Egzamin dla Aktuariuszy z 24 marca 2001 r.

Matematyka Finansowa

Zadanie 1

)

exp(

1000

1

0

2

ò

−

=

dt

t

e

ODP

[

]

[

]

ò

≈

→

Π

−

Π

⋅

<

<

→

→

≅

Π

−

=

−

1

0

x

2100

5

,

0

)

2

(

F

:

tablicach

w

sprawdzamy

czyli

normalny

rozklad

y

standardow

ma

X

gdzie

,

)

2

X

P(0

szukamy

wariancja

to

1/2

i

)

2

1

N(0;

Y

gdzie

,

5

,

0

)

1

(

2

ODP

F

dt

e

Y

t

Zadanie 2

wyliczamy

1

75

20

1

100

10

100

20

1

100

.

10

1

Z

Z

w

Z

A

I

t

→

=

−

⋅

−

=

−

=

( )

( )

( )

8

1

r

-

1

P

:

pomocnicze

Obliczenia

wyliczamy

2

75

100

2

100

1

100

.

10

20

10

Z

r

Z

Z

Z

r

II

=

−

→

=

→

=

=

−

(

)

)

1

(

2

3

100

,

3

100

2

)

1

(

:

pomocnicze

Obliczenia

wyliczamy

3

75

10

2

)

20

11

(

21

20

2

)

3

100

(

100

.

+

−

=

−

=

+

→

=

⋅

+

⋅

⋅

⋅

−

−

n

n

Z

H

Z

H

n

n

Z

Z

III

Ostatecznie: Z1+Z2+Z3 równa si

ę

około 172

Zadanie 3

t

t

i

t

t

v

+

+

+

+

+

5

6

:

t wynosi

okresie

w

)

1

(

6

5

t wynosi

okresie

w

å

=

=

+

+

+

+

+

=

⋅⋅

⋅

+

+

+

+

+

=

15

6

0

6

15

6

...

9

6

8

6

7

6

1

15

14

8

7

7

6

...

9

8

8

7

7

6

8

7

7

6

7

6

1

t

t

R

å

å

=

=

=

=

15

6

15

6

2

8

7

8

6

7

6

t

t

t

t

R

Zadanie 4

11

mod

mod

11

mod

11

1

1

1

i

lat

11

ciagu

w

rent.

-

1

)

1

(

v

d

i

v

i

−

=

+

=

→

=

−

+

mod

11

22

11

11

11

2

2

1

1

...

...

d

X

v

X

X

v

X

v

v

R

v

R

v

R

ODP

X

=

−

=

+

+

+

+

+

+

=

4

4

4

4

3

4

4

4

4

2

1

4

4 3

4

4 2

1

4

4

4

4

3

4

4

4

4

2

1

43

42

1

C

B

A

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

X

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

2

2

3

2

2

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

=

[

]

)

)(

1

(

)

1

)(

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

(

)

(

)

)(

1

(

)

1

(

)

1

(

2

8

8

3

3

3

2

3

2

3

2

3

2

2

2

3

5

4

3

4

3

2

3

2

3

5

4

4

3

3

3

2

2

3

2

2

2

2

3

2

2

v

v

v

v

A

v

C

a

a

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

B

a

a

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

A

+

+

=

=

=

+

+

+

+

=

+

+

+

+

+

+

+

+

=

=

+

+

+

+

+

+

+

+

=

+

+

+

+

+

+

+

+

=

=

+

+

=

+

+

+

=

+

+

+

=

&

&

&

&

2

2

8

3

3

3

2

2

a

a

v

a

a

v

a

a

X

&

&

&

&

&

&

+

+

=

Zadanie 5

1.

[

]

K

v

v

v

v

v

v

=

+

+

+

+

+

+

+

99

51

50

49

2

...

49

50

49

...

2

α

2.

[

]

K

v

v

v

v

v

v

=

+

+

+

+

+

+

+

100

51

50

49

2

...

50

50

49

...

2

β

1.

K

i

a

v

Ia

=

ú

û

ù

ê

ë

é

−

+

49

50

50

49

α

2.

K

i

a

v

Ia

=

ú

û

ù

ê

ë

é

−

+

50

50

50

50

β

Z tego wynika:

i

a

v

Ia

i

a

v

Ia

49

50

50

50

50

50

49

50

−

+

−

+

=

β

α

Poboczne wyliczenia:

fakt

znany

to

...

)

1

(

2

i

a

n

v

v

n

nv

n

n

−

=

+

+

−

+

Po wstawieniu danych do wzoru wychodzi 1,0025

Zadanie 6

ò

=

2

0

2

,

0

)

1

,

0

exp(

:

tdt

e

pomoc

ïî

ï

í

ì

=

−

+

⋅

=

−

+

205000

)

2

1

(

15

,

1

2

2

200000

)

1

(

15

,

1

2

,

0

2

2

,

0

2

Pe

P

Pe

P

α

α

α

α

stronami

odejmujemy

205000

2

15

,

1

2

400000

2

2

15

,

1

2

2

,

0

2

,

0

2

2

,

0

2

,

0

2

ïî

ï

í

ì

=

−

+

⋅

=

−

+

⋅

Pe

Pe

P

Pe

Pe

P

α

α

α

α

160000

195000

195000

2

,

0

2

,

0

≈

=

=

e

P

Pe

Zadanie 7

TAK

1

1

)

1

(

1

)

1

(

)

(

1

1

1

1

−

−

−

−

=

−

=

−

−

+

=

−

+

−

=

=

+

÷

ø

ö

ç

è

æ

−

n

n

n

n

n

n

a

v

i

v

i

i

i

v

L

a

i

d

a

i

δ

δ

δ

δ

δ

2

2

1

)

1

(

1

)

(

1

:

bo

NIE

)

(

v

d

d

d

i

dd

d

d

d

i

ii

=

−

+

−

=

−

=

[

]

1

1

1

2

1

3

2

2

1

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(

...

)

1

(

)

1

(

)

1

(

...

3

2

...

)

1

(

)

(

)

(

:

bo

TAK

)

(

+

+

+

+

+

+

+

=

+

=

+

+

+

+

+

+

+

+

=

=

+

+

+

+

+

+

+

+

+

−

+

=

+

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

v

a

n

a

n

v

n

v

n

v

n

v

n

v

n

nv

v

v

v

v

v

n

nv

Ia

Da

iii

n

m

m

n

a

m

i

i

i

a

iv

÷

ø

ö

ç

è

æ

+

=

)

(

)

(

:

bo

NIE

)

(

&

&

Zadanie 8

ïî

ï

í

ì

=

+

=

j

n

i

n

i

n

a

R

P

a

R

a

R

L

;

2

2

;

1

;

2

1

Z tego wynika:

i

j

n

i

n

i

n

a

R

P

a

La

;

2n

;

2

2

;

2

;

a

⋅

=

+

i

n

j

n

i

n

i

n

a

a

R

Pa

La

;

2

;

2

2

;

2

;

⋅

=

+

i

n

i

n

i

n

j

n

Pa

La

a

a

R

;

2

;

;

2

;

2

2

=

−

⋅

prawdziwa

A

1

1

odpowiedź

P

L

→

=

Zadanie 9

B

A

v

v

v

nv

v

v

DK

Cv

v

v

iF

nCv

nv

v

v

iF

DO

n

n

n

n

n

n

=

+

+

+

+

+

+

=

+

+

+

+

+

+

+

=

...

...

2

)

...

(

)

...

2

(

2

2

2

A

B

iF

Cv

B

iF

nCv

A

DK

DO

n

n

⋅

+

+

=

zawsze

1

1

oczywiste

-

DK

DO

DK

DO

iF

ACv

AB

iF

BnCv

AB

iF

ACv

AB

iF

BnCv

AB

iF

ACv

iF

BnCv

A

Bn

n

n

n

n

n

n

>

→

>

→

→

>

+

+

→

+

>

+

→

>

→

>

Zadanie 10

ïî

ï

í

ì

+

=

+

+

=

n

n

n

n

v

a

P

v

a

P

2

2

1000

60

50

1000

60

St

ą

d:

5

,

0

50

1000

05

,

0

)

1

(

60

1000

05

,

0

)

1

(

60

2

2

=

→

−

+

−

=

+

−

n

n

n

n

n

v

v

v

v

v

1100

5

,

0

1000

05

,

0

5

,

0

1

60

=

⋅

+

−

=

P