Egzamin dla Aktuariuszy z 8 kwietnia 2000 r.
Matematyka Finansowa
Zadanie 1
( ) ( )
i
i
v
i
i
i
i
i
v
i
k
n
k
k
n
+
−
+
+
−
+
=
+
⋅
−
+
−
−
1
1
1
1
1
1
1
)
(
1
1
( )
[
]
( )
tak
i
i
i
i
LEWA
i
i
i
PRAWA
k
n
n
k
k
)
(
1
1
1
)
1
(
)
1
(
→
+
⋅
+
−
=
=
+
−
+
=
−
−
nie
1
1
)
(
d
i
a
s
ii
n
n
≠
=
−
( )
úû
ù
êë
é
−
+
⋅
=
1
1
1
k
i
k
LEWA
( )
( )
( )
nie
1
1
)
1
(
1
1
)
1
(
1
1
1
1
1
1
1
1
1
PRAWA
LEWA
i
k
i
i
k
i
i
k
PRAWA
k
k
k
k
k
≠
→
úû
ù
êë
é
+
−
⋅
=
+
úû
ù
êë
é
−
+
⋅
=
+
−
+
úû
ù
êë
é
+
−
⋅
=
−
−
−
−
Ostatecznie prawdziwe tylko (i)
Zadanie 2
W tym zadaniu jest bł
ą
d bo wychodzi około 207 000 chocia
Ŝ
rzeczywi
ś
cie jest to najbli
Ŝ
ej
podanej odpowiedzi.
207000
)
exp(
10
)
2
(
2
0
≈
⋅
=
ò
dt
A
t
δ
Zadanie 3
polroczne
raty
gdy
jest
tak
-
10000
06
,
0
;
20
=
Ya
ś
eby uzyska
ć
6% półrocznie to:
1
06
,
1
)
1
(
06
,
1
5
,
0
2
−
=
→
+
=
ef
ef
i
i
X - rata
[
]
prawdziwe
1
06
,
1
1
06
,
1
10000
)
1
(
1
10000
)
1
(
1
5
,
0
06
,
0
;
20
2
06
,
0
;
20
I
I
a
i
i
a
X
Y
i
X
ef
ef
ef
→
=
−
−
⋅
=
+
+
−
⋅
=
=
+
+
⋅
Dług w półrocza:
k
ef
k
a
i
X
Xa
−
−
+
⋅
+
20
20
)
1
(
Dług w kwartały:
(
)
ef
k
ef
k
i
X
a
i
X
Xa
+
+
+
⋅
+
−
−
1
1
20
20
II. Spłata kapitału w kwartałach dla k=20: =
prawdziwe
06
,
1
5
,
0
06
,
0
5
,
0
II
v
X
X
=
⋅
=
III. prawdziwe - oczywiste
IV.
(
)
[
]
(
)
KAPITAL
X
ODSETKI
i
X
a
i
X
Xa
a
i
X
Xa
F
F
KAPITAL
ef
ef
ef
−
=
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
+
+
+
+
−
+
+
=
−
=
1
1
1
8
8
9
9
23
22
Wychodzi:
330
98
≈
≈
ODSETKI
KAPITAL
Czyli III nie prawdziwa
Ostatecznie prawdziwe tylko I, II, III
Zadanie 4
4
3
35
4
3
35
4
35
3
4
35
3
4
4
32
7
35
11
7
1
)
1
(
)
1
(
)
1
(
1
)
1
(
1
1
1
.....
s
a
a
i
i
i
v
v
i
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
ODP
−
=
−
+
−
−
−
=
−
+
−
=
−
−
=
−
−
=
+
+
+
=
Zadanie 5
å
=
−
+
−
+
+
−
+
−
⋅
=
−
=
20
1
20
19
2
)
20
20
(
20
)
19
20
(
19
.....
)
2
20
(
2
)
1
20
(
1
)
20
(
k
k
v
v
v
v
v
k
k
I
19
18
2
)
20
20
(
20
)
19
20
(
19
.....
)
3
20
(
3
)
2
20
(
2
)
1
20
(
1
v
v
v
v
v
I
−
+
−
+
+
−
+
−
+
−
=
k
k
k
k
k
2
21
)
1
20
)(
1
(
)
20
(
−
=
+
−
−
−
−
[
]
å
å
=
=
−
+
=
−
+
=
+
−
+
=
⋅
=
−
19
1
19
1
19
19
2
19
19
)
2
19
(
19
)
1
(
2
21
19
k
k
k
k
Ia
a
v
k
v
k
i
I
I
v
I
i
nv
a
Ia
i
Ia
a
I
n
n
n
−
=
−
+
=
&
&
gdzie
,
2
19
19
19
19
Z tego wychodzi około 836
Zadanie 6
X
i
=
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+
⋅
12
)
12
(
12
1
12000
X
i
=
⋅
+
10000
1000
Z tego:
%
75
,
1
≈
i
Zadanie 7
5
,
0
10
20
20
20
75
,
0
2000
3000
1000
1000
3
1500
=
→
−
=
+
⋅
=
v
v
v
a
i
1270
75
,
0
2000
3000
2000
3000
1000
1000
3
5
,
0
10
10
10
≈
⋅
−
=
−
=
+
⋅
=
v
v
a
i
X
Zadanie 8
n
momencie
w
kapital
-
n
K
K
K
=
0
4
4
3
4
4
4
2
3
4
4
4
2
4
1
10
3
20
10
100
1
,
1
10
2
20
10
100
1
,
1
10
20
10
100
1
,
1
)
10
100
1
,
1
(
10
100
1
,
1
⋅
⋅
+
⋅
−
⋅
=
⋅
⋅
+
⋅
−
⋅
=
⋅
+
⋅
−
⋅
⋅
−
⋅
=
⋅
−
⋅
=
K
K
K
K
K
K
K
K
Po rozpisaniu:
(
)
[
]
n
K
n
n
s
K
K
n
n
n
n
n
n
⋅
⋅
−
−
⋅
+
⋅
=
+
+
−
+
−
⋅
⋅
+
⋅
−
⋅
=
−
6
7
7
2
4
4
10
2
10
1
,
1
10
1
,
1
1
,
1
....
1
,
1
)
2
(
1
10
20
10
100
1
,
1
Definiujemy funkcj
ę
f(n) i chcemy by f(n)>0 dla ka
Ŝ
dego n
n
n
K
n
f
n
n
∀
>
−
⋅
−
−
⋅
+
⋅
=
0
10
10
2
10
1
,
1
10
1
,
1
)
(
6
6
7
7
)
10
(
1
,
1
ln
10
2
1
,
1
0
10
2
1
,
1
1
,
1
ln
10
1
,
1
1
,
1
ln
)
(
7
6
1
,
1
ln
6
7
'
+
⋅
⋅
=
=
→
=
⋅
−
⋅
⋅
+
⋅
⋅
=
K
e
K
n
f
n
n
n
n
Jest to minimum funkcji f czy ma by
ć
0
)
(
min
>
n
f
Czyli:
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+
⋅
⋅
⋅
⋅
>
⋅
−
⋅
)
10
(
1
,
1
ln
10
2
ln
1
,
1
ln
10
2
11
10
1
,
1
ln
10
2
7
6
6
6
6
K
)
10
(
1
,
1
ln
10
2
)
10
(
1
,
1
ln
10
2
ln
1
,
1
ln
2
11
1
7
6
1
,
1
ln
2
11
1
7
6
+
⋅
⋅
>
→
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+
⋅
⋅
>
⋅
−
−
K
e
K
3040000
10
1
,
1
ln
10
2
7
1
1
,
1
ln
2
11
6
≈
−
⋅
⋅
>
−
⋅
e
K
Zadanie 9
Przenosimy warto
ść
wszystkich wpłat na koniec roku:
