Egzamin z matematyki, Wydział TŻ, sem.I, st.z. 14.02.2009r.
1. (10pt) Ułożyć dietę dla podanej niżej tabelki (odpowiedz
wyrazić w gramach):
Zawartość składników
Zawartość składników
w 100 gramach produktów
w 100 gramach produktów
Składniki Dzienne
Składniki Dzienne
pokarmowe Produkt 1 Produkt 2 Produkt 3 zapotrzebowanie (w g)
pokarmowe Produkt 1 Produkt 2 Produkt 3 zapotrzebowanie (w g)
Składnik 1 4 2 3 25
Składnik 1 4 2 3 25
Składnik 2 1 1 5 21
Składnik 2 1 1 5 21
Składnik 3 4 1 0 12
Składnik 3 4 1 0 12
x - 2
2. (10pt) Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji y = w przedziale [0, 6].
x2 + 5
3. (10pt) Wyznaczyć przedziały monotoniczności oraz ekstrema lokalne funkcji: y = x e4x .
4. (10pt) Obliczyć pole figury zawartej między liniami: y = x - 4, y = x - x2.
e "
5. (10pt) Obliczyć: x ln x dx; e-2x+1 dx.
1 1
6. (10pt) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = 3x2 - y3 + 6xy.
Egzamin z matematyki, Wydział TŻ, sem.I, st.z. 14.02.2009r.
1. (10pt) Ułożyć dietę dla podanej niżej tabelki (odpowiedz
wyrazić w gramach):
Zawartość składników
Zawartość składników
w 100 gramach produktów
w 100 gramach produktów
Składniki Dzienne
Składniki Dzienne
pokarmowe Produkt 1 Produkt 2 Produkt 3 zapotrzebowanie (w g)
pokarmowe Produkt 1 Produkt 2 Produkt 3 zapotrzebowanie (w g)
Składnik 1 0 4 2 10
Składnik 1 0 4 2 10
Składnik 2 2 1 3 18
Składnik 2 2 1 3 18
Składnik 3 1 5 1 12
Składnik 3 1 5 1 12
2. (10pt) Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji y = x e-3x w przedziale [0, 2].
x2 + 3
3. (10pt) Wyznaczyć przedziały monotoniczności oraz ekstrema lokalne funkcji: y = .
x + 1
4. (10pt) Obliczyć pole figury zawartej między liniami: y = -x2, y = x - 2.
Ą/2
3

5. (10pt) Obliczyć: x sin(3x) dx; x 25 - x2 dx.
0 0
3y
6. (10pt) Obliczyć wszystkie pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji: f (x, y) = 2x y2- .
x
7. (10pt) Wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania różniczkowego:
x = 5x, x > 0.
Teoria:
1. (5pt) Sformułować warunki: konieczny i dostateczny istnienia ekstremum lokalnego funkcji
jednej zmiennej. W jakich punktach spełniony jest warunek konieczny, a w jakich dostateczny
istnienia ekstremum lokalnego funkcji f (x) = x2 + 2x + 3? Odpowiez
uzasadnić.
2. (5pt) Podać interpretacje geometryczną i wybraną ineterpretację fizyczną całki oznaczonej.
3. (5pt) Podaj postać normalną równania różniczkowego zwyczajnego pierwszego rzędu. Podaj
przykłady zastosowań takiego równania do opisu procesów chemicznych, fizycznych, mi-
krobiologicznych i.t.p. Co to są procesy pierwszego rzędu? Podaj przykład takiego procesu
i uzasadnij dlaczego jest to proces pierwszego rzędu. Czy równanie różniczkowe x = t3 jest
w postaci normalnej? Jeśli tak podaj rozwiązanie ogólne tego równania.
Uwaga. Spośród zadań 1 7 należy wybrać 6 zadań. Osoby, które nie zaliczyły ćwiczeń mu-
szą uzyskać conajmniej 31 punktów z części zadaniowej (z wybranych 6 ciu zadań) by zaliczyć
ćwiczenia. Pytania z teorii są obowiązkowe dla wszystkich.

7. (10pt) Obliczyć: (y - x2) dx dy, gdzie D = {(x, y) " R2 : -1 d" x d" 1, 0 d" y d" 2}.
D
Teoria:
1. (5pt) Podać definicje funkcji pierwotnej oraz jej związek z całką nieoznaczoną i oznaczoną.
Jaka jest funkcja pierwotna dla funkcji f (x) = x7? Odpowiez
uzasadnić na podstawie definicji
funkcji pierwotnej.
2. (5pt) Podać dwie wybrane interpretacje pochodnej funkcji w punkcie.
3. (5pt) Podaj postać normalną równania różniczkowego zwyczajnego pierwszego rzędu. Podaj
przykłady zastosowań takiego równania do opisu procesów chemicznych, fizycznych, mikro-
biologicznych i.t.p. Czy równanie różniczkowe x = t2 jest w postaci normalnej? Jeśli tak
podać rozwiązanie ogólne tego równania.
Uwaga. Spośród zadań 1 7 należy wybrać 6 zadań. Osoby, które nie zaliczyły ćwiczeń mu-
szą uzyskać conajmniej 31 punktów z części zadaniowej (z wybranych 6 ciu zadań) by zaliczyć
ćwiczenia. Pytania z teorii są obowiązkowe dla wszystkich.