DYNAMIKA
2
Prawa Newtona
I zasada dynamiki Newtona
Punkt materialny, na który nie działają \
adne siły lub siły wzajemnie
się równowa\
ą, pozostaje względem układu odniesienia w spoczynku
lub porusza się względem niego ruchem jednostajnym prostoliniowym.
Dynamika
Jest to zasada bezwładności, tzn., \
e bez u\
ycia siły nie mo\
na
punktowi materialnemu nadać przyspieszenia ani go zatrzymać. Układ
odniesienia, w którym słuszna jest ta zasada nazywamy układem
Dynamika punktu materialnego inercjalnym.
Stan w jakim się znajduje punkt materialny zale\
y od warunków
początkowych. Jeśli na początku znajdował się w spoczynku to dalej
pozostaje w spoczynku, a jeśli był w ruchu to wcią\
będzie się
poruszał, ale ruchem jednostajnym prostoliniowym.
3 4
Galileusz II Zasada
Układy odniesienia poruszające się ruchem jednostajnym
II zasada dynamiki Newtona
prostoliniowym względem absolutnie nieruchomego układu odniesienia, w
którym słuszne są podstawowe prawa dynamiki, nazywamy układami
W układzie inercjalnym przyspieszenie punktu materialnego jest
Galileusza (bezwładnościowymi, inercjalnymi).
proporcjonalne do siły działającej na dany punkt i ma kierunek oraz
zwrot działania siły.
Galileusz przyjmował Ziemię za absolutny układ odniesienia.
Kopernik związał ten układ ze słońcem.
kg �" m
�ł łł
[N ]=
m�"a =F [N]
2
�ł śł
s
�ł �ł
F a
m
5 7
III Zasada
Zasada niezale\
ności działania sił
III zasada dynamiki Newtona
Pod wpływem działania układu sił punkt materialny
Je\
eli ciało A działa na ciało B pewną siłą, to ciało B działa na ciało
A siłą równą co do wartości, o takim samym kierunku, lecz
uzyskuje przyspieszenie równe sumie geometrycznej
przeciwnym zwrocie.
przyspieszeń, jakie uzyskałby w wyniku niezale\
nego
działania ka\
dej siły.
Ka\
demu działaniu towarzyszy równe, lecz przeciwnie zwrócone
przeciwdziałanie.
F =
"F
i
Ciało 1 Ciało 2
F1 F a =
"a
2 i
F = - F
1 2
tomi
DYNAMIKA
8 9
Siła cię\
kości
Zasada powszechnego cią\
enia
Dwa punkty materialne o masach m1 i m2 działają na siebie siłą
Przyspieszenie grawitacyjne Ziemi
proporcjonalną do iloczynu ich mas, a odwrotnie proporcjonalną do
kwadratu ich odległości.
a = g = 9,81 = const
m1 m2
m
�ł łł
F równik 9,787 d" g = 9,81 d" 9,833 biegun
�ł śł
s2
�ł �ł
r Siła cię\
kości, cię\
ar ciała:
m �" g = G [N ]
m1m
2
F = k
2
r
3
�ł m łł
-12
k - stała grawitacji,
k = 66 .73 ą 0.03 �"10
�ł 2 śł
kg �" s
�ł �ł
10 11
Zasada d Alemberta
Zasada d Alemberta
W ruchu punktu materialnego układ sił zewnętrznych równowa\
y się z
siłą bezwładności.
Fi + (- m �" a ) = 0
R
"
R R
W prostokątnym układzie współrzędnych mamy:
F a
B
F
i =n i=n i =n
= = =
= = =
= = =
max = m&& = may = m&& = Piy maz = m&& = Piz
= = = = = =
= x = = y = = z =
= = = = = =
" " "
"P " "
" " "
" " "
ix
i=1 i =1 i =1
= = =
= = =
= = =
mg
mg mg
Powy\
sze równania przedstawiają dynamiczne równania ró\
niczkowe
ruchu punktu materialnego w układzie współrzędnych prostokątnych.
12 13
Siła bezwładności Dynamika nieswobodnego punktu materialnego
Ruch takiego punktu mo\
emy rozpatrywać jako ruch punktu
swobodnego pod wpływem sił czynnych P i biernych R. Równanie
wektorowe nieswobodnego punktu materialnego o stałej masie m ma
Siła bezwładności jest równa iloczynowi masy punktu
postać:
materialnego i przyspieszenia ruchu punktu. Jej kierunek jest taki sam
jak kierunek wektora przyspieszenia, jej zwrot zaś jest przeciwny do
zwrotu wektora przyspieszenia.
+ +(-m�"a)=0
"Fi czynne "Ri reakcje
R
B = - m a
B
F
mg = R
ńł
�ł
F = B
ół
mg
tomi
DYNAMIKA
14 15
Przykład
Zadania dynamiki
Punkt materialny o masie m zsuwa się w dół równi nachylonej do
Pierwsze zadanie dynamiki (proste zadanie dynamiki)
poziomu pod kątem ą =250. Wyznaczyć przyśpieszenie a punktu
ą
ą
ą
Dane:
materialnego w przypadku gdy między powierzchnią równi a zsuwającym z
Parametryczne równania ruchu punktu
A
się punktem współczynnik tarcia wynosi � =0.4. Przyśpieszenie ziemskie
materialnego:
m F
przyjąć równe g =9.81 m/s2.
x = x(t) y = y(t) z = z(t)
y
z
R
m - masa punktu materialnego.
0
N
y
0
Szukane:
N
x
m
T
Wypadkowa siła działająca na punkt x y
x
a
materialny  F
Algorytm postępowania:
T
ą
ą
ą
G = mg ą
G
Dwukrotnie ró\
niczkujemy po czasie równania ruchu i otrzymujemy
x
składowe przyspieszenia. Siła działająca na punkt wynosi:
Rzutując siły na osie x i y mamy:
F = m �" &&
y
F = m �" && F = m �" &&
x z
y
ma = -T + mg sin ą ma = 0 = N - mg cos ą T = � N x z
x y
F = Fx2 + Fy2 + Fz2
ax = a = g(sin ą - � cos ą ) = 9.81(sin 250 - 0.4 cos 250 ) a =0.59m s2
16 17
Drugie zadanie dynamiki (odwrotne zadanie dynamiki) Algorytm postępowania
Całkujemy dynamiczne równania ruchu punktu materialnego:
Dane:
Wypadkowa siła działająca na punkt
z
1
materialny  F
&
A x = Fxdt + C1
+"
m&& = Fix m &
x x = xdt + C4 x = x(t)
"
m - masa punktu materialnego. +"
m F
1
m&& = Fiy y = Fydt + C2 y = ydt + C5 y = y(t)
y & &
Warunki początkowe: " +"
+"
m
z
&
z = zdt + C6
m&& = Fiz 1 z = z(t)
z
+"
x(t0 ), y(t0 ),z(t0 ) 0 "
&
z = Fzdt + C3
y
+"
m
x
vx(t0 ),vy(t0 ),vz(t0 )
x y
Szukane:
C = v (t )
C4 = x0 (t0 )
1 x0 0
Parametryczne równania ruchu punktu materialnego:
C = v (t )
C5 = y0 (t0 )
2 y0 0
x = x(t), y = y(t), z = z(t).
C = v (t ) C6 = z0(t0 )
3 z0 0
18 19
Przykład
Pęd punktu materialnego
Punkt materialny o masie m kg spada pionowo z prędkością początkową Punkt materialny o masie m porusza się pod wpływem układu sił, zatem:
V0 ms-1. Znalez
ć równanie ruchu punktu materialnego jeśli x(t0) = x0,
Vx(t0) = V0, g - przyśpieszenie ziemskie.
d�
m �" a = a =
Rozwiązanie m = const
"Fi
x0
dt
Całkując równanie ró\
niczkowe ruchu: m
m&& = mg && = g x
x x
V0
Vx = x = gdt + C1
&
d�
+"
2
m = Fi
gt "
m
x = (gt + C1 )dt + C = + C1t + C
+" 2 2
dt
2
po podstawieniu warunków brzegowych C2 = x0, C1 = V0
G = mg
Otrzymujemy ostatecznie
2
gt
Vx = V0 + gt x = x0 + V t +
0
2
tomi
DYNAMIKA
20 21
Pęd punktu materialnego Pęd punktu materialnego
Wektor p nazywamy pędem (ilością ruchu)
Pęd punktu materialnego jest to wektor o module m
punktu materialnego.
razy większym od modułu wektora prędkości,
mający kierunek i zwrot wektora prędkości.
d
(m�"� )= Fi
"
m
�ł łł
1 3
2
kg = [Ns ] dt
p = m�"�
�ł śł
p
s
�ł �ł
22 23
Zasada zachowania pędu Kręt punktu materialnego
Pochodna pędu punktu materialnego względem czasu jest równa Krętem punktu
sumie sił działających na dany punkt.
materialnego względem
dowolnego bieguna 0
z
d p
A
nazywamy wektor równy
= Fi
m
"
�
iloczynowi wektorowemu
dt
r
p =m� promienia wektora i wektora
0
pędu poruszającego się
Pęd punktu materialnego jest wektorem stałym, je\
eli suma
y
geometryczna sił działających na dany punkt materialny jest równa zeru.
punktu.
x
Kręt to moment pędu.
je\
eli = 0 p = const
to
"Fi
m
�łm�"kg �" łł
o
= [Nms]
K = r � p
�ł śł
s
�ł �ł
25 26
Zasada krętu Zasada zachowania krętu
o
dK d(r � p) dr dp dr d (m �" v )
= = � p + r � = (m �" v )+ r �
�
dt dt dt dt Je\
eli moment główny układu sił działających na
dt dt
punkt materialny, wyznaczony względem dowolnego
o
bieguna jest równy zeru, to kręt punktu
dK dr m�" dv
= �(m �"v)+ r � = v�(m�"v)+r �m�"a
poruszającego się względem tego samego bieguna jest
dt dt dt
wielkością stałą.
o
dK
= r � Fi & o o
"
o o
K = M
dt
je\
eli to
M = 0 K = const
Pochodna wektora krętu względem czasu jest
równa momentowi głównemu wszystkich sił
działających na punkt materialny.
tomi
DYNAMIKA
27 28
Przykład
Praca mechaniczna
Punkt materialny o masie m1 = 2 kg porusza się z prędkością
Pracą siły stałej F na prostoliniowym przemieszczeniu s nazywamy
V1=10 m/s po okręgu w płaszczyz
nie poziomej. W pewnej chwili zderza się
iloczyn skalarny tej siły przez przesunięcie.
z drugim punktem o masie m2=3 kg, który przed zderzeniem był
nieruchomy. Po zderzeniu oba punkty materialne są złączone i poruszają
się po tym samym torze. Oblicz wspólną prędkość V12 tych punktów L = F �" s
s B
materialnych.
F
L = F �" s�"cosą
A
m1 V1
ą
m2 m1 Z zasady zachowania krętu:
[ J ] = [ N �" m ]
Ft
V12 0
R
m1V1R = (m1 + m2)RV12
Pracę wykonuje jedynie składowa styczna do toru. Praca składowej
normalnej do toru jest równa zeru.
Prędkość obu punktów po zderzeniu ma wartość:
m1 m 2kg m L = Ft �" s
V12 = V1 = 10 = 4
m1 + m2 s 2kg + 3kg s
29 30
Praca mechaniczna Praca elementarna
Własności:
" Praca jest skalarem
" Pracę wykonuje jedynie składowa styczna do toru
" Praca mo\
e przyjmować wartości dodatnie, ujemne lub równe
zeru:
Pracę siły zmiennej na dowolnej drodze
krzywoliniowej określamy korzystając z pojęcia
ą = 0 L = F �" s
Ą
pracy elementarnej.
0 < ą < L = F �" s �" cos ą > 0
2
Ą
ą = L = 0
2
Ą
< ą < Ą L = F �" s �" cos ą < 0
2
ą = Ą L = - F �" s < 0
31 32
Praca elementarna Praca elementarna
Pracą elementarną siły zmiennej F na przesunięciu
Pracę całkowitą od poło\
enia 1 do poło\
enia 2 siły
elementarnym ds nazywamy iloczyn skalarny tej siły
zmiennej F otrzymamy całkując wyra\
enie na pracę
przez to przesunięcie elementarne.
elementarną.
�L = F �" d s
x2 y2 z2
L1- 2 = Fx dx + Fy dy + Fzdz
+" +" +"
ds = dx�"i + dy �" j + dz �" k
x1 y1 z1
�L = Fxdx + Fydy + Fzdz
tomi
DYNAMIKA
33 34
Praca mechaniczna Moc
Pracę siły działającej na punkt materialny poruszający się po torze
Mocą chwilową nazywamy stosunek pracy elementarnej do czasu dt,
kołowym określa całka momentu tej siły względem środka okręgu, po
w którym została wykonana.
którym porusza się punkt na drodze kątowej od �1 do �2.
� �
� �
� �
[ J ]
� L
[W ] =
N =
ds = r �" d �
[ s ]
dt
d�
�
�
�
�L = F �" r �" d�
W ruchu postępowym: W ruchu obrotowym:
r
F
�2 P �" ds
P �" r �" d�
N =
N =
L1-2 = M �" d�
dt
+" dt
�1
N = M �"�
N = P �"�
35 36
Energia potencjalna
Energia kinetyczna
Energią potencjalną będziemy nazywali pracę, jaka wykona pole sił Energią kinetyczną punktu materialnego będziemy nazywali część
cię\
kości przy przemieszczeniu masy m z danego poło\
enia na energii mechanicznej związaną z ruchem tego punktu.
powierzchnię Ziemi, na której przyjęto Ep= 0.
Energia kinetyczna punktu materialnego
Ep = mgh
V
m
z
m
1
mg
Ek = m�2
h
2
0
y
x
m
E = 0
p
Ziemia
37 38
Zasada równowartości energii kinetycznej i pracy
Zasada zachowania energii mechanicznej
W polu potencjalnym suma energii kinetycznej i potencjalnej jest
niezale\
na od poło\
enia punktu materialnego w tym polu i ma wartość stałą.
Energia kinetyczna punktu materialnego rośnie
lub maleje o wartość pracy wykonanej przez siły
zewnętrzne działające na punkt materialny.
Ek + Ep = const
Sumę energii kinetycznej i potencjalnej nazywamy energią mechaniczną.
"Ek =Ek2 -Ek1 =L
Ek + Ep = Em
tomi
DYNAMIKA
39 40
Równowaga punktu w polu cię\
kości Równowaga punktu w polu cię\
kości
Rozró\
niamy równowagę: Rozró\
niamy równowagę:
stałą  która zachodzi w poło\
eniu, w którym punkt materialny
chwiejną  która zachodzi w poło\
eniu, w którym nawet dowolnie
wychylony z poło\
enia równowagi będzie się poruszał w
mała prędkość udzielona punktowi materialnemu
pobli\
u tego poło\
enia równowagi
powoduje jego trwałe oddalenie od poło\
enia
równowagi.
41 42
Równowaga punktu w polu cię\
kości Kryterium stateczności
Rozró\
niamy równowagę:
Kryterium stateczności Mindinga - Dirichleta
obojętną  która zachodzi w poło\
eniu, gdzie punkt materialny
W polu sił cię\
kości równowaga punktu materialnego zachodzi w
wychylony ze swojego poło\
enia równowagi natrafia w
poło\
eniu, gdzie energia potencjalna osiąga ekstremum.
pobli\
u na nowe poło\
enie równowagi.
W szczególności równowaga stała zachodzi w poło\
eniu, gdzie energia
potencjalna osiąga minimum.
tomi