Masowy moment bezwładności
Masowym momentem bezwładności J punktu materialnego względem
bieguna, osi lub płaszczyzny nazywamy skalarną wielkość, równą
iloczynowi masy punktu i kwadratu odległości tego punktu od tego
bieguna, osi lub płaszczyzny.
Wykład - dynamika
r
r
r
Geometria mas. Dynamika układu m
m
m
punktów materialnych
Jl = m �" r2 J [kg �" m2]
Masowy moment bezwładności Promień bezwładności
Je\
eli ciało sztywne o masie M ma moment bezwładności Jl względem
Dla punktu materialnego prostęj l-l, to mo\
emy znalez
ć taką odległość od osi, \
e punkt materialny o
masie M będzie miał ten sam moment bezwładności Jl.
Jl = m �"r2
Odległość i będzie określona równaniem Mi2=Jl, skąd:
Dla układu punktów materialnych
n
Jl = �"ri2
"mi
i=1
Jl
i =
Dla ciała materialnego
M
2
Jl = dm
+"r
Masa zredukowana Twierdzenie Steinera
Moment bezwładności ciała sztywnego względem pewnej osi
Masą zredukowaną bryły na odległość nazywamy taką masę M, skupioną
w punkcie O odległym od prostej l-l, której moment bezwładności jest równy momentowi ciała względem prostej równoległej
względem prostej l-l jest równy momentowi bezwładności bryły względem
przechodzącej przez środek masy powiększonemu o iloczyn
tej prostej.
masy ciała i kwadratu odległości między osiami.
l
m
Jl = Js + md2
Jl
M =
z
r2
S
Jl  moment bezwładności względem osi l,
Js  moment bezwładności względem osi
przechodzącej przez pkt. S,
m  masa ciala,
d
d  odleglość między osiami
1
Momenty bezwładności względem płaszczyzn Momenty bezwładności względem osi układu
układu współrzędnych współrzędnych
z
z
Dla układu punktów materialnych Dla układu punktów materialnych
n n
J = zi2 J = ( yi2 + zi2)
xy "mi x "mi
i=1 i=1
n
xi
n yi
xi
yi
mi
J = (xi2 + zi2)
J = xi2 y "mi
yz "mi
mi
i=1
i=1
zi n
zi
n
y J = (xi2 + yi2)
z "mi
y
J = yi2
zx "mi i=1
x
x i=1
Moment bezwładności względem bieguna Zale\
ności między momentami bezwładności
z
1
Jzx + J = J
(J + J - Jz ) = J
xi
yi xy x x y xy
2
mi
O
1
J + J = J
(J + Jz - J ) = J
yz xy y
y x yz
zi 2
y
J + Jzx = Jz 1 (Jz + J - J ) = J
yz
x y zx
x
2
Dla układu punktów materialnych
n
JO = (xi2 + yi2 + zi2)
"mi
i=1
Zale\
ności między momentami bezwładności Moment dewiacji (odśrodkowy)
Momentem dewiacji punktu materialnego względem dwóch
wzajemnie prostopadłych płaszczyzn ą i � nazywamy iloczyn
masy punktu materialnego i jego odległości od danych płaszczyzn.
Jxy + Jyz + Jzx = JO
1
(J + J + J ) = JO
x y z
Dą� = miriri'
2
Dą� [kgm2 ]
w płaskim układzie współrzędnych
r
ri i
ri i
mi
Dla bryły
J + J = JO
x y
ą
Dą� = �" r'dm
+"r
2
Momenty dewiacji w układzie kartezjańskim Główne osie bezwładności
z
środek masy
S
n
n
Dzx = zixi = 0
Płaszczyzny zx oraz yz
"mi
Dxy = xi yi
"mi
i=1
S
i=1
xi
yi
n
n
mi Dyz = yizi = 0
"mi
Płaszczyzny zx oraz xy O
Dyz = yizi
"mi
i=1
i=1
zi
n
n y
Dxy = xi yi = 0
"mi
Płaszczyzny yz oraz xy
Dzx = zi xi
i=1
x
"mi
i=1
Trzy wzajemnie prostopadłe osie x, y, z poprowadzone z punktu O
wyznaczające trzy wzajemnie prostopadłe płaszczyzny xy, yz, zx względem
których momenty odśrodkowe układu punktów materialnych (bryły
sztywnej) są równe zeru, nazywamy głównymi osiami bezwładności.
Główne centralne osie bezwładności Transformacja obrotowa momentu bezwładności
Je\
eli punkt O jest środkiem masy rozpatrywanego układu
punktów materialnych (bryły sztywnej), to osie te nazywamy
�i
głównymi centralnymi osiami bezwładności.
mi
z
S środek masy
zi
O=S
xi
xi
yi
yi
mi
y
moment bezwładności ciała względem prostej, której poło\
enie w układzie
współrzędnych Oxyz określają kąty ą, ,ł .
�
x
zi
2 2 2
J = J cos ą + J cos � + J cos ł -
l x y z
- 2Dxy cos ą cos � - 2Dyz cos � cos ł - 2Dzx cos ł cos ą
Masowe momenty bezwładności
REAKCJE DYNAMICZNE A
OśYSK OSI OBROTU
z 1
2
J = J = ml
pręt y z
Na rysunku zostało przedstawione ciało sztywne obracające się z prędkością kątową
12
� = const
x
l,m x l
y tarcza
x�2dm
z
1 RBx
m,r
Jx = J = mr2
y
h�2dm
�
4
dm
B
r
1
RBy
z
Jz = mr2
x
kula
y�2dm
x
2
RAx
z y
y
m,r
A
r
RAy
x
2
J = J = Jz = mr2
y y
x y
5
3
REAKCJE DYNAMICZNE A
OśYSK OSI OBROTU REAKCJE DYNAMICZNE A
OśYSK OSI OBROTU
Biorąc pod uwagę to, \
e momenty względem osi Ax i Ay
elementarnej siły odśrodkowej wynoszą odpowiednio:
Równania rzutów na osie x i y przybierają następującą postać
-��yzdm
oraz
RAx + RBx + �2 xdm = 0
+"
��xzdm
przyrównując kolejno do zera sumy momentów sił względem
wspomnianej osi, otrzymujemy:
RAy + RBy + �2 ydm = 0
+"
- RByl -�2 yzdm = 0 - RBxl -�2 xzdm = 0
+"
+"
REAKCJE DYNAMICZNE A
OśYSK OSI OBROTU REAKCJE DYNAMICZNE A
OśYSK OSI OBROTU
Równaniom równowagi mo\
na nadać następującą postać
RAx + RBx + �2mxc = 0
xdm = mxc ydm = myc
+" +"
RAy + RBy + �2myc = 0
W równaniach momentów, występują całki, które równe są momentom
odśrodkowym:
- RByl -�2Dyz = 0
- RBxl -�2Dxz = 0
xzdm = Dxz
yzdm = Dyz
+"
+"
REAKCJE DYNAMICZNE A
OśYSK OSI OBROTU REAKCJE DYNAMICZNE A
OśYSK OSI OBROTU
Z powy\
szych równań znajdujemy
Wartości bezwzględne reakcji dynamicznych ło\
ysk mo\
emy zatem zapisać:
Dxz RBy = -�2 Dyz
2
2
Dyz
RBx = -�2 Dxz �ł �ł
2 2
�ł �ł
RA = RAx + RAy = �2 �ł - mxc �ł + - myc �ł
�ł �ł
l
l
�ł
l l
�ł łł
�ł łł
�2 2 2
Dxz Dyz 2 2
�ł
RA = RBx + RBy = Dxz + Dyz
RAx = -�2�ł - mxc �ł RAy = -�2�ł - myc �ł
�ł �ł �ł �ł
l
�ł
l
�ł łł l
�ł łł
4
Środek masy Momenty statyczne
z
z
n
r1 r2 S
r1 r2 S
M = xi,
yz "mi
rS
i=1
rS
n
rn M = yi ,
zx "mi
rn
y i=1
y
n
M = zi,
xy "mi
x
i=1
x
n
ri
Środkiem masy układu nazywa się punkt
"mi
Momentem statycznym układu punktów materialnych
geometryczny S, którego promień-wektor
i=1
względem płaszczyzny nazywamy sumę iloczynów mas
rs =
rs wyznacza się wg wzoru:
punktów układu przez odległości od tej płaszczyzny
M
Zasada ruchu środka masy
Równania ruchu środka masy
Zasada ruchu środka masy:
Równanie poni\
sze określają ruch środka masy (dynamiczne równania ruchu
środka masy)
Środek masy porusza się jak swobodny punkt materialny o masie
n m
równej masie całego układu pod działaniem sumy geometrycznej
&&
Mxs = +
sił czynnych i reakcji.
"Fix "Rjx
i=1 j=1
n m M  masa układu,
n m
Mas = + Fi  siła czynna
&&
"Fi "Rj Mys = +
"Fiy "Rjy
i=1 j=1
Rj - reakcja
i=1 j=1
n m
Zasada zachowania ruchu środka masy
&&
Mzs = +
"Fiz "Rjz
Je\
eli suma geometryczna sił czynnych i reakcji jest równa zeru, to środek
i=1 j=1
masy pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym
prostoliniowym (je\
eli miał początkową prędkość).
Zasada równowa\
ności pędu i impulsu
Pęd układu punktów materialnych
Pęd ogólny układu punktów materialnych równa się pędowi
całej masy układu skupionej w jego środku masy
t
2
p - p1 = F dt
n 2
+"
t1
p = Mvs = �
"mi i
i=1
Przyrost wektora pędu układu punktów
Pochodna względem czasu wektora ogólnego układu
materialnych w określonym przedziale czasu jest
punktów materialnych jest równa wektorowi głównemu sił
równy sumie impulsów sił zewnętrznych działających
zewnętrznych, działających na dany układ
na układ
dp
&
= p = p - p1 = S
"Fi
2
dt
5
Kręt układu punktów materialnych Kręt układu punktów materialnych
Kręt ogólny układu punktów materialnych względem
Pochodna względem czasu wektora krętu ogólnego
obranego bieguna nazwiemy sumę geometryczną
układu punktów materialnych obliczonego
poszczególnych wektorów krętu
względem dowolnego bieguna jest równa
wektorowi momentu głównego sił zewnętrznych,
n n
działających na dany układ, wyznaczonego
o o
względem tego samego bieguna
K =
"K = "r � mi�i
i i
i=1 i=1
o
dK
& o o
= K = M
dt
Zderzenie środkowe proste Zderzenie środkowe proste
UDERZENIA PROSTE I ŚRODKOWE
Rozpatrzmy następujący przypadek zderzenia. Załó\
my, \
e kule poruszają się w
tym samym kierunku przy czym v1 > v2.
v1 v2 u '
u v' v2
1
O1 O2 O1 O2 O1 O2
Zderzenie środkowe ukośne
Zderzenie środkowe proste
Dla układu mo\
na napisać równanie pędu
' '
m1v1 + m2v2 = m1v1 + m2v2
UDERZENIA PROSTE I ŚRODKOWE UDERZENIA PROSTE I ŚRODKOWE
Przebieg uderzenia mo\
emy podzielić na dwa okresy:
Przebieg uderzenia mo\
emy podzielić na dwa okresy:
v1 v2 u
u
O1 O2 O1 O2 u
u v' '
v2
1
O1 O2 O1 O2
Okres pierwszy rozpoczyna się z chwila zetknięcia się
Z chwilą wyrównania się prędkości rozpoczyna się drugi
uderzających kul i trwa dopóki prędkości kul nie wyrównają
okres uderzenia, podczas którego lokalne odkształcenia kul
się, czyli nie osiągną pewnej wspólnej prędkości oznaczonej
stopniowo maleją, a co za tym idzie, maleją równie\
siły
na rysunku przez u.
wzajemnego oddziaływania obu kul.
6
UDERZENIA PROSTE I ŚRODKOWE UDERZENIA PROSTE I ŚRODKOWE
' '
� �
Z powy\
szych równań mo\
na wyznaczyć wspólna prędkość obu
' ''
m1v1 - m1u = - Fdt = -S'' ' - m2u = Fdt = S
m2v2
kul na końcu rozwa\
anego okresu
+"
+"
�
�
1
u = (m1v1 + m2v2)
Z hipotezy Poissona przyjmujemy \
e :
m1 + m2
S'' = kS'
S , S  to odpowiednio impulsy siły z którą w pierwszym i
drugim okresie uderzenia oddziałuje kule na siebie
UDERZENIA UDERZENIA
Wartości współczynnika restytucji dla ciał wykonanych
z tego samego materiału:
Wg hipotezy Newtona
" Drewno k=0,26
' '
" Stal k=0,56
v2 - v1
k = -
" śeliwo k=0,66
v2 - v1
" Szkło k=0,94
" Ołów k=0,20
k oznacza pewien stały współczynnik wyznaczony na
podstawie doświadczeń i zwany współczynnikiem
restytucji.
7