Egzamin dla Aktuariuszy z 8 stycznia 2007 r.
Matematyka Finansowa
Zadanie 1
240
240
a
K
R
Ra
K
=
→
=
9
,
86
)
1
(
1
1
1
...
3
2
1
....
3
2
1
2
12
240
24
12
240
24
240
12
240
240
≈
−
−
−
=
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+
+
+
=
=
+
+
+
=
∞
∞
∞
∞
v
v
i
v
v
v
v
a
a
a
v
a
a
v
a
a
a
ODP
I
4
4
4
3
4
4
4
2
1
2
12
12
24
12
12
24
12
12
)
1
(
1
1
1
...
1
)
1
(
...
2
v
I
v
v
v
v
I
v
v
Iv
−
=
→
−
=
+
+
+
=
−
+
+
=
Zadanie 2
ODP P max
)
0
;
70
max(
12
)
1
(
)
0
;
70
max(
3
)
1
(
X
K
p
X
pK
i
K
−
−
+
−
=
+
1
)
0
;
70
max(
12
)
1
(
)
0
;
70
max(
3
−
−
−
+
−
=
X
p
X
p
i
ú
û
ù
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ
−
−
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
−
−
−
=
ò
ò
90
70
70
30
1
)
70
(
3
1
)
70
(
12
1
60
1
x
p
x
p
Ei
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ
−
−
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
−
−
−
=
ò
ò
90
70
2
70
30
2
2
1
)
70
(
3
1
)
70
(
12
1
60
1
x
p
x
p
Ei
Z tego wynika:
Ei=0
Var(i)=..=
Parabola znaleźć współ. przy
2
p i p
min
2
−
−
=
a
b
ODP
i wychodzi 33%
Zadanie 3
4
4
4
3
4
4
4
2
1
X
v
v
v
v
v
v
N
...
3
1
2
1
...
4
3
1
3
2
1
2
1
1
3
2
3
2
+
+
+
>
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
⋅
+
⋅
+
⋅
÷
ø
ö
ç
è
æ
−
>
→
>
ú
û
ù
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ
−
−
>
úû
ù
êë
é
−
−
−
+
+
+
>
ú
û
ù
ê
ë
é
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
−
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
−
9
1
1
...
3
1
2
1
...
3
1
2
1
...
3
1
2
1
2
1
1
1
2
3
2
2
X
X
N
X
v
X
X
N
X
v
v
v
v
v
N
X
v
v
N
i
i
i
i
v
v
v
v
i
i
i
f
i
i
i
f
X
1
1
1
)
1
(
1
1
...
...
)
1
(
)
1
(
)
(
...
)
1
(
2
1
)
1
(
)
(
2
3
2
3
2
2
1
−
+
=
+
−
=
−
−
=
−
−
−
=
−
+
−
+
−
=
′
+
+
+
+
=
=
−
−
−
−
ò
=
=
→
+
=
′
=
9
,
0
9
1
)
(
1
ln
)
(
)
(
v
bo
i
obliczamy
i
f
i
i
i
f
i
f
4
conajmniej
czyli
09
,
3
:
>
N
ODP
Zadanie 4
[
]
))
0
;
50
(
);
0
;
50
max(max(
gdzie
...
))
0
;
50
max(
);
0
;
50
max(max(
)
5
,
1
;
2
/
(
~
)
70
;
40
(
~
−
−
=
=
−
−
y
MAX
X
Z
Y
X
E
X
X
J
Y
J
X
Szukamy:
(
)
)
(
x
X
Z
E
E
=
(
) (
)
B
X
dy
y
x
Y
X
P
X
P
X
Y
Y
E
x
X
Z
E
A
x
x
B
A
)
0
;
50
max(
)
50
(
1
))
0
;
50
max(
)
0
;
50
(max(
)
0
;
50
max(
max)
(max
)
0
;
50
max(
)
0
;
50
max(
)
0
;
50
max(
5
,
1
)
;
50
max(
−
+
−
=
−
≥
−
−
+
+
>
−
>
−
−
=
=
ò
4
4
4
3
4
4
4
2
1
4
4
4
4
4
4
3
4
4
4
4
4
4
2
1
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
3
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
2
1
x
x
x
x
x
A
)
;
50
max(
50
2
)
;
50
(
max
75
125
,
1
2
+
−
−
=
5
,
0
)
;
50
max(
))
;
50
max(
(
−
=
≤
=
x
x
x
Y
P
B
ò
−
+
=
=
50
40
2
2
2
2
60
50
70
4
5
ln
3
250
30
1
50
)
;
50
(
max
x
x
x
E
.....
)
;
50
max(
=
x
x
E
3
20
5
,
0
3
20
3
2
4
5
ln
3
5
50
60
50
70
4
5
ln
3
250
5
,
0
75
55
125
,
1
:
2
2
⋅
−
+
úû
ù
êë
é
+
+
ú
û
ù
ê
ë
é
−
+
−
−
⋅
RAZEM
Zadanie 5
2P
30
do
16
od
P;
placi
15
do
)
15
(
400000
08
,
0
;
15
08
,
0
;
15
08
,
0
;
15
08
,
0
;
30
→
ï
ï
î
ïï
í
ì
=
=
=
Ra
Pa
Pa
ZAD
Pa
995
,
0
1
995
,
0
1
2
995
,
0
005
,
0
995
,
0
1
)
995
,
0
(
1
2
995
,
0
005
,
0
995
,
0
1
995
,
0
1
005
,
0
995
,
0
1
)
995
,
0
(
1
005
,
0
2
995
,
0
005
,
0
...
2
995
,
0
005
,
0
2
995
,
0
005
,
0
2
995
,
0
005
,
0
...
2
995
,
0
005
,
0
2
995
,
0
005
,
0
995
,
0
005
,
0
...
995
,
0
005
,
0
005
,
0
995
,
0
005
,
0
1
2
995
,
0
005
,
0
1
995
,
0
005
,
0
...
1
995
,
0
005
,
0
1
005
,
0
2
995
,
0
005
,
0
....
2
995
,
0
005
,
0
2
995
,
0
005
,
0
995
,
0
005
,
0
...
995
,
0
005
,
0
005
,
0
15
30
15
15
15
15
15
30
15
30
29
30
16
30
15
29
29
16
16
15
15
30
14
30
30
14
14
15
15
15
16
14
14
29
30
30
29
14
17
16
15
16
15
16
15
14
29
2
30
−
−
⋅
⋅
−
−
−
−
⋅
⋅
+
−
−
−
−
−
=
=
ú
û
ù
ê
ë
é
⋅
⋅
+
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
−
−
⋅
⋅
+
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
+
ú
û
ù
ê
ë
é
⋅
+
+
⋅
+
−
⋅
+
+
−
⋅
⋅
+
−
⋅
+
+
−
⋅
+
−
=
=
⋅
⋅
+
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
+
⋅
+
+
⋅
+
=
i
Pv
v
v
i
Pv
i
Pv
v
v
i
P
i
Pv
i
Pv
i
Pv
i
Pv
i
Pv
i
Pv
i
P
v
i
Pv
i
Pv
i
Pv
i
v
Pv
i
v
Pv
i
v
Pv
i
v
P
P
v
a
P
v
a
P
v
a
P
v
a
P
v
a
vP
N
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
gdzie:
37090
400000
08
,
0
;
30
→≈
=
a
P
Zadanie 6
100
.
1
2
1
,
0
−
=
⋅
−
Xe
NPV
X~ rozkład
(
)
2
2
1
2
1
......
....
.....
....
)
;
(
)
2
(
);
2
(
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
=
p
p
p
p
ú
û
ù
ê
ë
é
=
ú
û
ù
ê
ë
é
87
,
0
13
,
0
78
,
0
22
,
0
9
,
0
1
,
0
6
,
0
4
,
0
2
Z tego wynika:
2
1
2
2
1
1
87
,
0
78
,
0
)
2
(
13
,
0
22
,
0
)
2
(
p
p
p
p
p
p
+
=
+
=
1
2
1
p
p
−
=
Z tego mamy:
87
,
0
09
,
0
)
2
(
13
,
0
09
,
0
)
2
(
1
2
1
1
+
−
=
+
=
p
p
p
p
95
,
114
35
,
10
)
87
,
0
09
,
0
(
100
)
13
,
0
09
,
0
(
215
100
)
2
(
215
)
2
(
1
1
1
2
1
+
=
+
−
+
+
=
⋅
+
⋅
=
p
p
p
EX
p
p
EX
Z 1 mamy:
305
,
0
1
;
695
,
0
95
,
114
35
,
10
100
1
2
1
1
2
,
0
≈
−
=
≈
→
+
=
p
p
p
p
e
Zadanie 7
1
,
1
ln
1
1
,
1
2
2
−
=
−
−
t
t
s
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
−
=
ò
−
1
0
2
1
1
,
1
1
,
1
ln
exp
dt
ODP
t
ò
ò
ò
ò
⋅
⋅
=
+
=
+
−
=
+
=
+
=
+
=
=
−
=
−
=
−
=
−
=
=
−
=
2
1
21
,
0
1
,
0
21
,
0
1
,
0
1
,
0
21
,
1
1
,
1
21
,
0
ln
1
ln
1
1
1
)
1
(
1
)
1
(
1
,
1
ln
1
1
,
1
ln
)
1
ln(
1
1
,
1
1
1
,
1
1
,
1
ln
2
2
....
t
t
t
t
t
t
dt
t
dx
t
x
t
dx
dx
dt
x
t
x
t
x
x
91
,
1
1
,
0
21
,
1
1
,
1
21
,
0
...
≈
⋅
⋅
=
ò
=
e
ODP
Zadanie 8
)
5
,
1
;
7
,
0
(
~
)
80
;
40
(
~
Y
Y
J
Z
J
Y
Z-60 - zysk po roku
11
600
1
,
1
60
1
,
1
1
,
1
60
−
=
−
=
−
Y
Y
EZ
- cena kontraktu w zale
ż
no
ś
ci od Y po 0,5 roku
0
być
musi
K
oraz
max
80
Y
(dla
45
,
25
11
600
0
;
11
600
max
opcji
wykonania
cena
≥
=
≤
→
>
−
÷÷
÷
÷
ø
ö
çç
ç
ç
è
æ
−
−
K
K
Y
k
Y
48
47
6
2
11
600
80
1
11
600
2
80
max
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
−
=
k
k
E
x
k
=
+
11
600
(równanie kwadratowe)
stąd maksymalna cena dla k=0
36
,
7
1
,
1
80
1
11
600
11
600
2
80
2
2
≈
+
⋅
−
=
ODP
Zadanie 9
TO WYNIKA BEZPOŚREDNIO Z TEORII
Zadanie 10
ò
∞
−
=
=
=
0
1
,
0
2
2000
dt
e
t
K
ZYSK
t
x
e
X
2
,
0
2
,
0
~
−
y
e
Y
5
,
0
5
,
0
~
−
min(X,Y)=T
→
=
−
K
e
Z
T
1
,
0
trzeba obliczyć EZ
(
)
0
7
,
0
(min)
1
1
)
(
)
(
1
)
(min
1
)
,
min(
7
,
0
7
,
0
5
,
0
2
,
0
>
=
→
−
=
−
=
=
≥
≥
−
=
≥
−
=
≤
−
−
−
−
t
e
f
e
e
e
t
Y
P
t
X
P
t
P
t
Y
X
P
t
t
t
t
8
7
...
7
,
0
7
,
0
)
(
0
8
,
0
0
7
,
0
1
,
0
ò
ò
∞
−
∞
−
−
=
=
=
=
t
t
t
e
e
e
k
bez
EZ
1750
2000
8
7
8
7
=
⋅
=
=
K
ODP
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
2007.01.08 matematyka finansowa
2007.10.08 matematyka finansowa
2007 10 08 matematyka finansowaid 25658
2003.01.25 matematyka finansowa
1 2000.01.15 matematyka finansowa
mat fiz 2007 01 08 id 282355 Nieznany
1 2000 04 08 matematyka finansowaid 8917
2007 01 08 prawdopodobie stwo i statystykaid 25641
2005 01 17 matematyka finansowaid 25337
2007 05 14 matematyka finansowaid 25650
2007 12 03 matematyka finansowaid 25661
więcej podobnych podstron