...wielkie umysły,
myślą podobnie...
ROZDZIAA
IV
DRGANIA UKA
ADÓW
O SKOC
CZONEJ LICZBIE STOPNI SWOBODY
1. WST
P
2. ZAA
OŻENIA DO BADAC
MODELI
3. DRGANIA UKA
ADÓW O JEDNYM STOPNIU SWOBODY
4. DRGANIA UKA
ADÓW O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY
5. DRGANIA UKA
ADÓW O SKOC
CZONEJ LICZBIE STOPNI SWOBODY
1. WST
P
Głównym celem dynamicznego badania konstrukcji jest pomiar jej rzeczywistej
odpowiedzi dla oceny poprawności wyników rozwiązania teoretycznego, czyli weryfikacja
modelu matematycznego dla uzyskania informacji o obciążeniach oraz innych parametrach,
które są wymagane w analizie dynamicznej. Badania dynamiczne pozwalają na
wprowadzanie uzasadnionych zmian projektowych konstrukcji w celu podniesienia jej
wartości użytkowych i niezawodności działania.
W tym rozdziale przedstawiono podstawy teoretyczne opisu i analizy układów
mechanicznych o różnym stopniu skomplikowania. Dotyczy to różnej liczby stopni swobody,
decydującej o skomplikowaniu modelu maszyny, a tym samym o złożoności analizy
matematycznej.
Z punktu widzenia liczby stopni swobody wprowadza się podział układów
mechanicznych na:
- układy o jednym stopniu swobody,
- układy o skończonej liczbie swobody (układy dyskretne),
- układy o nieskończonej liczbie stopni swobody.
Układ, który może gromadzić tylko jedną postać energii i lokalizować ją tylko w
jednym elemencie, jest nazywany układem dynamicznym pierwszego rzędu, gdyż równania
opisujące jego ruch są funkcją tylko jednej zmiennej i jej pierwszej pochodnej. Inne zasady
przedstawiono podczas opisu zachowania się modeli układów, w różnych warunkach
wymuszeń.
2. ZAA
OŻENIA DO BADAC
MODELI
Rzeczywiste układy mechaniczne to układy masowo  dyssypacyjno - sprężyste
opisywane za pomocą przemieszczeń, ich pochodnych związanych z odkształceniami oraz
wywołującymi je siłami. Wielkości opisujące są ze sobą sprzężone, są zmienne w czasie i
nazywane są w dynamice maszyn sygnałami. Sygnały przemieszczeń, prędkości i
przyspieszeń oraz działających sił mają charakter uogólniony, tzn. przemieszczenia są
zarówno translacyjne jak i rotacyjne, a siły są skupione i pary sił są reprezentowane przez ich
momenty.
Równania ruchu, opisujące drgania dyskretnego modelu fizycznego, mają w ogólnym
przypadku postać [33,64]:
. . . .. .. .. ..
Fk (q1, q2 ,...,qn , q1, q2 ,..., qi ,...,qn , q1, q2 ,..., qi ,..., qn , R1, R2 ,..., Ri ,...Rw ,t) = 0
gdzie: n - liczba stopni swobody, w  liczba więzów, t  czas, Rj  j-ta nieznana siła
. ..
uogólniona (reakcja), qi  i-te przemieszczenie, qi - i-ta prędkość uogólniona, qi - i-te
przyśpieszenie uogólnione.
Przy modelowaniu dynamicznych własności układów mechanicznych stosuje się
szereg uproszczeń w zakresie opisu i zasad budowy modeli fenomenologicznych.
W celu modyfikacji własności dynamicznych układów mechanicznych buduje się
modele strukturalne, które odzwierciedlają organizację wewnętrzną i zachowują własności
transformacyjne układu.
Każdy układ mechaniczny złożony jest z elementów: masowych (punkty materialne,
nieodkształcalne lub odkształcalne bryły), sprężystych (sprężyny) i tłumiących (np. tłumiki).
Mówi się więc o układach m, k, c (masowo  dyssypacyjno - sprężystych). Tylko w
uproszczeniu można mówić o modelu masowym, masowo-sprężystym lub masowo-
dyssypacyjnym. Każdy układ (model), posiadający własności sprężyste wytrącony z
położenia równowagi, będzie realizował ruch przemienny wokół położenia równowagi. Taki
ruch nazywamy drganiami mechanicznymi.
Drgania mechaniczne w zależności od: liczby stopni swobody układu, równania
(równań) opisującego ruch, sposobu wytrącenia z położenia równowagi (sposobu
wymuszenia), modelu układu, charakteru sygnału przemieszczeń i kierunku ruchu dzielimy
na [14,33,71]:
- drgania układów o jednym stopniu swobody, o wielu stopniach swobody - drgania układów
dyskretnych: o nieskończonej liczbie stopni swobody - drgania układów ciągłych;
- drgania liniowe; nieliniowe;
- drgania autonomiczne (swobodne); nieautonomiczne (wymuszone: zewnętrznie lub
wewnętrznie);
- drgania zachowawcze (bez tłumienia); niezachowawcze (z dyssypacją energii; lub z
tłumieniem);
- drgania zdeterminowane; stochastyczne;
- drgania wzdłużne, poprzeczne, translacyjne, rotacyjne (giętne, skrętne), itp.
Kluczem do określenia dynamiki obiektów czyli drgań obiektów mechanicznych jest
zatem znajomość możliwych odpowiedzi układu dynamicznego, do którego można
zredukować badany obiekt.
2.1 Drgania translacyjne i skrętne
W praktycznych zastosowaniach na początku rozważań modelowane obiekty badań
przedstawiane są jako elementarne modele drgające o jednym stopniu swobody. Przykłady
takich układów z wymuszeniem siłowym lub momentowym przedstawiono na rys. 4.1
[a).model o wymuszeniu siłowym, b). model o wymuszeniu momentowym].
Czy wnioski płynące z analizy drgań typu skrętnego są takie same jak dla drgań typu
translacyjnego?
Rys.4.1 Schematy modeli fizycznych o jednym stopniu swobody dla drgań translacyjnych a).
oraz dla drgań skrętnych b).
Stosując zasadę d Alemberta dla każdego z modeli otrzymuje się równania:
model translacyjny a). model skrętny b).
F + F = 0 M + M = 0
" "
i bezwl i sil bezwl
.
.. . ..
F(t) - kx - c x - m x = 0 M (t) - K� - C�- I � = 0
ostatecznie zaś:
.. . .. .
m x+ c x+ kx = F(t) I �+ C �+ K� = M (t) (4.1)
Otrzymane równania, słuszne nie tylko dla układu o jednym stopniu swobody, są
identyczne, a więc wnioski płynące z analizy ich rozwiązań będą również identyczne.
2.2 Wymuszenie siłowe i kinematyczne
Dla tej samej ogólności rozważań rozpatrzmy wymuszenia siłowe i kinematyczne
przedstawione na rys.4.2. W pierwszym przypadku wymuszenie pochodzi od zadanej
zewnętrznej siły bądz
momentu, zaś w drugim przypadku mamy zadany ruch na torze
(wymuszenie kinematyczne) [14].
Oba przypadki wymuszenia są modelowo równoważne, a zadane przemieszczenie z(t)
działając poprzez sprężynę k i tłumik c jest z
ródłem siły równoważnej F(t), przy czym
.
F(t) = kz + c z . Wiedząc o tym można dalsze rozważania ograniczyć do drgań translacyjnych
z wymuszeniem siłowym, a wnioski przenosić na dowolny ruch z dowolnym typem
wymuszenia.
Rys.4.2 Ilustracja równoważności wymuszenia siłowego a). i kinematycznego b) [14].
2.3 Wyznaczanie parametrów zastępczych
Podstawowe metody wyznaczania parametrów (cech) strukturalnych modeli układów
mechanicznych to metody identyfikacji; prostej dla układów prostych i złożonej dla układów o
wielu stopniach swobody.
W przypadku prostych układów mechanicznych, niekoniecznie o małej liczbie stopni
swobody, ale z łatwym podziałem na dyskretne elementy masowe, sprężyste i tłumiące
najbardziej efektywna jest metoda analityczna oparta na znajomości geometrii i własności
materiałowych elementów konstrukcyjnych układu.
Metoda analityczna zawiera się w kilku etapach. Najpierw dokonuje się myślowej
dyskretyzacji rzeczywistego układu mechanicznego. A
ączy się elementy w grupy o
zbliżonych cechach dominujących, np. o wyraz
nie przeważających cechach masowych nad
sprężystymi lub tłumiącymi. Elementy masowe traktuje się więc jako nieodkształcalne bryły
lub punkty materialne. Elementy bezmasowe ((sprężyste i tłumiące) najczęściej traktowane
jednocześnie jako sprężysto-tłumiące są ujmowane jako odkształcalne. Tak połączone
elementy w grupy przedstawia się tylko jednym elementem zwanym zastępczym lub
zredukowanym. Jest on reprezentowany tylko jednym parametrem zredukowanym, będącym
albo wprost parametrem strukturalnym, albo elementem pewnej kombinacji parametrów
zredukowanych.
Parametry zastępcze wyznacza się dla potrzeb analizy dynamiki układu, najczęściej
przy założeniu równoważności dynamicznej grupy elementów konstrukcyjnych i elementu
zastępczego. Równoważność dynamiczna oznacza równoważność energii ruchu elementów
układu rzeczywistego i elementów zastępczych, co oznacza ich równoważność energii
kinetycznej, potencjalnej i funkcji dyssypacji energii.
2.4 Wyznaczanie mas zastępczych
Rzeczywiste elementy masowe są w ogólności bryłami nieodkształcalnymi, więc ich
energia kinetyczna jest sumą energii kinetycznej ruchu postępowego z prędkością Vs środka
masy oraz energii kinetycznej ruchu obrotowego dookoła osi chwilowego obrotu,
przechodzącej przez środek masy.
1 1
Ekz = miVi2 + Ji�i2 (4.2)
2 2
Zastępczymi elementami masowymi mogą być albo punkty materialne, albo bryły
doskonale sztywne. Zakłada się najczęściej, że punkty materialne wykonują ruch
prostoliniowy, a bryły ruch obrotowy dookoła stałej osi.
Dokonując redukcji masy korbowodu mechanizmu korbowo-tłokowego (rys.4.3) do
dwóch punktów A i B pokrywających się z osią sworznia wału korbowego O oraz z osią
sworznia tłokowego przyjmuje się oznaczenia:
- masa korbowodu mk,
- długość korbowodu lk,
- moment bezwładności Js względem osi przechodzącej przez środek masy S odległy od osi
A o a = A S oraz od osi B o b = B S, przy czym a + b = lk.
Rys.4.3 Schemat mechanizmu korbowo - tłokowego.
Równoważność dynamiczna energii zachodzić musi dla dowolnych wartości Vs ruchu
postępowego oraz � ruchu obrotowego, a więc również dla ich szczególnych wartości
równych niejednocześnie zeru. Wynikają stąd równania równoważności mas oraz
równoważności momentów bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy S:
mk = mA + mB dla � = 0 (4.3)
J = mAa2 + mBb2 dla VS = 0 (4.4)
S
a stąd wartości mas zastępczych mA i mB :
J - mkb2
S
mA = (4.5)
a2 - b2
J - mk a2
S
mB = (4.6)
b2 - a2
Warunek równoważności statycznej oznacza równoważność momentów statycznych
układu rzeczywistego i zastępczego:
mAa - mBb = 0 (4.7)
Spełnienie jednocześnie trzech warunków równoważności statycznej i dynamicznej
wymaga zastąpienia korbowodu trzema punktami materialnymi (A,S,B) i wówczas równania
równowagi są następujące:
mk = mA + mB + mS
J = mAa2 + mBb2 (4.8)
S
mAa - mBb = 0
Masy zastępcze w układzie tym przyjmują postać:
J J J
S S S
mA = ; mB = ; mS = mk - (4.9)
alk blk ab
2.5 Zastępcze sztywności modelowanych układów
Jeżeli w układzie występują różne elementy sprężyste, należy wówczas wyznaczyć
zastępczy współczynnik sprężystości. Można tu rozważyć dwa przypadki połączeń
sprężystych  połączenie równoległe i szeregowe. Zastępczy współczynnik sprężystości
wyznacza się z warunku równowagi energii potencjalnych.
Jak wynika z rys.4.4 energia potencjalna połączenia równoległego przy przesunięciu o
x wynosi:
1 1
EP = k1x2 + k2 x2 (4.10)
2 2
Rys.4.4 Połączenia sprężyste: równoległe a). i szeregowe b). oraz sztywność zastępcza.
Energia potencjalna układu zastępczego przy tym samym przesunięciu wynosi:
1
EP = kz x2 (4.11)
2
Po porównaniu tak opisanych energii otrzymuje się dla połączenia równoległego:
(4.12)
k = k1 + k
z 2
Dla połączeń szeregowych nadajemy przesunięcie x na końcu sprężyny o
współczynniku k2. Sprężyna o współczynniku sprężystości k1 zostanie odkształcona o z i
energia potencjalna obu sprężyn wynosi:
1 1
2
EP = k1z + k2 (x - z)2 (4.13)
2 2
Ponieważ w punkcie A jest równowaga dwóch sił: k1z = k2(x-z) , można wyznaczyć:
k2
z = x (4.14)
k1 + k2
Po podstawieniu (4.14) do (4.13) i przekształceniu otrzymuje się:
1 k1k2
EP = x2 (4.15)
2 k1 + k2
Porównując dalej (4.10) i (4.15) otrzymuje się zastępczy współczynnik sprężystości dla
połączenia szeregowego:
k1k2
kz = (4.16)
k1 + k2
2.6 Oszacowanie zastępczego tłumienia obiektu
Parametr ten jest niezbędny przy oszacowaniu amplitudy odpowiedzi rezonansowej
modelu bądz
szybkości zaniku drgań. Do jego wyznaczenia należy z eksperymentu
wyznaczyć logarytmiczny dekrement tłumienia ", bądz
stopień tłumienia � oraz częstość
własną �0, co często wykorzystuje się do weryfikacji modelu.
Realizacja eksperymentu testem impulsowym, polegającym na uderzeniowym
wymuszeniu obiektu w punkcie spodziewanego działania wymuszenia i odbiorze odpowiedzi
w punkcie redukcji R. Jako wynik uzyskuje się obraz drgań zanikających, przedstawiony na
rys.4.5.
A1
" = ln = 2 �
A3
"=lnA1/A3=2 �
Rys.4.5 Ilustracja do wyznaczenia logarytmicznego dekrementu tłumienia " i zastępczego
tłumienia cz.
Wynikiem eksperymentu jest tu logarytmiczny dekrement tłumienia ", bądz
stopień
tłumienia � oraz częstość własna �0, co służy do weryfikacji obliczeń i badanego modelu.
Drgania tłumione przedstawione na rys.4.5 są nieokresowe, jednak kolejne położenia
środkowe i kolejne wychylenia są osiągane po jednakowych odstępach czasu. Zatem, okres
drgań tłumionych można wyznaczyć z zależności:
2Ą 2Ą
T1 = = (4.17)
2
�
�0 - n2
który jest większy od okresu drgań tłumionych:
2Ą
T1*#T0 = (4.18)
�0
Dekrement logarytmiczny tłumienia, definiowany jako stosunek wartości dwóch
kolejnych maksymalnych amplitud, przyjęto za miarę tłumienia drgań:
x(t)
" = ln = nT1 (4.19)
x(t + T1)
Stopień tłumienia dla ułatwienia dalszej analizy można zapisać w postaci:
c h
� = = oraz c = ckr = 2 mk , gdy � = 1 (4.20)
ckr �0
Dla rys. 4.5 można napisać:
c cz cz
� = = = (4.21)
ckr czkr
2 mzkz
W takim razie dekrement logarytmiczny tłumienia wynosi:
cz czĄ
" = 2Ą� = 2Ą = (4.22)
2 mzkz mzkz
a z tego tłumienie zastępcze:
"
cz = mzkz (4.23)
Ą
Znając zatem z eksperymentu dekrement logarytmiczny tłumienia " oraz z dalszych obliczeń
zastępczą masę i sztywność (mz, kz) można wyznaczyć wartość zastępczego tłumienia cz w
badanym modelu.
3. DRGANIA UKA
ADÓW O JEDNYM STOPNIU SWOBODY
Drgania układu powstające na skutek naruszenia położenia równowagi układu
mechanicznego, który następnie porusza się pod działaniem sił sprężystych, ciężkości lub
tarcia nazywa się drganiami swobodnymi. W układach o jednym stopniu swobody naruszenie
położenia równowagi charakteryzuje się warunkami początkowymi: początkowym
*
położeniem x0 i początkową prędkością x .
0
3.1 DRGANIA SWOBODNE
Drgania swobodne układu o jednym stopniu swobody można przedstawić modelem
jak na rys.4.6, bez uwzględnienia siły zewnętrznej P(t).
c = ą
Rys.4.6 Model układu o jednym stopniu swobody
Jako współrzędną uogólnioną przyjmuje się przemieszczenie x masy m odniesione do
położenia równowagi statycznej układu [8,13,17].
Drganiami wymuszonymi układu mechanicznego nazywa się takie drgania, które
zachodzą wskutek działania sił zewnętrznych P(t) na układ.
Równanie dynamiczne ruchu masy m otrzymuje się korzystając z II zasady Newtona:
**
m x = -S - R + G + P (4.24)
gdzie: P  siła wymuszająca, G  ciężar masy układu, S  siła reakcji sprężyny,
R  siła oporu tłumika.
Przy założeniu, że odkształcenia sprężyny są niewielkie, można przyjąć, że siła S jest liniową
funkcją x:
S = k[x + � ] (4.25)
st
Współczynnik k nazywa się współczynnikiem sprężystości obciążenia sprężyny do
wywołanego przez nie ugięcia [N/m]. Natomiast:
G
� = (4.26)
st
k
oznacza ugięcie statyczne sprężyny, wywołane ciężarem G.
Siła R może przedstawiać nie tylko opór tłumika specjalnie wprowadzonego układu,
ale również siły tarcia w prowadnicach, opór ośrodka, w którym drga ciało, itp. Pozostając na
gruncie układów liniowych, przyjmuje się, że siła oporu jest proporcjonalna do prędkości
ruchu ciała o masie m:
*
R = c x (4.27)
Ten typ oporu nazywamy liniowym tłumieniem wiskotycznym (lepkim), współczynnik c
nazywa się współczynnikiem tłumienia lepkiego i ma wymiar [kg/s] .
Za pomocą (4.27) można wyrazić siły oporu tłumików olejowych lub sił tarcia w
przypadku ślizgania się po sobie części dobrze smarowanych, czy też w czasie ruchu ciała w
cieczy lub gazie przy założeniu, że prędkość v jest dostatecznie mała. Po podstawieniu (4.25)
i (4.27) do (4.24) otrzymuje się:
** *
m x+ c x+ kx = P(t) + G - � k (4.28)
st
Jeżeli teraz uwzględnimy zależność (4.26), otrzymamy poszukiwane równanie drgań w
postaci:
** *
m x+ c x+ kx = P(t) (4.29)
Drgania swobodne nie tłumione
Przyczyna ruchu obiektu, a więc i modelu wynika tu z zadanych warunków
początkowych. Przyjmując w (4.29) c = 0 i P(t) = 0, otrzymuje się równanie drgań
swobodnych układu zachowawczego (układu, w którym obowiązuje zasada zachowania
energii) w postaci:
**
m x+ kx = 0 (4.30)
Dzieląc obie strony (4.30) przez m, otrzymuje się:
**
2
x+ �0 x = 0 (4.31)
k
gdzie: �0 = nazywane jest częstością drgań własnych.
m
Rozwiązanie ogólne równania (4.31) ma postać:
x = C1 cos�0t + C2 sin�0t (4.32)
Równanie to zawiera dwie stałe dowolne C1, C2, które wyznacza się z warunków
* *
początkowych. Przyjmując, że w chwili t = 0, x = x0 oraz x = x , wówczas:
0
*
x
0
C1 = x0 , C2 = (4.33)
�0
oraz
*
x
0
x = x0 sin�0t + sin�0t (4.34)
�0
Drgania swobodne (4.34) można również zapisać w postaci przemieszczenia drgań:
x = Asin(�0t + �) (4.35)
2
*
�ł �ł
x x0�0
0
�ł �ł
2
gdzie: A = x0 + , tg� = (4.36)
*
�ł�0 �ł
�ł �ł
x
0
�ł łł
Ze wzorów (4.35) i (4.36) wynika, że drgania swobodne liniowego układu zachowawczego
mają postać drgań harmonicznych o amplitudzie A i kącie przesunięcia fazowego � ,
zależnego od warunków początkowych. Częstości zaś drgań własnych �0 i okres drgań
2Ą
T0 = zależą wyłącznie od masy i sprężystości układu.
�0
Różniczkując równanie (4.35) otrzymuje się prędkość drgań:
*
x = A�0 cos(�0t + �) (4.37)
będącą również okresową funkcją czasu o tym samym okresie co przesunięcie. Z kolei
różniczkując prędkość otrzymuje się wartość przyspieszenia drgań:
**
2
x = -A�0 sin(�0t + �) = -�0 2 x (4.38)
Jest ono okresową funkcją czasu o tym samym okresie co przesunięcie i prędkość.
Przyśpieszenie jest proporcjonalne do przesunięcia i jest skierowane przeciwnie do
przesunięcia (4.38), czyli jest stale skierowane do położenia równowagi [33,71].
Równanie (4.38) można napisać w postaci:
**
2
x+ �0 x = 0 (4.39)
i jest ono równaniem drgań harmonicznych albo równaniem drgań oscylatora
harmonicznego. Wynika z niego, że drgania własne układu o jednym stopniu swobody są w
zupełności określone przez częstość drgań własnych. Amplituda drgań zależy od warunków
początkowych (patrz 4.36), natomiast częstości własne i okres drgań od nich nie zależą.
Drgania swobodne tłumione
Równanie drgań swobodnych tłumionych otrzymuje się, przyjmując we wzorze (4.29)
P(t)=0:
** *
m x+ c x+ kx = 0 (4.40)
lub po podzieleniu przez masę w postaci:
** *
2
x+ 2h x+ �0 x = 0 (4.41)
c k
2
gdzie: 2h = , �0 = .
m m
Rozwiązaniem tego równania jest postać: x = Aert , a równanie charakterystyczne dla (4.41) ma
postać:
2 2
r + 2hr + �0 = 0 (4.42)
Ogólne rozwiązanie tego równania zależy od wartości i znaku wyróżnika, który ma znaną
postać:
2
" = 4(h2 - �0 )
2
Stąd: r1,2 = -h + h2 -�0
1 2
x(t) = A1er t + A2er t (4.43)
Analizując pierwiastki charakterystyczne r1,2 zauważa się, że wyznaczają one trzy obszary
zachowania się modelu, zależnie od wartości współczynnika tłumienia h:
h *# �0 ; h = �0 ; h )# �0 . (4.44)
Wprowadzając bezwymiarowy stopień tłumienia � , który spełnia relacje:
c h
� = = ; c = ckr = 2 mk ; gdy � = 1 (4.45)
ckr �0
widać, że krytyczna wartość tłumienia zależy od masy i sprężystości. Wskazane trzy wartości
tłumienia (4.44) charakteryzują tłumienie nadkrytyczne, krytyczne i podkrytyczne, dla
których można przypisać następujące rozwiązania:
- tłumienie nadkrytyczne:
2 2
c *# ckr , (� *# 1) ; x = A1e(-� + � -1)�0t + A2e(-� - � -1)�0t
- tłumienie krytyczne:
0
c = ckr , (� = 1) ; x = (A1 + A2t)e-�� t (4.46)
- tłumienie podkrytyczne:
2 2
c )# ckr , (� )# 1) ; x = A1e(-� -i 1-� )�0 + A2e(-� -i 1-� )�0t
2Ą 2Ą
- okres drgań tłumionych: T1 = = jest większy od okresu drgań nie
2
�0 �0 - h2
2Ą
tłumionych: T1 *#T0 = ;
�0
- logarytmiczny dekrement tłumienia (jako stosunek dwu kolejnych amplitud)
umożliwiający eksperymentalne określanie współczynnika tłumienia wyznacza się z
x(t)
zależności: � = ln = hT1 .
x(t + T1)
W zastosowaniach technicznych z tłumieniem nadkrytycznym mamy do czynienia w
konstrukcji różnego rodzaju indykatorów wskazówkowych, zaś z tłumieniem podkrytycznym
w układach amortyzacji. Materiały konstrukcyjne cechują się bardzo małym stopniem
tłumienia � )#)# 1co objawia się słabym zanikiem drgań w konstruowanych układach.
3.2 DRGANIA WYMUSZONE
Możliwy charakter wymuszeń w funkcji czasu, które mogą występować w realnych
przypadkach obciążeń dynamicznych układów sprężystych można podzielić na: procesy
zdeterminowane, gdzie następstwo wartości siły w czasie jest ściśle określone jedną funkcją
p(t) = f(t) oraz procesy przypadkowe, gdzie opis wymuszenia ujmuje cały zbiór oddzielnych
realizacji p(t) = {fi(t)}. Dokładniejszy podział na klasy związane z rodzajem opisu procesów
wymuszających i wskazaniem możliwości ich zastosowań przedstawiono w rozdziale VII.
Drgania wymuszone to drgania powstające wtedy, gdy punkt drgający w ośrodku o
stałej tłumienia � poddany jest dodatkowo działaniu siły sinusoidalnie zmiennej z biegiem
czasu. Drgania odbywane w warunkach rzeczywistych, w dowolnym ośrodku materialnym,
zawsze są połączone z przekazywaniem energii otoczeniu w związku z pokonywaniem sił
oporu. W wyniku wykonywanej pracy energia ciała drgającego maleje, zmniejsza się też
amplituda drgań.
Drgania nie podtrzymywane siłą zewnętrzną ulegają tłumieniu, gasną, zanikają  stąd
ich nazwy: drgania tłumione, gasnące, zanikające.
W ośrodkach o większych stałych tłumieniach (o większych dekrementach
logarytmicznych tłumienia) wygaszanie drgań jest gwałtowniejsze. Teoretycznie spadek
amplitudy A do zera powinien nastąpić dopiero po czasie t = " to w praktyce już po czasie
skończonym obserwuje się faktyczny zanik drgań. Warto podkreślić, że badanie drgań
tłumionych w określonym ośrodku pozwala wyznaczyć jego współczynnik oporu.
3.2.1 Drgania wymuszone nietłumione
Opis drgań wymuszonych nietłumionych uzyskuje się, przyjmując w (4.29) c=0 i
P(t)=cos�t, w postaci:
**
m x+ kx = P0 cos�t (4.47)
**
k P0
2 2
albo: x+ � x = q cos�t , gdzie: � = , q = .
m m
Równanie to jest równaniem różniczkowym liniowym niejednorodnym. Jego rozwiązanie
ogólne jest równe sumie rozwiązania ogólnego x1 odpowiedniego równania jednorodnego
(4.30) oraz rozwiązania szczególnego x2:
x = x1 + x2 (4.48)
przy czym: x1 = C1 cos�0t + C2 sin�0t .
Rozwiązania szczególnego równania (4.47) szukamy w postaci:
x2 = Acos�t (4.49)
gdzie A jest stałym współczynnikiem, którego wartość należy wyznaczyć. Podstawiając do
wyrażenia (4.47) wyrażenie (4.49) otrzymuje się:
2 2
[A(�0 - � ) - q]cos�t = 0 (4.50)
Aby powyższe równanie było spełnione, winno być:
q
2 2
A(�0 - � ) - q = 0 , czyli A = , co po podstawieniu do (4.49) daje:
2 2
�0 - �
q
x2 = cos�t (4.51)
2 2
�0 - �
Uwzględniając zależności (4.51) i (4.48) otrzymujemy zatem:
q
x = C1 cos�0t + C2 sin�0t + cos�t (4.52)
2 2
�0 - �
Ruch punktu materialnego stanowi więc wynik superpozycji dwóch rodzajów ruchu drgań
harmonicznych. Pierwsze z nich pokrywają się z badanymi wcześniej drganiami
swobodnymi, drugie zaś odpowiadają szczególnemu rozwiązaniu (4.51). Te ostatnie drgania
noszą nazwę drgań wymuszonych, a ich okres jest taki sam jak okres siły P wywołującej te
drgania: T=2Ą/�.
Amplituda drgań wymuszonych wynosi więc [33]:
q 1 1
A = = � (4.53)
2
�0 � 2 st � 2
1- 1-
2 2
�0 �0
P0
gdzie: � = jest wychyleniem statycznym.
st
k
P0
Gdy � = 0 , czyli gdy siła wymuszająca jest stała, otrzymujemy: x2 = � = , układ
st
k
wykonuje drgania swobodne, których środkiem jest położenie równowagi układu.
� �
Gdy " , to amplituda drgań wymuszonych A " . Gdy 1, tzn. gdy częstość
�0 �0
siły wymuszonej zbliża się do częstości własnej, amplituda A " . Przypadek ten nosi
nazwę rezonansu i polega na zwielokrotnieniu amplitudy drgań w porównaniu z ugięciem
statycznym.
Rezonans jest zjawiskiem zachodzącym w układach drganiowych, gdy częstotliwość
drgań wymuszających � jest równa lub bliska częstotliwości drgań własnych �0. Rezonans
polega na szybkim wzroście amplitudy drgań układu fizycznego, tym większym im mniejsze
jest tłumienie drgań w układzie. Charakterystykę rezonansową układu przedstawia krzywa
rezonansowa. Im szersza jest krzywa rezonansowa, tym łatwiej jest pobudzić układ
drganiowy do drgań wymuszonych - układ jest mniej selektywny. Powstają w nim drgania już
przy częstotliwościach drgań wymuszających, znacznie różniących się od częstotliwości
rezonansowej. W miarę zbliżania się częstotliwości drgań wymuszających do częstotliwości
drgań własnych układu, amplituda drgań wymuszonych rośnie i osiąga maksymalną wartość,
gdy: � = �r.
Skończona wartość amplitudy drgań rezonansowych wynika stąd, że w układach
rzeczywistych część energii zostaje stracona - układ jest dyssypatywny [14,33,71].
Drgania wymuszone tłumione
Rozważając drgania układu mechanicznego z rys.1 w przypadku gdy P(t) = P0 sin�t , można
napisać równanie drgań wymuszonych tłumionych:
** *
m x+ c x+ kx = P0 sin�t (4.54)
Przyjmując, że tłumienie jest podkrytyczne [� )#1) zastosowania praktyczne] albo c)# mk
równanie powyższe po podzieleniu przez masę można przedstawić w postaci:
** *
2
x+ 2h x+ �0 x = q sin�t (4.55)
*
Rozwiązanie tego równania przy warunkach początkowych: t = 0, x = 0, x = 0 można
przedstawić w postaci:
x = -A1e-ht sin(�1t - v) + Asin(�t - �) (4.56)
gdzie:
q� 1 2h�1
A1 = , tg v = (4.57)
2 2
2 2 2
1 �1 - h2 -�
(�0 -� )2 + 4h2�
q 2h�
A = , tg� = (4.58)
2 2
2 2 2
�0 - �
(�0 -� )2 + 4h2�
We wzorze (4.56) pierwszy składnik przedstawia drgania swobodne tłumione, powstałe na
skutek przyłożenia siły wymuszającej przy zerowych warunkach początkowych. Drugi
składnik przedstawia natomiast drgania ustalone wymuszone. Po pewnym czasie drgania
swobodne zostają wytłumione i można je pominąć. Pozostają drgania wymuszone mające
postać drgań harmonicznych o częstości siły wymuszającej : x = Asin(�t - �) . Drgania te są
opóz
nione w fazie w stosunku do obciążenia o kąt � wyznaczony z drugiego wzoru (4.58).
Drgania liniowe układu (o jss) przy wymuszeniu harmonicznym
Jeżeli układ mechaniczny posiada tylko jeden stopień swobody i posiada liniowe
charakterystyki sprężystości i tłumienia (rys.4.7), a działa na niego harmoniczna siła
wymuszająca, to równanie jego ruchu jest:
(4.59)
,
Aq + Bq + Cq = H(t)
q  współrzędna uogólniona (przemieszczenie translacyjne x[m], rotacyjne Ć),
A  { m  masa [kg]; I masowy moment bezwładności [kgm2]},
B  {b - współczynnik tłumienia translacyjnego [Ns/m];
b0 - współczynnik tłumienia rotacyjnego Nms/rad]},
C  {c  współczynnik sztywności translacyjnej [N/m];
c0  współczynnik sztywności rotacyjnej [Nm/rad]},
H(t)  {F(t)  siła wymuszająca [N];
M(t)  moment wymuszający [Nm]}.
 Rys.4.7 Modele układów o jednym stopniu swobody
Drgania autonomiczne (swobodne)
Jeżeli na układ wstępnie wyprowadzony z położenia równowagi nie działają żadne
wymuszenia [H(t)=0], to otrzymujemy następujące równanie:
(4.60)
,
A q + B q + Cq = 0
Jest to równanie drgań swobodnych tłumionych. Jeżeli pominiemy tłumienie , to
równanie ulegnie dalszemu uproszczeniu:
(4.61)
,
A q + + Cq = 0
Rozwiązaniem ogólnym powyższego równania jest funkcja sygnału harmonicznego:
(4.62)
q(t )= q sin (� t + � )
0 0
�0  częstość kołowa sygnału [rad/s];
Ć- faza sygnału harmonicznego [rad].
Po podstawieniu otrzymamy:
2
(4.63)
(C - A�0 )q sin (�0 t + �)= 0
0
która to zależność, jest spełniona dla dowolnej chwili czasowej t tylko wtedy, gdy:
(4.64)
C
2
C - A� = 0 st ąt � =
0 0
A
Jest to częstość kołowa nie tłumionych drgań własnych, nazywana częstością własną układu.
Okres drgań własnych jest równy:
2 Ą C
T0 = = 2 Ą
(4.65)
� A
0
Ogólne rozwiązanie ma postać:
�ł A �ł
�ł
q (t ) = q sin t + � �ł (4.66)
0
�ł �ł
C
�ł łł
gdzie amplituda drgań q0 i faza Ć, są stałymi całkowania, zależnymi od warunków
początkowych ruchu.
Jeżeli występuje tłumienie wiskotyczne (B`"0), to równanie drgań (4.60) w wyniku
podzielenia obustronnie przez współczynnik bezwładności A przyjmie następującą postać:
2
(4.67)
q + 2 h q + � q = 0
0
gdzie:
B (4.68)
h = [rad/s ]
2 A
jest jednostkowym współczynnikiem tłumienia wiskotycznego, natomiast
C
� = [rad/s ] (4.69)
0
A
jest częstością własną układu.
4. DRGANIA UKA
ADÓW O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY
W wielu przypadkach analizy dynamicznej obiektów mechanicznych zamiast jednego
stopnia swobody trzeba uwzględnić kilka stopni swobody ruchu drgającego. Dotyczy to
szczególnie obiektów o konstrukcji niejednorodnej z gwałtowną zmianą własności masowo 
sprężysto  dyssypacyjnych, np. podwieszenie do belki ciężaru na linie, wstawienie
podatnego sprzęgła w linii napędowej agregatu maszynowego czy podparcie bryły sztywnej
sprężynami i tłumikami w wielu płaszczyznach. Najmniejszą komplikacją wyróżnia się tu
model o dwóch stopniach swobody, na którego przykładzie można wyjaśnić większość cech
szczególnych układów o wielu stopniach swobody [14,33,57].
Opis obiektu o dwóch stopniach swobody (rys.4.8) jest nieco trudniejszy, chociaż
efekt końcowy jest podobny [64].
UKA
AD O 2 SSW
Rys.4.8 Model układu o dwóch stopniach swobody
Po uwolnieniu z więzów każdego elementu, otrzymuje się następujące układy sił
działających na te elementy:
I : P1(t), b2(q2 - q1), c2(q2 - q1), - b1q1, - c1q1;
(4.70)
II : P2(t), b2(q2 - q1), c2(q2 - q1).
Stosując zasadę d Alemberta dla każdego z tych elementów, możemy zapisać dwa
równania:
m1q1 = -b1q1 - c1q1 + b2(q2 - q1)+ c2(q2 - q1)+ P1(t)
(4.71)
m2q2 = -b2(q2 - q1)- c2(q2 - q1)+ P2(t)
Wprowadzając pewne uporządkowanie powyższych równań, otrzymamy układ
różniczkowy równań ruchu:
m1q1 + (b1 + b2)q1 - b2q2 + (c1 + c2)q1 - c2q2 = P1(t)
(4.72)
m2q2 + b2q2 - b2q1 + c2q2 - c2q1 = P2(t)
Stosując prawa rachunku macierzowego, równanie ruchu (4.70) można zapisać:
m1 0 q1 (b1 + b2) - b2 q1 (c1 + c2) - c2 q1 P1(t)
+ + = (4.73)
0 m2 q2 - b2 b2 q2 - c2 c2 q2 P2(t)
lub ogólnie:
Aq + Bq + Cq = Q (4.74)
Jak widać, mimo wielu założeń w czasie modelowania układu występujące tu
równania ruchu układu są nieliniowe i ich rozwiązanie nie jest proste. Można to wykonać
analitycznie, poprzez różnego typu linearyzację członów nieliniowych, numerycznie całkując
krok po kroku metodą różnic skończonych, albo numerycznie na modelu analogowym.
Charakterystyczne wartości opisu układu: częstości własne i postacie drgań, często
trudne do wyznaczenia analitycznego można określić w drodze identyfikacji złożonej w
czasie eksperymentu, co zostanie omówione w dalszej części opracowania.
5. DRGANIA UKA
ADÓW O SKOC
CZONEJ LICZBIE STOPNI
SWOBODY
Układy drgające można umownie podzielić na dwa podzbiory: układy dyskretne i
układy ciągłe. Umowność podziału wynika z tego, że układy drgające są przestrzennymi
elementami zbudowanymi z materiałów odkształcalnych, są więc układami ciągłymi o
nieskończonej liczbie stopni swobody. Dla celów praktycznych wiele układów fizycznych
można jednak uważać za dyskretne. W praktyce decyzja, czy dany układ potraktować jako
dyskretny, czy jako ciągły zależy od argumentów uzasadniających z jednej strony dokładność
wyników obliczeń, a z drugiej korzyść uzyskania wyników obliczeń wynikająca z
dyskretyzacji rozpatrywanego układu [33,57].
Układ dyskretny jest takim układem, którego równania ruchu można wyrazić za
pomocą zbioru równań różniczkowych zwyczajnych dla skończonej liczby poszukiwanych
funkcji jednej zmiennej rzeczywistej - czasu.
W analizie dynamicznej układów dyskretnych dla przypadku małych drgań
posługujemy się trzema rodzajami współrzędnych. Współrzędne zewnętrzne (np.
kartezjańskie) służące do opisu konfiguracji układu drgającego w położeniu równowagi
statycznej. Współrzędne lokalne, które są funkcjami czasu i opisują przemieszczenia
elementów masowych układu drgającego z położenia równowagi statycznej. Współrzędne
uogólnione Lagrange a, które są także funkcjami czasu, są zbiorem niezależnych wielkości
geometrycznych, za pomocą których można określić wszystkie przemieszczenia lokalne.
Liczba współrzędnych uogólnionych nie może być mniejsza od liczby dynamicznych
stopni swobody. Często liczbę współrzędnych uogólnionych przyjmuje się równą liczbie
dynamicznych stopni swobody. Jest to przypadek tzw. bazy minimalnej [8,14,33,57,71].
W przypadku małych drgań współrzędne lokalne są liniową transformacją współ-
rzędnych uogólnionych, przy czym współczynniki transformacji zależą wyłącznie od
konfiguracji układu dynamicznego.
Układ o skończonej liczbie stopni swobody przedstawiany jest jako zbiór punktów
materialnych połączonych bezmasowymi sprężynami i tłumikami. Rozważane układy liniowe
w praktyce inżynierskiej to najczęściej takie, w których siły sprężyste i tłumienia są
liniowymi funkcjami przemieszczeń i prędkości punktów materialnych. Są to układy
holonomiczne, a liczba stopni swobody równa się liczbie współrzędnych uogólnionych.
Współrzędne uogólnione są przesunięciami lub kątami obrotu mas.
Drgania swobodne nietłumione
Najbardziej ogólną postacią równań różniczkowych ruchu są równania Lagrange'a
drugiego rodzaju. Ruch układu holonomicznego, skleronomicznego o n stopniach swobody,
opisany we współrzędnych uogólnionych za pomocą tych równań, ma postać:
�ł �ł
�ł �ł
�ł �ł
d "E "E
�ł �ł
- = Qj (4.75)
�ł �ł
*
�ł �ł
dt "q
�ł �ł j
�ł łł
" q
j
�ł łł
gdzie: E - energia kinetyczna układu, Qj - zewnętrzna siła uogólniona odpowiadająca
współrzędnej qj, skierowana zgodnie z dodatnim zwrotem tej współrzędnej.
Energia kinetyczna rozpatrywanego układu ma postać kwadratowej formy prędkości
uogólnionych:
n
* *
1
E = qi q (i, j = 1,2,..., n) (4.76)
"aij j
2
i, j=1
Liczby aij = aji nazywają się w s p ó ł c z y n n i k a m i b e z w ł a d n o ś c i układu.
W przypadku drgań swobodnych układów sprężystych bez tłumienia siły uogólnione Qj
wyrażają się poprzez energię potencjalną układu:
"V
Qj = - ( j = 1,2,..., n) (4.77)
"q
j
przy czym energia potencjalna układu jest dodatnio określoną formą kwadratową
współrzędnych uogólnionych ze stałymi współczynnikami:
n
1
V = qiq (i, j = 1,2,..., n) (4.78)
"cij j
2
i, j=1
gdzie liczby cij = cji nazywają się współczynnikami sprężystości:
�ł �ł
"2V
�ł �ł
cij = = c (4.79)
ji
�ł �ł
"qiq
j
�ł łł
Energia potencjalna jest funkcją współrzędnych uogólnionych, ale można przyjąć, że w
położeniu równowagi jest równa zeru. Podobnie w położeniu równowagi są równe zeru
uogólnione siły sprężystości, co pozwala po podstawieniach (4.77) i (4.78) do (4.75) uzyskać
równania różniczkowe ruchu w postaci:
** ** **
a11 q1+ a12 q2 + ... + a1n qn = -c11q1 - c12q2 - ... - c1nqn
** ** **
a21 q1 + a22 q2 + ... + a2n qn = -c21q1 - c22q2 - ... - c2nqn (4.80)
......................................................................................
** ** **
an1 q1+ an2 q2 + ... + ann qn = -cn1q1 - cn2q2 - ... - cnnqn
Wprowadzając dalej zdefiniowane energie w postaci :
2
n n
*
1 1
E = q oraz V = qiq (4.81)
"a j j "cij j
2 2
j=1 i, j=1
to układ przechodzi w układ równań różniczkowych rozprzężonych względem uogólnionych
przyspieszeń:
**
a1 q1 = -c11q1 - c12q2 - ... - c1nqn
**
a2 q2 = -c21q1 - c22q2 - ... - c2nqn (4.82)
....................................................
**
an qn = -cn1q1 - cn2q2 - ... - cnnqn
Jest to prosta postać równań różniczkowych ruchu. Z kolei jeżeli do sumy kwadratów
doprowadzi się energię potencjalną:
n n
* *
1 1
E = qi q oraz V = q2 (4.83)
"aij j "c j j
2 2
i, j=1 j=1
wówczas układ przechodzi w układ równań różniczkowych rozprzężonych względem
współrzędnych uogólnionych:
** ** **
c1q1 = -a11 q1- a12 q2 - ... - a1n qn
** ** **
c2q2 = -a21 q1- a22 q2 - ... - a2n qn (4.84)
.......................................................
** ** **
cnqn = -an1 q1- an2 q2 - ... - ann qn
i nazywa się odwrotną postacią równań ruchu.
Do prostej postaci równań ruchu można dojść, korzystając bezpośrednio z drugiego
prawa Newtona dla wydzielonych z układu punktów materialnych, wyrażając siły
sprężystości przez przemieszczenia:
n
**
mi yi + yi = 0 (4.85)
"rij
j=1
gdzie: mi - i-ta skupiona masa; yi - przemieszczenie masy; rij - jednostkowa reakcja układu.
Jeśli oprócz mas skupionych układ mechaniczny ma także ciała sztywne, to kąty
obrotu tych ciał można oznaczyć przez yi, a przez mi rozumie się momenty bezwładności
względem osi, wokół których zachodzą obroty. Sumy znajdujące się w każdym z równań
(4.85) przedstawiają wzięte z przeciwnym znakiem siły działające na każdą z mas [8,13].
5.1 Drgania własne nietłumione (Zagadnienie własne)
Zagadnienie własne, dotyczące drgań swobodnych nietłumionych, opisuje ruch układu
dynamicznego bez sił wymuszających i bez uwzględnienia tłumienia. Ruch jest
spowodowany warunkami początkowymi, tj. nadaniem układowi początkowego
przemieszczenia lub początkowej prędkości.
Problematykę zagadnienia własnego podzielono następujące części:
a). analizę częstości własnych i wektorów własnych - te wielkości grają główną rolę w
określaniu reakcji dynamicznej liniowych układów poddanych działaniu sił wymuszających,
b). określenie właściwości powyższych pojęć,
c). rozwiązania zagadnienia własnego.
Analiza częstości własnych i wektorów własnych
Równanie ruchu drgań własnych otrzymuje się z równania ruchu (4.74) po pominięciu członu
zawierającego macierz tłumienia oraz wektor obciążeń zewnętrznych. Wówczas otrzymuje
się:
**
B q+ Kq = 0 (4.86)
gdzie: 0 jest wektorem zerowym. Warunki początkowe, po których następuje ruch układu, są
następujące:
* *
q(0) = q0 oraz q(0) = q0 (4.87)
Rozwiązanie dla zadanego zagadnienia początkowego (4.86) i (4.87) polega na
podaniu warunków, dla których jest możliwy ruch rozpatrywanego układu. Przez analogię z
układem o jednym stopniu swobody założymy, że drgania własne są ruchem harmonicznym i
rozwiązania równania (4.86) poszukujemy w postaci funkcji harmonicznych o częstości � i
fazie początkowej �, czyli:

q(t) = q sin(�t + �) (4.88)

gdzie: q jest wektorem amplitud drgań własnych, który reprezentuje kształt przemieszczeń
elementów masowych układu w kierunku współrzędnych uogólnionych, czyli kształt postaci
drgań.
Po podstawieniu wyrażenia (4.88) i jego drugiej pochodnej do równania ruchu (4.86)
otrzymuje się:

2
(-� B + K) q sin(�t + �) = 0 (4.89)
Ponieważ równanie to powinno być spełnione dla dowolnej chwili t, otrzymamy następujący

układ równań algebraicznych, w którym występuje nieznany wektor q oraz nieznana częstość
kołowa � :

2
(K - � B) q = 0 (4.90)
Jest to układ liniowych jednorodnych równań algebraicznych, który ma rozwiązania
niezerowe tylko wówczas, gdy:
2
det(K - � B) = 0 (4.91)
2
Po rozwinięciu tego wyznacznika otrzymuje się wielomian n-tego stopnia względem � (dla
układu mającego n dynamicznych stopni swobody). Równanie to nazywa się równaniem
charakterystycznym zagadnienia własnego lub równaniem częstości. Pierwiastkami
równania (4.91) są częstości kołowe drgań własnych: �1,�2 ,...,�n , (n=d).
Wśród pierwiastków mogą wystąpić pierwiastki wielokrotne, wektor utworzony ze
zbioru częstości uporządkowanych w kolejności wartości rosnących nazywa się wektorem
częstości, a pierwszą częstość �1 nazywa się częstością podstawową: � = [�1,�2 ,...,�n ].
Można dowieść, że dla symetrycznych i dodatnio określonych macierzy bezwładności
i macierzy sztywności o wartościach rzeczywistych, wartości liczbowe wektora � są
rzeczywiste i dodatnie.

Każdej częstości �i odpowiada takie rozwiązanie q = wi , że :
(K - �i2B)wi = 0 (4.92)
Wektor wi nazywa się i-tym wektorem własnym lub i-tą postacią drgań własnych. Określa on
z dokładnością do stałego czynnika rozkład przemieszczeń na kierunkach współrzędnych
uogólnionych podczas drgań z częstością �i. Opisuje więc odkształconą postać układu
dynamicznego drgającego z daną częstością drgań własnych. Zbiór wektorów własnych �i
tworzy macierz własną W:
w11, w12 ,..., w1n
�ł łł
�łw , w22 ,..., w2n śł
21
�ł śł
W = [w1, w2 ,..., wn ] = (4.93)
�ł śł
........................
�ł śł
, wn2 ,..., wnn �ł
�łwn1
Rozwiązanie drgań własnych układu dyskretnego opisanego równaniem ruchu (4.86)
lub (4.92) jest kombinacją liniową drgań harmonicznych o częstościach kołowych �i i
amplitudach proporcjonalnych do wektorów wi , czyli:
q(t) = (qsi sin�it + qci cos�it) = W{sin�t}qs + {cos�t}qc (4.94)
"wi
i
gdzie: {sin�t}= diag(cos�it) ; qi = [qc1, qc2,..., qcn ]T .
Elementy wektorów qs oraz qc są dowolnym stałymi, które można wyznaczyć warunków
początkowych (4.87).
Należy podkreślić, że głównymi zagadnieniami analizy drgań własnych dla danego
układu dynamicznego są [8,13]:
- obliczenia wektora częstości drgań własnych;
- obliczenia macierzy własnej W (zbioru wektorów własnych);
- analiza ruchu mas układu dla zadanych warunków początkowych.
Macierz własna W została zdefiniowana jako uporządkowany zbiór wektorów
własnych i zapisana została zależnością (4.93). Macierz widmową &! definiuje się jako
&!
&!
&!
macierz diagonalną, gdzie na głównej przekątnej znajdują się kwadraty częstości własnych:
2
�ł łł
� ,
1
�ł śł
2
2 2 2 �ł..........� 2 śł
&! = diag(� ,� ,...,� ] = (4.94)
1 2 n
�ł śł
........................
�ł śł
�ł.........................w2 śł
n
�ł �ł
Każda częstość własna i każdy wektor własny spełniają następującą zależność (uogólnioną do
pojęć macierzy własnej W i macierzy widmowej &! macierzową:
&!
&!
&!
KW = BW&! (4.95)
która w zwartej formie przedstawia relację wszystkich wartości i wektorów własnych.
Można stwierdzić, że wektory własne są nie tylko ortogonalne, ale także
normalizowane z wagą macierzy bezwładności.
Rozwiązanie zagadnienia własnego
Określenie właściwości układu drgającego, tj. macierzy widmowej &! i macierzy
&!
&!
&!
własnej W lub tylko ograniczonej liczby ich pierwszych elementów, wymaga rozwiązania
zagadnienia własnego (4.90), które dla wygody dalszych rozważań można napisać w
następującej postaci:
Kw = Bw (4.96)
gdzie: K - jest macierzą sztywności; B - macierzą bezwładności układu drgającego o n
2
dynamicznych stopniach swobody; zaś  = � . Istnieje n wartości własnych i (rad2 / s2) i
odpowiada im n wektorów własnych w spełniających równanie (4.96). Wielkości i i wi
tworzą n par własnych ( i ,wi), i = 1, 2,...,n, gdzie wartości własne mogą być uporządkowane
w następujący sposób:
0 d" 1 d" 2 d" ... d" n-1 d" n (4.97)
Wartości własne i są pierwiastkami równania charakterystycznego (4.91), tj.:
f () = det(K - B) = 0 (4.98)
gdzie: f() jest wielomianem n-tego stopnia. Jeśli n jest dużą liczbą (np. kilka tysięcy lub
więcej), to dążymy do określenia pierwszych (najniższych) p częstości własnych i
odpowiadających im p wektorów własnych.
W dynamice maszyn macierz sztywności K jest zawsze dodatnio określona, a w
sformułowaniach metody elementów skończonych jest często macierzą pasmową. Natomiast
macierz B może mieć różne właściwości - może być macierzą pełną lub pasmową i wówczas
jest zawsze dodatnio określona. Może być jednak również macierzą diagonalną, której
niektóre elementy mogą być równe zeru. Wówczas macierz B jest macierzą pół dodatnio
określoną. Jeśli elementy na jej głównej przekątnej są większe od zera, to macierz B jest
dodatnio określona.
Tworzenie niezawodnych i efektywnych metod rozwiązania zagadnienia własnego
było przedmiotem wielu prac naukowych - szczególnie po upowszechnieniu komputerów. Są
to głównie metody numeryczne - iteracyjne, których obliczenia są zakończone wówczas, gdy
uzyska się rozwiązanie z zadaną dokładnością. Metody te można podzielić na główne trzy
grupy: metody iteracji wektora, metody transformacyjne, techniki iteracyjne wielomianu
równania charakterystycznego.
Uzasadnienie, że metody rozwiązywania zagadnienia własnego mają charakter
iteracyjny wynika stąd, że należy znalez
ć pierwiastki wielomianu równania
charakterystycznego f(), (4.98). Nie istnieją jednak jawne zależności na obliczenie tych
pierwiastków w przypadkach, kiedy stopień wielomianu jest większy niż 4, czyli dla n > 4
konieczne jest zastosowanie procesu iteracyjnego. Dla określenia pary własnej ( i ,wi), jeśli
jeden człon jest obliczony iteracyjnie, drugi może być obliczony bez iteracji.
Dotychczas przedstawiono wiele algorytmów, kombinacji dwóch lub więcej metod do
rozwiązania zagadnienia własnego dużych systemów. Szczegółowe omówienie tych metod
podają specjalistyczne opracowania [8,13,17].
Przykład [8,13]. Wyznaczyć macierzowe równanie ruchu i rozwiązać zagadnienie własne
modelu obliczeniowego przedstawionego na rys.4.9. Elementy pionowe są osiowo
nieodkształcalne, możliwy jest więc tylko ruch poziomy obu mas.
Rozwiązanie. Układ ma dwa stopnie swobody. Do opisu ruchu przyjęto dwie współrzędne
uogólnione q1 i q2. Bilans energetyczny prowadzi do następujących wyników:
Rys.4.9 Model układu dynamicznego o dwóch stopniach swobody
- energia kinetyczna:
2 2 2 2
* * * *
1 1
Ek = (m1 q1 + m2 q2 ) = (2m q1 + m q2 )
2 2
- energia potencjalna:
1 1
2 2 2
Ep = [k1q1 + k2 (q2 - q1)2 ] = [(k1 + k2 )q1 - 2k2q1q2 + k2q2 ] =
2 2
1
2 2
= [3kq1 - 2kq1q2 + kq2 ]
2
- praca sił wymuszających:
L = F1(t)q1 + F2 (t)q2
Wstawiając powyższe wyrażenia do równań Lagrange a otrzymuje się macierzowe równanie
ruchu w postaci:
*
�łq* łł
2m 0 3k
�ł łł�ł 1 śł �ł - k q1 F1(t)
łł�ł łł �ł łł
=
�ł0 m śł�ł** śł + �ł- k k śł�łq śł �łF (t)śł
�ł �ł�łq śł �ł �ł�ł 2 �ł �ł 2 �ł
�ł 2 �ł
Równanie charakterystyczne zagadnienia własnego przyjmuje więc postać:
2
f () = 2m22 - 5km + 3k = 0
którego rozwiązanie są dwa pierwiastki: 1 = 0,5k / m oraz 2 = 2,0k / m . Wektor częstości
ma następujące wartości:
łł
�1 �ł 0,5k / m 2Ą
�ł łł �ł łł
� = = =
�ł śł
�ł� śł �ł4Ą śłrad / s
2,0k / m�ł
�ł 2 �ł �ł śł �ł �ł
�ł
Okresy drgań własnych dla poszczególnych częstości są równe:
T1 = 2Ą /�1 = 1,0s , T2 2Ą /�2 = 0,5s .
Po określeniu częstości własnych w celu wyznaczenia wektorów własnych korzysta się z
równania ruchu (4.92). Dla pierwszej częstości mamy:
2
[K - �1 B]w1 = 0
co dalej w jawnej postaci daje:
2
�ł - �1 2m - k �11 0
łł�ł łł �ł łł
3k
�ł śł�ł śł = �ł0śł
2
- k k - �1 m�ł�ł�22 �ł �ł �ł
�ł śł
�ł
2
które po wstawieniu wartości �1 = 0,5k / m jest równoważne układowi równań
algebraicznych jednorodnych:
2kw11 - kw21 = 0
- kw11 + 0,5kw22 = 0
Układ ten ma nieskończenie wiele rozwiązań, co nie pozwala na wyznaczenie
amplitudy drgań swobodnych, lecz jedynie umożliwia wyznaczenie kształtu drgań układu z
dokładnością do stałej. Mamy więc, po skreśleniu drugiego równania:
�21 = 2�11
To umożliwia po przyjęciu dowolnej wartości �11 obliczyć wartość �21 . W praktyce
postępujemy tak, aby maksymalna wartość wektora w1 była równa jedności:
0,5
�ł łł
w1 =
�ł1,0 śł
�ł �ł
Druga częstość umożliwia określenie drugiego wektora własnego, czyli:
2
[K - �2 B]w2 = 0
Po wstawieniu wartości w22 = 2,0k / m otrzymuje się układ równań:
- kw12 - kw22 = 0
- kw12 - kw22 = 0
z którego wynika: w12 = -w22 . Wektor własny w2 korzystnie jest przyjąć w postaci:
�ł-1,0
łł
w2 =
�ł śł
1,0
�ł �ł
0,5
�ł -1,0
łł
Macierz własna rozpatrywanego przykładu jest więc następująca: W = , a
�ł1,0 1,0 śł
�ł �ł
wektory własne pokazano na rys. 4.10.
 Rys.4.10 Pierwsza i druga postać drgań własnych układu.
5.2 Drgania swobodne tłumione
Jeżeli układ mechaniczny zawiera oprócz sił sprężystych a elementów tarcia
wiskotycznego (siły tłumienia zależne liniowo od prędkości), to równania różniczkowe ruchu
układu w prostej postaci są następujące:
n n
** *
a1 qi + q + q = 0 (i = 1,2,..., n) (4.99)
"ąij j "cij j
j=1 j=1
lub w postaci odwrotnej:
n n
** *
yi + y �ij + yk � = 0 (4.100)
"mj j "ąk ji
j=1 k =1
gdzie: ąk - współczynnik tłumienia wiskotycznego.
Jeżeli każdy z kierunków k pokrywa się z każdym z kierunków j (tj. jeśli wszystkie
elementy tarcia są przyłożone do mas układu), to liczba powyższych równań jest równa n.
Jeżeli są także elementy tarcia, które dają siły oporu nie przyłożone bezpośrednio do jednej z
mas układu, to równanie (4.100) można ułożyć także dla kierunku działania tych sił, przy
czym każdy z takich elementów tarcia zwiększa liczbę stopni swobody układu o 1/2.
Rozwiązanie układu równań (4.99) opisują drgania swobodne tłumione, tj. drgania,
jakie wykonuje układ mechaniczny wyprowadzony z położenia równowagi, przy warunkach
początkowych ruchu różnych od zera. Warunki te zapisujemy w następujący sposób:
* *
t = 0 , qi = qi0 , qi = qi0 , (i = 1,2,..., n) (4.101)
Przy tych warunkach początkowych należy zbadać przebieg rozwiązań układu, np.
(4.99). Rozwiązania układu tych równań szukamy w postaci funkcji:
qi = Aiet (4.102)
gdzie: Ai -pewne stałe rzeczywiste,  - liczba rzeczywista lub zespolona.
Po podstawieniu (4.102) do (4.99) i uproszczeniu przez et otrzymamy:
n n
ai Ai2 +  Ai + Aj = 0 (4.103)
"ąij "cij
j=1 j=1
Jest to liniowy układ równań algebraicznych o niewiadomych Ai. Układ ten posiada
niezerowe rozwiązania, jeśli współczynnik przy niewiadomych jest równy zeru.
Współczynnik ten piszemy w następującej postaci:
 (4.104)
Równanie (4.104) nazywa się równaniem charakterystycznym, a jego rozwiązanie
pierwiastkami charakterystycznymi. Równanie charakterystyczne może posiadać pierwiastki
rzeczywiste lub zespolone. W przypadku pierwiastków rzeczywistych ogólne rozwiązanie
możemy napisać w postaci:
n
j
yi = Aije t (4.105)
"
j=1
Jeżeli pierwiastki charakterystyczne są zespolone, ogólne rozwiązanie ma postać:
n
j
yi = Aijev t sin(� -�) (4.106)
" j
j=1
gdzie: Aij - rozwiązanie układu (4.103), � - stałe zależne do warunków początkowych,
j
v ,� - odpowiednie części rzeczywiste i urojone pierwiastka charakterystycznego  .
j j j
Ponieważ  w rozwiązaniach (4.102) i v , w (4.103) są ujemne, rozwiązania układu
j j
(4.99) dążą do zera. Rozwiązania (4.102) dążą do zera asymptotycznie, nie wykonując
oscylacji, a rozwiązania (4.103) dążą do zera w sposób oscylacyjny [8,13].
5.3 Drgania wymuszone nietłumione
Nieraz na układ n punktów materialnych działają siły sprężyste oraz siły zewnętrzne
zależne od czasu P(t), działające w kierunku i = l, 2, ..., n. Równanie różniczkowe ruchu
możemy w prostej postaci zapisać następująco:
n
**
mi yi + yi = Pi (t) (4.107)
"rij
j=1
lub w postaci odwrotnej:
n n
**
y1 + mi y = Pj (t) (4.108)
"� ij j ij
"�
j=1 j=1
Rozwiązanie ogólne układu (4.107) lub (4.108) składa się z rozwiązania ogólnego
układu jednorodnego i rozwiązania szczególnego układu niejednorodnego. Rozwiązania
ogólnego układu jednorodnego opisują drgania swobodne nietłumione, które pominiemy w
dalszych rozważaniach (w układach rzeczywistych występuje pewne tłumienie i drgania
swobodne zanikają, z tego względu możemy rozwiązanie drgań swobodnych pominąć), a
zajmiemy się - rozwiązaniem szczególnym układu niejednorodnego. Rozwiązania te opisują
drgania, które nazywamy drganiami wymuszonymi.
Ponieważ do układów liniowych stosuje się zasadę superpozycji, można rozważać
drgania wymuszone kolejno siłami przyłożonymi do poszczególnych punktów materialnych,
a następnie otrzymane rozwiązania dodawać. Rozwiązania równań różniczkowych (4.107) lub
(4.108) można przedstawić w postaci rozłożenia na postacie własne:
n
y1 = q (t)
"a1 j j
j=1
n
y2 = q (t) (4.109)
"a2 j j
j=1
..........................
n
yn = q (t)
"anj j
j=1
gdzie: aij - amplitudy znormowanych postaci własnych drgań, a funkcje qj(t) wyznacza się z
układu równań różniczkowych ruchu :
n
**
2
q1+ �1 q1 = Pj (t)
"a j1
j=1
n
**
2
q2 + �2 q2 = Pj (t) (4.110)
"a j 2
j=1
.....................................
n
**
2
qn + �n qn = Pj (t)
"a jn
j=1
gdzie: �1,...,�n - częstości drgań własnych.
Jeżeli siły Pj(t) mają postać wymuszeń harmonicznych w postaci:
P1 = P01 sin�t, P2 = P02 sin�t, ..., Pn = P0n sin�t, (4.111)
to rozwiązaniem dowolnego z równań (4.110) jest suma:
n
a
"P0 j ji
j=1
qi = sin�t (4.112)
2
�i2 -�
Zamiast (4.112) można napisać:
n n
a
"ais"P0 j ji
s=1 j=1
yi = sin�t (4.113)
2
�i2 -�
W tym przypadku amplitudy drgań mogą być także otrzymane nie bezpośrednio, jeżeli
podstawi się w (4.107) lub (4.108):
yi = Ai sin�t (4.114)
Amplitudy drgań Ai wyznaczamy z układu równań algebraicznych otrzymanych po
podstawieniu (4.114) do (4.107) lub (4.108) i uproszczeniu przez �t w prostej postaci:
n
2
- mi Ai� + Ai = Pi0 (4.115)
"rij
j=1
lub w postaci odwrotnej:
n n
2
A -� Ai� = Pj0 (4.116)
"m j ij "� ij
j=1 j=1
Po rozwiązaniu tych równań otrzymamy amplitudy drgań układu. W przeciwieństwie
do drgań swobodnych tłumionych, które opisują stan przejściowy, drgania wymuszone
określają stan ustalony. Stanem ustalonym jest również stan spoczynku w położeniu
równowagi układu mechanicznego. Drgania wymuszone układów z tłumieniem dodatnim
opisują stan ustalony stacjonarny, gdy siła wymuszająca jest funkcją okresową. Drgania
wymuszone nietłumione opisują stan ustalony niestacjonarny, gdy częstość siły wymuszającej
jest równa jednej z częstości własnej układu, tzn. gdy mamy do czynienia ze zjawiskiem
rezonansu [14,33,71].
5.4 Drgania wymuszone tłumione
Przy harmonicznych siłach wymuszających (4.111) wpływ sił tarcia wiskotycznego
wyraża się w dwóch podstawowych efektach:
- fazy drgań różnych punktów układu nie pokrywają się ze sobą i różnią się od fazy sił
wymuszających,
- amplitudy drgań punktów układu są mniejsze od odpowiadających im amplitud układu bez
tarcia i wszędzie są skończone.
Dynamiczne równania ruchu w prostej postaci mają zapis:
n n
** *
mi yi + yi + yi = Pi (t) (4.117)
"ąij "rij
j=1 j=1
lub w postaci odwrotnej:
n n n
** *
y1 + m y + y � = Pj (t) (4.118)
"� ij j j j j ij "� ij
"ą
j=1 j=1 j=1
Amplitudy drgań wymuszonych wyznacza się drogą podstawienia rozwiązania:
yi = ai sin�t + bi cos�t , (i = 1,2,..., n) (4.119)
do równań różniczkowych ruchu. W miejsce wyrażenia (4.119) można także przyjąć:
yi = Ai sin(�t - �) , (i = 1,2,..., n) (4.120)
gdzie:
bi
Ai = ai2 + bi2 , tg�i = (4.121)
ai
Kąt �i nazywa się kątem przesunięcia fazowego, zaś Ai - amplitudą drgań.
Rozważania przedstawione w tym punkcie znajdują zastosowanie podczas analizy
stanu dynamicznego układów mechanicznych o dwóch i więcej stopniach swobody. Wiele z
informacji tu przedstawionych stanowi podstawę wprowadzanej do badań dynamiki maszyn
analizy modalnej.