IMIR 7 Drgania


Podstawy fizyki  sezon 1
VII. Ruch drgajÄ…cy
Agnieszka Obłąkowska-Mucha
WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek,
D11, pok. 111
amucha@agh.edu.pl
http://home.agh.edu.pl/~amucha
Ruch skutkiem działania siły
¸% Przypominamy: ruch ciaÅ‚a spowodowany jest (nie-)dziaÅ‚aniem siÅ‚y. Można
znalezć położenie, prędkość i przyspieszenie ciała, jeżeli znamy siłę, która na
ciało działa.
5ØQÜ5ØcÜ(5ØaÜ)
5ØZÜ = 5Ø9Ü(5Ø_Ü, 5ØcÜ, 5ØaÜ)
¸% Do tej pory pokazano dwa przykÅ‚ady:
5ØQÜ5ØaÜ
" ruch ciała w polu siły ciężkości z
" ruch ciała w polu siły ciężkości
oporem powietrza
5Ø9Ü5ØTÜ = mg
5Ø9Ü5Ø\Ü5Ø]Ü = -5ØOÜ5ØcÜ
5ØQÜ5ØcÜ
5ØQÜ5ØcÜ
5ØZÜ = 5ØZÜ5ØTÜ
5ØQÜ5ØaÜ
5ØZÜ = 5ØZÜ5ØTÜ - 5ØOÜ5ØcÜ
5ØQÜ5ØaÜ
RozwiÄ…zujemy:
5ØOÜ
5ØZÜ5ØTÜ
5ØZÜ
5ØcÜ 5ØaÜ = (1 - 5ØRÜ- 5ØaÜ)
5ØOÜ
5ØNÜ(5ØaÜ) = 5ØTÜ
5ØcÜ(5ØaÜ) = 5ØcÜ0 + 5ØNÜ5ØaÜ
sprawdzam!:
1
5ØeÜ 5ØaÜ = 5ØeÜ0 + 5ØcÜ05ØaÜ + 5ØNÜ5ØaÜ2
2
2 A.Obłąkowska-Mucha
Siła harmoniczna
¸% Załóżmy, że chcemy opisać ruch pod wpÅ‚ywem siÅ‚y postaci: 5ØmÜ 5Ø™Ü = -5ØÅšÜ5Ø™Ü
i. Jaką sytuację fizyczną opisuje taka siła?
Jest to siła proporcjonalna do przemieszczenia i skierowana
przeciwnie do przemieszczenia  SIAA HARMONICZNA
5ØÜ5ØÜ
ii. Napiszmy równania ruchu:
5ØŽÜ = -5ØÅšÜ5Ø™Ü
5ØÜ5Ø•Ü
5ØÜ5ØÐß5Ø™Ü
5ØŽÜ = -5ØÅšÜ5Ø™Ü
5ØÜ5Ø•Ü5ØÐß
iii. Rozwiążmy równania ruchu:
5ØeÜ 5ØaÜ = 5Ø4Ü cos 5Øß5ØaÜ + 5Øß
5ØcÜ 5ØaÜ = -5Ø4Ü5Øß sin 5Øß5ØaÜ + 5Øß
5ØNÜ 5ØaÜ = -5Ø4Ü5Øß2 cos(5Øß5ØaÜ + 5Øß)
iv. Zinterpretujmy rozwiÄ…zania.
5ØhÜ- amplituda, 5ØNß  czÄ™stość, 5ØKß - faza poczÄ…tkowa
3 A.Obłąkowska-Mucha
Ruch harmoniczny - interpretacja
¸% PoÅ‚ożenie, prÄ™dkość i przyspieszenie ciaÅ‚a sÄ… okresowymi funkcjami czasu!
5Ø™Ü5ØŽÜ5Ø‚Ü5Ø™Ü = 5ØhÜ
5ØÜ5ØŽÜ5Ø‚Ü5Ø™Ü = 5ØhÜ5ØNß
5Ø‚Ü5ØŽÜ5Ø‚Ü5Ø™Ü = 5ØhÜ5ØNß5ØÐß
¸% Ruch pod wpÅ‚ywem siÅ‚y harmonicznej nazywamy ruchem harmonicznym.
Nie każdy ruch okresowy jest ruchem harmonicznym.
4 A.Obłąkowska-Mucha
Z.KÄ…kol
Energia drgań
¸% Energia kientyczna i potencjalna w ruchu harmonicznym:
1 1
5Ø8Ü5ØXÜ 5ØaÜ = 5ØZÜ5ØcÜ2 5ØaÜ = 5ØZÜ5Ø4Ü25Øß2 5Ø`Ü5ØVÜ5Ø[Ü2(5Øß5ØaÜ + 5Øß)
2 2
1 1
5Ø8Ü5Ø]Ü 5ØaÜ = 5ØZÜ5ØeÜ2 5ØaÜ = 5ØXÜ5Ø4Ü2 5ØPÜ5Ø\Ü5Ø`Ü2(5Øß5ØaÜ + 5Øß)
2 2
5ØXÜ
¸% Energia caÅ‚kowita:
5Øß =
5ØZÜ
5Ø8Ü5ØPÜ = 5Ø8Ü5Ø]Ü 5ØaÜ + 5Ø8Ü5ØXÜ 5ØaÜ =
1
5ØXÜ5Ø4Ü2 5ØPÜ5Ø\Ü5Ø`Ü2(5Øß5ØaÜ + 5Øß)+5Ø`Ü5ØVÜ5Ø[Ü2(5Øß5ØaÜ + 5Øß) =
2
1
5ØXÜ5Ø4Ü2
2
Energia kinetyczna i potencjalna zmieniajÄ… siÄ™
okresowo z czasem,
całkowita energia jest stała
5 A.Obłąkowska-Mucha
http://efizyka.net.pl/energia-w-ruchu-harmonicznym_8048
Ruch drgający w przykładach
¸% Oscylator harmoniczny  masa zawieszona na sprężynie. Ruch masy m
spowodowany jest siłą sprężystości sprężyny
5ØeÜ 5ØaÜ = 5Ø4Ü cos 5Øß5ØaÜ + 5Øß
5ØcÜ 5ØaÜ = -5Ø4Ü5Øß sin 5Øß5ØaÜ + 5Øß
5ØNÜ 5ØaÜ = -5Ø4Ü5Øß2 cos(5Øß5ØaÜ + 5Øß)
5ØÐß5ØEß 5ØŽÜ
5Ø{Ü = = 5ØÐß5ØEß
5ØNß 5ØÅšÜ
6 A.Obłąkowska-Mucha
Ruch drgający w przykładach
¸% WahadÅ‚o matematyczne ¸% WahadÅ‚o fizyczne
Ruch wahadła matematycznego i
fizycznego jest harmoniczny TYLKO
dla MAAYCH WYCHYLEC, tzn.
5ØćÜ
takich, że:
5Ø{Ü = 5ØÐß5ØEß
5؈Ü
wyprowadzam! 5Ø,Ü5Ø"Ü5Ø'Ü 5ØKß = 5ØKß
7 A.Obłąkowska-Mucha
http://efizyka.net.pl/
Drgania tłumione
¸% Załóżmy teraz, że masa drgajÄ…ca na sprężynie zanurzona jest w gÄ™stej
cieczy.
¸% Obserwujemy tÅ‚umienie drgaÅ„  ruch odbywa siÄ™ pod wpÅ‚ywem siÅ‚y
sprężystoÅ›ci 5ØÜ5Ø,Ü = -5ØÅšÜ5Ø™Ü i siÅ‚y tÅ‚umiÄ…cej 5ØÜ5Ø-ÜÅ‚ = -5؃Ü5ØÜ:
5ØÜ5ØÐß5Ø™Ü 5ØÜ5Ø™Ü
II Zas.Dyn.New:
5ØŽÜ = -5ØÅšÜ5Ø™Ü - 5؃Ü
5ØÜ5Ø•Ü5ØÐß 5ØÜ5Ø•Ü
¸% RozwiÄ…zanie równania ruchu oscylatora tÅ‚umionego:
5ØOÜ5ØaÜ
25ØZÜ
5ØeÜ 5ØaÜ = 5Ø4Ü5ØRÜ- cos(5Øß2 5ØaÜ + 5Øß)
5ØXÜ 5ØOÜ2
5Øß2 = -
5ØZÜ 45ØZÜ2
sprawdzam!
¸% Energia:
5ØOÜ5ØaÜ
1
25ØZÜ
5Ø8Ü 5ØaÜ = 5ØXÜ5Ø4Ü 5ØRÜ-
2
8 A.Obłąkowska-Mucha
Drgania tłumione w zależności od tłumienia
częstość kołowa
¸% RozwiÄ…zanie równania ruchu oscylatora tÅ‚umionego:
drgań własnych
5ØOÜ5ØaÜ
5ØOÜ
5ØXÜ 5ØOÜ2
25ØZÜ
5ØeÜ 5ØaÜ = 5Ø4Ü5ØRÜ- cos(5Øß2 5ØaÜ + 5Øß)
5ØÅ¼Þ =
5Øß2 = - = 5Øß02 - 5ØżÞ2
25ØZÜ
5ØZÜ 45ØZÜ2
amplituda drgań tłumionych
częstość kołowa drgań tłumionych współczynnik tłumienia
¸% W zależnoÅ›ci od współczynnika
tłumienia:
" gdy 5ØOÜ2 < 45ØZÜ5ØXÜ drgania tÅ‚umione,
" gdy 5ØOÜ2 = 45ØZÜ5ØXÜ tÅ‚umienie krytyczne,
5ØżÞ
" gdy 5ØOÜ2 > 45ØZÜ5ØXÜ aperiodyczny powrót do
stanu równowagi
5ØƒÜ 5ØÏß
5Ø7ß = =
5ØÐß5ØŽÜ 5ØIß
5Ø7ß - współczynnik tÅ‚umienia, 5ØIß - staÅ‚a czasowa
9 A.Obłąkowska-Mucha
Drgania z siłą wymuszającą
¸% TÅ‚umienie drgaÅ„ można kompensować dziaÅ‚ajÄ…c siÅ‚Ä… wymuszajÄ…cÄ…, np.
okresowÄ…: 5Ø9Ü5ØgÜ = 5Ø9Ü0 5Ø`Ü5ØVÜ5Ø[Ü 5Øß5ØaÜ
II Z.D.N:
5ØÜ5ØÐß5Ø™Ü 5ØÜ5Ø™Ü
5ØƒÜ 5ØÏß 5ØmÜ5ØÎß
5ØÅšÜ
5ØŽÜ + 5ØƒÜ + 5ØÅšÜ5Ø™Ü = 5ØmÜ5ØÎß 5Ø"Ü5ØŠÜ5ØÅ¹Ü 5ØNß5Ø•Ü
5Ø7ß = = ; 5Ø6ß5ØÎß =
5ØNß5ØÎß = ;
5ØÜ5Ø•Ü5ØÐß 5ØÜ5Ø•Ü
5ØÐß5ØŽÜ 5ØIß 5ØŽÜ
5ØŽÜ
¸% RozwiÄ…zujemy?
5ØÜ5ØÐß5Ø™Ü 5ØÏß 5ØÜ5Ø™Ü
+ + 5ØNß5ØÎß 5Ø™Ü = 5Ø6ß5ØÎß 5Ø"Ü5ØŠÜ5ØÅ¹Ü 5ØNß5Ø•Ü
5ØÜ5Ø•Ü5ØÐß 5ØIß 5ØÜ5Ø•Ü
Załóżmy, że rozwiązanie jest postaci:
5Ø™Ü 5Ø•Ü = 5ØhÜ5ØÎß 5ØNß 5Ø"Ü5ØŠÜ5ØŹÜ( 5ØNß5Ø•Ü + 5ØKß(5ØNß))
co oznacza drgania niegasnące, ale zarówno amplituda, jak i przesunięcie
fazowe sÄ… funkcjÄ… czÄ™stoÅ›ci siÅ‚y wymuszajÄ…cej 5Øß
10 A.Obłąkowska-Mucha
Drgania z siłą wymuszającą
¸% Pokazać można, że amplituda drgaÅ„ z siÅ‚Ä… wymuszajÄ…cÄ… wynosi:
5ØüÞ0
5Ø4Ü0 5Øß =
5Øß02 - 5Øß2 2 + 45ØżÞ2 1/2
a przesunięcie fazowe:
25ØżÞ5Øß
5ØaÜ5ØTÜ 5Øß = -
5Øß02 - 5Øß2
¸% Gdy czÄ™stość siÅ‚y wymuszajÄ…cej 5Øß bÄ™dzie w
pobliżu czÄ™stoÅ›ci drgaÅ„ wÅ‚asnych 5Øß0, a
tÅ‚umienie 5ØÅ¼Þ nie bÄ™dzie za duże:
amplituda wzrośnie do maksimum!
¸% Może dojść do zjawiska REZONANSU
11 A.Obłąkowska-Mucha
Rezonans
¸% CzÄ™stość rezonansowa (obliczymy jÄ… poprzez znalezienie maksimum A0(5Øß)):
5Øß5Ø_Ü = 5Øß02 - 25ØżÞ2
¸% Odpowiada ona amplitudzie rezonansowej:
5ØüÞ0
5Ø4Ü5Ø_Ü =
25ØÅ¼Þ 5Øß02 - 25ØżÞ2
¸% Dla drgaÅ„ swobodnych, dla których: 5Øß5Ø_Ü = 5Øß0 przesuniÄ™cie fazowe
5Ø ß
5Øß pomiÄ™dzy siÅ‚Ä… a wychyleniem wynosi: 5Øß = .
2
¸% Oznacza to, że siÅ‚a wymuszajÄ…ca jest przesuniÄ™ta o 5Ø ß w stosunku do
2
wychylenia.
¸% Ale za to prÄ™dkość (policz!) jest w fazie z siÅ‚Ä… wymuszajÄ…cÄ…!
¸% Moc zależy od prÄ™dkoÅ›ci, zatem w warunkach rezonansu dochodzi do
maksymalnej absorbcji mocy przez oscylator  znaczenie przy rezonansie
elektrycznym
12 A.Obłąkowska-Mucha
Drgania, rezonanse i życie
13 A.Obłąkowska-Mucha
Składanie drgań harmonicznych
¸% Zasada superpozycji  jeżeli ciaÅ‚o podlega jednoczeÅ›nie dwóm drganiom, to
jego wychylenie jest sumą wychyleń wynikających z każdego ruchu z osobna.
¸% SkÅ‚adanie drgaÅ„ zachodzÄ…cych w tych samych kierunkach:
5ØeÜ1 5ØaÜ = 5Ø4Ü1 cos(5Øß15ØaÜ + 5Øß1) 5ØeÜ2 5ØaÜ = 5Ø4Ü2 cos(5Øß25ØaÜ + 5Øß2)
5Ø™Ü5ØÅšÜ 5Ø•Ü = 5Ø™Ü5ØÏß 5Ø•Ü + 5Ø™Ü5ØÐß(5Ø•Ü)
¸% SkÅ‚adanie drgaÅ„ w kierunkach wzajemnie prostopadÅ‚ych:
5ØeÜ 5ØaÜ = 5Ø4Ü5ØeÜ cos(5Øß5ØeÜ5ØaÜ + 5Øß5ØeÜ) y 5ØaÜ = 5Ø4Ü5ØfÜ cos(5Øß5ØfÜ5ØaÜ + 5Øß5ØfÜ)
5ØšÜ(5Ø™Ü)
14 A.Obłąkowska-Mucha
Składanie drgań (jeden kierunek)
¸% SkÅ‚Ä…damy drgania o tej samej (lub nie) amplitudzie i czÄ™stoÅ›ci. Drgania sÄ…
przesunięte względem siebie o fazę :
5ØeÜ1 5ØaÜ = 5Ø4Ü cos 5Øß5ØaÜ ; 5ØeÜ2 5ØaÜ = 5Ø4Ü cos(5Øß5ØaÜ + 5Øß)
¸% W wyniku zÅ‚ożenia otrzymujemy (do policzenia, zwykÅ‚a trygonometria!):
5Øß 5Øß
5ØeÜ5ØdÜ 5ØaÜ = 5ØeÜ1 5ØaÜ + 5ØeÜ2 5ØaÜ = 25Ø4Ü cos cos 5Øß5ØaÜ +
2 2
amplituda wypadkowa
¸% SÄ… to drgania o amplitudzie wypadkowej
zależnej od fazy 5Øß:
5Øß = 25Ø ß
" dla 5Øß = 5Ø ß; 5ØeÜ5ØdÜ = 0  caÅ‚kowite
wygaszenie drgań,
" dla 5Øß = 25Ø ß; 5ØeÜ5ØdÜ = 2Acos É5ØaÜ 
dwukrotny wzrost amplitudy drgań -
wzmocnenie,
" Jeżeli różnica faz pozostaje stała w czasie  drgania koherentne
15 A.Obłąkowska-Mucha
Dudnienia
¸% NakÅ‚adanie siÄ™ drgaÅ„ o bardzo zbliżonych czÄ™stoÅ›ciach:
"5Øß "5Øß
5ØeÜ1(5ØaÜ) = 5Ø4Ü sin(5Øß + )5ØaÜ x2 5ØaÜ = 5Ø4Ü sin(5Øß - )5ØaÜ
2 2
"5Øß "5Øß
5ØeÜ5ØdÜ 5ØaÜ = 5ØeÜ1 5ØaÜ + 5ØeÜ2 5ØaÜ = 5Ø4Ü sin(5Øß - )5ØaÜ + sin(5Øß + )5ØaÜ
2 2
¸% KorzystajÄ…c z tożsamoÅ›ci trygonometrycznych:
sin 5ØüÞ + 5ØÅ¼Þ = sin 5ØüÞ cos 5ØÅ¼Þ + cos 5ØüÞ sin 5ØżÞ
5ØeÜ5ØdÜ 5ØaÜ = 25Ø4Ü cos "5Øß5ØaÜ sin 5Øß5ØaÜ
25Ø4Ü cos "5Øß5ØaÜ
wolnozmieniajÄ…ca siÄ™
amplituda wypadkowa
¸% Efekt sumowania  drgania z pierwotnÄ…
częstością, ale obwiednia zmienia się
powoli w czasie (efekty dzwiękowe,
elektrotechnika)
sin 5Øß5ØaÜ
16 A.Obłąkowska-Mucha
Składanie niekoherentne
¸% Jeżeli różnica faz drgaÅ„ skÅ‚adowych zmienia siÄ™ z upÅ‚ywem czasu w dowolny
sposób, to również amplituda drgań wypadkowych zmienia się z czasem 
niekoherentne składanie drgań.
¸% Drgania wypadkowe typu:
5ØeÜ 5ØaÜ = 5Ø4Ü 5ØaÜ cos 5Øß5ØaÜ + 5Øß(5ØaÜ)
nazywamy modulowanymi, gdy:
" 5Ø4Ü = 5ØPÜ5Ø\Ü5Ø[Ü5Ø`Ü5ØaÜ; 5Øß 5ØaÜ - modulowana jest faza  FM
5ØQÜ5Ø4Ü
" 5Øß = 5ØPÜ5Ø\Ü5Ø[Ü5Ø`Ü5ØaÜ; j" 5Øß5Ø4Ü5ØZÜ5ØNÜ5ØeÜ - modulowana amplituda - AM
5ØQÜ5ØaÜ
17 A.Obłąkowska-Mucha
Analiza harmoniczna
¸% Analiza harmoniczna  metoda przedstawienia zÅ‚ożonych drgaÅ„ modulowanych
w postaci szeregu prostych drgań harmonicznych
¸% G.Fourier  dowolne drganie można przedstawić jako sumÄ™ prostych drgaÅ„
harmonicznych o wielokrotnoÅ›ciach pewnej podstawowej czÄ™stoÅ›ci kÄ…towej 5Øß:
5ØAÜ
5ØeÜ 5ØaÜ = 5Ø4Ü5Ø[Ü sin(5Ø[Ü " 5Øß5ØaÜ + 5Øß5Ø[Ü)
5Ø[Ü=0
¸% Pierwszy wyraz szeregu  czÄ™stotliwość
podstawowa 5Øß, nastÄ™pne  czÄ™stotliwoÅ›ci
harminiczne-  pierwsza ,  druga , itp.
¸% W ten sposób można za pomocÄ… prostych
drgań harminicznych przedstawić drganie o
dowolnym kształcie, np. piłokształtnym,
trójkątnym, prostokątnym..
18 A.Obłąkowska-Mucha
Analiza harmoniczna
¸% Analiza harmoniczna  metoda przedstawienia zÅ‚ożonych drgaÅ„ modulowanych
w postaci szeregu prostych drgań harmonicznych
¸% G.Fourier (1807) dowolne drganie można przedstawić jako sumÄ™ prostych
drgań harmonicznych o wielokrotnościach pewnej podstawowej częstości
kÄ…towej 5Øß:
5ØAÜ
5ØeÜ 5ØaÜ = 5Ø4Ü5Ø[Ü sin(5Ø[Ü " 5Øß5ØaÜ + 5Øß5Ø[Ü)
5Ø[Ü=0
¸% Pierwszy wyraz szeregu  czÄ™stotliwość
podstawowa 5Øß, nastÄ™pne  czÄ™stotliwoÅ›ci
harminiczne-  pierwsza ,  druga , itp.
¸% W ten sposób można za pomocÄ… prostych
drgań harminicznych przedstawić drganie o
dowolnym kształcie, np. piłokształtnym,
trójkątnym, prostokątnym..
19 A.Obłąkowska-Mucha
http://www.if.pw.edu.pl/~bibliot/archiwum/adamczyk/WykLadyFO
Krzywe Lissajous
¸% SkÅ‚adania drgaÅ„ harmonicznych o tych samych czÄ™stoÅ›ciach 5Øß w kierunkach
wzajemnie protopadłych:
5ØeÜ 5ØaÜ = 5Ø4Ü5ØeÜ sin(5Øß5ØaÜ) 5ØfÜ 5ØaÜ = 5Ø4Ü5ØfÜ sin(5Øß5ØaÜ + 5Øß)
¸% Jules Lissajous (1857) - demonstracja wyniku, gdy:
5Øß = 0°, 90°, 180°
5Ø4Ü
5ØfÜ
" 5Øß = 0°: 5ØfÜ 5ØeÜ = 5ØeÜ - linia prosta
5Ø4Ü
5ØeÜ
5Ø4Ü
5ØfÜ
" 5Øß = 180°: 5ØfÜ 5ØeÜ = - 5ØeÜ - linia prosta
5Ø4Ü
5ØeÜ
" 5Øß = 90°: 5ØeÜ 5ØaÜ = 5Ø4Ü5ØeÜ sin(5Øß5ØaÜ) 5ØfÜ 5ØaÜ = 5Ø4Ü5ØfÜ 5ØPÜ5Ø\Ü5Ø`Ü(5Øß5ØaÜ)
5Ø™Ü5ØÐß 5ØšÜ5ØÐß
+ = 5ØÏß
5ØÐß 5ØÐß
5ØhÜ 5ØhÜ
5Ø™Ü 5ØšÜ
 elipsa, okrÄ…g
20 A.Obłąkowska-Mucha
Krzywe Lissajous  dowolna faza
¸% Inne różnice faz, ale te same czÄ™stoÅ›ci  elipsy, ale w kierunkach innych niż
osie ukł. współrzędnych.
¸% Przypadek ogólny  dowolne fazy, czÄ™stoÅ›ci, amplitudy  krzywe Lissajous:
21 A.Obłąkowska-Mucha
Podsumowanie
¸% RozwiÄ…zanie równania ruchu pod wpÅ‚ywem siÅ‚y o zadanej postaci pozwala na
wyznaczenie położenia, prędkości i przyspieszenia.
¸% Ruch pod wpÅ‚ywem siÅ‚y harmonicznej  rozwiÄ…zanie, parametry, przykÅ‚ady:
" prosty oscylator harmoniczny,
" wahadło matematyczne,
" wahadło fizyczne.
¸% Ruch z tÅ‚umieniem  równanie, rozwiÄ…zanie, interpretacja.
¸% Ruch drgajÄ…cy pod wpÅ‚ywem siÅ‚y wymuszajÄ…cej. Rezonans.
¸% SkÅ‚adanie drgaÅ„:
" wzmocnienie, wygaszenie, drgania koherentne,
" dudnienia,
" analiza harmoniczna
" krzywe Lissajous
¸% Pokazy
22 A.Obłąkowska-Mucha


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
IMIR przykłady drgania
IMiR NM2 Introduction to MATLAB
drgania 3
Drgania2010
drgania2(1)
dobrucki,wprowadzenie do inżynierii akustyki, drgania układów o skończonej liczbie stopni swobody
Fizyka 1 drgania harmoniczne 2011
dziurdz drgania mechaniczne i halas
IMIR zestaw16
04 Drgania relaksacyjne
drgania struny

więcej podobnych podstron