Zadanie 26.
Dane:
P (x) = -2x3 + 3x2 - 1, Q(x) = 2x2 - x - 1, W (x) = ax + b.
Obliczenie iloczynu W (x) · Q(x):
W (x) · Q(x) = (ax + b) · (2x2 - x - 1)
= ax · 2x2 - ax · x - ax · 1 + b · 2x2 - b · x - b · 1
= 2ax3 - ax2 - ax + 2bx2 - bx - b
= 2ax3 + (2b - a)x2 - (a + b)x - b
Zatem W (x) · Q(x) = 2ax3 + (2b - a)x2 - (a + b)x - b.
Wielomian P (x) ma być równy wielomianowi W (x)·Q(x). Czyli musi zachodzić równość:
-2x3 + 3x2 - 1 = 2ax3 + (2b - a)x2 - (a + b)x - b
Wielomiany są sobie równe wtedy i tylko wtedy, gdy są tego samego stopnia i ich współ-
czynniki przy tych samych potęgach są sobie równe. Obydwa wielomiany są stopnia
trzeciego. Trzeba porównać ze sobą współczynniki.
-2 = 2a / : 2
a = -1
Podobnie musi zachodzić równość:
-1 = -b / · 1
b = 1
Zatem szukane współczynniki a i b są równe a = -1 i b = 1.
Można jeszcze sprawdzić, czy równe są pozostałe współczynniki dla takich a i b.
3 = 2b - a
3 = 2 · 1 - (-1)
3 = 2 + 1
3 = 3
Podobnie
0 = -(a + b)
0 = -((-1) + 1)
0 = 0
Odpowiedz
: Szukane współczynniki a i b są równe a = -1 i b = 1.
Zadania zamknięte
Zadanie 1.
" " " " " "
20 = 4 · 5 = 4 · 5 = 2 · 5 = 2 5
Zadanie 3.
x
1
1
log 8 = x Ô! = 8
2
2
x
1
Rozwiązanie równania = 8 :
2
1x
= 8
2
(2-1)x = 23
2-x = 23
Czyli -x = 3, zatem x = -3.
Odpowiedz
: log1 8 = -3.
2
Zadanie 4.
Korzystając z następującej własności wartości bezwzględnej:
|a| = b Ô! a = b (" a = -b należy rozwiÄ…zać równanie:
|4x - 5| = x Ô! 4x - 5 = x (" 4x - 5 = -x
Ô! 4x - x = 5 (" 4x + x = 5
Ô! 3x = 5 (" 5x = 5
5
Ô! x = (" x = 1
3
Równanie to spełniają dwie liczby. Jedną z nich jest liczba x = 1.
Sprawdzenie:
|4 · 1 - 5| = 1
|4 - 5| = 1
| - 1| = 1
1 = 1
Odpowiedz
: Równanie jest spełnione dla liczby x = 1.
Zadanie 5.
Niech x oznacza cenÄ™ pewnego towaru.
x - cena pewnego towaru
20% - obniżka
Zatem cena po obniżce będzie następująca:
20 2 2 8
x - 20% · x = x - · x = x - · x = x - x = x
100 10 10 10
8
x - cena po obniżce (nowa cena)
10
Tą cenę należy podwyższyć o 10%, czyli:
8 8 8 10 8 8 8 80 8 88
x + 10% · x = x + · x = x + x = x + x = x
10 10 10 100 10 10 100 100 100 100
88
x - cena po podwyżce o 10%
100
88
x - początkowa cena, a x - końcowa cena
100
88 12
x - x = x = 12% · x - o tyle zmniejszyÅ‚a siÄ™ cena w stosunku do pierwotnej ceny.
100 100
Odpowiedz
: Cena towaru zmniejszyła się cena w stosunku do pierwotnej ceny o 12%.
Zadanie 6.
Należy skorzystać z następującego wzoru skróconego mnożenia: a2 - b2 = (a - b)(a + b)
x2 - 100 = x2 - 102 = (x - 10)(x + 10)
Odpowiedz
: Wielomian x2 - 100 jest równy (x - 10)(x + 10).
Zadanie 7.
x2+25
Rozwiązaniem równania = 0 na pewno nie może być liczba 5, ponieważ mia-
x-5
nownik musi być różny od zera. (x - 5 = 0 Ò! x = 5)

Wyrażenie po lewej stronie równości będzie równe 0 wtedy i tylko wtedy, gdy licznik
będzie równy zero, czyli wtedy, gdy x2 + 25 = 0. Jest to równanie kwadratowe, które nie
ma pierwiastków. (" = 02 - 4 · 1 · 25 = -100 < 0).
x2+25
Odpowiedz
: Równanie = 0 nie ma rozwiązań.
x-5
Zadanie 8.
(3 - x)(3 + x) > (3 - x)2
9 - x2 > 9 - 6x + x2
9 - x2 - 9 + 6x - x2 > 0
-2x2 + 6x > 0
x(-2x + 6) > 0
Równanie x(-2x + 6) = 0 ma dwa pierwiastki x = 0 (" -2x + 6 = 0, czyli x = 0 (" x = 3.
(Należy narysować na osi parabolę ramionami skierowaną w dół przecinającą oś w x = 0
oraz x = 3. i zaznaczyć wartości dodatnie, czyli nad osią.)
Najmniejszą liczbą całkowitą x, dla której wartość jest nad osią jest liczba x = 1.
Odpowiedz
: Najmniejszą liczbą całkowitą x, spełniającą nierówność (3 - x)(3 + x) >
(3 - x)2 jest liczba x = 1.
Zadanie 14.
W ciągu geometrycznym mamy następującą zależność:
a2 = a1 · q,
a3 = a2 · q = a1 · q · q, itd...
" "
2 2
Ponieważ a2 = , zatem = a1 · q.
2 2
"
2
NastÄ™pnie a3 = a2 · q = a1 · q · q = · q.
2
"
2
Czyli z powyższej nierównoÅ›ci mamy: a3 = · q.
2
"
2
Ponieważ a3 = -1, zatem · q = -1
2
"
2
· q = -1 / · 2
2
" "
2 · q = -2 / : 2
"
-2 -2 2
"
q = =
2
2
a2 = a1 · q
" "
2 -2 2
= a1 · / · 2
2 2
" " "
2 = a1 · (-2 2) / : 2
1 = -2 · a1 / : -2
1
a1 = -
2
Odpowiedz
: Wyraz a1 = -1.
2
Zadania otwarte
Zadanie 23.
-2x2 + 2x + 24 0 / : 2
-x2 + x + 12 0
" = 12 - 4 · (-1) · 12 = 1 + 48 = 49
"
" = 7
-1-7 -1+7
x1 = (" x2 =
-2 -2
x1 = 4 (" x2 = -3
(Należy narysować na osi parabolę ramionami skierowaną w dół i przecinającą oś w
x = -3 oraz x = 4 i zaznaczyć wartości nieujemne, czyli nad osią.)
Odpowiedz
: Nierówność jest spełniona dla x "< -3, 4 > .
Zadanie 24.
2x-b
f(x) = , dla x = 9, f(14) = 5

x-9
2·14-b
f(14) = = 5
14-9
28 - b
= 5 / · 5
5
28 - b = 25
-b = 25 - 28
-b = -3 / · (-1)
b = 3
Odpowiedz
: Współczynnik b = 3.