Ekonomia matematyczna Michał Konopczyński
Statyczne modele równowagi (rozdział 4 skryptu)
PROSTY MODEL WYMIANY
Na rynku dostępnych jest n towarów, którymi handluje m handlowców.
i = 1, 2, & , n  numer towaru,
k = 1, 2, ..., m  numer handlowca,
k k
ak = (a1 ,...,an ) e" 0  koszyk k-tego handlowca, z którym przychodzi
na rynek,
k k
xk = (x1 ,..., xn ) e" 0  koszyk, który k-ty handlowiec chce otrzymać w
zamian za koszyk ak ,
Alokacja jest to jeden z nieskończenie wielu sposobów podziału
(alokacji) globalnej podaży pomiędzy poszczególnych handlowców.
Definicja 4.1. AlokacjÄ… pierwotnÄ… (lub alokacjÄ… poczÄ…tkowÄ…)
nazywamy ciąg a = {a1,..., am} utworzony z początkowych koszyków
wszystkich handlowców:
1 m m
a1 = (a1 ,..., a1 ) , . . . , am = (a1 ,..., an ).
n
Definicja 4.2. Wektorem globalnej podaży (lub krótko: globalną
m
k
podażą) nazywamy sumÄ™ koszyków poczÄ…tkowych: â =
"a .
k =1
Definicja 4.3. Alokacją dopuszczalną nazywamy każdy ciąg
x = {x1,..., xm} utworzony z koszyków poszczególnych handlowców:
1 m m
x1 = (x1 ,..., x1 ) , . . . , xm = (x1 ,..., xn ), który spełnia warunek
n
m
k
bilansowy
"x = â.
k =1
Michał Konopczyński
1
Zbiór wszystkich alokacji dopuszczalnych, odpowiadających
wyjściowej alokacji a = {a1,..., am}, oznaczamy symbolem F(a)
m
Å„Å‚ üÅ‚
n
F(a) = = {x1,..., xm}" R+Å"m xk = âżł.
òÅ‚x "
k =1
ół þÅ‚
W przypadku, gdy m=n=2 (tylko dwa towary i dwóch handlowców)
zbiór F(a) można przedstawić w postaci prostokąta Edgewortha :
2 2
a1 + a2 a1
2
02
2
x = {x1 , x }
2
a = {a1 , a }
2
a1 a2
2
1 1 2
01
a1 a1 + a1
Definicja 4.4. AlokacjÄ™ x = {x1, ..., xm}" F(a) nazywamy blokowanÄ…,
jeżeli dla przynajmniej jednego handlowca jest ona gorsza od alokacji
pierwotnej, czyli "k "{1,..., m} ak f xk .
Definicja 4.5. AlokacjÄ™ x = {x1,..., xm}" F(a) nazywamy
nieblokowaną, jeżeli dla każdego handlowca jest ona niegorsza od
alokacji pierwotnej, czyli "k xk ak .
Zbiór wszystkich alokacji nieblokowanych nazywamy obszarem
negocjacji i oznaczamy symbolem S(a).
W przypadku dwóch handlowców i dwóch towarów (m=n=2), obszar
negocjacji ma kształt soczewki utworzonej przez krzywe obojętności
przechodzÄ…ce przez alokacjÄ™ pierwotnÄ… (rys. 4.2).
Michał Konopczyński
2
Definicja 4.7. AlokacjÄ™ dopuszczalnÄ… x = {x1,..., xm} nazywamy
Pareto-optymalną, jeżeli nie istnieje żadna inna alokacja dopuszczalna
m
y = {y1,..., y } taka, że:
(i) yk xk , k=1,...,m;
(ii) yk f xk przynajmniej dla jednego k "{1,..., m}.
Innymi słowy, alokacja dopuszczalna x = {x1,..., xm} jest Pareto-
optymalna, jeżeli nie istnieje żadna inna alokacja dopuszczalna
m
y = {y1,..., y }, która dla wszystkich handlowców jest nie gorsza od
alokacji x, a przynajmniej dla jednego handlowca jest lepsza.
Alokacja Pareto-optymalna stanowi zatem efektywny sposób podziału
globalnej podaży między handlowców. Jeśli towary zostały podzielone
między handlowców w sposób Pareto-optymalny, to niemożliwa jest taka
dalsza redystrybucja towarów (zabranie jednym, aby dać innym), która
poprawiłaby sytuację przynajmniej jednego handlowca bez pogorszenia
sytuacji żadnego innego.
Zbiór wszystkich alokacji Pareto-optymalnych nazywamy krzywą
kontraktów i oznaczamy symbolem P(a).
Definicja 4.8. Jądrem wymiany nazywamy zbiór C(a) złożony z tych
wszystkich alokacji Pareto-optymalnych, które dla każdego handlowca
sÄ… niegorsze od alokacji poczÄ…tkowej.
Uwzględniając definicję 4.5, możemy też powiedzieć, że jądro wymiany
C(a) tworzą wszystkie alokacje, które są jednocześnie Pareto-optymalne
i nieblokowane. Czyli
C(a) = P(a) )" S(a).
Michał Konopczyński
3
MODEL ARROWA-HURWICZA
i = 1, 2, & , n  numer towaru,
k = 1, 2, ..., m  numer handlowca,
k k
ak = (a1 ,...,an ) e" 0  koszyk k-tego handlowca,
k k
xk = (x1 ,..., xn ) e" 0  koszyk, który k-ty handlowiec chce kupić,
n
uk : R+ R1  funkcja użyteczności k-tego handlowca
Założenie 4.1. Funkcje użyteczności wszystkich handlowców
n
uk : R+ R1 (k=1,..., m) są rosnące, ciągłe i silnie wklęsłe.
p = ( p1,..., pn) e" 0  wektor cen,
k
I (p) = )#p,ak *#  dochód k-tego handlowca (wartość koszyka ak ),
k
)#p, x*# d" I (p)  ograniczenie budżetowe k-tego handlowca,
Å„Å‚
max uk (x)
ôÅ‚
ôÅ‚)#p, x*# d" I k (p)
ZMUK k-tego handlowca:
òÅ‚
ôÅ‚
x e" 0
ôÅ‚
ół
Przy założeniu 4.1 istnieje dokładnie jedno rozwiązanie optymalne tego
zadania xk . Stanowi ono funkcjÄ™ popytu k-tego hadlowca:
k k k
xk = Õ (p, I (p)) = Õ (p, )#p,ak *#).
FunkcjÄ™ tÄ™ oznaczmy symbolem: xk (p).
m
k
Ć
x(p) =
"x (p)  wektor globalnego popytu
k =1
m
â =  wektor globalnej podaży
"ak
k =1
Michał Konopczyński
4
Definicja 4.9. FunkcjÄ… nadmiernego popytu nazywamy funkcjÄ™
Ć
postaci: z(p) = x(p) - â.
z1(p) z1( p1,..., pn )
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
z(p) = M = M
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł, (4.7)
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
(p)ûÅ‚ ðÅ‚zn ( p1,..., pn )ûÅ‚
ðÅ‚zn
Twierdzenie 4.1. Jeżeli spełnione jest założenie 4.1, to funkcja
nadmiernego popytu z(p) dla każdego p > 0 spełnia warunki:
(i) pr p Ò! z(pr ) z(p) (ciÄ…gÅ‚ość),
(ii) " > 0 z(p) = z(p) (dodatnia jednorodność stopnia zero),
(iii) )#p, z(p)*# = 0 (prawo Walrasa).
Z warunku (ii) wynika, że jeżeli ceny wszystkich towarów zmienią się
jednocześnie o tyle samo procent, to sytuacja na rynku nie ulegnie
zmianie  nadmierny popyt na poszczególne towary będzie taki sam jak
przed zmianÄ… cen. Warunek (iii) znany jest jako prawo Walrasa.
W rozwiniętym zapisie przyjmuje on postać:
Ć
"p > 0 pi zi (p) = 0, czyli pi xi (p) = piâi (4.8)
" " "
i i i
Oznacza to, że dla dowolnego wektora cen p > 0 wartość globalnego
popytu jest równa wartości globalnej podaży.
Definicja 4.10. Wektorem cen równowagi walrasowskiej nazywamy
każdy wektor p = ( p1,..., pn ) > 0, będący rozwiązaniem układu
z1( p1,..., pn ) = 0,
Å„Å‚
ôÅ‚
równaÅ„: z(p) = 0 Ô! ôÅ‚ M
òÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
( p1,..., pn ) = 0.
ółzn
Michał Konopczyński
5
Z dodatniej jednorodności stopnia zero funkcji z(p) wynika, że jeżeli p
jest wektorem cen równowagi walrasowskiej, to wektorem takim jest
także każda jego wielokrotność p,  > 0, gdyż spełniona jest równość
z(p) = z(p) = 0. Z tego względu mówimy, że wektor cen równowagi
określony jest z dokładnością do struktury (proporcji) cen, a nie do ich
poziomu.
Twierdzenie 4.2. Jeżeli funkcje użyteczności wszystkich handlowców
są rosnące, ciągłe i silnie wklęsłe, to w modelu Arrowa-Hurwicza
istnieje przynajmniej jeden wektor cen równowagi walrasowskiej
p > 0 (określony z dokładnością do struktury).
Definicja 4.11. Alokacją równowagi walrasowskiej nazywamy
alokacjÄ™ dopuszczalnÄ… x(p) ={x1(p),..., xm (p)}, utworzonÄ… z
optymalnych koszyków wszystkich handlowców, nabytych po cenach
równowagi.
Twierdzenie 4.3. Jeżeli spełnione jest założenie 4.1, to W(a)ą"C(a),
czyli każda alokacja równowagi walrasowskiej x(p) jest jednocześnie
nieblokowana i Pareto-optymalna.
Uwaga 6.2. Twierdzenie 4.3 i ma głęboką wymowę ekonomiczną. Wynika
z niego, że koniecznym warunkiem doprowadzenia do alokacji towarów,
akceptowanej przez wszystkich handlowców, nie jest niemożliwa do
osiągnięcia w praktyce znajomość przez każdego handlowca preferencji
pozostałych uczestników rynku czy też działalność obdarzonego taką
wiedzą centralnego planisty. Z przedstawionego twierdzenia wynika, że
mechanizm dochodzenia do efektywnych alokacji towarów, korzystnych
dla wszystkich handlowców, tożsamy jest z mechanizmem osiągania cen
równowagi. Ceny te mogą zostać osiągnięte na konkurencyjnym rynku,
na którym każdy handlowiec dąży do maksymalizacji własnych,
indywidualnych korzyści.
Michał Konopczyński
6
Wolny rynek godzi zatem egoistyczne dążenia handlowców, zapewniając
osiągnięcie efektywnej alokacji towarów. W momencie osiągnięcia
alokacji równowagi walrasowskiej nie ma już możliwości poprawy
sytuacji choćby jednego handlowca bez pogarszania sytuacji innych
handlowców.
Więcej na temat walrasowskiej teorii równowagi ogólnej oraz pojęcia Pareto-
optymalności (językiem niematematycznym): Mark Blaug,  Teoria ekonomii.
Ujęcie retrospektywne , PWN, Warszawa 2000, rozdział 13.
Przykłady i zadania do samodzielnego rozwiązania (ze skryptu nr 165):
Przykłady 4.4 i 4.5.
Zadania 1, 3  str. 117.
Michał Konopczyński
7