Prawdopodobieństwo i statystyka

03.12.2007 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 1.

Niech

będzie próbką prostą z rozkładu normalnego

n

X

X

,

,

1

K

(

)

2

,

σ

μ

N

, zaś:

(

)

∑

=

−

=

n

i

i

X

X

n

S

1

2

2

1

,

gdzie:

∑

=

=

n

i

i

X

n

X

1

1

.

Interesuje nas względny błąd estymacji:

2

2

2

σ

σ

−

=

S

R

.

Przy

wartość oczekiwana

10

=

n

( )

2

R

E

jest równa

(A) 0.18

(B) 0.19

(C) 0.01

(D) 0.20

(E) 0.21

1

Prawdopodobieństwo i statystyka

03.12.2007 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 2.

Niech

będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym

rozkładzie wykładniczym z wartością oczekiwaną równą 1.

K

K

,

,

,

,

2

1

n

X

X

X

Niech N będzie zmienną losową o rozkładzie ujemnym dwumianowym

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

e

bin

1

,

2

(

)

K

,

2

,

1

,

0

dla

1

1

1

2

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +

=

=

n

e

e

e

n

n

n

X

P

n

i

,

niezależną od zmiennych

.

K

K

,

,

,

,

2

1

n

X

X

X

Niech

{

}

⎩

⎨

⎧

=

>

=

0

0

0

,

,

,

min

2

1

N

gdy

N

gdy

X

X

X

M

N

N

K

Wyznacz

.

N

EM

(A)

1

−

e

(B)

2

2

e

e

−

(C)

2

1

e

e

−

(D)

e

(E)

)

1

(

2

−

e

2

Prawdopodobieństwo i statystyka

03.12.2007 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 3.

W urnie znajduje się 40 kul, z których 25 jest białych i 15 czarnych. Losujemy bez
zwracania najpierw 13 kul, a następnie z pozostałych kul w urnie losujemy bez
zwracania 8 kul. Niech oznacza liczbę kul białych w pierwszym losowaniu, a

liczbę kul białych w drugim losowaniu. Oblicz

.

1

S

2

S

)

,

(

2

1

S

S

Cov

(A) 0

(B)

8

5

(C)

8

5

−

(D)

72

65

−

(E)

72

65

3

Prawdopodobieństwo i statystyka

03.12.2007 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 4.

Losujemy ze zwracaniem po jednej karcie do gry z talii 52 kart tak długo aż
wylosujemy pika. Niech Y oznacza zmienną losową równą liczbie wyciągniętych kart,
a X zmienną losową równą liczbie kart, w których uzyskaliśmy karo. Oblicz

.

)

4

|

(

=

X

Y

E

(A) 10

(B) 9

(C) 12

(D) 6

(E) 7

4

Prawdopodobieństwo i statystyka

03.12.2007 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 5.

Załóżmy, że

są niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym

rozkładzie wykładniczym i

K

K

,

,

,

1

n

X

X

λ

1

=

i

EX

. Niech

0

0

=

T

i

dla

.

Niech Y będzie zmienną losową niezależną od zmiennych

, o

rozkładzie gamma o gęstości

∑

=

=

n

i

i

n

X

T

1

K

,

2

,

1

=

n

K

K

,

,

,

1

n

X

X

(

)

⎩

⎨

⎧

≤

>

−

=

0

0

0

exp

)

(

2

x

gdy

x

gdy

x

x

x

p

β

β

,

gdzie

0

>

β

jest ustaloną liczbą.

Niech

{

}

Y

T

n

N

n

≤

≥

=

:

0

max

.

Podaj rozkład prawdopodobieństwa zmiennej N.

(A)

(

) (

)

n

n

n

N

P

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

+

=

=

λ

β

λ

λ

β

β

2

1

dla

K

,

2

,

1

,

0

=

n

(B)

(

) (

)

n

n

n

N

P

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

+

=

=

λ

β

β

λ

β

λ

2

1

dla

K

,

2

,

1

,

0

=

n

(C)

(

)

(

)

1

2

2

2

,

0

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

+

=

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

=

=

n

n

N

P

N

P

λ

β

β

β

λ

λ

β

λ

β

λ

λ

β

β

dla

K

,

2

,

1

=

n

(D)

(

)

!

1

exp

n

n

N

P

n

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

=

β

λ

β

λ

dla

K

,

2

,

1

,

0

=

n

(E)

(

)

!

1

exp

n

n

N

P

n

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛−

=

=

λ

β

λ

β

dla

K

,

2

,

1

,

0

=

n

5

Prawdopodobieństwo i statystyka

03.12.2007 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 6.

Niech

, gdzie

, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym

samym rozkładzie o gęstości

n

X

X

X

,

,

,

2

1

K

1

>

n

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

≤

>

=

,

0

4

)

(

5

4

c

x

gdy

c

x

gdy

x

c

x

p

c

gdzie

jest nieznanym parametrem. Rozważamy dwa estymatory parametru c

postaci i

0

>

c

}

,

,

,

min{

2

1

1

n

X

X

X

a

T

K

=

X

b

T

=

2

, gdzie

∑

=

=

n

i

i

X

n

X

1

1

oraz a, b są dobrane

tak, aby estymatory były nieobciążone. Wyznacz różnicę ryzyk estymatorów czyli

(

)

(

)

2

1

2

2

c

T

E

c

T

E

R

−

−

−

=

.

(A)

)

1

2

(

2

)

1

(

2

2

−

−

n

n

c

n

(B)

)

1

2

(

4

)

1

(

9

2

2

−

−

n

n

c

n

(C)

)

1

2

(

4

)

1

(

2

−

−

n

n

c

n

(D)

)

1

2

(

2

)

1

(

2

−

−

n

n

c

n

(E)

)

1

2

(

2

)

1

(

2

2

−

−

n

n

c

n

6

Prawdopodobieństwo i statystyka

03.12.2007 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie

7.

Niech X będzie pojedynczą obserwacją z rozkładu o gęstości

(

)

[

]

[

]

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

−

∉

−

∈

−

=

,

,

0

,

|

|

1

)

(

2

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

x

gdy

x

gdy

x

x

p

gdzie

0

>

θ

jest nieznanym parametrem. Weryfikujemy hipotezę

0

0

:

θ

θ

=

H

przy

alternatywie

0

1

:

θ

θ

≠

H

za pomocą testu opartego na ilorazie wiarogodności na

poziomie istotności 0.2. Moc tego testu przy alternatywie

0

4

θ

θ

=

jest równa

(A) 0.80

(B) 0.74

(C) 0.65

(D) 0.40

(E) 0.37

7

Prawdopodobieństwo i statystyka

03.12.2007 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie

8.

Niech

, gdzie

, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym

samym rozkładzie Weibulla o gęstości

n

X

X

X

,

,

,

2

1

K

1

>

n

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

≤

>

=

−

,

0

0

0

2

)

(

2

x

gdy

x

gdy

xe

x

f

x

θ

θ

θ

gdzie

0

>

θ

jest nieznanym parametrem. Zakładamy, że parametr

θ ma rozkład

a priori o gęstości

(

)

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

≤

>

−

Γ

=

−

0

0

0

exp

)

(

)

(

1

θ

θ

βθ

θ

α

β

θ

α

α

gdy

gdy

p

.

Wyznacz estymator bayesowski parametru

θ

ˆ

θ

przy funkcji straty Esschera równej

( ) ( )

2

ˆ

ˆ

,

θ

θ

θ

θ

θ

−

=

c

e

L

, gdzie

jest ustaloną liczbą.

0

≠

c

(A)

n

X

n

i

i

+

+

∑

=

α

β

1

2

(B)

c

X

n

n

i

i

−

+

+

∑

=1

2

β

α

(C)

∑

=

+

+

n

i

i

X

n

1

2

β

α

(D)

c

X

n

n

i

i

+

+

+

∑

=1

2

β

α

(E)

n

c

X

n

i

i

+

−

+

∑

=

α

β

1

2

8

Prawdopodobieństwo i statystyka

03.12.2007 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie

9.

Zmienne losowe U i V są niezależne i mają rozkłady jednostajne na przedziale (0,2).
Niech

i

{

V

U

X

,

max

=

}

{

}

V

U

Y

,

min

=

. Wtedy prawdziwe jest następujące

stwierdzenie

(A)

0

)

,

(

=

Y

X

Cov

(B)

(

)

5

.

0

4

2

2

=

<

+ Y

X

P

(C)

(

)

75

.

0

2

=

≤

+ Y

X

P

(D)

(

)

5

.

0

1

=

≥

− Y

X

P

(E)

9

1

)

,

(

=

Y

X

Cov

9

Prawdopodobieństwo i statystyka

03.12.2007 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie

10.

Obserwujemy niezależne zmienne losowe

Zmienne

losowe

mają ten sam rozkład o dystrybuancie

, a zmienne losowe

mają ten sam rozkład o dystrybuancie

. Dystrybuanta

spełnia

warunek

5

4

3

2

1

4

3

2

1

,

,

,

,

,

,

,

,

Y

Y

Y

Y

Y

X

X

X

X

.

4

3

2

1

,

,

,

X

X

X

X

1

μ

F

5

4

3

2

1

,

,

,

,

Y

Y

Y

Y

Y

2

μ

F

μ

F

)

(

)

(

μ

μ

−

=

x

F

x

F

dla pewnej ustalonej, nieznanej, ciągłej, ściśle rosnącej dystrybuanty F.
Weryfikujemy hipotezę

2

1

0

:

μ

μ

=

H

przy alternatywie

2

1

1

:

μ

μ

≠

H

stosując test

o obszarze krytycznym

}

27

13

:

{

≥

∨

≤

=

S

S

S

K

,

gdzie S jest sumą rang zmiennych losowych

w próbce złożonej ze

wszystkich obserwacji ustawionych w ciąg rosnący. Wyznacz rozmiar testu.

4

3

2

1

,

,

,

X

X

X

X

(A)

63

8

(B)

63

7

(C)

63

6

(D)

63

5

(E)

63

4

10

Prawdopodobieństwo i statystyka

03.12.2007 r.

___________________________________________________________________________

Egzamin dla Aktuariuszy z 3 grudnia 2007 r.

Prawdopodobieństwo i statystyka

Arkusz odpowiedzi

*

Imię i nazwisko : ........................K L U C Z O D P O W I E D Z I..............................

Pesel ...........................................

Zadanie nr

Odpowiedź Punktacja

♦

1 B

2 A

3 C

4 A

5 A

6 C

7 C

8 B

9 E

10 B

*

Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi.

♦

Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.

11