Mechanika Budowli (C16)

Wykład

Marek Krzysztof Jasina

http://www.okno.pg.gda.pl

– 78 – [e-mail]

15. Metoda

przemieszczeń

1

Założenia:

– pręty mają prostą oś i stały przekrój poprzeczny,
– pomijamy wpływ sił podłużnych (nieskończona sztywność na ściskanie).

Niewiadomymi metody są uogólnione przemieszczenia węzłów – obroty

ϕ , translacje

δ (przyjmując oznaczenia odniesione do lokalnych układów elementowych):

a) obroty

ik

ϕ ,

ki

ϕ ;

b) translacje (sprowadzając do translacji poprzecznych względem osi pręta)

,

,

które można zastąpić równoznacznymi kątami obrotu cięciwy pręta

i

v

k

v

i

k

ik

v

v

l

ψ

−

=

.

W metodzie przemieszczeń liczba równań równa się liczbie niewiadomych prze-

mieszczeń węzłowych.

Odpowiednio do określenia stopnia statycznej niewyznaczalności znanej z metody

sił – wprowadza się termin stopień geometrycznej niewyznaczalności metody prze-
mieszczeń.

Jest on równy liczbie niewiadomych przemieszczeń węzłów.


Zadanie polega na:

a) wyrażeniu momentów przywęzłowych w przekrojach na końcach elementów jako

funkcji przemieszczeń węzłów elementów (wzory transformacyjne);

b) wyrażeniu sił podłużnych i sił poprzecznych jako funkcji momentów;
c) ułożeniu i rozwiązaniu układu równań (kanonicznych), w którym niewiadomymi są

przemieszczenia węzłów.

1

Metoda Przemieszczeń w literaturze określana jest także mianem – Metoda Odkształ-

ceń lub Metoda Deformacji.

Mechanika Budowli (C16)

Wykład

Marek Krzysztof Jasina

http://www.okno.pg.gda.pl

– 79 – [e-mail]

15.1. Wyprowadzenie wzorów transformacyjne metody przemieszczeń

– pręt obustronnie utwierdzony

Założenia:
belka jest obustronnie utwierdzona, moment bezwładności przekroju belki

I

jest stały,

obciążenie zewnętrzne równe jest zeru

( )

0

p x

=

, długość belki równa jest l .

Rys. 16.0. Belka obustronnie utwierdzona – oznaczono znane warunki brzegowe

Można zapisać znaną zależność pomiędzy ugięciem (

( )

v x

− pole przemieszczeń osi

belki) a obciążeniem

( )

( )

4

4

d v x

p x

EI

dx

=

. (15.1)

Znane są także równania opisujące siły wewnętrzne w belce (znak wynika z przyjęcia
lokalnego układu współrzędnych).

( )

( )

2

2

d v x

M x

EI

dx

= −

, (15.2)

( )

( )

3

3

d v x

T x

EI

dx

= −

. (15.3)

Zastosowanie sposobu Eulera

Metoda całkowania bezpośredniego (metoda Eulera rozwiązania równania (15.1)) pole-
ga na jego czterokrotnym obustronnym całkowaniu. Przy wcześniejszym założeniu

można zapisać równanie (15.1) w poniższy sposób

( )

0

p x

=

( )

4

4

0

d v x

EI

dx

=

. (15.4)

Mechanika Budowli (C16)

Wykład

Marek Krzysztof Jasina

http://www.okno.pg.gda.pl

– 80 – [e-mail]

Poniżej zapisano równanie (15.4) po wykonaniu kolejno czterokrotnie obustronnego
całkowania

( )

3

1

3

d v x

EI

C

dx

=

, (15.5)

( )

2

1

2

d v x

EI

C x C

dx

=

+

2

, (15.6)

( )

2

1

2

2

dv x

x

EI

C

C x C

dx

=

+

+

3

, (15.7)

( )

3

2

1

2

3

6

2

x

x

EI v x

C

C

C x C

=

+

+

+

4

. (15.8)

gdzie

− stałe zależne od warunków brzegowych (należy je wyznaczyć).

1

2

3

4

,

,

,

C C C C

Powyższą (15.8) postać równania opisującego pole przemieszczeń osi elementu wyko-
rzystuje się do zbudowania wzorów transformacyjnych dla danej belki obustronnie
utwierdzonej, czyli zależności wiążących siły przywęzłowe (

) z prze-

mieszczeniami końców belki (

,

,

,

ik

ik

ki

ki

T M T M

, , ,

i

i

k

k

v

v

ϕ

ϕ ).

Uwzględniając warunki brzegowe belki (na podstawie założenia o małych kątach

tg

'

i

v

ϕ

ϕ

≅

=

), można zapisać poniższe zależności:

(

)

4

4

1

0

i

v

v x

C

C

EI v

EI

=

=

=

⇒

=

⋅

i

, (15.9)

(

)

3

3

1

'

0

i

v x

C

C

EI

EI

i

ϕ

ϕ

≅

=

=

⇒

=

⋅

, (15.10)

(

)

3

2

1

2

3

1

6

2

k

l

l

v

v x l

C

C

C l C

EI

⎛

⎞

=

= =

+

+

+

⎜

⎝

⎠

4

⎟

, (15.11)

(

)

2

1

2

1

'

2

k

l

v x l

C

C l C

EI

ϕ

⎛

⎞

≅

= =

+

+

⎜

⎝

⎠

3

⎟

(15.12)

(

1

3

6

6

12(

)

i

k

i

EI

C

l

l

v

l

ϕ

ϕ

=

⋅ +

⋅ +

−

)

k

v

, (15.13)

(

1

2

4

2

6(

i

k

i

k

EI

C

l

l

v

l

ϕ

ϕ

= −

⋅ +

⋅ +

−

)

)

v

, (15.14)

Mechanika Budowli (C16)

Wykład

Marek Krzysztof Jasina

http://www.okno.pg.gda.pl

– 81 – [e-mail]

Jest to liniowy układ czterech równań algebraicznych ((15.9) – (15.12)). Po jego roz-
wiązaniu wartości stałych

, można wyrazić poprzez

1

2

3

4

,

,

,

C C C C

, , ,

i

i

k

k

v

v

ϕ

ϕ , które

traktujemy jako dane.

Po wprowadzeniu stałych do równania (15.8) opisującego pole przemieszczeń

otrzymuje się wzór opisujący pole przemieszczeń osi belki dla danych warunków brze-
gowych.

Znając to rozwiązanie można, posługując się zależnościami (15.2) i (15.3) zapisać

siły przywęzłowe (

):

,

,

,

ik

ik

ki

ki

T M T M

( )

( )

( )

( )

3

2

3

3

2

2

0

3

3

3

2

2

,

,

,

.

ik

ik

x

ki

ki

x l

x l

d v x

d v x

EI

EI

T

M

l

dx

l

dx

d v x

d v x

EI

EI

T

M

l

dx

l

dx

=

=

=

=

= −

= −

=

0

2

x

=

(15.15)

Zamiana znaków przy

i

ik

T

ki

M

wynika z przyjęcia sił przywęzłowych w układzie

lokalnym pręta.

Zależności (15.15) zapisane szczegółowo są wzorami transformacyjnymi uzależnia-

jącymi siły wewnętrzne (w przekrojach na końcach pręta) od przemieszczeń węzłów
pręta. Poniżej wyrażono je w postaci macierzowej.

2

2

2

2

12

6

12

6

6

6

4

2

12

6

12

6

6

6

2

4

ik

i

ik

i

ki

k

ki

k

l

l

l

l

T

v

M

EI

l

l

T

v

l

l

l

l

l

M

l

l

ϕ

ϕ

⎡

⎤

−

⎢

⎥

⎢

⎥

⎧

⎫

⎧

⎢

⎥

−

⎪

⎪

⎪

⎢

⎥

⎪

⎪

⎪

=

⎨

⎬

⎨

⎢

⎪

⎪

⎪

⎢

⎥

−

−

−

⎪

⎪

⎪

⎢

⎥

⎩

⎭

⎩

⎢

⎥

⎢

⎥

−

⎣

⎦

⎫

⎪

⎪

⋅

⎬

⎥

⎪

⎪⎭

e

}

}

, (15.16)

Równanie (15.16) można zapisać także w postaci macierzowej

. (15.17)

e

e

=

⋅

S

K q

gdzie

to wektor przemieszczeń węzłów pręta (jego końców), a

to wektor sił przywęzłowych elementu.

{

T

e

i

i

k

k

v

v

ϕ

ϕ

=

q

{

e

ik

ik

ki

ki

T

M

T

M

=

S

Mechanika Budowli (C16)

Wykład

Marek Krzysztof Jasina

http://www.okno.pg.gda.pl

– 82 – [e-mail]

15.2. Wzory transformacyjne metody przemieszczeń

– pręt obustronnie utwierdzony

Rys. 15.2 Pręt obustronnie utwierdzony

dodatnie zwroty przemieszczeń węzłów oraz sił przywęzłowych

(15.18)

(

2

2

3

ik

i

k

ik

M

µ

ϕ ϕ

ψ

=

⋅

+

+

)
)

(15.19)

(

2

2

3

ki

i

k

ik

M

µ ϕ

ϕ

ψ

=

⋅

+

+

(

)

(

6

2

ik

ki

ik

i

k

ik

M

M

T

l

l

µ

)

ϕ ϕ

ψ

+

=

=

+

+

(15.20)

(

)

(

6

2

ik

ki

ki

i

k

ik

M

M

T

l

l

µ

)

ϕ ϕ

ψ

+

= −

= −

+

+

(15.21)

gdzie:

EI

l

µ =

i

k

ik

v

v

l

ψ

−

=

Mechanika Budowli (C16)

Wykład

Marek Krzysztof Jasina

http://www.okno.pg.gda.pl

– 83 – [e-mail]

15.3. Wzory transformacyjne metody przemieszczeń

– pręt jednostronnie utwierdzony

Rys. 8.2 Pręt jednostronnie utwierdzony

dodatnie zwroty przemieszczeń węzłów oraz sił przywęzłowych

(

3

ik

i

ik

M

)

µ ϕ ψ

=

⋅

+

(15.22)

(

3

ik

ik

i

ik

M

T

l

l

µ

)

ϕ ψ

=

=

+

(15.23)

(

3

ik

ki

i

ik

M

T

l

l

µ

)

ϕ ψ

= −

= −

+

(15.24)

gdzie:

EI

l

µ =

i

k

ik

v

v

l

ψ

−

=

Mechanika Budowli (C16)

Wykład

Marek Krzysztof Jasina

http://www.okno.pg.gda.pl

– 84 – [e-mail]

Układ podstawowy metody przemieszczeń (UPMP) tworzymy wprowadzając fikcyjne
więzy blokujące wszystkie przemieszczenia węzłów (obroty i translacje) – niewiadome
metody.

W węzłach podpartych przegubowo nie wprowadzamy żadnych więzów.

UPMP (układ zastępczy) składa się z jednoprzęsłowych belek obustronnie zamocowa-
nych lub z jednej strony sztywno utwierdzonych, a z drugiej podpartych przegubowo.

Jeżeli reakcje w fikcyjnych więzach oznaczymy w następujący sposób:

kp

r

– wielkość reakcji więzu (siły w więzie) wywołana wpływem obciążenia ze-

wnętrznego – równa pod względem wielkości i znaku:

k

p

– dla

więzów uniemożliwiających obrót węzłów – sumie algebraicznej momen-

tów utwierdzenia prętów w danym węźle uważanym za sztywny;

– dla

więzów uniemożliwiających przesunięcie węzłów – sumie algebraicznej

reakcji obliczonych jak dla belek utwierdzonych;

kj

r

– wielkość reakcji więzu (siły w więzie) wywołana uogólnionym przemieszcze-

niem jednostkowym

– równa pod względem wielkości i znaku:

k

(

1

j

= )

– dla

więzów uniemożliwiających obrót węzłów – sumie algebraicznej momen-

tów;

– dla

więzów uniemożliwiających przesunięcie węzłów – sumie algebraicznej

reakcji.

Zgodnie z zasadą wzajemności

kj

jk

r

r

=

, stąd kanoniczny układ równań metody prze-

mieszczeń jest symetryczny względem głównej przekątnej zawierającej wyrazy

.

kk

r

Mechanika Budowli (C16)

Wykład

Marek Krzysztof Jasina

http://www.okno.pg.gda.pl

– 85 – [e-mail]

15.4. Algorytm metody przemieszczeń

(1)

Określić stopień geometrycznej niewyznaczalności układu

.

0

>

n

Przekształcić wyjściowy układ, w którym możliwe są przemieszczenia węzłów, o stop-
niu geometrycznej niewyznaczalności w układ podstawowy metody przemieszczeń
(UPMP), przez nałożenie fikcyjnych więzów (zewnętrznych) blokujących obroty i
translacje węzłów, w których wystąpią reakcje

n

n

0

k

r

≠ , dla

1, 2,

,

=

…

k

n

.

(2)

W tak utworzonym, wzbogaconym o dodatkowe fikcyjne więzy, układzie pod-

stawowym (UPMP) należy obliczyć różne od zera reakcje w przyjętych (w miejscu i
na kierunku przyjętych więzów.

k

r

(2a)

Reakcje

od obciążenia zewnętrznego .

kp

r

p

(2b)

Reakcje od poszczególnych uogólnionych przemieszczeń węzłów

kj

r

1

j

δ = .

Reakcje w fikcyjnych więzach

i można wyznaczyć np. posługując się wzorami

transformacyjnymi metody przemieszczeń.

kp

r

kj

r

(3)

Po wyznaczeniu reakcji

i należy rozwiązać kanoniczny układ równań

metody przemieszczeń (układ równań zgodności reakcji) zbudowany na drodze super-
pozycji wpływów w wyrażeniu na pochodzących od poszczególnych uogólnionych
przemieszczeń węzłów i od obciążenia zewnętrznego. Jeśli wyróżnimy obroty węzłów
jako

kp

r

kj

r

k

r

ϕ a translacje węzłów jako δ można zapisać

(15.25)

1

1

11

2

12

(

1)

1(

1)

1

1

2

1

21

2

22

(

1)

2(

1)

2

2

1

1

2

2

(

1)

(

1)

0

0

0

n

n

n

n

p

n

n

n

n

p

n

n

n

n

n n

n

nn

np

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

ϕ

ϕ

δ

δ

ϕ

ϕ

δ

δ

ϕ

ϕ

δ

δ

−

−

−

−

−

−

=

⋅ +

⋅

+ +

⋅

+

⋅

+

=

=

⋅

+

⋅

+ +

⋅

+

⋅

+

=

=

⋅

+

⋅

+ +

⋅

+

⋅

+

=

…

…

……………………………………………

…

Mechanika Budowli (C16)

Wykład

Marek Krzysztof Jasina

http://www.okno.pg.gda.pl

– 86 – [e-mail]

(4)

Po rozwiązaniu układu równań kanonicznych i wyznaczeniu wartości uogól-

nionych przemieszczeń węzłowych

k

δ można wyznaczyć wartości, interesujących

wielkości statycznych np. wykresy sił wewnętrznych

,

N

M

,

oraz reakcje od

zadanego obciążenia.

T

R

Wartości wybranych wielkości statycznych oblicza się przez sumowanie wyników po-
szczególnych rozwiązań

(

1)

k

k

p

δ

δ

+

= ⋅

1, 2,

,

k

n

=

…

zgodnie z poniższym przepi-

sem.

1

1

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

n

n

n

n

p

n

n

p

n

n

p

p

M

M

M

M

T

T

T

T

T

N

N

N

N

N

R

R

R

R

R

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

= ⋅

+

⋅

+ +

⋅

+

= ⋅ +

⋅ + +

⋅ +

= ⋅

+

⋅

+ +

⋅

+

= ⋅

+

⋅

+ +

⋅

+

…

…

…

…

M

)

(15.26)

Innym sposobem, niż zaproponowany wyżej, na wyznaczenie reakcji i sił wewnętrz-
nych jest zastosowanie wprost superpozycji wpływów pochodzących od poszczegól-
nych stanów deformacji i od obciążenia zewnętrznego.

Można zatem obciążyć UPMP sumaryczną deformacją oraz obciążeniem zewnętrznym

1

2

(

n

p

δ δ

Σ = +

+

+ +

…

δ (15.27)

co równoznaczne jest z podstawieniem wyznaczonych uogólnionych przemieszczeń
węzłów

k

δ do zapisanych wcześniej równań opisujących przywęzłowe momenty, a

następnie wyznaczyć wykresy sił wewnętrznych

Σ

M

,

Σ

T

,

Σ

N

oraz reakcje

od tak

przyjętego obciążenia .

Σ

R

Σ