Egzamin dla Aktuariuszy z 17 marca 2008 r.
Matematyka Finansowa
Zadanie 1
i
v
i
+
=
=
1
1
;
2
055
,
0
K – ile wydamy na obligację z tytułu długiej pozycji
(
)
6
6
5
4
3
2
50000
1500
v
v
v
v
v
v
v
K
+
+
+
+
+
+
=
(
)
(
)
(
)
85
,
1
)
100000
(
3000
2
200000
2
5
,
1
5
,
0
3000
4
4
3
2
4
4
3
2
≈
−
+
+
+
+
−
+
+
+
+
=
v
K
v
v
v
v
v
K
v
v
v
v
ODP
Zadanie 2
1
1
1
01
,
1
1000
968
1
1
968
1
01
,
1
1000
v
r
r
=
⋅
=
+
→
=
+
⋅
(
)(
)
(
)(
)
2
2
1
2
1
011
,
1
01
,
1
1000
937
1
1
1
937
1
1
011
,
1
01
,
1
1000
v
r
r
r
r
=
⋅
⋅
=
+
+
→
=
+
+
⋅
⋅
(
)(
)(
)
(
)(
)(
)
3
3
2
1
3
2
1
012
,
1
011
,
1
01
,
1
1000
907
1
1
1
1
1
1
1
012
,
1
011
,
1
01
,
1
1000
v
r
r
r
r
r
r
=
⋅
⋅
⋅
=
+
+
+
→
+
+
+
⋅
⋅
⋅
(
)(
) (
)(
)(
)
1000000
1
1
1
1
2
,
0
5
,
0
05
,
0
1
1
2
,
0
5
,
0
05
,
0
1
2
,
0
5
,
0
05
,
0
1
3
2
1
2
1
1
ú
û
ù
ê
ë
é
+
+
+
+
⋅
+
+
+
+
⋅
+
+
+
⋅
+
=
r
r
r
r
r
r
Z
(
)
[
]
3
2
1
)
1
05
,
0
(
)
2
,
0
5
,
0
05
,
0
(
2
,
0
5
,
0
05
,
0
1000000
2
v
v
v
Z
+
+
⋅
+
+
⋅
+
=
[
]
3
2
1
)
1
2
,
0
5
,
0
05
,
0
(
05
,
0
)
2
,
0
5
,
0
05
,
0
(
1000000
3
v
v
v
Z
+
⋅
+
+
+
⋅
+
=
[
]
3
2
1
)
1
05
,
0
(
05
,
0
)
2
,
0
5
,
0
05
,
0
(
1000000
4
v
v
v
Z
+
+
+
⋅
+
=
[
]
3
2
1
)
1
2
,
0
5
,
0
05
,
0
(
)
2
,
0
5
,
0
05
,
0
(
05
,
0
1000000
5
v
v
v
Z
+
⋅
+
+
⋅
+
+
=
[
]
3
2
1
)
1
05
,
0
(
)
2
,
0
5
,
0
05
,
0
(
05
,
0
1000000
6
v
v
v
Z
+
+
⋅
+
+
=
[
]
3
2
1
)
1
2
,
0
5
,
0
05
,
0
(
05
,
0
05
,
0
1000000
7
v
v
v
Z
+
⋅
+
+
+
=
[
]
3
2
1
)
1
05
,
0
(
05
,
0
05
,
0
1000000
8
v
v
v
Z
+
+
+
=
i wychodzi odpowied
ź
(A)
Zadanie 3
Trzeba znale
źć
rozkład A,B,A+B
A:
A
X - wypłata
(
)
95
,
0
10000
=
=
A
X
P
(
) (
)
025
,
0
5
,
0
05
,
0
6000
7000
=
⋅
=
=
=
=
A
A
X
P
X
P
rozkład A:
95
,
0
1
9
10
9
1
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
−
=
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
A
P
A
P
÷
ø
ö
ç
è
æ
−
=
=
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
−
=
9
2
025
,
0
9
3
A
P
A
P
B:
(
)
95
,
0
10000
=
=
B
X
P
(
)
025
,
0
6200
=
=
B
X
P
(
)
025
,
0
6800
=
=
B
X
P
95
,
0
9
1
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
B
P
025
,
0
90
22
90
28
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
−
=
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
−
=
B
P
B
P
A+B: ozn: a – bankructwo A, b – bankructwo B
P(a)=P(b)=0,05
(
)
0
=
∩
b
a
P
(
) (
)
(
)
(
)
9
,
0
2
05
,
0
1
)
(
)
(
1
1
=
⋅
−
=
∩
+
−
−
=
∪
−
=
′
∪
=
′
∩
′
b
a
P
b
P
a
P
b
a
P
b
a
P
b
a
P
(
)
(
)
(
)
(
) (
)
[
]
(
)
05
,
0
)
(
=
∩
−
=
∩
−
∩
Ω
=
∩
−
Ω
=
∩
′
b
a
P
b
P
b
a
b
P
b
a
P
b
a
P
(
)
(
)
(
)
(
) (
)
[
]
(
)
05
,
0
)
(
=
∩
−
=
∩
−
∩
Ω
=
∩
−
Ω
=
∩
′
b
a
P
a
P
a
b
a
P
a
b
P
a
b
P
(
)
9
,
0
20000
=
=
+
B
A
X
P
(
)
5
,
0
05
,
0
16000
⋅
=
=
+
B
A
X
P
(
)
5
,
0
05
,
0
17000
⋅
=
=
+
B
A
X
P
(
) (
)
025
,
0
16800
16200
=
=
=
=
+
+
B
A
B
A
X
P
X
P
9
,
0
9
1
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
+
B
A
P
025
,
0
180
12
180
18
18
1
9
1
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
−
=
+
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
−
=
+
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
−
=
+
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
−
=
+
B
A
P
B
A
P
B
A
P
B
A
P
ï
ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
ï
í
ì
>
úû
ù
ç
è
æ
−
∈
úû
ù
ç
è
æ
−
∈
−
≤
=
<
1
1
9
1
;
9
2
05
,
0
9
2
;
9
3
-
x
025
,
0
9
3
0
)
(
x
x
x
x
A
P
ï
ï
ï
ï
ï
î
ïï
ï
ï
ï
í
ì
>
úû
ù
ç
è
æ
∈
úû
ù
ç
è
æ
−
∈
≤
=
<
45
5
x
1
45
5
;
45
11
-
x
05
,
0
45
11
;
45
14
-
x
025
,
0
45
14
-
x
0
)
(
x
B
P
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
î
ïï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
í
ì
>
úû
ù
ç
è
æ
−
∈
úû
ù
ç
è
æ
−
−
∈
úû
ù
ç
è
æ
−
−
∈
úû
ù
ç
è
æ
−
−
∈
≤
=
<
+
180
20
1
180
20
;
180
10
1
,
0
180
10
;
180
12
075
,
0
180
12
;
180
18
05
,
0
180
18
;
180
20
025
,
0
180
20
-
x
0
)
(
x
x
x
x
x
x
B
A
P
180
18
)
(
180
44
45
11
)
(
180
40
9
2
)
(
%
5
%
5
%
5
=
+
=
=
=
=
B
A
VaR
B
VaR
A
VaR
180
20
)
(
180
56
45
14
)
(
180
60
9
3
)
(
%
5
,
2
%
5
,
2
%
5
,
2
=
+
=
=
=
=
B
A
VaR
B
VaR
A
VaR
sprawdzamy i wychodzi odpowied
ź
C
Zadanie 4
Chcemy by kwota, któr
ą
dostaniemy po 3 miesi
ą
cach była niezale
Ŝ
na od X – cena akcji
Z opcji kupna max(X-40;0)
Z opcji sprzeda
Ŝ
y max(40-X;0)
1
k
- ilo
ść
opcji kupna
2
k
- ilo
ść
opcji sprzeda
Ŝ
y
c – kwota na inwestycj
ę
woln
ą
od ryzyka
X – tyle musimy zwróci
ć
(z krótkiej sprzeda
Ŝ
y)
Dostaniemy:
0
)
0
;
40
max(
)
0
;
40
max(
025
,
0
2
1
>
−
+
−
+
−
X
ce
X
k
X
k
(chcemy
Ŝ
eby taka
nierówno
ść
zachodziła)
Dla X>40
1
0
)
40
(
1
025
,
0
1
=
→
>
−
+
−
k
X
ce
X
k
Dla X<40
1
0
)
40
(
2
025
,
0
2
−
=
→
>
−
+
−
k
X
ce
X
k
25
,
41
75
,
0
42
75
,
0
25
,
2
3
42
25
,
2
3
2
1
=
−
=
→
=
−
→
=
+
⋅
+
⋅
c
c
k
k
czyli dostaniemy:
40
25
,
41
40
025
,
0
025
,
0
−
=
−
e
ce
(
)
24
,
2
40
25
,
41
025
,
0
025
,
0
≈
−
=
−
e
e
ODP
Zadanie 5
0
r - stopa realna
r – stopa nominalna
f – stopa inflacji
f
r
r
+
+
=
+
1
1
1
0
0
r =0,0455
1+r=x
1+r=1,0455(1+f)
y=1+f
1
,
9
)
1
(
50
)
1
(
60
1
70
130
3
2
=
+
+
+
+
+
+
−
r
r
r
10
1
,
9
50
60
70
130
3
2
3
⋅
=
+
+
+
−
x
x
x
x
0
500
600
700
1391
2
3
=
−
−
−
x
x
x
0
500
0455
,
1
600
0455
,
1
700
0455
,
1
1391
)
(
2
2
3
3
=
−
⋅
−
⋅
−
⋅
=
y
y
y
y
f
i sprawdzamy które najbli
Ŝ
ej:
dla y=1,08 czyli f=8% f(y) równa si
ę
około –67,46
dla f=9% około –34,19
dla f=10% około 6,22
dla f=11% około 34,99
dla f=12% około ....
czyli C najbli
Ŝ
ej
Zadanie 6
Model CAPM:
(
)
f
M
i
f
i
r
r
β
r
r
−
=
−
06
,
0
=
f
r
dla I:
023
,
0
041
,
0
lub
041
,
0
;
8
,
0
+
=
−
=
−
=
f
M
f
M
r
r
r
r
β
(
)
1112
,
0
023
,
0
041
,
0
8
,
0
06
,
0
lub
0928
,
0
041
,
0
8
,
0
06
,
0
1
1
=
+
+
=
=
⋅
+
=
r
r
dla II:
09977
,
0
041
,
0
97
,
0
06
,
0
;
97
,
0
2
=
⋅
+
=
=
r
β
(
) (
)
(
) (
)
2
5
3
5
3
4
2
4
2
1
...
4
...
5
3
4
...
4
...
4
2
4
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
L
Y
X
−
+
+
+
+
+
−
−
+
+
−
+
+
=
4
4
8
4
4
7
6
4
4
8
4
4
7
6
...
4
2
6
4
2
+
+
=
v
v
Xv
( )
( )
2
2
2
2
2
4
2
2
1
2
1
2
...
2
2
1
v
v
X
v
v
v
v
v
X
−
=
→
−
=
+
+
=
−
...
5
3
7
5
2
+
+
=
v
v
Yv
( )
2
2
5
3
2
5
3
7
5
3
2
1
1
2
3
1
2
3
...
2
2
3
1
v
v
v
v
Y
v
v
v
v
v
v
v
Y
−
−
+
=
→
−
+
=
+
+
+
=
−
( )
2
2
3
2
2
5
3
2
2
2
2
2
1
1
4
1
1
2
3
4
1
4
1
8
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
L
−
−
+
−
−
+
−
−
−
−
−
=
...
4
2
6
4
2
+
+
=
v
v
Cv
( )
( )
2
2
2
2
2
4
2
2
1
2
1
2
...
2
2
1
v
v
C
v
v
v
v
v
C
−
=
→
−
=
+
+
=
−
...
5
3
7
5
3
2
+
+
+
=
v
v
v
Dv
( )
( )
2
2
3
2
2
3
5
3
2
1
2
1
1
2
...
2
2
1
v
v
v
v
D
v
v
v
v
v
v
v
D
−
+
−
=
→
−
+
=
+
+
+
=
−
M=C-D
025
,
0
≈
=
M
L
ODP
Zadanie 9
Ź
le sformułowane zadanie – nie wiadomo o co chodzi
Moim zdaniem chodzi o zmian
ę
ró
Ŝ
nicy cen opcji
Czyli korzystaj
ą
c z pu-call parity ró
Ŝ
nica C-P nie zale
Ŝ
y od zmienno
ś
ci czyli jak była taka jest
i st
ą
d ODP D jest prawidłowa
Zadanie 10
10
6
5
3
3
5
2
3
2
1
)
(
5
,
2
5
,
2
5
,
2
−
−
−
−
=
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
−
+
+
=
e
e
e
h
P
10
4
5
3
2
5
2
2
2
1
)
(
5
,
2
5
,
2
5
,
2
−
−
−
+
=
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+
+
−
=
e
e
e
b
P
110
100
)
(
100
)
(
025
,
0
025
,
0
1
,
0
025
,
0
≈
+
⋅
=
e
e
b
P
e
e
h
P
ODP
