www.gruparectan.com

Strona :1

UWAGA!!!: Projekt ma charakter edukacyjny, służy jedynie, jako wzorzec.

1. Kratownica

Dla danej kratownicy wyznaczyć siły we wszystkich prętach metodą równoważenia węzłów

2. Szkic projektu

rysunek jest w skali True

3. Ustalenie warunku statycznej niewyznaczalności układu

Warunek konieczny geometrycznej niezmienności i statycznej wyznaczalności kratownicy o strukturze
prostej :

p=2w-r

gdzie :

p= liczba prętów kratownicy

w= liczba węzłów kratownicy

r= liczba stopni swobody odbieranych przez podpory

Kratownica :

/rectanbudownictwo

Strona :2

warunek : 7=7 , warunek jest spełniony

4. Wyznaczenie Reakcji Podporowych

siły i reakcje będziemy przyjmować za dodatnie , gdy są skierowane zgodnie z układem osi XY

siły i reakcje będziemy przyjmować za ujemne , gdy są skierowane niezgodnie z układem osi XY

siły i reakcje będziemy rzutować na oś X i oś Y wyliczając odpowiednie składowe rzutów

gdzie β to kąt zawarty pomiędzy siłą lub reakcją a osią X na podstawie tego kąta można określić zwrot
siły lub reakcji

.................................................................................................................................................................

Uwalniamy daną kratownicę od więzów i wyznaczamy reakcje podporowe.

Ogólne warunki równowagi

.................................................................................................................................................................

suma wszystkich momentów od składowych reakcji i obciążeń siłowych w punkcie, w którym Moment =
0

przyjmujemy punkt, w którym znajduje się podpora przegubowa, w tym punkcie Moment = 0

Strona :3

.................................................................................................................................................................

suma wszystkich składowych reakcji i obciążeń siłowych rzutowana na oś X

.................................................................................................................................................................

suma wszystkich składowych reakcji i obciążeń siłowych rzutowana na oś Y

5. Szkic projektu

Strona :4

rysunek jest w skali True

6. Sprawdzenie Reakcji Podporowych

Sprawdzenia poprawności wyznaczenia reakcji podporowych dokonamy w punkcie [-1;-1] w naszym
układzie XY

(Punkt musi być tak dobrany, aby wszystkie siły i reakcje brały udział w obliczaniu Sumy Momentów )

W punkcie tym Suma Momentów od wszystkich sił i reakcji powinna wynosić M=0

suma wszystkich momentów od składowych reakcji i obciążeń siłowych w punkcie, w którym Moment =
0

Strona :5

7. Sprawdzenie Reakcji Podporowych Rzut X

8. Sprawdzenie Reakcji Podporowych Rzut Y

9. Obliczenie kątów nachylenia prętów do osi X

dX i dY to różnica pomiędzy współrzędnymi końca pręta

Pręt Nr 1-2=(-45)°

Pręt Nr 1-3=0°

Strona :6

Pręt Nr 3-2=(-90)°

Pręt Nr 2-4=0°

Pręt Nr 4-5=90°

Pręt Nr 3-5=0°

Pręt Nr 3-4=(-45)°

10. Obliczenie sił w Prętach

Aby Węzeł był w równowadze to suma jego składowych sił i reakcji rzutowana na oś X i oś Y musi być
równa zero

To suma sił prętowych rzutowana na oś X w Węźle.

To suma reakcji podporowych rzutowana na oś X w Węźle - jeżeli jest istnieje.

To suma odziaływania zewnętrznego rzutowana na oś X w Węźle - jeżeli jest przyłożona.

Strona :7

To suma sił prętowych rzutowana na oś Y w Węźle.

To suma reakcji podporowych rzutowana na oś Y w Węźle - jeżeli jest istnieje.

To suma odziaływania zewnętrznego rzutowana na oś Y w Węźle - jeżeli jest przyłożona.

Obliczenia rozpoczynamy od Węzła, dla którego liczba niewiadomych sił w Prętach jest najmniejsza i
wynosi maksymalnie 2

W równaniach dla uproszczenia zapisu szukane pręty przyjmiemy, jako A i B

.................................................................................................................................................................

Wybrano Węzeł =1

Rzutowanie na oś X

Strona :8

Rzutowanie na oś Y

Układ równań

.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

Wybrano Węzeł =5

Strona :9

Rzutowanie na oś X

Rzutowanie na oś Y

Układ równań

.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

Wybrano Węzeł =2

Strona :10

Rzutowanie na oś X

Rzutowanie na oś Y

Układ równań

.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

Wybrano Węzeł =3

Strona :11

Rzutowanie na oś X

Rzutowanie na oś Y

równanie

Strona :12

lub równanie

.................................................................................................................................................................

11. Szkic projektu

rysunek jest w skali True

Tabela 1 Siły Prętowe

Pręt

N [kN]

kąt [ °]

L [m]

funkcja

1-2

7,071

-45,000

1,414

rozciągany

1-3

-5,000

0,000

1,00

ściskany

Strona :13

3-2

-5,000

-90,000

1,00

ściskany

2-4

-5,000

0,000

1,00

ściskany

4-5

-5,000

90,000

1,00

ściskany

3-5

-10,000

0,000

1,00

ściskany

3-4

7,071

-45,000

1,414

rozciągany

12. Obliczenie sił w Prętach Metodą Rittera

Punkt Rittera jest to punkt w którym przecinają się linie działania pozostałych dwóch sił. W naszym przypadku
oznaczono je żółtym prostokątem.

Wyliczając Moment Statyczny w Punkcie Rittera od sił i reakcji należących do odciętej części Kratownicy
redukujemy w równaniach te niewiadome siły które się przecinają, ponieważ ramię działania momentu
tych sił wynosi zero.

Odcięta Kratownica jest w równowadze kiedy suma jej składowych sił i reakcji rzutowana na oś X i oś Y
jest równa zero.

.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

gdzie :

To suma sił odciętej kratownicy rzutowana na oś X.

To suma reakcji podporowych odciętej kratownicy rzutowana na oś X - jeżeli reakcje należą do części.

To suma odziaływania zewnętrznego odciętej kratownicy rzutowana na oś X - jeżeli siły są przyłożone do
części.

Strona :14

To suma sił prętowych odciętej kratownicy rzutowana na oś Y.

To suma reakcji podporowych odciętej kratownicy rzutowana na oś Y - jeżeli reakcje należą do części.

To suma odziaływania zewnętrznego odciętej kratownicy rzutowana na oś Y - jeżeli siły są przyłożone do
części.

.................................................................................................................................................................

W równaniach dla uproszczenia zapisu szukane pręty przyjmiemy, jako A i B oraz C w przypadku
przecięcia trzech Prętów

Wybrano Przecięcie =0

W tym przypadku są dwa punkty Rittera i do policzenia sił należy rozwiązać układ równań :

Strona :15

1: Suma Momentu Statycznego względem punktu Rittera

2: Rzutując niewiadome siły oraz oddziaływania P na oś X

3: Rzutując niewiadome siły oddziaływania P na oś Y

Oczywiste jest że wyznaczenie siły w pręcie nie przecinającym się w punkcie Rittera jest natychmiastowe
ponieważ tylko ta siła tworzy równanie z jedną niewiadomą

Moment względem Punktu Rittera [1;0]

Moment względem Punktu Rittera [1;1]

Rzutowanie na oś X

Strona :16

Rzutowanie na oś Y

.................................................................................................................................................................

Wybrano Przecięcie =1

W tym przypadku są dwa punkty Rittera i do policzenia sił należy rozwiązać układ równań :

Strona :17

1: Suma Momentu Statycznego względem punktu Rittera

2: Rzutując niewiadome siły oraz oddziaływania P na oś X

3: Rzutując niewiadome siły oddziaływania P na oś Y

Oczywiste jest że wyznaczenie siły w pręcie nie przecinającym się w punkcie Rittera jest natychmiastowe
ponieważ tylko ta siła tworzy równanie z jedną niewiadomą

Moment względem Punktu Rittera [1;1]

Moment względem Punktu Rittera [2;0]

Rzutowanie na oś X

Strona :18

Rzutowanie na oś Y

.................................................................................................................................................................

13. Obliczenie sił w Prętach Metodą Cremony

(grot wektora jest oznaczony numerem pręta, pokazane są tylko pierwsze wektory iteracji)

(wektor drugiej iteracji będzie miał oczywiście zwrot przeciwny do pierwszego )

Obliczamy reakcje podporowe kratownicy i rysujemy wielobok sił i reakcji

Porządek rysowania przyjmujemy zgodnie z ruchem wskazówek zegara

Strona :19

.................................................................................................................................................................

Wybrano Węzeł =1

Strona :20

Wybrano Węzeł =5

Wybrano Węzeł =2

Strona :21

Wybrano Węzeł =3

.................................................................................................................................................................

Strona :22

Wykres Cremony

.................................................................................................................................................................

Aby określić wartości sił należy porównać wykreślone wektory sił ze skalownikiem.

.................................................................................................................................................................

Wydruk Kratos

Copyright © 2014 Grupa Rectan

www.gruparectan.com