Egzamin dla Aktuariuszy z 24 marca 2001 r.
Matematyka Finansowa
Zadanie 1
)
exp(
1000
1
0
2
ò
−
=
dt
t
e
ODP
[
]
[
]
ò
≈
→
Π
−
Π
⋅
<
<
→
→
≅
Π
−
=
−
1
0
x
2100
5
,
0
)
2
(
F
:
tablicach
w
sprawdzamy
czyli
normalny
rozklad
y
standardow
ma
X
gdzie
,
)
2
X
P(0
szukamy
wariancja
to
1/2
i
)
2
1
N(0;
Y
gdzie
,
5
,
0
)
1
(
2
ODP
F
dt
e
Y
t
Zadanie 2
wyliczamy
1
75
20
1
100
10
100
20
1
100
.
10
1
Z
Z
w
Z
A
I
t
→
=
−
⋅
−
=
−
=
( )
( )
( )
8
1
r
-
1
P
:
pomocnicze
Obliczenia
wyliczamy
2
75
100
2
100
1
100
.
10
20
10
Z
r
Z
Z
Z
r
II
=
−
→
=
→
=
=
−
(
)
)
1
(
2
3
100
,
3
100
2
)
1
(
:
pomocnicze
Obliczenia
wyliczamy
3
75
10
2
)
20
11
(
21
20
2
)
3
100
(
100
.
+
−
=
−
=
+
→
=
⋅
+
⋅
⋅
⋅
−
−
n
n
Z
H
Z
H
n
n
Z
Z
III
Ostatecznie: Z1+Z2+Z3 równa si
ę
około 172
Zadanie 3
t
t
i
t
t
v
+
+
+
+
+
5
6
:
t wynosi
okresie
w
)
1
(
6
5
t wynosi
okresie
w
å
=
=
+
+
+
+
+
=
⋅⋅
⋅
+
+
+
+
+
=
15
6
0
6
15
6
...
9
6
8
6
7
6
1
15
14
8
7
7
6
...
9
8
8
7
7
6
8
7
7
6
7
6
1
t
t
R
å
å
=
=
=
=
15
6
15
6
2
8
7
8
6
7
6
t
t
t
t
R
Zadanie 4
11
mod
mod
11
mod
11
1
1
1
i
lat
11
ciagu
w
rent.
-
1
)
1
(
v
d
i
v
i
−
=
+
=
→
=
−
+
mod
11
22
11
11
11
2
2
1
1
...
...
d
X
v
X
X
v
X
v
v
R
v
R
v
R
ODP
X
=
−
=
+
+
+
+
+
+
=
4
4
4
4
3
4
4
4
4
2
1
4
4 3
4
4 2
1
4
4
4
4
3
4
4
4
4
2
1
43
42
1
C
B
A
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
X
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
2
2
3
2
2
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
[
]
)
)(
1
(
)
1
)(
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
(
)
(
)
)(
1
(
)
1
(
)
1
(
2
8
8
3
3
3
2
3
2
3
2
3
2
2
2
3
5
4
3
4
3
2
3
2
3
5
4
4
3
3
3
2
2
3
2
2
2
2
3
2
2
v
v
v
v
A
v
C
a
a
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
B
a
a
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
A
+
+
=
=
=
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
+
+
+
=
=
+
+
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
+
+
+
=
=
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
&
&
&
&
2
2
8
3
3
3
2
2
a
a
v
a
a
v
a
a
X
&
&
&
&
&
&
+
+
=
Zadanie 5
1.
[
]
K
v
v
v
v
v
v
=
+
+
+
+
+
+
+
99
51
50
49
2
...
49
50
49
...
2
α
2.
[
]
K
v
v
v
v
v
v
=
+
+
+
+
+
+
+
100
51
50
49
2
...
50
50
49
...
2
β
1.
K
i
a
v
Ia
=
ú
û
ù
ê
ë
é
−
+
49
50
50
49
α
2.
K
i
a
v
Ia
=
ú
û
ù
ê
ë
é
−
+
50
50
50
50
β
Z tego wynika:
i
a
v
Ia
i
a
v
Ia
49
50
50
50
50
50
49
50
−
+
−
+
=
β
α
Poboczne wyliczenia:
fakt
znany
to
...
)
1
(
2
i
a
n
v
v
n
nv
n
n
−
=
+
+
−
+
Po wstawieniu danych do wzoru wychodzi 1,0025
Zadanie 6
ò
=
2
0
2
,
0
)
1
,
0
exp(
:
tdt
e
pomoc
ïî
ï
í
ì
=
−
+
⋅
=
−
+
205000
)
2
1
(
15
,
1
2
2
200000
)
1
(
15
,
1
2
,
0
2
2
,
0
2
Pe
P
Pe
P
α
α
α
α
