
,
1 06
,
1 06
,
1 06
,
1 06
,
1 06
K(7) – kredyt po 7 latach
K (7) = ,
0 7( C + C
,
1 06
1
) 7
2
F(7) – wartość funduszu po 7 latach
F (7) = 3000(
6
4
2
,
1 07 + ,
1 07 + ,
1 07 )+ 4000(
5
3
,
1 07 + ,
1 07 )
2
2
+ C )
5
(
⋅ ,
1 07 + 50000 ⋅ ,
1 07
1
F (7) − K(7) 7
ODP =
−1⋅100 ≈ ,
4 7%
A
Zadanie 7
Bread spread oznacza, że kupujemy opcję z ceną wykonania X i wystawiamy opcję z ceną wykonania Y i Y<X
Profil wypłaty:
gdy S
( )
( )
8 < Y
P X − P Y
C
C
dla S
,
( )
( )
8 ∈ [ Y
X ) P X − P Y − 8 −
C
C
( S Y)
dla S
( )
( )
8 ≥ X
P X − P Y +
8 −
− 8 −
C
C
( S X ) ( S Y)
Z powyższego i z obrazka widać, że:
Y=70, X=30
ODP = P 1
( 0 )
0 − P (70)
C
C
Parytet:
−0,05 8
⋅
−0,4
P 1
( 00)
C
= P 1
( 00)
P
+ 95 −100 e
= ,
0 022 + 95 −100 e
P (70)
C
= P (70)
P
+ 95 − 70 −0,058⋅
e
→ ODP = ,
0 022 + 95 −100 −0,4
e
− ,
0 0124 − 95 + 70 0
− ,4
e
≈ −20 1,
Zadanie 8
Pożyczamy 100 z krótkiej sprzedaży akcji, będziemy musieli zwrócić cenę akcji po 6
miesiącach – ile zarobimy?
Zysk arbitrażowy będzie jeżeli zawsze zarobimy więcej niż cena akcji po 6 miesiącach
X – cena akcji po 6 miesiącach
a – tyle inwestujemy w aktywa wolne od ryzyka b – tyle inwestujemy w opcje kupna
c- tyle inwestujemy w opcje sprzedaży
a+b+c=100 gdzie a nieujemne; b i c mogą być ujemne 0,0 ⋅
5 0,5
b
ZYSK = ae
+
max( − 95 0
; )
c
X
+
max(95 − X 0
; ) − X
7 3
, 4
,
0 75
(a)X<95
0,025
c
ZYSK = ae
+
9
( 5 − X ) − X chcemy by ZYSK>0 i nzl od X
,
0 75
c
Czyli −
−1 = 0 → c = − ,
0 75
,
0 75
(b)tak samo dla X>95
b
b
0,025
ZYSK = ae
+
( X − 9 )
5 − X →
−1 = 0 → b = 7 3
, 4
7 3
, 4
7 3
, 4
Wtedy ZYSK(a)=ZYSK(b)=
0,025
ae
− 95
a = 100 − b − c = 100 − 7 3
, 4 + ,
0 75 = 9 ,
3 41
ODP = (9 ,
3 41 0,025
e
− 95) 0−,025
e
= 9 ,
3 41 − 95 0
− ,025
e
≈ ,
0 756
Zadanie 9
X
1
Gdy X ≅ N (
2
,
w δ ) → Ee = ex
p w +
2
δ
2
Przy braku arbitrażu:
S (0) = −0,04
e
ES )
1
(
= −0,04
e
A )
1
( E( 0,4
e
Z ) =
−
A )
1
(
0,04
0,08
e
e
= A )
1
(
0,04
e
b
o ,
0 4 Z ≅ N (
1
,
0
;
0
6) →
0
− ,04
0
− ,04 0,4 Z
→ A )
1
(
= S(0) e
→ S )
1
(
= S(0) e
e
3
3
0
− 1
, 2
,
1 2
S )
1
(
−
S( )
0 e
e Z
0,04
−0,04
2
−0 1
, 2
,
1 44 0
⋅ ,5 −0,04
2
0,56
ODP = E
e
= E
e
= S( )
0 e
e
e
= S( )
0 e
S( )
0
S( )
0
Bo 1,2Z ma rozkład normalny ze średnia 0 i wariancją 1,44
Zadanie 10
r =
0
,
0 5
1
50
1050
1
1050
+
=
→ r + = y =
,
1 05
,
1 0 (
5 1 + r 2 ) 1009 1
, 6
1
2
50
,
1 05
1009 1
, 6 − ,105
x – narzut
70
1070
+
= 9731,6
,
1 05 + x
,
1
( 05 + x)( y + x)
, 6 ,
1
( 05 + x)( y + x) 973 1
, 6 2
x + 973 1
, 6 ⋅ ,
1 05 y + 973 1
, 6 ,
1
( 05 + y) x = 70 y + 70 x + 1070
973 1
, 6 2
x + [937 1
, 6 ,
1
( 05 + y) − 70] x + 973 1
, 6 ⋅ ,
1 05 y − 70 y −1070 = 0
1
4
4
4
2
4
4
4
3
1
4
4
4
4
2
4
4
4
4
3
1
≈ 888,6
≈−80 1
,
∆ ≈ 387889 ,
0 2
− b + ∆
→ x =
bo drugi pierwiastek ujemny
2 a
→ x ≈ 1
,
4 5% ≈ 4%