59
żÿ
Ćwiczenie 6
Równania te możemy również przedstawić w postaci macierzowej
(6.2)
B +K

=0,
gdzie
B - oznacza macierz współczynników zwładności o wyrazach
DRGANIA SWOBODNE U U 4
2
=
= 0,
l = -ml
bl b22 , bl2 b2l =
O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY 3
K - macierz współczynników sztywności o wyrazach
. '. 3 kl2
Celem ćwiczenia jest doświadczalne wyznaczenie częstości drg własnych
kl = - mgl -,
l +
2 4
ukÅ‚adu o dwóch stopniach swobody, pokazanie postaci drg odpowiadajÄ…­
cych tym częstościom, a także zademonstrowanie zjawiska dudnienia, jakie
WprowadzajÄ…c warunki p zÄ…tkowe, dostarczamy jednorazowÄ… porcjÄ™
występuje w przypadku, gdy częstości własne niewiele różnią się od siebie.
energii do układu, co wywołuje jego drgania swobodne. Rozwiązań układu
równań (6.1) poszukujemy w postaci
= sin (wt o),
l al +

(6.3)
6.1. Wprowadzenie teoretyczne
+
2 = sin (wt o).

Podstawiając rozwiązania (6.3) do (6.1), a następnie dzieląc obie s ony
równaÅ„ p ez sin(wt o), o zymujemy jednorodny ukÅ‚ad równaÅ„ algebraicz­
+
Rozpatrzmy układ przedstawiony na
nych z niewiadomymi amplitudami i oraz czÄ™stoÅ›ciÄ… w jako parame­
al a
rys. 6.1. Jest on zÅ‚ożony z dwóch jednako­ 2
em w postaci
\ wych wahadeÅ‚ fizycznych poÅ‚Ä…czonych sprÄ™­
żÿ
2
żynÄ… o sztywnoÅ›ci k. WahadÅ‚a charaktery­ kl2 0,
al +
\ (- bll w + kll) =
\
(6.4)
\ k
\ zujÄ… siÄ™ tym, masa ci a me zam owa­
2 +
\ +
a O
lal (- b22w z) 2 = .
nego na końcu pręta o długości l jest
\ w przybliżeniu równa masie pręta
\
Aby istniały niezerowe rozwiązania tego układu, jego wyznacznik główny
=
m (me mp m). Dla uproszczenia po­
=
żÿżÿ
musi być równy ze
I mDamy wymiary zawieszonych ciężarków,
żÿ
żÿ
- -' __ '
traktujÄ…c je jako ci a o masach skupionych
- ... (6.5)
I.
w punktach, w odległości l od osi obrotu.
Rys. 6.1. Schemat układu o dw6ch
Sprężyna jest zamocowana w odległości l
stopniach swo y
od osi obrotu, przy czym I = 0,5 l.
Z rozwiązania wyznacznika (6.5) otrzymujemy tzw. równanie częstości
Dynamiczne równania mchu układu możemy o zymać np. z równania
=
mchu obrotowego (J M) lub jako równ ia Lagrange'a rodzaju. W po­
staci zlinearyzowanej wokół położeń równowagi wahadeł mają one postać
(6.6)
4
" (3 l kl2żÿ kl2 °
+ +
- m l2 -m - . l_ - =
-
g
2 '
l ·
3 2 4 4
z którego możemy wyznaczyć wzory na częstości wlasne naszego układu
(6.1)
° 2 9 g
kl2 kl2
iml2 + [Å‚ _
wl
m =
gl + 4
2 l = --
2 '
8 l
3 2 4
J
(6.7)
gdzie:
9 g 3 k
- - +--
2 - oznaczają odpowiednio kąty wychylenia wahadeł.
l
8 l 8 m
60
61
PodstawiajÄ…c we wzorze (6.4) w I zami t otrzymujemy algebraiczny
w,
układ równań dla amplitud drgań swobodnych pie szej postaci
= O,
(- bll l alI l
wi + ki ) + k zżÿ1
(6.8)
Jeśli chcemy obserwować drgania pie szej postaci, musimy założyć
Analogicznie
w = O.
WIO - W czyli =
WIO wzo (w szczególności możemy
gdzie:
przy Ä…
j ć WIO = Ww = O).
amplituda drgań wahadła pierwszego pierWszej pos ci,
Oznacza to, że drgania własne pie szej postaci możemy obse ować, jeśli
amplituda drgań wahadła drugiego pierwszej pos ci (pierwszy
.
przy miemy Jako warunek p zÄ…tkowy lO =
j
wskaz
nik - numer współrzędnej, d gi - numer postaci drgań).
< O' czyli wychylimy oba wa­
P2
hadla o ten sam kÄ…t (co do wartoÅ›ci i znaku). PostÄ™pujÄ…c analogicznie, otrzy­
Równania (6.8) sÄ… zależne od siebie, co wynika z zerowoÅ›ci ich wyznacz­
.
mUJemy. że drgania własne drugiej postaci możemy obse ować, jeśli
nika głównego, dlatego obu amplitud nie możemy wyznaczyć jednoznacznie.
=
Z dowolnego z równaÅ„ możemy natomiast wyznaczyć stosunek = l. - w' Obraz graficzny drgaÅ„ wÅ‚as­
1!all
nych pie szej i drugiej postaci przedstawiono na s. 6.2.
Postępując analogicznie z częstością otrzymujemy w ość stosunku
wz'
=
z
ial - l. Otrzymane wyżej stosunki nazywamy współczynnikami postaci.
aj
bJ
Ogólnie, definiujÄ…c żÿI/ = ot ymujemy macierz współczynników po­
al/al}'
staci. której pierwszy wiersz stanowią jedynki. W naszym przypadku mamy
więc
=
żÿ żÿ =
I IZ l
I
oraz I

= l
żÿZI =
żÿ22 - =-1
alI al
z
Rozwiązanie ogólne rozpat wanego układu możemy przedstawić w po-
staci
+
I(t) = allsin(wlt+ćl) + alZs (w2t ć2),
(6.9)
Rys. 6.2. Postacie drgań własnych: al pierws , b) d ga
z
it) = allżÿZls (wlt+ 0l) aIZżÿ s (w t+ożÿ.
+
Ciekawy przypadek możemy otrzymać. jeÅ›li przyjmiemy w chwili poczÄ…t­
Dla naszego układu,po uwzględnieniu wartości mamy kowej
=
żÿtJ =
< 20 O
lO Po oraz

w
=
+
t
+ ° I) +al sin (w ć2),
I(t) = alI s (wIt z z
z(t) = allsin(wlt+ol) -aIZ s (w2t+ćżÿ.
=
O 0l
al s -a12 sin oz.
i
gdzie:
0= allwlcos&1 alz W2cos&2'
-
alI' alz' 0l' Oz stale zależne od warunków p zątkowych.
0= allwl c ol-alZwZcosoz'
Można stawić pytanie: Jakie wa nki p zątkowe należy zadać, aby
obse ować poszczególne postacie drgań?
Przyjmijmy, lO oznacza I(t = O). 'PZO = 'P = O) i analogicznie
z
(t
< sin 0l'
PlO = 11
\O a II
0
sin ° I + a12sin 2'
Z równania trzeciego i czwarte·go. z warunku niezerowych rozwiÄ…zaÅ„ dla
otrz
ali i z ymujemy =
O = /2.
al 0l z
62
63
Uwzględniając powy ze otrzymujemy W pie szej fazie wahadło l wykonuje drgania, wahadło 2 jest nie chome
(rys. 6.4a). Ruch ten może być uważany sumÄ™ dw h drgaÅ„ wÅ‚asnych pier­
l 1
o
ali = a1 = - lO
2 wszej i d giej postaci o częstościach l i 2" P y dostatecznie bliskich

2
wa ościach tych częstości pot eba wnego c su ( powiadającego kilku
i rozwiązanie ogólne w postaci okresom), aby nas piło przesunięcie faz. W wnej chwili p esunięcie f
obu postaci drgaÅ„ wynosi 1800, co ilus je rys. 6.4b. D ajÄ…c oba p edsta­
wione chy, można zauważyć, że wahadło l jest teraz nie chome, podczas
(6.18) gdy wahadło 2 wykonuje drgania z amplitudą o' Zjawisko to powta się
i drgania przenos się z jednego wahadła na d gie.
aj
Korzystając ze wzorów t gonometrycznych wyrażenia (6.10 możemy 2
)
2
przedstawić następująco:
\
(6.11)
+
\
\
\
2
\
Przebieg rozwiÄ…zaÅ„ (6.1 1) p edstawiono na s. 6.3. Widzimy, że w przy­
padku sprzężenia dwóch identycznych układów drgających o jednym stopniu
DJ
swobody drgania w ukladzie sp ężonym mają charakter dudnień. Energia
2
2
2
określona warunkami początkowymi jest przek ywana okresowo z jednego
\
ukladu do d giego. Zjawisko przedstawiono na rys. 6.4.
\
\
I
\
, I
+
\
I
\
\
I
I
\
\
\
\
I
\
\
\
Rys. 6.4. Nakladanie się drgań pierwszej i d giej staci dczas dudnienia
6.2. Opis stanowiska
Stanowisko badane podczas ćwiczenia p edstawiono na rys. 6.5. Odpowia­
da ono z dużą dokładnością modelowi p eds wionemu na s. 6.1. Wahadła
są p pa e w dw h pryzmach, co pow uje, że mogą wykonywać drgania
tylko w płaszczyz
nie pionowej.
Rys. 6.3. Zjawisko dudnienia
64
65
2) wyznaczone parametry układu (wymiary, sztywność sprężyny),
3) częstości własne pierwszej d giej postaci or częstość dudnienia
wyznaczone doświadczalnie,
4) częstości własne pierwszej i d giej postaci or częstość dudnienia
obliczone na podstawie wyprowadzonych wzorów,
5) porównanie wyników i wnioski.
Rys. 6.5. Schemat s owis
6.3. Przebieg ćwiczenia
I. Wyznaczanie częstości drgań wlasnych pierwszej postaci
- wychylić oba wahadła o t i sam kąt co do wa ości i znaku,
- zmierzyć czas 20 okresów tych drgań (20 TI),
- obliczyć okres TI, a nastÄ™pnie czÄ™stość wI = 2 /TI·
2. Wyznac nie częstości drgań własnych d giej postaci
- wychylić oba wahadła o tę samą w ość kąta, lecz w p eciwną stronę,
- zmierzyć czas 20 okresów tych drgań (20 T2),
- obliczyć okres T2, a następnie częstość w2 = 2 /T2.
J. Wyznaczanie częstości dudnienia
- wychylić jedno wahadlo o mały kąt,
- zmierzyć czas pięciu okresów (5 Td),
- obliczyć okres dudnienia T , a następnie częstość dudnienia
d
w 2 /Td·
d
=
4. Obliczanie częstości własnych na podstawie wyprowadzonych wzorÓw
- obliczyć wa ość częstości w I oraz w2 na podstawie wzorÓw (6.7),
- obliczyć wartość częstości dudnienia wd = w2 - I,
- porównać wyniki uzyskane z metody doświadczalnej i teoretycznej.
6.4. Treść sprawozdania
Sprawozdanie powinno zawierać:
I) schemat rozpatrywanego układu,


Wyszukiwarka