Egzamin dla Aktuariuszy z 20 marca 2006 r.
Matematyka Finansowa
Zadanie 1
A
B
6
4
4 7
4
4 8
6
4
4
4
7
4
4
4
8
2
3
4
2
4
3
5
− v + 2 v − 3 v + 4 v + ... 2 v + 4 v + .... − ( v + 3 v + 5 v + ....) ODP =
=
2
3
1 − v + v − v + ...
1
v
−
2
2
1 − v
1 − v
2
2 v
A =
2
2
1
( − v )
2
v 1
( + v )
B =
2
2
1
( − v )
2 2
v
v 1
(
2
+ v )
−
1
(
2
− v )2
1
(
2
− v )2
ODP =
= − v ≈ − ,
0 49
1
1 + v
1 + v
Zadanie 2
(i)
TAK
exp(ò tδ ds) a t() c δ ds ln c
s
=
= →
0
ò t s =
0
(ii)
TAK
(
n
2 −
Ia )
ò −
= n δ t
te
LICZYMY POCHODNĄ PO δ = −ò +
t e t
δ dt
n
0
0
(iii)
NIE
Oczywiste jeśli rozpiszemy
Zadanie 3
A=max(X-50;0) A1=X-50
B=max(Y-70;0) B1=Y-70
Z=max(A;B)
æ − x − 50 ö
F ( x)
A
= 1− expç
÷
1
è
50
ø
1
æ − x − 50 ö
f ( x)
A
=
expç
÷ d
l
a x ∈ (−5 ;
0 ∞)
1
50
è
50
ø
æ − x − 70 ö
F ( x)
B
= 1− expç
÷
1
è
75
ø
1
æ − x − 70 ö
f ( x)
B
=
expç
÷ d
l
a x ∈ ( 7
− ;
0 ∞)
1
75
è
75
ø
1
P( A = )
0 = P(max( A
)
0
;
1
= )
0 = P( 1
A ≤ )
0 = 1
−
− e
æ − x − 50 ö
1
æ − x − 50 ö
dla x>0 F ( x) A
= P( 1
A ≤ x) = 1 − ex ç p
÷ f ( x)
A
=
ex ç
p
÷
è
50
ø
50
è
50
ø
14
P( B = )
0 = 1 − −15
e
1
æ − x − 70 ö
f ( x)
B
=
ex ç
p
÷
75
è
75
ø
14
P( Z = 0) = P( A = 0) P( B = 0) = 1
( −
1
e ) 1
( − −
−
15
e
)
Z > 0
æ − x − 50 ö æ
æ − x − 70 öö
1
æ − x − 50 ö 1
æ − x − 70 ö
F ( x)
Z
= 1
( − ex ç
p
÷ çç)1− ex ç
p
÷÷÷ → f ( x)
Z
=
ex ç
p
÷ +
ex ç
p
÷ −
è
50
ø è
è
75
øø
50
è
50
ø 75
è
75
ø
1
æ − x − 58 ö
−
ex ç
p
÷
30
è
30
ø
∞
1
æ − x − 50 ö 1
æ − x − 70 ö 1
æ − x − 58 ö
E( Z ) =
x
expç
÷
ò
+
x expç
÷ −
x expç
÷ =
0
50
è
50
ø 75
è
75
ø 30
è
30
ø
14
29
−
−
1
−
15
15
= 50 e + 75 e
− 30 e
E( )
ODP =
Z ≈ 37 9,
1
,
1 5
Zadanie 4
B
6
4
4
4
4
7
4
4
4
4
8
1
2
3
4
1
+
+
+
+ 5⋅
+ ... =
,
1 01
,
1 01⋅ ,
1 03
,
1 01⋅ ,
1 03 ⋅ ,
1 05
,
1 01⋅ ,
1 03 ⋅ ,
1 05 ⋅ ,
1 07
,
1 01⋅ ,
1 03 ⋅ ,
1 05 ⋅ ,
1 07 ⋅ ,
1 09
é
A
6
4
4
4
7
4
4
4
8 ù
1
2
1
=
1
ê + 6 B +11 B + ....ú +
[2 + 7 B + ]
1
... +
[3+8 B +.. ].+
,
1 01 ê
ú
,
1 01⋅ ,
1 03
,
1 01⋅ ,
1 03 ⋅ ,
1 05
ë
û
1
+
[4 + 9 B +.. ].+ B[5 +10 B +.. ].=
,
1 01⋅ ,
1 03 ⋅ ,
1 05 ⋅ ,
1 07
1
1
é
1 ù
1
é
2 ù
1
é
3 ù
=
A +
A +
+
A +
+
A +
+
ê
ú
ê
ú
ê
ú
,
1 01
,
1 01⋅ ,
1 03 ë
1 − B û
,
1 01⋅ ,
1 03 ⋅ ,
1 05 ë
1 − B û
,
1 01⋅ ,
1 03 ⋅ ,
1 05 ⋅ ,
1 07 ë
1 − B û
é
4 ù
é 1
1
1
1
1
ù
+ B A +
=
ê
ú Aê
+
+
+
+
ú +
ë
1 − B û
ë ,
1 01
,
1 01⋅ ,
1 03
,
1 01⋅ ,
1 03 ⋅ ,
1 05
,
1 01⋅ ,
1 03 ⋅ ,
1 05 ⋅ ,
1 07
,
1 01⋅ ,
1 03 ⋅ ,
1 05 ⋅ ,
1 07 ⋅ ,
1 09 û
1
é
1
2
3
4
ù
+
ê
+
+
+
ú ≈ 443
1 − B ë ,
1 01⋅ ,
1 03
,
1 01⋅ ,
1 03 ⋅ ,
1 05
,
1 01⋅ ,
1 03 ⋅ ,
1 05 ⋅ ,
1 07
,
1 01⋅ ,
1 03 ⋅ ,
1 05 ⋅ ,
1 07 ⋅ ,
1 09 û
2
A = 1 + 6 B + 11 B + ...
2
AB = B + 6 B + ...
1 + 4 B
1 + 4 B
2
A 1
( − B) = 1 + 5 B + 5 B + .. =
→ A =
2
1 − B
1
( − B)
Zadanie 5
1
v
l =
0
,
1 5 ⋅ 1
,
1
R = 1 + 1
( + )
1 2
v + 1
( + 2) 4
v + 1
( + )
3 6
v + ...
1
R = 2 v + (2 + ) 1 3
v + (2 + 2) 5
v + (2 + )
3 7
v + ...
2
k 1
R
kv
k
v
k
v
k =
− + ( + )
1 k 1
+ + ( + 2) k+3 + ...
k − +
1 2 i
k nieparzyste: R
k
i v
k = å
∞
( +
2
) l
i=0
k −2+2
1
i
k parzyste: R
k
i v
k =
å∞( +
2
)
1
,
1
l
i=0
k −1
k −1
1
niep:
i
R = kv 2
+ v 2 å∞ iv
k
l
l
l
3
2
1
1 − vl
i=0
sumaX
3
2
1
A
é k−2
k −2
ù
1
1
parzyste: R
kv
v
iv
k =
ê
2
l
+ 2
i ú
l
å∞
1
,
1 ê
3
2
1
1 −
l
vl
i=0
ú
ë sumaY
û
Obliczamy sumy X,Y i A
2
A = v + 2 v + ...
l
l
v
Av = ...
l
→ A =
l
2
1
( − v )
l
2
Y = 2 + 4 v + 6 v + ...
l
l
Yv = ...
l
2
Y 1
( − v ) = ... → Y =
l
2
1
( − v )
l
2
X = 1 + 3 v + 5 v + ...
l
l
1 + v
Xv = ...
l
→ X =
l
2
1
( − v )
l
1 + v
v
1 é
2
v
ù
1
v
v
l
l
l
+ 2
1 é 2
l
+
ù
ODP =
+
+
ê
+
ú =
+
ê
l
ú ≈ 2208
1
( − v )3
1
(
v
v
v
v
v
l
− )3
1
,
1
l
ë 1
( −
)3
1
(
l
− )3
l
û
1
( −
)3
1
,
1
l
ë 1
( −
)3
l
û
Zadanie 6
æ1+ i
0
,
1 5
ö
E = maxçç
−
0
;
2
2
÷÷
è i
0
,
0 5
ø
1 + i
0
,
1 5
−
> 0 → i = 0
,
0 5
1
2
i
0
,
0 52
9
,
0 5 ⋅ E
ODP =
0
,
1 8
1 ò0, 1+
=
05
i
E
− 0
,
1 5 = ....
0,03
2
2
0
,
1 4
i
0
,
0 5
æ 5 40
0
,
0 2 ⋅ 0
,
1 5 ö
ln
çç
+
−
÷÷ ⋅ 9
,
0 5
è 3
3
0
,
0 52
ø
ODP =
0
,
0 4 ⋅ 0
,
1 8
Zadanie 7
2
3
20
100000 = Xv + ( X + a) v + ( X + 2 a) v + ... + ( X + 19 a) v 100000 = Xa + vaIa 20
19
Dt )
9
(
= ( X + 9 a) v + ... + ( X +19 a) 11
v
Dt 1
(
)
0 = ( X + 10 a) v + ... + ( X + 19 a) 10
v
OD = X + 9 a − [ Dt ) 9
(
− Dt 1
(
)
0 ] =
(
6
,
0
X + 9 a)
11
ïì ,
0 (
4 X + 9 a) = ( X + 19 a) v − a ⋅ a 100000 − vaIa
10
19
í
→ X =
1
ï 00000 = Xa + vaIa a
î
20
19
20
Z tego wynika:
100000 11
v
− 40000
a =
≈ 330
6
,
3 a
− ,
0 4
12
vIa + v Ia −19 11
v a
+ a a
20
19
19
20
10
20
Zadanie 8
k
æ 3 ö
−1
1 − ç ÷
r
k
k
æ 3 ö
è 4 ø
æ 3 ö
åç ÷ =
= 4 − ç
4
÷
=1 è 4 ø
1
è 4 ø
r
4
∞ æ
æ
k
k
3
ö
ö
æ
ö
k 1
−
4
3
ç
ODP = å
∞
4 − 4
÷
ç ÷ ⋅ v
= 1
(
4 + v + ...) −
åç
÷ =
ç
÷
k = è
è ø ø
v k= è ⋅
ø
1
4
1
4
0
,
1 5
4 3 1
4
v 4 0
,
1 5
=
−
= 73 5
,
1 − v
3 1
1 − 4 0,
1 5
Zadanie 9
Bez 1 zakumulowanej:
1
1 t
1 t
B
B
B ds
t = ò t
+
s
0
ò t +
=
1 + s
1 + s
0 1
( +
2
s
s)
Z tego wynika:
1
B′ =
B
t
t
1 + t
Rozwiązujemy równanie róŜniczkowe: 1
1
ò dB = ò
dt + C
B
1 + t
ln B = ln C 1
( + t)
B = C 1
( + t
) a
l
e B
(0) = 1 → C =
1
i B = 2
1
Dodajemy 1 zakumulowaną:
æ 1 1
ö
1⋅ expç
÷
ò
dt = 2
0
è 1+ t ø
RAZEM=4
Zadanie 10
0
,
0 55
i = 12
0
,
0 55
ODS = 3 ⋅
⋅300000
12
PROW = 300000 ⋅ 0
,
0 2
300000 = Ra 360 i; Dt 1
( 2 )
0 = Ra 240; i
æ
0
,
0 55 ö
KOSZT = ODS + PROW + 120 R + Ra ç1+
÷ − 300000 =
240; i è
12 ø
300000 é
æ
0
,
0 55 öù
= 4125 + 6000 +
120 + a
ç1
ê
+
÷
i
ú − 300000 ≈ 163287
240;
a
ë
è
12 øû
360; i