Uwaga: przypadki podawania błędnych adresów e mail
W celu otrzymania kopii materiałów, należy wysłać pocztę na adres:
[e-mail]
Wykład 2
Drgania swobodne tłumione
W rzeczywistych układach drgających mamy do czynienia ze zjawiskiem
rozpraszania energii. Nie jest spełniona zasada zachowania energii
mechanicznej.
Drganie układów liniowych z uwzględnieniem rozproszenia energii możemy
opisać równaniem:
&&
mx + Fd + kx = F(t)
Fd - siła tłumienia drgań, która
wprowadzona została w celu
uwzględnienia efektu
rozproszenia energii.
F(t) - siła wymuszająca, którą na razie
(drgania swobodne)
przyjmujemy równą zero.
F(t)
W rzeczywistych konstrukcjach mechanicznych przyjmujemy założenie że siła
tłumienia jest proporcjonalna do prędkości drgań.
c  stały współczynnik tłumienia
&
Fd = cx
Model tłumienia opisany tym równaniem nosi nazwę tłumienie wiskotyczne
(płynne).
Korzyści wynikające z zastosowania modelu wiskotycznego
1. zachowanie liniowości równania różniczkowego drgań
&& &
mx + cx + kx = 0
2. model ten jest właściwym opisem rzeczywistego rozpraszania energii drgań
mechanicznych.
Rozwiązanie równania różniczkowego drgań (rozwiązanie ogólne) możemy
przedstawić w postaci:
1 2
x = Aes t + Bes t
A, B są stałymi całkowania, wynikającymi z podanych warunków
poczÄ…tkowych
s1, s2 są pierwiastkami równania charakterystycznego, wyznaczanymi
według wzoru:
2
c c k
ëÅ‚ öÅ‚
s1/ 2 = - Ä… - s1 > 0
ìÅ‚ ÷Å‚
2m 2m m
íÅ‚ Å‚Å‚
Uwzględniając te pierwiastki, rozwiązanie równania różniczkowego przyjmie
postać:
2 2
c k c k
ëÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ öÅ‚
c
ìÅ‚ ÷Å‚ - Å"t - ìÅ‚ ÷Å‚ - Å"t
-
ìÅ‚ ÷Å‚
2m m 2m m
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
2m
x = e Ae + Be
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Funkcja przemieszczenia x zależy od wyrażenia występującego pod
pierwiastkiem i rozróżniamy przypadki:
2
1. W takim przypadku wykładniki mają wartości
c k
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ - > 0
dodatnie, zaÅ› rozwiÄ…zanie x jest sumÄ… funkcji
2m m
íÅ‚ Å‚Å‚
wykładniczych (nieokresowych), czyli nie ma drgań.
2
2. W takim przypadku funkcja wykładnicza przyjmuje
c k
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ - < 0
następującą postać
2m m
íÅ‚ Å‚Å‚
i funkcję tę możemy zapisać
2
k c
2 2
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
j -ëÅ‚ öÅ‚ Å"t
ìÅ‚ ÷Å‚
k c k c
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
m 2m
íÅ‚ Å‚Å‚ ÷Å‚ ÷Å‚
e = cosìÅ‚ - Å"t Ä… j sinìÅ‚ - Å"t
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
m 2m m 2m
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
2
Częstość drgań swobodnych tłumionych
k c
ëÅ‚ öÅ‚
- = Ét
ìÅ‚ ÷Å‚
m 2m
íÅ‚ Å‚Å‚
2
c k
ëÅ‚ öÅ‚
2 2
Én - = Ét = Én
ìÅ‚ ÷Å‚
2m m
íÅ‚ Å‚Å‚
Układ fizyczny, w którym obserwujemy rozproszenie energii, wykonuje drgania
tÅ‚umione o czÄ™stoÅ›ci koÅ‚owej Ét , opisanej podanym wzorem. Z zależnoÅ›ci tej
wynika, że czÄ™stość Ét jest mniejsza od czÄ™stoÅ›ci Én .
W rzeczywistych układach drgających różnica między tymi częstościami jest
nieznaczna, dochodzÄ…ca do 2 3%
2
c k
ëÅ‚ öÅ‚
3.
- = 0
ìÅ‚ ÷Å‚
Przypadek ten określa stan graniczny pomiędzy
2m m
íÅ‚ Å‚Å‚
ruchem drgajÄ…cym, czyli okresowym, a ruchem
nieokresowym.
Jest to warunek, przy którym zanikają drgania
mechaniczne.
Zwiększenie współczynnika tłumienia c od 0 aż do wartości spełniających
warunek 3 spowoduje zanik drgań.
Tłumienie spełniające ten warunek nosi nazwę: tłumienie krytyczne.
2
ckr k
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ - = 0
2m m
íÅ‚ Å‚Å‚
ckr = 2 k Å" m
k
Én = ckr = 2mÉn
Jeżeli:
m
Bezwymiarowy współczynnik tłumienia
c c
(dzeta)
Å› = =
ckr 2mÉn
w takim stanie sÄ… drgania mechaniczne
Å› < 1
Å› = 1
stan graniczny określony tłumieniem krytycznym
Å› > 1
nie ma drgań w tym stanie
W przypadku ruchu oscylacyjnego, dla którego ś < 1 rozwiązanie równania
różniczkowego możemy zapisać w postaci
2
n
x = Xe-Å›É t sin( 1- Å› Å"Ént + Õ )=
2 2
n
= e-Å›É t[c1 sin( 1-Å› Ént)+ c2 cos( 1-Å› Ént)]
Po uwzględnieniu warunków początkowych, podobnie jak przy drganiach
nietłumionych, otrzymamy rozwiązanie w postaci:
îÅ‚ Å‚Å‚
&
x0 +Å›Énx0
2 2
n
x = e-Å›É t Å"sin( 1-Å› Ént)+ x0 cos( 1-Å› Ént)
ïÅ‚ śł
2
ïÅ‚ śł
n
ðÅ‚É 1-Å› ûÅ‚
Aby zaistniały drgania swobodne tłumione, przynajmniej jeden z warunków
początkowych musi być `"0
Wykres przedstawia sinusoidÄ™
0,15
gasnącą, której okres drgań
(tłumionych) podany jest
0,1
wzorem i jest dłuższy od
n
Xe-ÂÉ t
0,05 okresu drgań nietłumionych.
= Õ
x 0 X sin
t
0
2Ä„
0 2 4 6 8 10
T =
2
-0,05
1 - Å› Én
n
- Xe-ÂÉ t
-0,1
Efekt rozpraszania energii
-0,15
 wydłuża sinusoidę.
Sinusoida gasnąca ograniczona jest obwiednią będącą funkcją wykładniczą.
Ruch przy tłumieniu krytycznym
W takim przypadku rozwiązanie równania różniczkowego przy uwzględnieniu
warunków początkowych przyjmuje postać
n
&
x = e-É t[(x0 + Énx0)t + x0]
&
x0 0
x
Przebieg funkcji zależy od
x
warunku poczÄ…tkowego &
0
&
x = 0
narzuconego na prędkość
0
przy założeniu, że x0>0
t
&
x0 0
Niezależnie od rodzajów ekstremów lokalnych (min. lub max.) obserwujemy
asymptotyczną (nieokresową) zbieżność przy t dążącym do ".
Logarytmiczny dekrement tłumienia
Rozważmy funkcję opisującą drgania tłumione
2
n
x = Xe-Å›É t sin( 1-Å› Ént +Õ)
Rozważmy dwie wartości tej funkcji
x1 = x(t)
x2 = x(t +Ä )
2Ä„
gdzie:
Ä =
2
1-Å› Én
Otrzymujemy wówczas
2
n
x1 = Xe-Å›É t1 sin( 1-Å› Ént1 +Õ)
2
n
x2 = Xe-Å›É (t1+Ä ) sin[ 1-Å› Én(t1 +Ä )+Õ]
W szczególnym przypadku, czas t1 określony dla pierwszego maksimum
krzywej gaśnięcia. Stanowi temu odpowiada przemieszczenie x1. Wówczas czas
odpowiadajÄ…cy drugiemu maximum wynosi t1+Ä , zaÅ› odpowiednia amplituda
wynosi x2. Obliczamy następujące wyrażenie
n
x1 Xe-Å›É t1
n
´ = ln = ln = ln eÅ›É Ä =
n
x2 Xe-Å›É (t1+Ä )
2Ä„ 2Ä„Å›
Å›ÉnÄ = Å›Én =
2 2
1-Å› Én 1-Å›
Dla maÅ‚ych Å› Ò! ´ E" 2Ä„ Å›
Współczynnik ´ (delta) oznacza logarytmiczny dekrement tÅ‚umienia i mierzy
szybkość zanikania drgań swobodnych tłumionych. W przypadku niewielkich
tłumień jest on proporcjonalny do bezwymiarowego współczynnika ś. Celowość
wprowadzenia współczynnika ´ uzasadnia Å‚atwy sposób jego wyznaczenia na
podstawie obserwacji sinusoidy gasnÄ…cej. ZnajÄ…c współczynnik ´ możemy
wyznaczyć współczynnik ś, który określa rozproszenie energii w układzie.
Identyfikacja współczynnika tłumienia w układzie drgającym realizowana w
następujących etapach:
I. Wzbudzenie drgań tłumionych i obserwacja krzywej gaśnięcia
II. Wyznaczenie amplitud w maksimach lokalnych x1, x2
III. Obliczenie współczynnika
x1
´ = ln
x2
IV. Określenie współczynnika
´
Å› =
2Ä„
c = Å› Å" ckr = Å› 2mÉn
V. Wyznaczenie współczynnika tłumienia
Realizacja eksperymentalna identyfikacji tłumienia w układzie
Idea:
- uderzenie młotkiem testowym (zadany
c
warunek poczÄ…tkowy)
k
- obserwacja drgań na ekranie komputera
Czujnik bezwładnościowy  piezoelektryczny
m
(mierzy przyśpieszenia masy drgającej) do 20 kHz
Wzmacniacz Å‚adunku
Komputer z kartÄ… pomiarowÄ…
W rezultacie:
´i różne dla i =1,& ,k
Drgania swobodne tłumione w ruchu zależnym
" Nie jest spełniona zasada zachowania energii mechanicznej
" Dla ruchu drgającego wzdłuż współrzędnej uogólnionej x stosujemy
równanie Lagrange a II rodzaju:
d "T "T "D "U
- + + = 0
& &
dt "x "x "x "x
Energia kinetyczna: Funkcja rozproszenia Energia potencjalna:
energii (dyssypacji):
1 1
1
& &
T = mx2 D = cx2 U = kx2
2 2 2
W rezultacie, otrzymujemy równanie dynamiki układu zredukowanego:
x0 = x(0)
üÅ‚
WARUNKI
&& &
mx + cx + kx = 0,
& & POCZ
TKOWE
x0 = x(0)żł
þÅ‚
Układ drgający o 1 stopniu swobody:
Dane: m1=2 kg
m1, r1
r1=0.05 m
c1
k1
m2=1.5 kg
r2=0.1 m
m3=3 kg
Õ2 Õ1
k1=1×104 N/m
x1 m3 k2
k2=2×104 N/m
c1=100 Ns/m
m2, r2
x(0) = 0.1 m
x
&
x(0) = 1 m/s
1 1
2
U = k1x1 + k2 x2
Energia potencjalna:
2 2
1 1 1 1 1 1
2 2 2
& & & &
T = m1x1 + Å" m1r12 Å"Õ1 + Å" m2r22 Å"Õ2 + m3 x2
Energia kinetyczna:
2 2 2 2 2 2
1
2
&
D = c1x1
Funkcja rozproszenia energii:
2
x  współrzędna uogólniona
Równania więzów:
x
x
x
Õ2 = Õ1 =
x1 =
r2 2r1
2
1 1 1
ëÅ‚ 1 3 1 1
ëÅ‚
U = k1 + k2 öÅ‚x2 = kx2 & &
ìÅ‚ ÷Å‚ T = m1 + m2 + m3 öÅ‚ x2 = mx2
ìÅ‚ ÷Å‚
2 4
2 8 2 2
íÅ‚
íÅ‚ Å‚Å‚
14243Å‚Å‚ 2
14442444
3
m
k
1 1 1
ëÅ‚
& &
D = Å" c1 öÅ‚ x2 = cx2
ìÅ‚ ÷Å‚
2 4 2
íÅ‚ Å‚Å‚
1 3
2
c
Drgania imaka nożowego podczas toczenia ortogonalnego
Imak
Podstawa
x2 Przedmiot Masa imaka: m=24 kg
nożowy
imaka
obrabiany
n0
Sztywność zamocowania
k1
imaka: k1=1.5×107 N/m
m ks
TÅ‚umienie zamocowania
x1
imaka: c=1500 Ns/m
c
Õ
Opór właściwy
skrawania: ks=4×108 N/m2
hD a" f
Szerokość
x
skrawania: b=2.8 mm
Zadana grubość warstwy
skrawanej: hD=0.2 mm
f
Uwaga:
k2=b ks
ld jest dodatkową sztywnością
b
w układzie
Fs = ksb(hD - x)
Na imak oddziałuje zmienna w czasie siła skrawania:
Równanie dynamiki przyjmie postać:
&& &
mx + cx + k1x = Fs ,
a po przekształceniu oraz pominięciu po prawej stronie stałej składowej:
Fs = ksbhD
 postać:
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
&& &
mx + cx + + bks ÷Å‚x = 0
ìÅ‚k
1
{
ìÅ‚
k2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
1424
3
k
Jest to równanie drgań swobodnych tłumionych układu o jednym stopniu
swobody.