Egzamin dla Aktuariuszy z 8 stycznia 2007 r.

Matematyka Finansowa

Zadanie 1

K

K = Ra

→ R =

240

a 240

1

2

12

3

24

ODP =

a∞ +

v a∞ +

v a∞ + .... =

a

a

a

240

240

240

a

æ

ö

∞

v

i

12

24

1

=

1 + 2 v + 3 v

+ ... =

≈ 86 9

,

çç 1

4

4

4

2

4

4

4

3 ÷

÷

a

è

I

ø 1− v 1

240

− v

1

(

12

− v )2

240

12

12

24

Iv

= v + 2 v + ...

1

1

12

12

24

I 1

( − v ) = 1 + v + v

+ ... =

→ I =

12

12

2

1 − v

1

( − v )

Zadanie 2

ODP P max

pK

1

( − p) K

K 1

( + i) =

max( X − 70 0

; ) +

max 7

( 0 − X 0

; )

3

12

p

1

( − p)

i =

max( X − 70 0

; ) +

max 7

( 0 − X 0

; ) −1

3

12

1 é 7 æ

0 1 − p

ö

9 æ

0

p

öù

Ei =

ê ç

ò

(70 − x) − ÷

1 +

ç ( x 70) 1

30

ò

−

− ÷ú

60 ë è 12

ø

70 è 3

øû

é

2

2

70

90

ù

1

1

p

p

2

æ −

ö

æ

ö

Ei =

ê ç

ò

(70 − x) − ÷

1

+ ç ( x 70) 1

30

ò

−

− ÷ ú

60 êë è 12

ø

70 è 3

ø úû

Z tego wynika:

Ei=0

Var(i)=..=

Parabola znaleźć współ. przy 2

p i p

= − b

ODP

− min

2 a

i wychodzi 33%

Zadanie 3

æ 1

1

ö

2

1

3

1 2

1

N ç

v +

v +

v + ...÷ > v +

v + v 3 + ...

è1⋅ 2

2 ⋅ 3

3 ⋅ 4

ø

2

3

1

4

4

4

2

4

4

4

3

X

éæ1 1 ö

æ 1 1 ö

ù

N êç − ÷ v + ç − ÷ 2

v + .. ú

. > X

ëè1 2 ø

è 2 3ø

û

é

1 2

1 3

1

1 2

ù

N v +

v + v + ... − v − v − ... > ê

ú X

ë

2

3

2

3

û

é

æ X

öù

X

N ê X − ç

− ÷

1 ú > X → N > ë

è v

øû

æ

X ö

ç1−

÷

è

9 ø

1

−

1

X = f i

( ) = 1

( + i) +

1

( + i)−2 + ...

2

−2

−3

2

v 2

3

1

1

1

f ′ i

( ) = − 1

( + i)

− 1

( + i)

− ... = − v − v − ... = −

= −

=

−

1 − v

1

( + i i

)

i + 1

i

i

f ( i) = ò

1 +

f ′( i) = ln

→ f ( i ) obliczamy i = 1

b

o v = 9

,

0

i

9

ODP : N > ,

3 0

9 c

zyli c

onajmniej 4

Zadanie 4

X ~ J (40 7

; 0)

Y ~ J ( X /

5

,

1

;

2

X )

E[max(max( X − 50 0

; ); max( Y − 50 0

; ))] = .. g

. dzi

e Z = max(max( X − 50 0

; ); MAX ( y − 50 0

; ))

Szukamy: E( E( Z X = x)) E( Z X = x) = E(max Y

( − 50 0

; ) max Y

( − 50 0

; ) > max( X − 50 0

; )) P(max > max) +

1

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

2

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

3

A

,

1 5 x

1

+ max( X − 50 0

; ) P(max( X − 50 0

; ) ≥ max Y

( − 50 0

; )) =

( y

1

4

4

4

4

4

4

2

4

4

4

4

4

4

3

ò

− 50) dy + max( X − 50 0

; ) B

x max(50; x)

B

1

4

4

4

2

4

4

4

3

A

max 2 5

(

;

0 x)

50 max 5

(

;

0 x)

A = 1

,

1 25 x − 75 −

+

2 x

x

max 5

(

;

0 x)

B = P( Y ≤ max 5

(

;

0 x)) =

− 5

,

0

x

2

2

2

2

max 5

(

;

0 x)

E

= ò5050 1 250 5 70 −

=

ln

+

50

40

x

x 30

3

4

60

max 5

(

;

0 x)

E

= .....

x

é250 5 702 − 502 ù

é5 5 2ù 20

20

RAZEM : 1

,

1 25 ⋅ 55 − 75 − 5

,

0 ê

ln

+

ú + 50 ln +

+

− 5

,

0 ⋅

ê

ú

ë 3

4

60

û

ë3 4 3û

3

3

Zadanie 5

ì400000 = Pa 30;0,08

ïïí ZAD 1( )5 = Pa

→ do1 5 p

laci P

; o

d 1

6 d

o 3

0 2

P

15;0,08

ïïî Pa = Ra

15;0,08

15;0,08

N =

0

,

0 05 v a

P &

&

+ 0

,

0 05 ⋅ 9

,

0 95 2

v

a

P &

&

+ ... + 0

,

0 05 ⋅ 9

,

0 9514 15

v

a

P &

&

+

30

29

16

+ 0

,

0 05 ⋅ 9

,

0 9515 16

v ⋅ 2 a

P &

&

+ 0

,

0 05 ⋅ 9

,

0 9516 17

v

⋅ 2 a

P &

&

+ .... + 0

,

0 05 ⋅ 9

,

0 9529 30

v

⋅ 2 P =

15

14

1

30

− v

1

29

− v

− v

− v

14

1

16

14

15

15 1

15

= 0

,

0 05 P

+ 0

,

0 05 ⋅ 9

,

0 95 Pv

+ ... + 0

,

0 05 ⋅ 9

,

0 95 Pv

+ 0

,

0 05 ⋅ 9

,

0 95 ⋅ 2 Pv

+

i

i

i

i

0

,

0 05 ⋅ 9

,

0 9514

14

Pv

é 0

,

0 05

30

Pv

0

,

0 05 ⋅ 9

,

0 95

30

Pv

0

,

0 05 ⋅ 9

,

0 9514 30

v P ù

+

− ê

+

+ ... +

ú +

i

ë

i

i

i

û

0

,

0 05 ⋅ 9

,

0 9515 ⋅ 2

15

Pv

0

,

0 05 ⋅ 9

,

0 9516 ⋅ 2

16

Pv

0

,

0 05 ⋅ 9

,

0 9529 ⋅ 2

29

+

+

+

Pv

... +

−

i

i

i

é 0

,

0 05 ⋅ 9

,

0 9515 ⋅ 2

30

Pv

0

,

0 05 ⋅ 9

,

0 9516 ⋅ 2

30

Pv

0

,

0 05 ⋅ 9

,

0 9529 ⋅ 2

30

Pv

ù

− ê

+

+ ... +

ú =

ë

i

i

i

û

0

,

0 05 P 1 − ( 9

,

0 95 v)15

0

,

0 05

30

Pv

1 − 9

,

0 9515

0

,

0 05 ⋅ 9

,

0 9515 ⋅ 2

15

Pv

1 − ( 9

,

0 95 v)15

=

−

+

−

i

1 − 9

,

0 95 v

i

1 − 9

,

0 95

i

1 − 9

,

0 95 v

0

,

0 05 ⋅ 9

,

0 9515 ⋅ 2

30

Pv

1 − 9

,

0 9515

−

i

1 − 9

,

0 95

gdzie:

400000

P =

→≈ 37090

a 30;0,08

Zadanie 6

1.

−0 1

, 2

NPV =

⋅

Xe

−100

X~ rozkład

2

(

æ... . . .... ö

p ( )

2 ; p ( )

2 = ( p ; p )

1

2

)

1

2 ç

ç

÷÷

è... . . .....ø

é

2

,

0 4

6

,

0 ù

é ,

0 22

7

,

0

ù

8

ê

ú = ê

ú

ë 1

,

0

9

,

0 û

ë 1

,

0 3

8

,

0 7û

Z tego wynika:

p ( )

2 = ,

0 22 p + 1

,

0 3 p

1

1

2 p = 1− p

p ( )

2 =

7

,

0 8 p + 8

,

0 7 p

2

1

2

1

2

Z tego mamy:

p ( )

2 =

0

,

0 9 p + 1

,

0 3

1

1

p ( )

2 = − 0

,

0 9 p + 8

,

0 7

2

1

EX = p ( )

2 ⋅ 215 + p ( )

2 ⋅100

1

2

EX = 21 (

5

0

,

0 9 p + 1

,

0

)

3 + 10 (

0 − 0

,

0 9 p + 8

,

0 7) = 10 3

, 5 p + 114 9

, 5

1

1

1

Z 1 mamy:

100 0,2

e

= 10 3

, 5 p + 114 9

, 5 → p ≈

6

,

0 9 ;

5 p = 1 − p ≈ 3

,

0 05

1

1

2

1

Zadanie 7

1

,

1 2− t −1

s

=

2− t

ln 1

,

1

æ 1 ln 1

,

1

ö

ODP = ex çç

p ò

−

dt

t

÷÷

è 0

2

1

,

1

−1 ø

1

,

1 x −1 = t

2 − t = x

ò

t

t

.... = t = 2 − x = ò2 ln 1, 1

ln 1

( +

dx = x =

)

= 0,21 1

1

1

,

0 21

1

,

1

0,21

ln

ln

x

0 1

,

1

ò

=

0 1

,

ò

⋅

−

=

=

1

,

1

−1

ln 1

,

1

t( t + )

1

t

t + 1

t + 1

,

1 21⋅

dt = −

1

,

0

dx

dx =

1

dt

ln

(

1

,

1 t + )

1

...

ò

,

0 21⋅ 1

,

1

ODP = e

=

≈ 9

,

1 1

,

1 21⋅ 1

,

0

Zadanie 8

Y ~ J (40 8

; 0)

Z-60 - zysk po roku

Z ~ J ( ,

0 7 Y

5

,

1

;

Y )

EZ − 60

1

,

1 Y − 60

600

=

= Y −

- cena kontraktu w zależności od Y po 0,5 roku 1

,

1

1

,

1

11

cena wykonania o

pcji

æ

4

6

4

7

8

ö

ç

÷

600

600

maxç Y −

− k 0

;

÷ Y −

> K → K ≤ 2 , 5 45 (

dla Y

= 80 m

ax o

raz K

m

usi b

y

ć ≥ 0

11

11

çç

÷÷

è

ø

2

æ 600

ö

1 æ 600

ö

E max = 80 − 2ç

+ k ÷ +

ç

+ k ÷

è 11

ø 80 è 11

ø

600 + k = x (równanie kwadratowe) 11

stąd maksymalna cena dla k=0

600

6002 1

80 − 2 ⋅

+

11

112 80

ODP =

≈ 7 3

, 6

1

,

1

Zadanie 9

TO WYNIKA BEZPOŚREDNIO Z TEORII Zadanie 10

ZYSK = K = ò∞ 2 −0 1, t e

t dt = 2000

0

0

− ,2 x

X ~ ,

0 e

2

0

− ,5 y

Y ~

e

5

,

0

min(X,Y)=T

Z = −

e 0 T

1

,

K → trzeba obliczyć EZ

P(min( X , Y ) ≤ t) = 1− P(min ≥ t) = 1− P( X ≥ t) P( Y ≥ t) =

= 1

− 0,2 t − 0,5

− e

e

t = 1

− 0,7

− e

t → f (min) = 7

,

0

− 0,7

e

t t > 0

∞

∞

7

EZ ( bez k )

− 0 1

,

=

t

e

7

,

0

− 0,7 t

e

= 7

,

0

− 0,8 t

e

= ...

ò

ò

=

0

0

8

7

7

ODP =

K =

⋅ 2000 = 1750

8

8