Wyrażenia arytmetyczne.

Szkoła podstawowa.

Wykonał: Piotr Kwiatkowski.

Omawiam ten temat na podstawie następujących programach (podręcznikach) nauczania:

• „Matematyka z plusem”.

• „Matematyka dla Ciebie”(Nowa Era).

• „Matematyka wokół nas”.

• „Matematyka 2001”.

Wyrażenie arytmetyczne to dowolne wyrażenie zawierające liczby i zmienne utworzone z nich za pomocą operacji arytmetycznych czyli +, -, *, / dodawanie, odejmowanie, dzielenie, pierwiastkowanie, potęgowanie

. Wyrażenie arytmetyczne-wyrażenie złożone z liczb połączonych znakami działań (+ - · :)w którym mogą występować nawiasy ,znaki potęg i pierwiastków.

Chociaż w podręcznikach na ogół nie ma tematu pod takim tytułem lecz wyrażenia arytmetyczne pojawiają się niemal w każdym temacie, miedzy innymi gdy cos trzeba dodać odjąć od siebie wymnożyć podzielić. Dlatego wyrażenia arytmetyczne wprowadza się już w klasach początkowych w klasach I - III gdy uczy się dzieci liczby, za pomocą znaczków symboli. Już wtedy gdy na przykład wprowadza się liczbę dajmy przykładowo 5, nauczyciel mówi że gdy mamy 3 cukierki i do tych trzech cukierków otrzymamy jeszcze dodatkowo 2 to w sumie będziemy mieli 5 cukierków. Dzieci w tym wieku jeszcze nie rozumieją że w ten sposób wykonują podstawowe działanie wyrażenia arytmetycznego jakim jest dodawanie.

Lecz ja skupie swoja uwagę na opisie owego tematu w klasach IV - VI szkoły podstawowej.

W „Matematyce 2001” , nie ma tematu poświęconemu tylko „Wyrażeniom arytmetycznym” lecz można zauważyć już działania arytmetyczne w temacie „Liczby jako cyfry”( drugi temat w podręczniku , po temacie „Wędrówka po liczbach”) gdy w zadaniu gdzie liczby są zaprezentowane w zapisie rzymskim i tak:

zapis IV oznacza 5 -1 = 4 albo XL oznacza 50 -10 = 40 itd.

Już tutaj widać wyrażenie arytmetyczne które zawiera liczby i zmiennej utworzonej za pomocą operacji arytmetycznych ( w tym przypadku -) .

Następnie o wyrażeniach również nie wprost jest wspomniane już w następnym temacie pt „Wszystko w głowie”. Na początku tego tematu jest opisana wzruszająca opowieść o Pafnucym o treści:

Dawno ,dawno temu wędrował po świecie rycerz Pafnucy, nieprzejednany pogromca smoków. Aby zdobyć serce ukochanej Kunegundy, musiał ściąć 170 smoczych łbów. W pierwszym miesiącu pokonał 57 smoków. W drugim miesiącu poszczęściło mu się i unieszkodliwił aż 64 bestie, a w trzecim miesiącu 52. Wreszcie strudzony usiadł pod drzewem i zaczął robić rachunki, a że był nie tylko dzielny, ale i mądry, robił je w pamięci.

57 + 64 + 52 = ?

Najpierw z każdej liczby po pięćdziesiąt:

50 i 50 i 50 to 150.

Później to, co zostało:

7 i 14 i 2 to 23.

Na koniec wszystko razem :

150 i 23 to 173.

Widać w sposób wyraźny dodawanie do siebie liczby całkowite - działanie za pomocą operacji arytmetycznej ( w tym przypadku +).

Następnie w tym samym temacie autorzy bardzo ładnie pokazali w jaki sposób można w sposób poprawny dodawać i odejmować od siebie liczby.

Zadanie 1.Przyjrzyjcie się uważnie pokazanym niżej metodom dodawania. Wyjaśnijcie, na czym polega każda z tych metod.

45 + 38 = ?

1. 40 + 30 = 70

5 + 8 = 13

70 + 13 = 83

2. 43 + 40 = 83.

3. 45 + 5 = 50

50 + 33 = 83

d) 45 + 30 = 75

75 + 8 = 83.

Następnie jest zdanie 2 w którym są podane kilka przykładów na dodawanie do siebie dwóch liczb całkowitych, i proszą autorzy o ich obliczenie najlepszym zdaniem uczniów metoda liczenia którą zaprezentowali w zadaniu 1.

Zadanie 3 polega na tym samy co zadanie 1 lecz autorzy tutaj przedstawiają różne sposoby nie dodawanie ale odejmowania. I też proszą o wyjaśnienie na czym polega każda z nich

71 - 46 = ?

1. 46 + 4 = 50

50 + 20 = 70

70 + 1 = 71

4 + 20 + 1 = 25

2. 11 - 6 = 5

60 - 40 = 20

20 + 5 = 25

3. 70 - 45 = 25

4. 71 - 40 = 31

31 - 6 = 25.

Następnie jest zdanie 4 w którym są podane kilka przykładów na odejmowanie do siebie dwóch liczb całkowitych, i proszą autorzy o ich obliczenie najlepszym zdaniem uczniów metoda liczenia którą zaprezentowali w zadaniu 3.

Później są zadania poświecone dodawaniu i odejmowaniu liczb całkowitych.

Co dopiero po dziewięciu zadaniach na przykładzie są nazwane wszystkie czynniki w dodawaniu i odejmowaniu liczb i tak:

82 + 35 = 117

składnik składnik suma

78 - 32 = 46

odjemna odjemnik różnica

Jak widać nie ma nic mowy w tym temacie o mnożeniu dzieleniu pierwiastkowaniu czy potęgowaniu liczb.

Mnożenie i dzielenie liczb pojawia się już w temacie pt „ Pudełka duże i małe” w czwartym temacie w podręczniku.

Wprowadzenie mnożenia i dzielenia autorzy wprowadzili sobie za pomocą przykładu:

Przykład. Ania i Karol rozwiązywali w pamięci zadanie:

W pudełku mieści się 28 kartoników z sokiem. Ile kartoników zmieści się w 6 takich pudełkach ?.

I dalej piszą:

Które działanie należy wykonać , aby rozwiązać to zadanie ?

28 + 6 28 - 6 28 x 6 28 : 6

A następnie :

Popatrz, jak poradzili sobie z tym zadaniem Ania i Karol:

Ania : 20 x 6 = 120

8 x 6 = 48

120 + 48 = 168

28 x 6 = 168

Karol : 30 x 6 = 180

2 x 6 = 12

180 - 12 = 168

28 x 6 = 168.

Następnie są zadania na mnożenie liczb, lecz autorzy proszą aby uczniowie wykonywali te obliczenia jedna z tych dwóch metod.

W zadaniu 6 tego tematu jest wprowadzone przez autorów działanie dzielenia, w ten sam sposób co wcześniej mnożenie.

Zadanie 6. Przyjrzyjcie się uważnie następującym sposobom dzielenia w pamięci. Spróbujcie uzasadnić, dlaczego są dobre.

144 : 8 = ?

1. 80 : 8 = 10

64 : 8 = 8

10 + 8 = 18

2. 160 : 8 = 20

16 : 8 = 2

20 -2 = 18.

Później jest jeszcze jedno zadanie w który należy stosując jedną z tych dwóch powyższych metod obliczyć dzielenie jednej liczby przez drugą.

Następnie autorzy na przykładach nazywają wszystkie czynniki w mnożeniu i dzieleniu:

• x 6 = 162

czynnik czynnik iloczyn

170 : 34 = 5

Dzielna dzielnik iloraz.

W kolejnym temacie w podręczniku, jest mowa o bardzo ważnych zasadach o które należy pamiętać wykonując przeróżne obliczenia tzn. kolejność wykonywania działań.

Temat w podręczniku nosi tytuł „Matematyczny kodeks działań”.

Autorzy posługując się przykładem z życia codziennego tłumaczą że w matematyce również jak na drogach obowiązuje pewny porządek. Na ulicach decyduje o tym kodeks drogowy i związane z tym znaki drogowe , a w matematyce kolejność wykonywania działań która zresztą jest taka sama i nie zmienia się czyli: najpierw wykonujemy działania te które są w nawiasie ( traktujemy je tak samo jak pojazdy uprzywilejowane) a później mnożenie z dzieleniem i dodawanie i odejmowanie.

Następnie są wykonywane działania w których należy liczby ze sobą powymrażać podejmować pododawać i podzielić oczywiście pamiętając o kolejności wykonywania działań.

Lecz autorzy nie zapominają również po kilku zadaniach powtórzyć ta cała wiedzę i przypominają owe reguły na przykładach

Najpierw wykonujemy działania w nawiasach 5 x ( 27 - 16 )

Mnożenie i dzielenie wykonujemy przed dodawaniem i odejmowaniem 37 + 48 : 4

W takich sytuacjach wykonujemy działania w kolejności ich zapisu: 28 : 7 x 5

I po tym dalej są zadania.

Lecz pisząc o wyrażeniach arytmetycznych nie można zapomnieć o wykonywaniu różnych działań sposobem pisemnym.

Autorzy przypominają uczniom klasy czwartej jak wykonuje się dodawanie , odejmowanie, mnożenie i dzielenie sposobem pisemnym. Dodawanie w siódmym temacie w podręczniku w temacie pt ”Statkiem czy na wielbłądzie?”. Przypominają aby na początku dodać do siebie jedności , potem dziesiątki, setki tysiące itd. Odejmowanie przypomniane jest w następnym temacie książki pt „ O ile się różnią?”. I również przypominają autorzy że przy odejmowaniu pisemnym najpierw odejmuje się od siebie jednostki potem dziesiątki , setki itd. Lecz także przypominają że jeśli odejmujemy mniejsza liczbę od większej wówczas musimy zapożyczyć jedną cześć liczby która jest o jedna wagę większa.

O mnożeniu liczb sposobem pisemnym autorzy przypominają w temacie trzynastym pt „ Rachujące pałeczki” a o dzieleniu sposobem pisemnym w następnym temacie pt” Na wycieczce”.

Aby wprowadzić mnożnie liczb sposobem pisemnym autorzy przedstawiają uczniom sposób w jakim dokonywano kiedyś podobnego liczenia , czyli za pomocą rachujących pałeczek.

Następnie są podane działania które należy w podobny sposób wykonać, zanlezć.

W zadaniu 4 jest pokazana inna metoda za pomocą której można wymnożyć przez siebie liczby:

Przyjrzyjcie się tym obliczeniom:

237 x 4 = 200 x 4 + 30 x 4 + 7 x 4 = 800 + 120 + 28 = 948.

albo:

237

x 4

______

28

120

+ 800

_______

948

albo:

1 2

237

x 4

_____

948

I zadają pózniej pytanie uczniom na czym polega każda z tych podanych sposobów mnożenia.

Następnie są zadania w którym należy wymnożyć dwie liczby przez siebie, jedną z podanych metod.

Dzielenie sposobem pisemnym jak już wcześniej wspomniałem zostało wprowadzone w następnym temacie.

Na początku tematu autorzy przedstawiają pewna historię za pomocą której wprowadzają uczniów do nowego zagadnienia jakim jest dzielenie.

PRZYKŁAD: Uczniowie klas czwartych pojechali na wycieczkę do Tarnowskich Gór. Jedną z atrakcji tej dwudniowej wyprawy była przejażdżka łodziami po podziemnym jeziorze w sztolni „ Czarnego Pstrąga”. Do kolejnych podpływających łodzi wsiadło po 4 pasażerów.

I następnie są pytania , gdzie aby odpowiedzieć na nie należy ułożyć poprawne działanie na dzielenie liczb.

Pytania:

• Ile łodzi było potrzebnych do przewiezienia 74 uczniów i 4 nauczycieli

• Ile łodzi miało komplet pasażerów? A ilu pasażerów siedziało w ostatniej łodzi?

• Z powodu choroby na wycieczkę nie pojechało 4 uczniów. Jakie byłyby odpowiedzi na dwa poprzednie pytania, gdyby byli oni zdrowi i wzięli udział w tej wycieczce?

• A jak zmieniłyby się te odpowiedzi, gdyby liczba uczestników wycieczki wzrosła o 8 osób?. A zmalała o 12 osób? Dlaczego?.

Po tym przykładzie autorzy poświęcają jeszcze jedno zadanie które jest bardzo podobne do przykładu. Później są zadania gdzie wymagane jest obliczenie podzielności pewnej liczby przez inną.

Po tych zadania autorzy nazywają wszystkie czynniki dzielenia, wspomagając sobie przy tym przykładem.

Dzielna dzielnik iloraz

97 : 5 = 19 reszta 2 , bo

19 x 5 + 2 = 95 + 2 = 97

Następnie pokazują jak należy prawidłowo wykonywać dzielenie sposobem pisemnym.

A pożniej są zadania na podzielenie różnych liczb przez inne liczby sposobem pisemnym.

W podręczniku autorstwa Danuty Zaremby „Wyrażeniom arytmetycznym” poświecony jest jeden temat pod tym samym tytułem , ale co dopiero w klasie szóstej szkoły podstawowej.

Temat ten występuje jako trzeci temat z działu „Ułamki zwykłe i dziesiętne” a po temacie „ Dzielenie ułamków dziesiętnych” , a przed „Potęgowaniem”.

Autorka na początku przedstawia kilka przykładów wyrażeń arytmetycznych.

min. :
, 12:(3
) ,

a później następująco opisuje:

Jak widać, w wyrażeniach arytmetycznych występują liczby i symbole działań, czasem także nawiasy. Wartością wyrażenia arytmetycznego nazywamy liczbę, którą otrzymamy wykonując wszystkie działania występujące w wyrażeniu.

Jak wiesz, działania wykonuje się w określonej kolejności, nie zawsze pokrywającej się z kolejnością ich występowania. Czasami najpierw wykonuje się działanie, które wcale nie jest pierwsze. Na przykład obliczając wartość wyrażenia :

3 + 5

najpierw mnożymy
, a potem wynik dodajemy do 3.

Kolejność wykonywania działań wynika z przyjętej w matematyce umowy. Trzeba ją zapamiętać:

Mnożenie i dzielenie wykonuje się przed dodawaniem i odejmowaniem.

Mnożenie i dzielenie są równouprawnione, wykonuje się je w kolejności występowania ( od lewej strony do prawej). To samo dotyczy dodawania i odejmowania.

Jeżeli w wyrażeniu arytmetycznym są nawiasy, to najpierw trzeba wykonać działania w nawiasach.

I dalej autorka przedstawia jak prawidłowo powinno się wykonywać obliczenia w szczególności zwracając uwagę na odpowiednią kolejność wykonywania działań.

A po przykładach są ćwiczenia i zadania do tematu lekcji.

W „ Matematyce dla Ciebie” (Nowej Ery) , również nie ma tematu poświęconemu wyrażeniom arytmetycznym. Zamiast tego autorzy rozbili ten temat na kilka mniejszych m.in.: Dodawanie liczb naturalnych. Odejmowanie liczb naturalnych. Ułamki zwykłe. Mnożenie liczb naturalnych. Dzielenie liczb naturalnych. Dodawanie i odejmowanie ułamków . Kolejność działań.

W temacie „Dodawanie liczb naturalnych” autorzy przedstawiają magiczny kwadrat .Proszą o wyliczenie sumy wszystkich rzędach poziomych, pionowych i po przekątnych.

23	56	32
46	37	28
42	18	51

.Pózniej się okazuje że we wszystkich otrzymanych wynikach suma wychodzi taka sama czyli 111, i dlatego został nazwany ten kwadrat magicznym.

Później autorzy przypominają:

W dodawaniu :

23 + 37 + 51 = 111

Składniki to jest suma

Następnie autorzy proszą w zadaniach uczniów aby po sprawdzali czy podane przez nich następne kwadraty są magiczne oraz żeby każdy uczeń starał się liczyć w pamięci.

W „Matematyce wokół nas” w klasie V na początku jest temat poświecony arytmetyce a nosi tytuł „Arytmetyka z elementami algebry” .Autorzy przypominają wiadomości o liczbach

w systemie dziesiątkowym i systemie rzymskim. Następnie przypominają jakie są prawa działań i tak :

5 + 2 = 7 gdzie 5, 2 - składniki a 7- suma wynik dodawania to suma.

15 - 9 = 6 gdzie 15 - odjemna, 9 - odjemnik 6 - różnica

wynik odejmowania to różnica

4 x 7 = 28 gdzie 4 , 7 - czynniki a 28 - iloczyn wynik mnożenia to iloczyn

35 : 7 = 5 gdzie 35 - dzielna , 7 - dzielnik a 5 iloraz wynik dzielenia to iloraz

I dodają:

Dzielnik musi być liczbą różną od zera.

5 - podstawa potęgi

2 - wykładnik potęgi

I dalej piszą:

Ponieważ mnożenie jest przemienne, więc:

Natomiast dla dzielenia prawdziwe są tylko wzory:

A później przypominają inne prawa działań takie jak:

a) przemienność dodawania : 8+5=5+8

b) przemienność mnożenia : 6 x 4 = 4 x 6

c) łączność dodawania (2 + 8) + 4 = 2 + (8 + 4)

d) łączność mnożenia ( 5 x 7 ) x 2 = 5 x ( 7 x 2 )

e) rozdzielność mnożenia względem dodawania 8 x ( 4 + 6 ) = 8 x 4 + 8 x 6

f) rozdzielność mnożenia względem odejmowania 9 x ( 10 - 3 ) = 9 x 10 - 9 x 3

Następnie autorzy zwracają jeszcze uwagę na działania , w których występują liczby 0 i 1.

Prawdziwe są następujące zależności:

a + 0 = a

0 + a = a

a - a = 0

a - 0 = a

a x 1 = a

1 x a = 1

a x 0 = 0

0 x a = 0

a : 1 = a

a : a = 1

0 : a = 0 , a
.

A następnie są zadania w których należy obliczyć sumę kilku liczb, albo obliczyć wyrażenia arytmetyczne stosując prawa działań.

W następnych tematach tego działu autorzy przypominają w jaki sposób dodaje się , odejmuje liczby sposobem pisemnym. Zwracają uwagę aby podczas dodawania lub odejmowania liczby podpisywać jedna pod dugą w następujący sposób: jedności pod jednostkami, dziesiątki pod dziesiątkami, setki pod setkami itd.

Następnie są ćwiczenia w których należy wykonać pisemne dodawanie lub odejmowanie.

Kolejnym tematem jest mnożenie i dzielenie sposobem pisemnym. Tutaj autorzy tylko podają po jednym rozwiązanym przykładzie na mnożenie i dzielenie pisemne ( w celu przypomnienia ) a następnie są zadania na dzielenie i mnożenie pisemne do samodzielnego rozwiązania.

I jeszcze jeden temat w tym dziale o którym tez chciałbym wspomnieć jest temat pt „Kolejność wykonywania działań”.

Autorzy rozpisują się następująco:

Chcąc obliczyć wartość wyrażenia arytmetycznego, w którym występują różne działania ,

musimy pamiętać o kolejności ich wykonywania.

Kolejność wykonywania działań jest następująca:

1.Działania w nawiasach.

2. Potęgowanie.

3.Mnozenie i dzielenie.

4. Dodawanie i odejmowanie.

W każdej z grup: 1 i 2 lub 3, lub 4 działania wykonujemy, zaczynając od strony lewej wyrażenia do jego strony prawej.

Działania w nawiasach wykonujemy także według podanych wyżej zasad.

Następnie dla przykładu jak to się wykonuje obliczają podane wartości w następujący sposób.

1) 10 + 9 - 8 = 19 - 8 = 11

2) 12 - 8 + 2 = 4 + 2 = 6

3) 4 x 5 x 3 = 20 x 3 = 60

4) 7 x 4 : 2 = 28 : 2 = 14

5) 20 : 4 x 5 = 5 x 5 = 25

6) 100 : 10 : 5 = 10 : 5 = 2

7) 56 + 3 x 15 - 8 : 2 = 56 + 45 -4= 101 - 4 = 97

8) 56 : 2 : 2 : 2 + 3 = 28 : 2 : 2 + 3 = 14 : 2 + 3 = 7 + 3 = 10

9 ) ( 2 x 3 - 5 )
+ 5 x 3
= ( 6 - 5 )
+ 5 x 9 = 1
+ 45 = 46

10 ) 4 - 2 + 5 : [ 6 : ( 3 x 3 - 3 )] = 2 + 5 : [ 6 : ( 9 -3 )] = 2 + 5 : [6: 6] = 2 + 5 : 1 = 2 + 5 = 7.

A następnie są zadania do tematu lekcji.

---