3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND

8.04.2000

r.

___________________________________________________________________________

1

Zadanie 1.
Zdarzenia A, B, C

V SDUDPL QLH]DOH*QH

&]\ QDVWSXMFH WU]\ GRGDWNRZH ZDUXQNL

(I)

( )

7

.

0

Pr

=

A

,

( )

6

.

0

Pr

=

B

,

( )

5

.

0

Pr

=

C

,

(

)

(

)

49

.

0

\

Pr

=

∩

C

B

A

(II)

( )

0

Pr

=

B

(III) Zdarzenia C

A

∩

i

B

A

∩

V QLH]DOH*QH

V ZDUXQNDPL Z\VWDUF]DMF\PL QD WR DE\ ]DFKRG]LáD WDN*H QLH]DOH*QRü ]HVSRáRZD

]GDU]H A, B, C?

Z\ELHU] RGSRZLHG( QDMWUDIQLHM FKDUDNWHU\]XMF ZZ ZDUXQNL

(A)

W\ONR ZDUXQHN ,, MHVW ZDUXQNLHP Z\VWDUF]DMF\P

(B) war

XQNL ,, L ,,, ND*G\ ] RVREQD WR ZDUXQNL Z\VWDUF]DMFH

(C)

ZDUXQNL , L ,,, ND*G\ ] RVREQD WR ZDUXQNL Z\VWDUF]DMFH

(D)

ZDUXQNL , L ,, ND*G\ ] RVREQD WR ZDUXQNL Z\VWDUF]DMFH

(E)

ND*G\ ] WU]HFK ZDUXQNyZ MHVW ZDUXQNLHP Z\VWDUF]DMF\P

3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND

8.04.2000

r.

___________________________________________________________________________

2

Zadanie 2.

: XUQLH MHVW NXO ELDá\FK L NXO F]DUQ\FK /RVXMHP\ SR MHGQHM NXOL EH] ]ZUDFDQLD GR

PRPHQWX D* ZUyG Z\ORVRZDQ\FK NXO ]QDMG VL NXOH RE\GZX NRORUyZ -DND MHVW

ZDUWRü RF]HNLZDQD LORFL Z\ORVRZDQ\FK NXO F]DUQ\FK"

(A)

9

17

(B)

9

13

(C) 2

(D)

6

13

(E)

6

7

3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND

8.04.2000

r.

___________________________________________________________________________

3

Zadanie 3.

1LH]DOH*QH ]PLHQQH ORVRZH X, Y PDM LGHQW\F]Q\ UR]NáDG Z\NáDGQLF]\ ] ZDUWRFL

RF]HNLZDQ

µ

:DUXQNRZD ZDUWRü RF]HNLZDQD

{ }

[

]

M

Y

X

Y

X

E

=

+

,

min

, gdzie M

MHVW SHZQ GRGDWQL OLF]E Z\QRVL

(A)

M

⋅

24

6

(B)

M

⋅

24

7

(C)

M

⋅

24

8

(D)

M

⋅

24

9

(E)

*DGQD ] SRZ\*V]\FK RGSRZLHG]L QLH MHVW GREUD ER WR ]DOH*\ MHV]F]H RG

µ

3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND

8.04.2000

r.

___________________________________________________________________________

4

Zadanie 4.

6NXWHF]QRü VWU]HOFD PLHU]\P\ SUDZGRSRGRELHVWZHP WUDILHQLD Z FHO SRMHG\QF]\P

VWU]DáHP Z SHZQ\FK RGSRZLHGQLR Z\VWDQGDU\]RZDQ\FK ZDUXQNDFK : SHZQHM

SRSXODFML VWU]HOFyZ ]Dáy*P\ GOD XSURV]F]HQLD L* MHVW WR SRSXODFMD QLHVNRF]RQD

UR]NáDG VNXWHF]QRFL MHVW MHGQRVWDMQ\ QD SU]HG]LDOH

( )

1

,

0

.

:\ELHUDP\ SU]\SDGNRZHJR VWU]HOFD NWyU\ QDVWSQLH RGGDMH VWU]DáyZ =DNáDGDP\

L* SUDZGRSRGRELHVWZR WUDILHQLD Z NROHMQHM SUyELH QLH ]DOH*\ RG Z\QLNX SUyE
poprzednich.
2ND]XMH VL *H Z\EUDQ\ VWU]HOHF ZH ZV]\VWNLFK -FLX SUyEDFK WUDILá Z FHO 3URVLP\ JR
o oddanie 11-

JR VWU]DáX 3UDZGRSRGRELHVWZR L* L W\P UD]HP WUDIL Z\QRVL

(A)

12

11

(B)

12

10

(C)

11

10

(D)

13

12

(E)

14

12

3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND

8.04.2000

r.

___________________________________________________________________________

5

Zadanie 5.
=DNáDGDMF *H

10

2

1

,

,

,

X

X

X

MHVW SUyEN SURVW ] UR]NáDGX Z\NáDGQLF]HJR R

JVWRFL

( )









≤

>

⋅

=

−

0

0

0

1

x

dla

x

dla

e

x

f

x

µ

µ

µ

SU]HSURZDG]RQR HVW\PDFM SDUDPHWUX

µ

PHWRG QDMZLNV]HM ZLDU\JRGQRFL L

RWU]\PDQR ZDUWRü HVW\PDWRUD

( )

µ

ENW

UyZQ 1DMZLNV]D ]DREVHUZRZDQD Z

SUyEFH ZDUWRü

{ }

i

i

X

max

Z\QLRVáD D G]LHZLü SR]RVWDá\FK E\áR FLOH PQLHMV]\FK

od 100.
2ND]DáR VL MHGQDN *H Z LVWRFLH ]DREVHUZRZDQH SU]H] QDV ZDUWRFL

10

2

1

,

,

,

X

X

X

VWDQRZL SUyEN ] XFLWHJR UR]NáDGX Z\NáDGQLF]HJR

{

}

100

,

min

i

i

Y

X

=

,

gdzie zmienne losowe

i

Y

SRFKRG] ] UR]NáDGX Z\NáDGQLF]HJR R JVWRFL

µ

f

:DUWRü

HVW\PDWRUD QDMZLNV]HM ZLDU\JRGQRFL

( )

µ

ENW

SR XZ]JOGQLHQLX PRG\ILNDFML

]DáR*H Z\QRVL

(A) 60

(B) 55.555...

(C) 50

(D) 45

(E)

SRGDQH LQIRUPDFMH QLH SR]ZDODM REOLF]\ü

( )

µ

ENW

przy zmodyfikowanych

]DáR*HQLDFK

3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND

8.04.2000

r.

___________________________________________________________________________

6

Zadanie 6.
Niech

n

X

X

X

,

,

,

2

1

EG]LH FLJLHP QLH]DOH*Q\FK ]PLHQQ\FK ORVRZ\FK R

LGHQW\F]Q\P UR]NáDG]LH MHGQRVWDMQ\P QD SHZQ\P SU]HG]LDOH

(

)

2

1

,

θ

θ

:VSyáF]\QQLN

korelacji liniowej

{ }

{ }









=

=

i

n

i

i

n

i

X

X

Corr

,

1

,

1

max

,

min

wynosi:

(A) 0

(B)

n

1

(C)

1

2

+

n

(D)

1

1

2

+

+

n

n

(E)

2

1

n

3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND

8.04.2000

r.

___________________________________________________________________________

7

Zadanie 7.

3U]HSURZDG]DP\ ZUyG Z\ORVRZDQ\FK RVyE DQNLHW QD GHOLNDWQ\ WHPDW $QNLHWRZDQD RVRED

U]XFD NRVWN GR JU\ L Z ]DOH*QRFL RG Z\QLNX U]XWX NRVWN Z\QLNX WHJR QLH ]QD DQNLHWHU

SRGDMH RGSRZLHGQLR ]DNRGRZDQ RGSRZLHG( QD S\WDQLH

Ä&]\ ]GDU]\áR VL 3DQX3DQL Z URNX GDü áDSyZN Z NODV\F]QHM IRUPLH SLHQL*QHM

SU]HNUDF]DMF NZRW ]á"´

3U]\MPLMP\ L* LQWHUHVXMFD QDV FHFKD X przyjmuje ZDUWRFL

•

1

=

X

MHOL RGSRZLHG( EU]PL Ä7$.´

•

0

=

X

MHOL RGSRZLHG( EU]PL Ä1,(´

Pierwszych 100 osób udziela odpowiedzi

100

1

,

,

Z

Z

]JRGQLH ] UHJXá

•

-HOL Z\QLN U]XWX NRVWN WR OLF]ED RF]HN UyZQD OXb 4 , to:

i

i

X

Z

=

•

MHOL Z\QLN U]XWX NRVWN WR OLF]ED RF]HN UyZQD OXE WR

i

i

X

Z

−

=

1

1DVWSQ\FK RVyE udziela odpowiedzi

200

101

,

,

Z

Z

]JRGQLH ] UHJXá

•

MHOL Z\QLN U]XWX NRVWN WR OLF]ED RF]HN UyZQD OXE to:

i

i

X

Z

=

•

MHOL Z\QLN U]XWX NRVWN WR OLF]ED RF]HN UyZQD OXE WR

i

i

X

Z

−

=

1

'OD XSURV]F]HQLD ]DNáDGDP\ *H DQNLHWRZDQ\FK RVyE WR SUyED SURVWD ] KLSRWHW\F]QHM

SRSXODFML R QLHVNRF]RQHM OLF]HEQRFL D SRG]LDá QD SRGSUyE\ MHVW WDN*H FDáNRZLFLH ORVRZ\

,QWHUHVXMF\ QDV SDUDPHWU WHM SRSXODFML WR RF]\ZLFLH

(

)

1

Pr

=

=

X

q

X

: Z\QLNX SU]HSURZDG]RQHM DQNLHW\ G\VSRQXMHP\ UHGQLPL ] SRGSUyEHN

∑

=

⋅

=

100

1

1

100

1

i

i

Z

Z

,

∑

=

⋅

=

200

101

2

100

1

i

i

Z

Z

Estymator parametru

X

q

X]\VNDQ\ 0HWRG 1DMZLHNV]HM :LDURJRGQRFL

2

2

1

1

0

ˆ

Z

a

Z

a

a

q

X

⋅

+

⋅

+

=

MHVW HVW\PDWRUHP QLHREFL*RQ\P -HJR SDUDPHWU\ OLF]ERZH

(

)

2

1

0

,

,

a

a

a

Z\QRV]

(A)

(

) (

)

2

,

1

,

0

,

,

2

1

0

−

=

a

a

a

(B)

(

) (

)

1

,

2

,

0

,

,

2

1

0

−

=

a

a

a

(C)

(

)

(

)

2

3

2

3

2

1

2

1

0

,

,

,

,

−

=

a

a

a

(D)

(

)

(

)

2

3

2

3

2

1

2

1

0

,

,

,

,

−

=

a

a

a

(E)

(

)

(

)

2

1

2

1

2

1

2

1

0

,

2

,

,

,

−

−

=

a

a

a

3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND

8.04.2000

r.

___________________________________________________________________________

8

Zadanie 8.

5R]ZD*P\ GZLH QLH]DOH*QH SUyENL SURVWH

1

,

1

2

,

1

1

,

1

,

,

,

n

X

X

X

∼

(

)

2

,

σ

µ

N

2

,

2

2

,

2

1

,

2

,

,

,

n

X

X

X

∼

(

)

2

2

,

σ

µ

N

Niech:

∑

=

=

1

1

,

1

1

1

1

n

i

i

X

n

X

,

∑

=

=

2

1

,

2

2

2

1

n

i

i

X

n

X

, oraz

2

2

~

2

1

2

2

1

1

n

n

X

n

X

n

X

+

⋅

+

=

Estymator parametru

2

σ

postaci:

(

)

(

)













−

⋅

+

−

⋅

=

∑

∑

=

=

2

1

1

2

,

2

1

2

,

1

2

~

2

1

~

n

i

i

n

i

i

X

X

X

X

c

S

,

MHVW QLHREFL*RQ\ MHOL VWDáD c wynosi:

(A)

1

2

1

2

1

−

+

=

n

n

c

(B)

2

1

2

1

2

1

−

+

=

n

n

c

(C)

2

1

2

1

−

+

=

n

n

c

(D)

2

1

1

n

n

c

+

=

(E)

1

1

2

1

−

+

=

n

n

c

3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND

8.04.2000

r.

___________________________________________________________________________

9

Zadanie 9.

5R]ZD*DP\ ]DGDQLH WHVWRZDQLD QD SRGVWDZLH SRMHG\QF]HM REVHUZDFML X, hipotezy
prostej:

:

0

H

X

SRFKRG]L ] UR]NáDGX R JVWRFi

0

f ,

przeciwko prostej alternatywie:

:

1

H

X

SRFKRG]L ] UR]NáDGX R JVWRFL

1

f .

:LDGRPR *H GOD ND*GHJR

( )

1

,

0

∈

α

QDMPRFQLHMV]\ WHVW QD SR]LRPLH LVWRWQRFL

α

, o

postaci:

•

odrzucamy

0

H

MHOL

( )

α

k

k

X

=

>

,

•

nie odrzucamy

0

H

MHOL

( )

α

k

k

X

=

≤

,

ma moc

(

)

β

−

1

VSHáQLDMF ]DOH*QRü

( )

2

1

1

α

α

β

β

=

−

=

−

.

*VWRü

0

f dana jest wzorem:

( ) ( )









≤

>

+

=

0

0

0

1

1

2

0

x

dla

x

dla

x

x

f

:REHF WHJR JVWRü

1

f dana jest (dla dodatnich x) wzorem:

(A)

( )

2

2

1

1

2

1

x

+

⋅

(B)

(

)

2

3

1

1

2

1

x

+

⋅

(C)

(

)

2

2

1

2

x

+

(D)

(

)

2

2

1

1

x

+

(E)

(

)

3

1

2

x

+

3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND

8.04.2000

r.

___________________________________________________________________________

10

Zadanie 10.
Na podstawie próbki prostej

n

X

X

X

,

,

,

2

1

] UR]NáDGX QRUPDOQHJR

(

)

2

,

σ

µ

N

z

nieznanymi parametrami

µ

i

2

σ

EXGXMHP\ SU]HG]LDá XIQRFL

(

)

2

2

,

σ

σ

dla wariancji

QD SR]LRPLH XIQRFL 0HWRG Z\ELHUDP\ PR*OLZLH SURVW NRU]\VWDMF QD SU]\NáDG
] SU]\EOL*HQLD UR]NáDGX

2

k

χ

UR]NáDGHP QRUPDOQ\P

(

)

k

k

N

2

,

.

:]JOGQ\ EáG HVW\PDFML SU]HG]LDáRZHM PLHU]\P\ ]D SRPRF LORUD]X

2

2

2

2

σ

σ

σ

⋅

−

=

R

.

Rozmiar próbki n, dla którego

( )

01

.

0

≈

R

E

, wynosi:

(A) 100

(B) 500

(C) 2500

(D) 75000

(E) 1000000

8ZDJD SUDZLGáRZD RGSRZLHG( SRGDQD MHVW Z JUXE\P SU]\EOL*HQLX

3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND

8.04.2000

r.

___________________________________________________________________________

11

Egzamin dla Aktuariuszy z 8 kwietnia 2000 r.

Prawdopodo

ELHVWZR L VWDW\VW\ND

Arkusz odpowiedzi

*

,PL L QD]ZLVNR . / 8 & = 2 ' 3 2 : , ( ' = ,
..................................

Pesel ...........................................

Zadanie nr

2GSRZLHG( Punktacja

♦

1 D

2 C

3 A

4 A

5 B

6 B

7 C

8 E

9 E

10 D

*

2FHQLDQH V Z\áF]QLH RGSRZLHG]L XPLHV]F]RQH Z Arkuszu odpowiedzi.

♦

:\SHáQLD .RPLVMD (J]DPLQDF\MQD