Instrukcje do ćwiczeń laboratoryjnych z Drgań Mechanicznych
ĆWICZENIE NR ...
DRGANIA SKR
TNE UKA
ADU O WIELU STOPNIACH
SWOBODY
1. Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest zapoznanie się ze zjawiskiem drgań mechanicznych
układu o wielu stopniach swobody na przykładzie drgań skrętnych układu o
czterech stopniach swobody.
2. Opis stanowiska
Na rysunku 1 przedstawiono schemat układu drgającego o czterech stopniach
swobody, którego głównymi elementami są:
·ð Aluminiowe tarcze osadzone na stalowym prÄ™cie;
·ð Mechanizm korbowo-wahaczowy;
·ð Silnik prÄ…du staÅ‚ego;
·ð Autotransformator (do pÅ‚ynnej regulacji prÄ™dkoÅ›ci obrotowej silnika);
·ð Tachometr elektroniczny (do pomiaru prÄ™dkoÅ›ci obrotowej silnika).
Laboratorium Drgań Mechanicznych
Bielsko-Biała 2012
oprracowałł Arrkadiiussz Trrąbka
opracował Arkadiusz Trąbka
op acowa A kad u z T Ä…bka
2
DRGANIA SKR
TNE UKA
ADU O WIELU STOPNIACH SWOBODY
Czujnik
tachometru
Rys.1. Schemat stanowiska pomiarowego
3. Zależności obliczeniowe
Ruch wymuszajÄ…cy drgania jest realizowany przez mechanizm korbowo-wahaczowy,
w przybliżeniu należy przyjąć, że jest to ruch harmoniczny określony równaniem:
fð = fð sin Ét (1)
Równania ruchu opisujące drgania wymuszone układu z rys. 1 mają postać:
&ð&ð
B1Fð1 +ð (k1 +ð k2 )Fð1 -ð k2Fð2 =ð 0
&ð&ð
B2Fð2 -ð k2Fð1 +ð (k2 +ð k3)Fð2 -ð k3Fð3 =ð 0
(2)
&ð&ð
B3Fð3 -ð k3Fð2 +ð (k3 +ð k4 )Fð3 -ð k4Fð4 =ð 0
&ð&ð
B4Fð4 -ð k4Fð3 +ð (k4 +ð k5 )Fð4 =ð k5Fðsinwð t
W równaniach tych pominięto tłumienie, które przy pracy układu w pobliżu częstości
rezonansowych nie wpływa w istotny sposób na relacje pomiędzy wartościami
amplitud.
Celem wyznaczenia częstości drgań własnych oraz postaci drgań należy przyjąć
prawe strony równań (2) równe zeru oraz założyć rozwiązania w postaci:
2
&ð&ð
Fð1 =ð Fð1 sin(að t +ðdð ), Fð1 =ð -ðað Fð1 sin(að t +ð dð ), i=1, 2, 3, 4 (3)
Laboratorium Drgań Mechanicznych
3
Instrukcje do ćwiczeń laboratoryjnych z Drgań Mechanicznych
otrzymuje się wówczas równanie częstości (4):
2
k1 +ð k2 -ðað B1 -ð k2 0 0
2
-ð k2 k2 +ð k3 -ðað B2 -ð k3 0
= 0 (4)
2
0 -ð k3 k3 +ð k4 -ðað B3 -ð k4
2
0 0 -ð k4 k4 +ð k5 -ðað B4
Do wyznaczania miejsc zerowych równania (4) zastosowano metodę Jacobiego.
W wyniku rozwiązania równania (4) otrzymuje się cztery dodatnie wartości częstości
drgań własnych układu:
að1,að2,að3,að4
Postacie drgań wyznacza się z równań otrzymanych z równań (2) po przyjęciu
prawych stron równych zero i po podstawieniu rozwiązań w postaci (3).
Całkę szczególną równania (2) wyznaczamy przewidując rozwiązanie w postaci:
2
&ð&ð
Fði =ð Di sinwð t Fði =ð -ðwð Di sinwð t i=1, 2, 3, 4 (5)
PodstawiajÄ…c rozwiÄ…zania (5) do równaÅ„ (2) oraz porównujÄ…c współczynniki przy sinwð t
otrzymuje się układ równań algebraicznych w postaci:
2
(k1 +ð k2 -ðwð B1)D1 -ð k2D2 =ð 0
2
-ð k2D1 +ð (k2 +ð k3 -ðwð B2 )D2 -ð k3D3 =ð 0
(6)
2
-ð k3D2 +ð (k3 +ð k4 -ðwð B3)D3 -ð k4D4 =ð 0
2
-ð k3D3 +ð (k4 +ð k5 -ðwð B4 )D4 =ð k5Fð
stąd wartości amplitud:
W3 W4
W1 W2
D3 =ð D4 =ð
D1 =ð D2 =ð
W W W W
Laboratorium Drgań Mechanicznych
4
DRGANIA SKR
TNE UKA
ADU O WIELU STOPNIACH SWOBODY
stosunki amplitud drgań wymuszonych wyrażają związki:
D1 : D2 : D3 : D4 =ð W1 :W2 :W3 :W4 (7)
można Å‚atwo wykazać, że dla czÄ™stoÅ›ci wð ®ð aði mamy:
W1 :W2 :W3 :W4 @ð W1i :W2i :W3i :W4i (8)
a więc:
D1 : D2 : D3 : D4 @ð Fð1i : Fð2i : Fð3i : Fð4i (9)
Zatem przy drganiach wymuszonych układu z rysunku 1 amplitudy drgań przy
czÄ™stoÅ›ciach bliskich rezonansowym (wð @ð aði ), odpowiadajÄ… postaciom drgaÅ„ wÅ‚aÅ›ciwym
odpowiedniej częstotliwości drgań swobodnych.
Obserwując więc konfigurację amplitud w pobliżu częstości rezonansowych możemy
wnioskować o postaciach drgań swobodnych układu.
4. Przebieg ćwiczenia
·ð Zmierzyć Å›rednice oraz gruboÅ›ci tarcz umieszczonych na wale, a nastÄ™pnie
obliczyć ich masowe momenty bezwładności;
·ð KorzystajÄ…c ze specjalnego przyrzÄ…du zmierzyć dÅ‚ugoÅ›ci wszystkich odcinków
wału, a także ich średnice;
·ð ZmieniajÄ…c prÄ™dkość obrotowÄ… silnika za pomocÄ… autotransformatora, odczytać z
tachometru kolejne cztery wartości prędkości przy których dominują odpowiednie
postacie drgań. Zaobserwować i wykreślić postacie drgań towarzyszące
częstościom rezonansowym (punkty węzłowe, maksymalne odkształcenia);
·ð Za pomocÄ… programu komputerowego obliczyć sztywnoÅ›ci odcinków waÅ‚u,
częstości drgań własnych oraz odpowiadające im postacie drgań. Wyniki zapisać
w protokole.
5. Zawartość sprawozdania
·ð Cel ćwiczenia;
·ð Przebieg ćwiczenia (w punktach);
·ð Schemat stanowiska laboratoryjnego (z opisem);
·ð Dane wejÅ›ciowe do przeprowadzanego ćwiczenia;
·ð Zestawienie zmierzonych czÄ™stoÅ›ci rezonansowych oraz wykresy
zaobserwowanych postaci odkształceń wału;
·ð Zestawienie wyników obliczeÅ„;
Laboratorium Drgań Mechanicznych
5
Instrukcje do ćwiczeń laboratoryjnych z Drgań Mechanicznych
·ð Porównanie wyników doÅ›wiadczalnych z wynikami teoretycznymi;
·ð SporzÄ…dzony w trakcie ćwiczeÅ„ protokół;
·ð Wnioski, spostrzeżenia i uwagi.
Laboratorium Drgań Mechanicznych