Instrukcje do ćwiczeń laboratoryjnych z Drgań Mechanicznych
ĆWICZENIE NR ...
DRGANIA UKA
ADU O JEDNYM STOPNIU SWOBODY
PRZY POMIJALNIE MAA
YM TA
UMIENIU
1. Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest zapoznanie się ze zjawiskiem drgań mechanicznych układu o
jednym stopniu swobody przy pomijalnie małym tłumieniu oraz zbadanie wpływu
kierunku siły ciężkość na częstość drgań własnych układu.
2. Opis stanowiska
Na rysunku 1 przedstawiono schemat układu drgającego o jednym stopniu swobody,
którego głównymi elementami są:
·ð Podstawa;
·ð PÅ‚aska sprężyna o wymiarach b x h;
·ð Obciążnik o masie m.
Rys.1. Stanowisko do badania wpływu kierunku siły ciężkości na częstość drgań własnych
Laboratorium Drgań Mechanicznych
Bielsko-Biała 2011
oprracowałł Arrkadiiussz Trrąbka
opracował Arkadiusz Trąbka
op acowa A kad u z T Ä…bka
2 DRGANIA UKA
ADU O JEDNYM STOPNIU SWOBODY PRZY POMIJALNIE MAA
YM TA
UMIENIU
3. Zależności obliczeniowe
Przyjmując że wychylenia obciążnika ze stanu równowagi statycznej są mniejsze od
30° opracowano model matematyczny ukÅ‚adu przedstawionego na rysunku 1a.
Sztywność sprężyny k opisuje zależność (1):
3EI
k =ð
(1)
l3
gdzie:
E =ð 2,1×ð1011[Pa]
b ×ð h3
I =ð [m4 ]
12
b  szerokość sprężyny;
h  grubość sprężyny.
Korzystając z II Prawa Newtona można napisać:
..
2 2
J ×ðjð =ð -ðk ×ðjð ×ðl +ð m ×ð g ×ðl ×ðsinjð ð -ðk ×ðjð ×ðl +ð m ×ð g ×ðl ×ðjð
(2)
gdzie:
2
J =ð m ×ðl - masowy moment bezwÅ‚adnoÅ›ci;
m  masa obciążnika;
l  długość jak na rys. 1a.
Po przeniesieniu wyrazów na lewą stronę otrzymamy:
..
2
J jð+ð k ×ðl ×ðjð -ð m ×ð g ×ðl ×ðjð =ð 0
(3)
Natomiast po podzieleniu obu stron równania (3) przez masowy moment bezwładności J
otrzymamy:
2
..
k ×ð l -ð m ×ð g ×ðl
jð+ð jð =ð 0
(4)
J
Równanie (4) jest równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego opisującym
drgania swobodne bez tłumienia układu liniowego o jednym stopniu swobody.
Szukana czÄ™stość drgaÅ„ wÅ‚asnych aðI ukÅ‚adu w pozycji jak na rys. 1a, jest okreÅ›lona
poprzez współczynnik przy jð , zgodnie z zależnoÅ›ciÄ…:
2
k ×ð l -ð m ×ð g ×ðl
aðIt =ð
(5)
J
Laboratorium Drgań Mechanicznych
3
Instrukcje do ćwiczeń laboratoryjnych z Drgań Mechanicznych
Dla przypadku z rys. 1b będzie:
k ×ðl2
aðIIt =ð
(6)
J
Natomiast dla przypadku z rys. 1c:
k ×ðl2 +ð m×ð g ×ðl
aðIIIt =ð
(7)
J
4. Przebieg ćwiczenia
·ð Zanotować masÄ™ m obciążnika;
·ð Trzykrotnie zmierzyć i zanotować wymiar l przedstawiony na rys. 1a;
·ð W trzech równomiernie od siebie oddalonych miejscach trzykrotnie zmierzyć i
zanotować wymiary b oraz h sprężyny (rys. 1a);
·ð Obliczyć współczynnik k sztywnoÅ›ci sprężyny;
·ð Na podstawie zależnoÅ›ci (5), (6) oraz (7) obliczyć teoretyczne wartoÅ›ci czÄ™stoÅ›ci
drgań własnych badanego układu, odpowiadające konfiguracjom przedstawionym
na rys. 1;
·ð Przeprowadzić trzykrotny pomiar czasu trwania 10 wahnięć masy m w każdym z
rozpatrywanych położeń (rys.1)  UWAGA  max. wychylenie od położenia
równowagi nie może przekroczyć 300;
·ð Obliczyć okresy drgaÅ„ ukÅ‚adu wystÄ™pujÄ…ce w każdym z rozpatrywanych poÅ‚ożeÅ„;
·ð Na podstawie Å›rednich wartoÅ›ci okresu drgaÅ„ wyznaczyć doÅ›wiadczalne wartoÅ›ci
częstości drgań własnych badanego układu, odpowiadające konfiguracjom
przedstawionym na rys. 1;
·ð Porównać otrzymane wyniki doÅ›wiadczalne z wynikami teoretycznymi.
5. Zawartość sprawozdania
·ð Cel ćwiczenia;
·ð Przebieg ćwiczenia (w punktach);
·ð Schemat stanowiska laboratoryjnego (z opisem);
·ð Dane wejÅ›ciowe do przeprowadzanego ćwiczenia;
·ð Zestawienie wyników pomiarów;
·ð Wyprowadzenie zależnoÅ›ci obliczeniowych (6) i (7) odpowiadajÄ…cych
konfiguracjom układu przedstawionym na rys. 1b i 1c;
Laboratorium Drgań Mechanicznych
4 DRGANIA UKA
ADU O JEDNYM STOPNIU SWOBODY PRZY POMIJALNIE MAA
YM TA
UMIENIU
·ð PrzykÅ‚adowe obliczenia z podaniem wzorów oraz podstawieÅ„ do wzorów;
·ð Zestawienie wyników obliczeÅ„;
·ð SporzÄ…dzony w trakcie ćwiczeÅ„ protokół;
·ð Wnioski, spostrzeżenia i uwagi.
Laboratorium Drgań Mechanicznych