Egzamin dla Aktuariuszy z 3 grudnia 2007 r.
Matematyka Finansowa
Zadanie 1
ò
ò
+
+
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
→
+
+
+
−
=
+
−
b
a
a
b
b
a
A
t
b
a
e
b
a
a
b
t
t
1
1
exp
1
1
ln
1
δ
ò
+
+
+
=
−
t
t
s
t
s
t
t
e
A
ds
t
e
A
A
0
0
1
1
1
1
1
,
1
1
,
1
ln
1
,
1
ln
1
1
,
1
3
3
3
−
=
−
=
−
−
−
t
B
t
t
t
s
δ
(
)
ò
ò
−
−
=
−
−
=
−
=
=
=
=
=
−
−
b
a
b
a
t
t
t
b
a
b
a
x
x
dx
x
x
x
dx
dt
dx
dt
x
1
,
1
1
,
1
1
,
1
1
,
1
ln
)
1
,
1
ln(
1
,
1
ln
1
,
1
1
,
1
ln
1
,
1
ln
1
,
1
ln
1
,
1
1
,
1
1
1
,
1
1
,
1
ln
3
3
1
,
1
1
,
1
1
,
1
1
,
1
3
3
3
2
3
3
0
2
3
3
0
1
,
1
1
,
1
1
1
,
1
1
,
1
1
,
1
1
1
,
1
−
−
=
−
−
=
B
B
B
B
t
t
t
t
t
s
s
t
t
e
t
t
e
A
e
A
t
e
A
−
−
+
⋅
+
+
+
=
ò
)
1
(
1
1
0
0
0
0
)
1
(
A
e
A
e
t
A
t
s
s
t
t
+
=
+
ò
−
[
]
t
t
t
t
t
t
t
t
t
e
e
A
e
e
t
A
e
A
t
A
⋅
=
+
−
+
+
′
−
)
1
(
)
1
(
2
)
1
(
:
0
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
t
t
A
t
A
A
t
A
A
t
A
t
t
t
t
t
t
+
=
+
−
+
′
=
+
−
+
+
′
C
A
a
Ce
A
A
A
t
t
t
t
=
=
→
=
′
0
ï
ï
î
ïï
í
ì
=
+
=
−
−
+
=
+
1
5
1
,
1
1
,
1
1
1
,
1
0
0
2
3
3
0
2
0
2
2
B
A
B
e
A
B
A
X
4
8
4
7
6
51
,
0
49
,
0
5
5
0
2
0
0
2
0
≈
→
≈
−
−
=
=
−
+
B
X
e
X
A
X
A
X
e
A
Zadanie 2
1
exp
5
4
−
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
ò
t
ODP
δ
3
,
3
0
(..)(..)
)
2
2
(
(..)(..)
)
2
1
(
2
2
2
1
−
=
=
=
+
+
+
=
+
+
=
+
+
A
B
B
A
B
B
A
x
x
B
xA
x
B
x
A
10
8
5
4
)
10
exp(
)
8
exp(
)
10
exp(
)
8
exp(
)
10
exp(
)
8
exp(
2
2
2
2
1
2
1
ln
2
3
3
)
2
1
ln(
2
3
ln
2
3
2
1
3
2
3
2
1
2
1
3
2
2
2
1
3
e
e
x
x
x
x
dx
x
x
x
dx
dt
dx
dt
e
x
e
e
t
t
t
+
+
+
=
=
+
−
=
+
−
=
+
=
=
=
=
=
+
ò
ò
ò
ò
=
+
5
4
5
6
ln
1
1
t
%
20
1
2
1
2
1
5
6
5
,
1
10
8
3
≈
−
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+
+
=
e
e
e
ODP
Zadanie 3
8
7
8
7
3
2
8
3
2
7
2
15
,
0
01
,
0
02
,
0
15
,
0
02
,
0
...
02
,
0
02
,
0
03
,
0
)
1
(
15
,
0
...
05
,
0
03
,
0
15
,
0
...
05
,
0
03
,
0
v
v
a
v
v
v
v
v
v
A
v
v
v
Av
v
v
v
A
−
+
=
−
+
+
+
+
=
−
+
+
+
=
+
+
+
=
7
7
2
10
10
15
,
0
...
05
,
0
03
,
0
100000
5000
Xv
Xv
Xv
Xv
v
a
P
+
+
+
+
=
+
=
81155
1
15
,
0
01
,
0
06
,
0
1
02
,
0
100000
06
,
0
1
5000
15
,
0
...
05
,
0
03
,
0
100000
06
,
0
1
5000
7
8
7
10
10
7
7
2
10
10
≈
+
−
−
+
−
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+
−
=
+
+
+
+
+
−
=
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
X
A
4
4
4
4
4
3
4
4
4
4
4
2
1
Zadanie 4
06
,
0
;
19
05
,
0
;
19
05
,
0
;
20
100
100
Xa
a
a
Y
=
=
3
,
108
06
,
0
06
,
1
1
1
05
,
0
05
,
1
1
1
100
19
19
≈
÷
ø
ö
ç
è
æ
−
÷
ø
ö
ç
è
æ
−
=
X
Zadanie 5
å
å
∞
=
∞
=
+
+
=
1
1
)
5
(
)
5
(
n
n
n
n
v
an
v
an
n
dur
∞
∞
∞
−
=
−
−
−
−
+
=
+
−
⋅
+
=
+
−
+
=
−
+
+
=
+
+
=
a
Ia
v
v
v
Ia
v
v
v
v
v
v
A
v
v
Av
v
v
A
2
...
)
(
2
...
)
1
2
2
(
...
)
1
2
(
)
1
(
...
2
1
...
2
1
3
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
v
v
v
v
v
I
v
v
Iv
v
v
I
−
=
+
+
=
−
+
+
=
+
+
=
1
...
)
1
(
...
2
...
2
2
3
2
2
ï
ï
î
ïï
í
ì
−
=
−
=
→
∞
∞
2
)
1
(
1
v
v
Ia
v
v
a
50
)
5
5
)(
1
(
5
5
5
5
)
1
(
)
1
(
)
1
(
5
)
(
)
1
(
)
1
(
5
)
1
(
5
)
1
(
)
1
(
2
1
5
)
1
(
)
1
(
5
1
1
)
1
(
2
5
5
1
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
3
2
2
2
=
−
+
−
−
+
+
=
−
+
+
−
−
+
+
=
−
−
+
−
+
−
−
−
=
=
−
+
−
−
+
−
−
−
−
=
+
+
−
−
=
∞
∞
∞
∞
∞
v
v
av
v
v
v
av
av
v
v
av
v
v
v
v
v
v
a
v
v
v
av
v
v
v
v
v
v
a
v
v
v
av
v
v
v
v
v
v
v
a
a
aIa
Ia
v
a
Ia
a
dur
Z tego mamy:
2
2
2
2
5
5
)
5
5
(
50
)
5
5
(
50
av
v
v
av
v
v
av
v
v
v
av
+
−
+
=
−
+
−
−
+
2
3
2
2
2
2
250
250
250
250
5
5
)
50
50
(
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
a
+
−
−
+
−
=
−
−
−
6
,
4
51
49
245
250
495
2
3
2
≈
−
−
−
=
v
v
v
v
v
a
Zadanie 6
3
04
,
0
80
60
25
,
0
=
=
=
=
=
s
R
X
P
T
S
[
]
[
]
9151
,
0
25
,
0
3
5
,
0
)
25
,
0
3
/(
04
,
0
)
80
/
60
ln(
5848
,
0
25
,
0
3
5
,
0
)
25
,
0
3
/(
04
,
0
)
80
/
60
ln(
)
(
80
)
(
60
80
60
5
,
0
5
,
0
2
5
,
0
5
,
0
1
2
25
,
0
04
,
0
1
25
,
0
04
,
0
−
≈
⋅
⋅
−
⋅
+
=
≈
⋅
⋅
+
⋅
+
=
−
=
+
−
=
⋅
−
⋅
−
d
d
d
N
e
d
N
P
e
P
ODP
C
C
48
1841
,
0
8159
,
0
1
)
(
7257
,
0
)
(
2
1
≈
→
=
−
≈
≈
ODP
d
N
d
N
Zadanie 7
x - obligacje
y- akcje
3
2
3
1
1
2
1
=
=
→
ïî
ï
í
ì
=
+
=
y
x
y
x
y
x
2
1
S
b
S
a
−
−
0003
,
0
04
,
0
03
,
0
25
,
0
)
;
cov(
2
1
=
⋅
⋅
=
S
S
1
04
,
1
3
1
)
1
(
3
2
)
1
(
3
2
1
)
1
(
3
2
)
1
(
3
2
04
,
1
3
1
2
1
2
1
−
+
+
+
+
=
+
=
+
+
+
+
S
b
S
a
R
R
S
b
S
a
C
a
a
a
a
a
a
a
ab
b
a
R
+
⋅
+
⋅
−
+
⋅
−
+
=
=
−
⋅
+
+
−
+
=
=
⋅
⋅
+
+
=
>
)
0003
,
0
9
4
2
04
,
0
9
4
2
(
)
0003
,
0
9
4
2
04
,
0
9
4
03
,
0
9
4
(
)
1
(
0003
,
0
9
4
2
)
2
1
(
04
,
0
9
4
03
,
0
9
4
0003
,
0
9
4
2
04
,
0
9
4
03
,
0
9
4
var
2
0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
4
4
4
4
8
4
4
4
4
4
7
6
Z tego wynika:
68
,
0
2
min
≈
−
=
a
b
a
%
1
,
7
1
04
,
1
3
1
)
1
,
0
1
)(
1
(
3
2
)
08
,
0
1
(
3
2
≈
−
+
+
−
+
+
=
a
a
ER
Zadanie 8
52
,
0
2
5
,
2
20
16
)
1
(
24
01
,
0
01
,
0
≈
−
=
→
=
−
+
⋅
e
p
e
p
p
Liczymy od ostatnich w
ę
złów bior
ą
c warto
ść
opcji jako max z dochodu z wykonania i
warto
ś
ci zdyskontowanej (na dole piszemy warto
ść
opcji)
*** komentarz: np. w tym miejscu mamy:
x=
[
]
01
,
0
)
1
(
648
,
3
472
,
17
−
−
+
e
p
p
i max(x;34,56-24) itd.
ODP=2,239
Zadanie 9
Z artykułu (Piontek)
„Modelowanie struktury stóp procentowych na rynku polskim – wprowadzenie”
http://www.kpiontek.ae.wroc.pl/stopyproc.pdf
)
;
0
(
)
;
0
(
)
;
0
(
T
Y
T
T
Y
T
f
′
⋅
+
=
)
(
)
05
,
0
2
,
0
15
,
0
04
,
0
(
01
,
0
)
;
0
(
2
3
A
T
T
T
T
Y
→
−
+
−
=
′
Zadanie 10
30230
04
,
0
04
,
1
1
1
5000
08
,
0
08
,
1
1
1
10000
5000
)
10000
(
10000
20
20
04
,
0
;
20
08
,
0
;
20
08
,
0
;
30
≈
÷
ø
ö
ç
è
æ
−
−
÷
ø
ö
ç
è
æ
−
=
=
−
=
X
a
X
a
a
X
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Egzamin 2007.12.03, rozwiazania zadań aktuarialnych matematyka finansowa
2007 12 03 prawdopodobie stwo i statystykaid 25662
2007 12 03 pra
mat fiz 2007 12 03 id 282357 Nieznany
2003.12.06 matematyka finansowa
2007 01 08 matematyka finansowaid 25640
2010.12.13 matematyka finansowa
2007.01.08 matematyka finansowa
2007.10.08 matematyka finansowa
2000.12.09 matematyka finansowa
2007.12.03 prawdopodobie stwo i statystyka
2008.12.15 matematyka finansowa
2008 12 15 matematyka finansowaid 26464
2005 12 05 matematyka finansowaid 25347
2007 05 14 matematyka finansowaid 25650
2007 10 08 matematyka finansowaid 25658
więcej podobnych podstron