dynamika ukl o wielu stopniach swobody

Drgania układu
o wielu stopniu swobody
1
Drgania własne
2
Zasada d Alamberta
B2
B1
B3
m
2
m
1
m
3
y y y
3
1 2
Zasada d Alemberta: w odniesieniu do konstrukcji, znajdującej
się pod wpływem sił zmiennych w czasie, można stosować
zasady statyki pod warunkiem, że uwzględni się siły
bezwładności.
3
Drgania własne układ o wielu
stopniach swobody
B2
B1
B3
Brak siły
m
2
m
1
wymuszającej drgania m
3
y y y
3
1 2
Przemieszczenia poszczególnych mas równają się sumie
Przemieszczenia poszczególnych mas równają się sumie
przemieszczeń od poszczególnych sił bezwładności:
n
&&j
Bj = mj y
- yi =
"� Bj gdzie:
ij
j =1
a dla belki powyżej
&& &&2 &&3
y1 = �11m1y1 + �12m2 y + �13m3 y
- y1 = �11B1 + �12B2 + �13B3
&& &&2 &&3
y2 = �21m1y1 + �22m2 y + �23m3 y
- y2 = �21B1 + �22B2 + �23B3 lub
&& &&2 &&3
y3 = �31m1y1 + �32m2 y + �33m3 y
- y3 = �31B1 + �32B2 + �33B3
4
Drgania własne układ o wielu
stopniach swobody
Rozwiązanie równania różniczkowego ma formę:
yi = Ai sin(�t)
&&i -Ai�2 sin(�t)
y =
czyli
gdzie � częstość drgań własnych
&& &&2 &&3
y1 = �11m1y1 + �12m2 y + �13m3 y
B2
B1
B1
B3
B3
m
2
m
1
m
&& &&2 &&3
y2 = �21m1y1 + �22m2 y + �23m3 y
3
y y y
3
1 2
&& &&2 &&3
y3 = �31m1y1 + �32m2 y + �33m3 y
A1 sin(�t) = �11m1A1�2 sin(�t)+ �12m2 A2�2 sin(�t)+ �13m3A3�2 sin(�t)
A2 sin(�t)= �21m1A1�2 sin(�t)+ �22m2 A2�2 sin(�t)+ �23m3A3�2 sin(�t)
A3 sin(�t)= �31m1A1�2 sin(�t)+ �32m2A2�2 sin(�t)+ �33m3A3�2 sin(�t)
5
Równanie ruchu układu
o kilku stopniach swobody
B2
B1
B3
m
2
m
Brak siły 1
m
3
wymuszającej drgania
y y y
3
1 2
A1 sin(�t) = �11m1A1�2 sin(�t)+ �12m2 A2�2 sin(�t)+ �13m3A3�2 sin(�t)
A sin(�t) = � m A�2 sin(�t)+ � m A �2 sin(�t)+ � m A �2 sin(�t)
A2 sin(�t) = �21m1A1�2 sin(�t)+ �22m2 A2�2 sin(�t)+ �23m3A3�2 sin(�t)
A3 sin(�t)= �31m1A1�2 sin(�t)+ �32m2 A2�2 sin(�t)+ �33m3A3�2 sin(�t)
Po przekształceniach układ równań przybiera formę:
1
�ł� m1 - �łA + �12m2A2 + �13m3A3
0 =
�ł �ł
11
�2 łł 1
�ł
1
�ł� m2 - �łA + �23m3A3
0 = �21m1A1 +
�ł �ł
22
�2 łł 2
�ł
1
�ł� m3 - �łA
0 = �31m1A1 + �32m2A2 +
�ł �ł
33
6
�2 łł 3
�ł
Wyznaczanie częstości drgań
własnych
Układ równań opisujący ruch:
1
�ł� �łA + �12m2A2 + �13m3A3
0 = m1 -
�ł �ł
11
�2 1
�ł łł
1
�ł� �łA + �23m3A3
0 = �21m1A1 + m2 -
0 = �21m1A1 + �22m2 - A2 + �23m3A3
�ł �ł
�ł �ł
22
�2 2
�ł łł
1
�ł� �łA
0 = �31m1A1 + �32m2A2 + m3 -
�ł �ł
33
�2 3
�ł łł
1
lub �ł
�11m1 - �12m2 �13m3 łł
�ł śł�ł A1 łł
�2
�ł śł�ł
1
�ł �21m1 �22m2 - �31m3 śł�łA2śł = 0
�2
�ł śł�łA śł
1
�ł
�ł śł�ł 3śł
�31m1 �32m2 �33m3 -
�ł
�2 śł
�ł �ł
7
Wyznaczanie częstości drgań
własnych
Układ równań opisujący ruch:
1
�ł
�11m1 - �12m2 �13m3 łł
�ł śł�ł A1 łł
�2
�ł śł�ł
1
�ł �21m1 �22m2 - �31m3 śł�łA2śł = 0
�2
�2
�ł śł�ł śł
�ł śł�łA śł
śł
1
�ł �ł
�ł śł�ł 3śł
�31m1 �32m2 �33m3 -
�ł
�2 śł
�ł �ł
gdzie:
niewiadomymi są � częstość drgań własnych [rad/s], Ai
amplitudy drgań mas na i tym stopniu swobody
a znane są mi masy na i tym stopniu swobody, �ij
przemieszczenia na kierunku i wywołane siłą jednostkowych,
działającą na kierunku j
8
Wyznaczanie częstości drgań
własnych
Rozwiązanie układu równań :
1
�11m1 - �12m2 �13m3
�2
A1
1
1
1
lub
lub
� m � m - � m = 0
�21m1 �22m2 - �31m3 = 0
A = 0
A2 = 0
�2
A3
1
�31m1 �32m2 �33m3 -
�2
To jest nie prawdą
czyli to musi być równe zero
9
Wyznaczanie częstości drgań
własnych
Częstości są rozwiązaniem równania jakie powstanie po
1
policzeniu wyznacznika:
�11m1 - �12m2 �13m3
�2
1
�21m1 �22m2 - �31m3 = 0
�2
1
1
� m � m � m -
�31m1 �32m2 �33m3 -
�2
Po podzieleniu kolumn przez mi ten wyznacznik wygląda tak:
1
�11 - �12 �13
�2m1
1
�21 �22 - �31 = 0
�2m2
1
�31 �32 �33 -
�2m3
10
Wyznaczanie amplitud drgań własnych
Amplitud drgań własnych nie można policzyć, natomiast
można policzyć stosunek amplitud. Układ równań:
1
�ł� �łA + �12m2A2 + �13m3A3
0 = m1 -
�ł �ł
11
�2 1
�ł łł
1
�ł� �łA + �23m3A3
0 = �21m1A1 + m2 -
�ł �ł
22
�
�2 2
�ł łł
�ł łł
1
�ł� �łA
0 = �31m1A1 + �32m2A2 + m3 -
�ł �ł
33
�2 3
�ł łł
Dzielimy przez A1 czyli otrzymujemy:
1 A2 A3
�ł� m1 - �ł
0 = + �12m2 + �13m3
�ł �ł
11
�2 łł A A1
�ł
1 A1 A3
�ł� m2 - �ł
2
0 = �21m1 + + �23m3
�ł �ł
22
�2 łł A1 A
�ł
A2 1 A31
�ł� m3 - �ł
0 = �31m1 + �32m2 +
�ł �ł
A1 �ł 33 �2 łł A1
11
Wyznaczanie amplitud drgań własnych
Układ równań, opisujący amplitudy drgań własnych
1 A2 A3
�ł� m1 - �ł
0 = + �12m2 + �13m3
�ł �ł
11
�2 łł A A1
�ł
1 A1 A3
�ł� m2 - �ł
2
0 = �21m1 + + �23m3
�ł �ł
22
� A1 A
�2 łł A1 A
�ł
�ł łł
A 1 A1
A2 1 A31
�ł �ł
�ł� m3 - �ł
0 = �31m1 + �32m2 +
�ł �ł
A1 �ł 33 �2 łł A1
Z powyższego układu równań wybieramy dwa równania i wyznaczamy:
A2 A3
,
A1 A1
Uwaga: Najczęściej w powyższym układzie równań za A1 wstawia się 1
i pozostawia się oznaczenia stosunku amplitud do amplitudy A1 jako A2 i A3
12
Formy drgań własnych
Na podstawie amplitud rysujemy formy drgań własnych:
a11 a21 a31
a11 a21 a31
�
�1
A = , A = , A =
A11 = , A21 = , A31 =
a11 a11 a11
a12 a22 a32
A12 = , A22 = , A32 =
a12 a12 a12
�2
a13 a23 a33
A13 = , A23 = , A33 =
a13 a13 a13
�3
13
Ortogonalność drgań własnych
Amplitudy drgań własnych spełniają warunek ortogonalności
czyli:
n
"m Aij Aik = 0
i
i=1
i=1
gdzie mi masy skupione, Aij amplituda drgań masy mi przy
częstości �j, Aik amplituda drgań masy mi przy częstości �k.
Aij pierwszy indeks oznacza kierunek drgania, a drugi
częstość drgań własnych, dla której amplituda (stosunek do
amplitudy A1j) została wyznaczona.
Ortogonalność sprawdzamy dla dwóch form drgań własnych.
14
Ortogonalność drgań własnych
Amplitudy drgań własnych
powinny spełniać warunki
ortogonalności czyli:
�1 dla �1 i �2
�1 dla �1 i �2
m1A11A12 + m2 A21A22 + m3A31A32 = 0
dla �2 i �3
�2
m1A12 A13 + m2 A22 A23 + m3A32 A33 = 0
dla �1 i �3
m1A11A13 + m2 A21A23 + m3A31A33 = 0
�3
15
Metody szacowania pierwszej
częstości drgań własnych
W przypadku układu o jednym stopniu częstość drgań
własnych wynosi:
m1
1
� =
m1�11
m1�11
Metoda Dunkerley a (lub Geigera):
1
1
�D =
n �D =
lub
m1�11 + m2�22 + m3�33
"m�
i ii
i=1
Zależność pomiędzy obliczonymi wartościami
�D < �1
16
Metody szacowania pierwszej częstości
drgań własnych - Metoda Rayleigh a
m1 m2 m3
Położenie równowagi z
maksymalną prędkością i
�3�
�1� �2�
energią kinetyczną
Funkcje opisujące zmiany prędkości ruchu mas w czasie
&
y3 = �3� cos�t
&1 1 &2 2
y1 = �1� cos�t y2 = �2� cos�t
a � �, �2� i � � są amplitudami prędkości, występującymi w położeniu
a �1�, � � i �3� są amplitudami prędkości, występującymi w położeniu
równowagi.
Położenie maksymalnego
wychylenia prędkością
�1 �2 �3
równą zero i maksymalna
energią potencjalną
Funkcje opisujące przemieszczenia mas w czasie
y3 = �3 sin�t
y2 = �2 sin�t
y1 = �1 sin �t
a �1, �2 i �3 są amplitudami przemieszczeń.
17
Metody szacowania pierwszej częstości
drgań własnych - Metoda Rayleigh a
m1 m2 m3
Energia kinetyczna
n
1
2
�3�
Ek max = �1� �2�
"m (�i�)
i
2
i=1
Energia potencjalna
n
n
1
1
Ep max =
" i i
"P�
�1 �2 �3
2
i=1
Z zasady zachowania energii mamy
Ek max = Ep max
n n
2
"m (�i�) = "P�
i i i
n
i=1 i=1
"P�
i i
i=1
n n
�2 =
n
�2
"m �i2 = "P�
i i i
18
"m �i2
i
i=1 i=1
i=1
Metody szacowania pierwszej częstości
drgań własnych - Metoda Rayleigh a
�2
n
�1
�3
"P�
i i
i=1
�2 =
n
P1 P2 P3
"m �i2
i
i=1
gdzie: Pi siły, np. ciężary mas, działające na kierunkach stopni
swobody, �i amplitudy przemieszczeń, wyznaczone jako
swobody, � amplitudy przemieszczeń, wyznaczone jako
przemieszczenia wywołane siłami Pi czyli
P3 = gm3
P1 = gm1 P2 = gm2
�1 = P1�11 + P2�12 + P3�13 = g(m1�11 + m2�12 + m3�13)= g�1
�2 = P1�21 + P2�22 + P3�23 = g(m1�21 + m2�22 + m3�23)= g�2
v
�3 = P1�31 + P2�32 + P3�33 = g(m1�31 + m2�32 + m3�33)= g�3
n n
g
"m �i g2"m �i
i i
i=1 i=1
�2 = = > �12
n n
v
"m �i2 g2"m �i2
i i
19
i=1 i=1
Metody szacowania pierwszej częstości
drgań własnych
Metoda Dunkerley a (lub Geigera):
1
�D = 1
n
lub �D =
m1�11 + m2�22 + m3�33
m1�11 + m2�22 + m3�33
"m�
"m�
i ii
i ii
i=1
Metoda Rayleigha
n
"m �i
i
m1�1 + m2�2 + m3�3
i=1
�R = �R =
n lub 2 2 gdzie:
m1�12 + m2�2 + m3�3
"m �i2
i
i=1
�1 = m1�11 + m2�12 + m3�13
�2 = m1�21 + m2�22 + m3�23
Zależność pomiędzy obliczonymi
�3 = m1�31 + m2�32 + m3�33
wartościami
�D < �1 < �R
20
Rysowanie form drgań własnych
Podstawowe zasady:
- pierwsza forma (dla pierwszej najniższej częstości) jest
najprostszym odkształceniem, każde wyższa częstość
wiąże się z bardziej skomplikowanym kształtem drgań,
wiąże się z bardziej skomplikowanym kształtem drgań,
- pręt nie może się wydłużać czyli węzeł może poruszać
się tylko po linii prostopadłej do pręta,
- kąty pomiędzy prętami w węzle po obrocie węzła
pozostają takie same,
- kąty w drganiach nie są blokowane podporami.
21
Drgania własne - przykład
2mo
Dane:
3m
mo
3mo
EJ=500000Nm2
3m
mo=300kg
4m 2m
2m
2mo
Stopnie
3
mo
3m
3mo 2
dynamiczne
1
3m
4m 2m
2m 22
Drgania własne - przykład
Stany jednostkowe dla poszczególnych
stopni dynamicznych i przemieszczenia
3m od sił jednostkowych
1
Stan 1
1.4826m3 �12 = �21 = - 0.0671m3 �22 = 1.3485m3
�11 =
EJ EJ
EJ
3m
0.0447m3 0.1490m3 0.4327m3
�13 = �31 = - �23 = �32 = �33 =
�13 = �31 = - �23 = �32 = �33 =
EJ EJ EJ
EJ EJ EJ
4m 2m
Stan 3
2m
Stan 2
1
3m
3m
1
3m
3m
4m 2m
2m
23
4m 2m 2m
Drgania własne - przykład
2mo
Przemieszczenia od sił jednostkowych
1.4826m3 �12 = �21 = - 0.0671m3 �22 = 1.3485m3
3 �11 =
EJ EJ
mo EJ
3m
3mo 2
1
0.0447m3 0.1490m3 0.4327m3
�13 = �31 = - �23 = �32 = �33 =
EJ EJ EJ
3m
EJ=500000Nm2 mo=300kg
1
�ł� m1 -
�12m2 �13m3 łł
11
�ł śł�ł A1 łł
4m 2m
�2
2m
�ł śł�ł
1
�ł �21m1 �22m2 - �31m3 śł�łA2śł = 0
śł
�2
�ł śł�ł A3�ł
1
�ł śł�ł śł
�31m1 �32m2 �33m3 -
�ł
�2 śł
�ł �ł
�ł łł
1.4826m3 1 - 0.0671m3 - 0.0447m3
mo - 3mo 2mo śł
�ł
EJ �2 EJ EJ
�ł śł�ł A1 łł
- 0.0671m3 1.3485m3 1 0.1490m3
�ł
mo 3mo - 2mo śł�łA2 śł = 0
�ł śł�ł śł
EJ EJ �2 EJ
�ł śł�łA3 śł
�ł �ł
- 0.0447m3 0.1490m3 0.4327m3 1
mo 3mo 2mo3 -
24
�ł śł
EJ EJ EJ �2 �ł
�ł
Drgania własne - przykład
1.4826m3 1 - 0.0671m3 - 0.0447m3
-
EJ mo�2 EJ EJ
- 0.0671m3 1.3485m3 1 0.1490m3
- = 0
EJ EJ 3mo�2 EJ
- 0.0447m3 0.1490m3 0.4327m3 1
-
-
EJ EJ EJ 2mo�2
Lub po przemnożeniu wyrazów przez EJ
EJ
1.4826m3 - - 0.0671m3 - 0.0447m3
mo�2
EJ
- 0.0671m3 1.3485m3 - 0.1490m3 = 0
3mo�2
EJ
- 0.0447m3 0.1490m3 0.4327m3 -
2mo�2
25
Drgania własne - przykład
2mo
EJ=500000Nm2 mo=300kg
3
mo
3m
Po wykonaniu podstawienia
3mo 2
1
EJ
X =
mo�2
3m
otrzymujemy
1.4826m3 - X - 0.0671m3 - 0.0447m3
X
- 0.0671m3 1.3485m3 - 0.1490m3 = 0
4m 2m
2m
3
X
- 0.0447m3 0.1490m3 0.4327m3 -
2
EJ
Nm2s2 Nm2s2 Nm2s2
� =
X1 = 4.09261 X2 = 1.4806 X3 = 0.82029
2 2 2
mo X
kg �" rad kg �"rad kg �" rad
500000 rad
500000 rad 500000 rad
�1 = =
�2 = = �3 = =
300�" 4.09261 s
300�"1.4806 s 300�"0.82029 s
rad
rad rad
= 20.18
= 33.551 = 45.076
26
s
s s
Wyznaczanie amplitud form drgań własnych -
przykład
Wyznaczenie amplitud drgań
1
�ł� �łA + �12m2 A2 + �13m3A3
0 = m1 -
0.0671m3 1.4826m3
�ł �ł
11
�12 = �21 = - �11 =
�2 łł 1
�ł
EJ EJ
1
�ł� �łA + �23m3A3 0.0447m3 1.3485m3
�13 = �31 = - �22 =
0 = �21m1A1 + m2 -
�ł �ł
22
EJ EJ
�
�2 łł 2
�ł
�ł łł
0.1490m3
0.1490m3
0.4327m3
1 �23 = �32 =
�ł� �łA
�33 =
EJ
0 = �31m1A1 + �32m2 A2 + m3 -
�ł �ł
33 EJ
�2 łł 3
�ł
Po podstawieniu danych dla �i
�ł �ł
mo 1 mo mo EJ
3
�ł
0 =
�ł1.4826m EJ - �i2 �ł +(- 0.0671m3)3 EJ A2i +(- 0.0447m3)2 EJ A3i �" mo
�łA1i
�ł łł
�ł �ł
mo mo 1 mo EJ
3
�ł
0 = -0.0671m3 A1i +
�ł1.3485m 3 EJ - �i2 �ł + 0.1490m32 EJ A3i �" mo
�łA2i
EJ
�ł łł
mo mo mo 1 EJ
�ł0.4327m 2 - �łA �"
3
0 = -0.0447m3 A1i + 0.1490m33 A2i +
�ł �ł
EJ EJ EJ �2 łł 3i mo
�ł
27
Wyznaczanie amplitud form drgań własnych -
przykład
EJ
Dla �1 =20.18rad/s i X1=4.09261m3 , i założenie A11 =1
X =
mo�2
0 = (1.4826m3 - X1)A11 +(- 0.0671m3)3A21 +(- 0.0447m3)2A31
0 = -0.0671m3A11 +(1.3485m33 - X1)A21 + 0.1490m32A31
0 = -0.0447m3A11 + 0.1490m33A21 +(0.4327m32 - X1)A31
A21 =-12.209, A31 =-1.705
2mo
A31
3
mo
3mo 2
1
A11 A21
28
Wyznaczanie amplitud form drgań własnych -
przykład
EJ
Dla �2 =33.551rad/s i X2=1.4806m3 i założenie A12 =1
X =
mo�2
0 = (1.4826m3 - X )A12 +(- 0.0671m3)3A22 +(- 0.0447m3)2A32
2
0 = -0.0671m3A12 +(1.3485m33 - X )A22 + 0.1490m32A32
2
0 = -0.0447m3A12 + 0.1490m33A22 +(0.4327m32 - X )A32
2
A22 =0.032, A32 =-0.049
2mo
A32
3
mo
3mo 2
1
A12 A22
29
Wyznaczanie amplitud form drgań własnych -
przykład
EJ
Dla �3 =45.076rad/s i X3=0.82029m3 , i założenie A13 =1
X =
mo�2
0 = (1.4826m3 - X3)A13 +(- 0.0671m3)3A23 +(- 0.0447m3)2A33
0 = -0.0671m3A13 +(1.3485m33 - X3)A23 + 0.1490m32A33
0 = -0.0447m3A13 + 0.1490m33A23 +(0.4327m32 - X )A33
2
A23 =-0.838, A33 =9.295
2mo
A33
3
mo
3mo 2
1
A13
A23
30
Sprawdzenie ortogonalności drgań
A33
A32
A31
A12 A22
A11 A21 A13
A23
A12 =1, A22 =0.032, A13 =-0.838, A23 =-0.838,
A11 =1, A21 =-12.209,
A32 =-0.049 A33 =9.295
A31 =-1.705
2mo
m1A11A12 + m2 A21A22 + m3A31A32 = 0
mo 1 3mo 2 3
mo �"1�"1+ 3mo �"(-12.209)�"0.032 + 2mo �"(-1.705)�"(- 0.049)= -0.005mo
m1A12A13 + m2 A22 A23 + m3A32 A33 = 0
mo �"1�"1+ 3mo �"0.032�"(- 0.838)+ 2mo �"(- 0.049)�"9.295 = 0.009mo
m1A11A13 + m2 A21A23 + m3A31A33 = 0
mo �"1�"1+ 3mo �"(-12.209)�"(- 0.838)+ 2mo �"(-1.705)�"9.295 = -0.003mo
31
Szacowanie częstości drgań własnych
2mo
Dane:
EJ=500000Nm2 mo=300kg
0.0671m3 1.4826m3
3
�12 = �21 = - �11 =
mo
3m EJ EJ
3mo 2
1
0.0447m3 1.3485m3
�13 = �31 = - �22 =
EJ EJ
0.1490m3
3m
0.4327m
0.4327m3
�23 = �32 =
�23 = �32 =
� =
�33 =
EJ
EJ
�1 = m1�11 + m2�12 + m3�13
4m 2m
2m
�2 = m1�21 + m2�22 + m3�23
�3 = m1�31 + m2�32 + m3�33
mo 3mo 2mo mo
�1 = 1.4826m3 - 0.0671m3 - 0.0447m3 = 1.1919m3
EJ EJ EJ EJ
mo 3mo 2mo mo
�2 = -0.0671m3 +1.3485m3 + 0.1490m3 = 4.2764m3
EJ EJ EJ EJ
mo 3mo 2mo mo
32
�3 = -0.0447m3 + 0.1490m3 + 0.4327m3 = 1.2677m3
EJ EJ EJ EJ
Szacowanie częstości drgań własnych
2mo
Dane:
EJ=500000Nm2 mo=300kg
0.0671m3 1.4826m3
3
�12 = �21 = - �11 =
mo
3m EJ EJ
3mo 2
1
0.0447m3 1.3485m3
�13 = �31 = - �22 =
EJ EJ
0.1490m3
3m
0.4327m
0.4327m3
�23 = �32 =
�23 = �32 =
� =
�33 =
EJ
EJ
mo
�1 = 1.1919m3
4m 2m
2m
EJ
mo
�2 = 4.2764m3
EJ
EJ 500000Nm2 rad
mo
�D = = =16.1456
�3 = 1.2677m3
(mo1.4826 + 3mo1.3485 + 2mo0.4327)m3 6.3935m3 �"300kg s
EJ
mo
(mo �"1.1919m3 + 3m0 �" 4.2764m3 + 2mo �"1.2677m3)EJ
rad
�R = = 21.536
2
s
2 2 2 mo
�ł �ł
(mo �"(1.1919m3) + 3m0 �"(4.2764m3) + 2mo �"(1.2677m3) )
�ł �ł
EJ
�ł łł
rad
33
�D < 20.18 < �R
s
Rysowanie form drgań własnych
Drgania symetryczne i antysymetryczne
34
Drgania wymuszone
35
Zasada d Alamberta
S=S sin(pt)
o
B2
B1
B3
m
2
m
1
m
3
y y y
y y y
3
1 2
Zasada d Alemberta: w odniesieniu do konstrukcji, znajdującej
się pod wpływem sił zmiennych w czasie, można stosować
zasady statyki pod warunkiem, że uwzględni się siły
bezwładności. Dotyczy to zarówno obliczania przemieszczeń
jak i sił wewnętrznych. Do wyznaczenia ekstremalnych sił
wewnętrznych potrzebne są amplitudy sił bezwładności.
36
Drgania wymuszone układu o wielu
stopniach swobody
S=S sin(pt)
o
B2
B1
B3
m
2
m
1
m
3
y y y
3
1 2
1 2
Przemieszczenia poszczególnych mas równają się sumie
przemieszczeń od poszczególnych sił bezwładności i siły
wymuszającej :
n
yi = �ikS -
"� B
ij j
j=1
gdzie: k kierunek przyłożenia siły wymuszającej
&&j
B = mj y
j
37
Drgania wymuszone układu o wielu
stopniach swobody
S=S sin(pt)
o
B2
n
B1
B3
m
2
m yi = �ikS -
1
"� B
ij j
m
3
j=1
y y y
3
1 2
Dla belki powyżej
Dla belki powyżej
- y1 = -�1kS + �11B1 + �12B2 + �13B3
- y2 = -�2kS + �21B1 + �22B2 + �23B3
- y3 = -�3kS + �31B1 + �32B2 + �33B3
yi = Ai sin(pt)
Rozwiązanie ma formę
czyli
&&i -Ai p2 sin(pt) Bi = -mi Ai p2 sin(pt)
y =
38
Drgania wymuszone układu o wielu
stopniach swobody
n
S=S sin(pt)
o
- yi = -�ikS +
B2 "� Bj
ij
B1
B3
j=1
m
2
m
1
m
3 Bi = -mi Ai p2
y y y
3
1 2
Dla belki powyżej
Dla belki powyżej
A1 sin(pt)= �1k So sin(pt)+ �11m1A1 p2 sin(pt)+ �12m2 A2 p2 sin(pt)+ �13m3A3 p2 sin(pt) sin(pt)
A2 sin(pt)= �2kSo sin(pt)+ �21m1A1 p2 sin(pt)+ �22m2 A2 p2 sin(pt)+ �23m3A3 p2 sin(pt) sin(pt)
A3 sin(pt)= �3k So sin(pt)+ �31m1A1 p2 sin(pt)+ �32m2 A2 p2 sin(pt)+ �33m3A3 p2 sin(pt) sin(pt)
yi = Ai sin(pt)
Rozwiązanie ma formę
czyli
&&i -Ai p2 sin(pt)
Bi = -Bi sin(pt)
y =
39
Drgania wymuszone układu o wielu
stopniach swobody
n
S=S sin(pt)
o
- yi = -�ikS +
B2 "� Bj
ij
B1
B3
j=1
m
2
m
1
m
3 Bi = -mi Ai p2
y y y
3
1 2
lub z siłami bezwładności
lub z siłami bezwładności
B1
sin(pt)= �1k So sin(pt)+ �11B1 sin(pt)+ �12B2 sin(pt)+ �13B3 sin(pt) sin(pt)
mi p2
B2
sin(pt)= �2k So sin(pt)+ �21B1 sin(pt)+ �22B2 sin(pt)+ �23B3 sin(pt) sin(pt)
m2 p2
B3
sin(pt)= �3kSo sin(pt)+ �31B1 sin(pt)+ �32B2 sin(pt)+ �33B3 sin(pt) sin(pt)
m3 p2
40
Drgania wymuszone układu o wielu
stopniach swobody
S=S sin(pt)
o
B2
B1
n
B3
m
2
m
1
m - yi = �ik S +
3
"� Bj
ij
j=1
y y y
3
1 2
Układ równań, opisujący amplitudy drgań wymuszonych, ma
Układ równań, opisujący amplitudy drgań wymuszonych, ma
formę:
(�11m1 p2 -1)A1 + �12m2 p2 A2 + �13m3 p2 A3 + �1kSo = 0
�21m1 p2 A1 +(�22m2 p2 -1)A2 + �23m3 p2 A3 + �2kSo = 0
�31m1 p2 A1 + �32m2 p2 A2 +(�33m3 p2 -1)A3 + �3k So = 0
gdzie niewiadomymi są amplitudy drgań wymuszonych Ai,
znane są mi masy na i tym stopniu swobody, �ij
przemieszczenia na kierunku i wywołane siłą jednostkowych,
działającą na kierunku j, p częstotliwość wymuszenia
41
[rad/s]
Drgania wymuszone układu o wielu
stopniach swobody
Układ równań, opisujący amplitudy sił bezwładności:
�ł �ł
1
�ł
�ł�11 - m1 p2 �ł + �12B2 + �13B3 + �1k So = 0
�łB1
�ł łł
�ł �ł
�ł �ł
1
1
�ł
�21B1 +
�ł�22 - m2 p2 �ł + �23B3 + �2k So = 0
�łB2
�ł łł
�ł �ł
1
�ł
�31B1 + �32B2 +
�ł�33 - m3 p2 �ł + �3k So = 0
�łB3
�ł łł
gdzie niewiadomymi są amplitudy sił bezwładności Bi,
znane są mi masy na i tym stopniu swobody, �ij
przemieszczenia na kierunku i wywołane siłą jednostkowych,
działającą na kierunku j, p częstotliwość wymuszenia
42
[rad/s]
Ekstremalne siły wewnętrzne,
wywołane drganiami wymuszonymi
S=S sin(pt)
o
B2
B1
B3
m
2
m
1
m
3
y y y
3
1 2
Do wyznaczenia sił wewnętrznych wykorzystujemy wykresy
Do wyznaczenia sił wewnętrznych wykorzystujemy wykresy
od sił jednostkowych i korzystamy z zasady superpozycji czyli:
N = SoNk ą B1N1 ą B2N2 ą B3N3 = SoNk ą
"B N
j j
j
T = SoTk ą B1T1 ą B2T2 ą B3T3 = SoNk ą
"B Tj
j
j
M = SoMk ą B1M1 ą B2M2 ą B3M3 = SoMk ą
"B M
j j
j
gdzie: Bj - amplitudy sił bezwładności, So - amplituda siły
wymuszającej, Nj , Tj , Mj - siły wewnętrzne od obciążeń
jednostkowych.
43
Wyznaczenie amplitud sił
bezwładności - przykład
Dane:
EJ=500000Nm2
2mo
mo=300kg, Po=10kN, n=10Hz
3m
Posin(2Ąnt)
mo
3mo
0.0671m3 1.4826m3
�12 = �21 = - �11 =
3m
EJ EJ
3 3
0.0447m3 1.3485m3
�13 = �31 = - �22 =
EJ EJ
4m 2m
2m
0.1490m3
0.4327m3
�23 = �32 =
2mo
�33 =
EJ
EJ
3
mo
3m
3mo 2
Siła działa na kierunku 3
1
3m
4m 2m
2m 44
Wyznaczenie amplitud sił
bezwładności - przykład
Dane:
EJ=500000Nm2
�ł �ł
1
�ł
mo=300kg, Po=10kN, n=10Hz
�ł�11 - m1 p2 �ł + �12B2 + �13B3 + �1k So = 0
�łB1
�ł łł
k=3
�ł �ł
1
�ł
�21B1 +
0.0671m3 1.4826m3
�ł�22 - m2 p2 �ł + �23B3 + �2k So = 0
�łB2
�12 = �21 = - �11 =
�ł łł
EJ EJ
�ł �ł
�ł �ł
1
1
3 3
�ł
�ł �ł
� B + � B +
�31B1 + �32B2 + � - 0.0447m3 1.3485m3
�ł�33 - m3 p2 �łB + �3k So = 0
�łB3 + � S = 0
�13 = �31 = - �22 =
�ł łł
EJ EJ
0.1490m3
0.4327m3
�23 = �32 =
�33 =
EJ
EJ
�ł �ł
�ł1.4826m3 - 500000Nm2 2 �łB1 - 0.0671m3B2 - 0.0447m3B3 - 0.0447m3 �"10kN = 0
�ł �ł
mo(2Ą �"10 / s)
�ł łł
�ł �ł
�ł1.3485m3 - 500000Nm2 2 �łB2 + 0.1490m3B3 + 0.1490m3 �"10kN = 0
- 0.0671m3B1 +
�ł �ł
3mo(2Ą �"10 / s)
�ł łł
�ł �ł
�ł0.4327m3 - 500000Nm2 2 �łB3 + 0.4327m3 �"10kN = 0
- 0.0447m3B1 + 0.1490m3B2 +
�ł �ł
2mo(2Ą �"10 / s)
�ł łł
45
Wyznaczenie amplitud sił
bezwładności - przykład
�ł �ł
�ł1.4826m3 - 500000Nm2 2 �łB1 - 0.0671m3B2 - 0.0447m3B3 - 0.0447m3 �"10kN = 0
�ł �ł
mo(2Ą �"10 / s)
�ł łł
�ł �ł
�ł1.3485m3 - 500000Nm2 2 �łB2 + 0.1490m3B3 + 0.1490m3 �"10kN = 0
- 0.0671m3B1 +
�ł �ł
3mo(2Ą �"10 / s)
�ł łł
�ł �ł
�ł0.4327m3 - �łB + 0.4327m3 �"10kN = 0
�ł0.4327m3 - 500000Nm2 2 �łB3 + 0.4327m3 �"10kN = 0
- 0.0447m3B + 0.1490m3B +
- 0.0447m3B1 + 0.1490m3B2 +
�ł �ł
�ł �ł
2mo(2Ą �"10 / s)
( )
�ł łł
Amplitudy sił bezwładności, wyznaczone z powyższego
układu, wynoszą:
B1=-0.36kN, B2=1.269kN, B3=-20.451
46
Wyznaczenie sił wewnętrznych od
wymuszenia
Zasada d Alemberta: w odniesieniu do konstrukcji, znajdującej się pod wpływem sił
zmiennych w czasie, można stosować zasady statyki pod warunkiem, że uwzględni
się siły bezwładności.
B3
B3
Wariant II
Wariant I
Po
Po
3m
3m
B1 B2
B1 B2
3m
3m
4m 2m
2m
4m 2m
2m
B1=-0.36kN, B2=1.269kN, B3=-20.451, Po=10kN
47
Wyznaczenie sił wewnętrznych od
wymuszenia
Zasada d Alemberta: w odniesieniu do konstrukcji, znajdującej się pod wpływem sił
zmiennych w czasie, można stosować zasady statyki pod warunkiem, że uwzględni
się siły bezwładności.
B3
B3
Wariant IV
Wariant III
Po
Po
3m
3m
B1 B2
B1 B2
3m
3m
4m 2m
2m
4m 2m
2m
B1=-0.36kN, B2=1.269kN, B3=-20.451 , Po=10kN
48
Wyznaczenie sił wewnętrznych od
wymuszenia wariant I
Do wyznaczenia sił wewnętrznych wykorzystujemy wykresy od sił
jednostkowych i korzystamy z zasady superpozycji czyli:
N = -SoN3 + B1N1 + B2N2 + B3N3
T = -SoT3 + B1T1 + B2T2 + B3T3
M = -SoM3 + B1M1 + B2M2 + B3M3
M = -SoM3 + B1M1 + B2M2 + B3M3
B1=-0.36kN, B2=1.269kN, B3=-20.451 , Po=10kN
B3
2mo
Po
3
mo
B1 B2 3mo 2
1
Kierunki
dodatnie
49
Wyznaczenie sił wewnętrznych od
wymuszenia wariant II
Do wyznaczenia sił wewnętrznych wykorzystujemy wykresy od sił
jednostkowych i korzystamy z zasady superpozycji czyli:
N = -SoN3 - B1N1 - B2N2 - B3N3
T = -SoT3 - B1T1 - B2T2 - B3T3
M = -SoM3 - B1M1 - B2M2 - B3M3
M = -SoM3 - B1M1 - B2M2 - B3M3
B1=-0.36kN, B2=1.269kN, B3=-20.451 , Po=10kN
B3
2mo
3
Po
mo
3mo 2
1
B1 B2
Kierunki
dodatnie
50
Wyznaczenie sił wewnętrznych od
wymuszenia wariant III
Do wyznaczenia sił wewnętrznych wykorzystujemy wykresy od sił
jednostkowych i korzystamy z zasady superpozycji czyli:
N = SoN3 + B1N1 + B2N2 + B3N3
T = SoT3 + B1T1 + B2T2 + B3T3
M = SoM3 + B1M1 + B2M2 + B3M3
M = SoM3 + B1M1 + B2M2 + B3M3
B1=-0.36kN, B2=1.269kN, B3=-20.451 , Po=10kN
B3
2mo
Po
3
mo
3mo 2
B1 B2
1
Kierunki
dodatnie
51
Wyznaczenie sił wewnętrznych od
wymuszenia wariant IV
Do wyznaczenia sił wewnętrznych wykorzystujemy wykresy od sił
jednostkowych i korzystamy z zasady superpozycji czyli:
N = SoN3 - B1N1 - B2N2 - B3N3
T = SoT3 - B1T1 - B2T2 - B3T3
M = SoM3 - B1M1 - B2M2 - B3M3
M = SoM3 - B1M1 - B2M2 - B3M3
B1=-0.36kN, B2=1.269kN, B3=-20.451 , Po=10kN
B3
2mo
Po
3
mo
3mo 2
B1 B2 1
Kierunki
dodatnie
52
Siły wewnętrzne dla stanu 1
0.4205 0.4354
- -
3m
1
+
-
3m
N1 [/]
N1 [/]
4m 2m
2m 0.1453
+
-
0.0335
0.4321 0.1490
0.0894 -
0.0447 -
0.0596
+
T1 [/]
0.8295
0.0298
M1 [/]
53
0.9089
Siły wewnętrzne dla stanu 2
0.0149 0.4652
- -
3m
-
1
-
3m
N2 [/]
N2 [/]
0.1118
4m 2m
2m 0.0782
+
+
0.2980
0.2533
0.0596
-
0.0745
-
0.5513
+
0.7997
T2 [/]
0.8295
M2 [/]
54
0.0298
0.8493
Siły wewnętrzne dla stanu 3
0.0023
0.0099
- +
1
3m
+
-
3m
N3 [/]
N3 [/]
0.5745
4m 2m
2m 0.0522
+
+
-
0.5497
0.4255
0.0397
0.5993
0.1689 0.3013
-
0.1325
+
T3 [/]
0.0199
M3 [/]
55
0.0662
Siły normalne wariant I
N = -10kN �" N3 - 0.36kN �" N1 +1.269kN �" N2 - 20.451kN �" N3
0.5036
0.4339
B3
Po
+ -
B1 B2
-
+
NI [kN]
0.4205 0.4354 0.0023
0.0099
- - - +
0.0149 0.4652
+ +
- -
- -
N1 [/]
N3 [/]
-
-
N2 [/]
56
Siły tnące wariant I
T = -10kN �"T3 - 0.36kN �"T1 +1.269kN �"T2 - 20.451kN �"T3
B3
Po
Wykres sił tnących w
B1 B2
wariancie I do wyznaczenia
ze wzoru powyżej
0.5745
+
0.0522
-
+
0.0335 +
-
-
0.1118
-
0.0782
0.4255
+
+
-
+
T3 [/]
- +
T1 [/]
-
+
T2 [/]
57
Momenty zginające wariant I
M = -10kN �" M3 - 0.36kN �" M1 +1.269kN �" M2 - 20.451kN �" M3
B3
Po
0.0397
B1 B2
0.5993
0.1689 0.3013
0.1325
M3 [/]
0.4321 0.1490
0.0894 0.0199
0.0662
0.0447
0.0596
0.2980
0.2533
0.0596
0.0745
0.8295
0.5513
Wykres momentów
zginających w wariancie
M1 [/]
0.7997
0.0298
0.8295
I do wyznaczenia ze
0.9089
wzoru powyżej
M2 [/]
58
0.0298
0.8493
Koniec
Koniec
59

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Drgania skretne ukladu o wielu stopniach swobody v2012
dobrucki,wprowadzenie do inżynierii akustyki, drgania układów o skończonej liczbie stopni swobody
33 Energia czasteczek translacje o 3 stopniach swobody
Drgania układu o n stopniach swobody
Dynamika ukl hydraulicznych
Arch 11 W1 Schematy statyczne Stopnie swobody i Więzy
Wyniki dynamiki ukl nap nsII 11
5) Drgania swobodne układu o dwóch stopniach swobody
ANOVA A stopnie swobody
drgania swobodne modelu o jednym stopniu swobody
Przykład rozwiazania kraty MES Element kratowy o 2 stopniach swobody
Drgania ukladu o jednym stopniu swobody v2011

więcej podobnych podstron