ZADANIA Z MATEMATYKI

opracowała

mgr inż. Joanna Korzeniewska

Spis treści

I. Wartość bezwzględna .................................................................................................................................................... 2

II. Działania na zbiorach .................................................................................................................................................... 3

III. Funkcja liniowa i kwadratowa ...................................................................................................................................... 3

IV. Funkcja wykładnicza i logarytmiczna ........................................................................................................................... 5

V. Funkcja wielomianowa i wymierna .............................................................................................................................. 7

VI. Dziedziny i wykresy ...................................................................................................................................................... 8

VII. Granice i ciągłość ........................................................................................................................................................ 9

VIII. Asymptoty ................................................................................................................................................................ 11

IX. Pochodna funkcji ........................................................................................................................................................ 11

X. Przebieg zmienności funkcji ........................................................................................................................................ 13

XI. Całki nieoznaczone ..................................................................................................................................................... 14

XII. Całki oznaczone ......................................................................................................................................................... 15

XIII. Całki niewłaściwe ..................................................................................................................................................... 16

XIV. Równania różniczkowe ............................................................................................................................................ 16

Literatura......................................................................................................................................................................... 17

I. Wartość bezwzględna

Zadanie 1.Przedstaw wyrażenie w prostszej postaci:

1. x



 4x  4   2

2. 5x



 20x  20   2

3. 9  6x  x



   3

4. 9x



 12x  4    

2

3

5. x



 10x  25    5

Zadanie 2.Oblicz

1. 2  √3



 √3  4



2. 2  3√2



 1  √2



3. √2  √3



 2  √5



4. 2√3  √7



 2√6  4



5. 1  √3



 √3  √5



6. 5  3√2



 √5  2



Zadanie 3.Rozwiąż równania z wartością bezwzględną.

1. |x|  2  5

2. |x  2|  4

3. |2x  3|  10

4. 22  x



 10

5. x



 2x  1  6

6. 4x



 12x  9  12

7. |  1|  |  2|  3

8. |  2|  |  1|  2

9. |2  1|  |3  1|  2

10. |  3|  |  4|  5

Zadanie 4.Rozwiąż nierównania z wartością bezwzględną.

1. |x  1|  1

2. 2|x  2|  6

3. |3  4x|  9

4. x



 4x  4  3

5. x



 6x  9 3

6. 4x



 12x  9  12

7. |  1|  |2  1|  2

8. |2  1|  |2  |  6

9. |  1|  |  2| 3

10. |2  3|  |  1|  5

II. Działania na zbiorach

Zadanie 1. Dane są zbiory. Wyznacz zbiory

", $, " % $, " & $, "\$ :

1. "  (:  * + , |  1|  4- ; $  /:  * + ,  

  3

3  3  20

2. "  (:  * + ,   4



 3    1



- ; $  (:  * + , |  3| 2-

3. "  (:  * + , 2|  1|  4- ; $  (:  * + ,   1



   5  2-

4. "  (:  * + , |  2|  3- ; $  (:  * + , |  1|  1-

5. "  (:  * + , |  2|  3- ; $  /:  * + ,

  1

2  1  10

6. "  (:  * + , |2  6|  4- ; $  /:  * + ,

4  2



1

 3



 3    00

7. "  (:  * + , 



 25- ; $  /:  * + ,

2  

  1  10

III. Funkcja liniowa i kwadratowa

Zadanie 1.Dana jest funkcja

1. y  x



 2x  3

2. y  2x



 4x  6

3. y  2x



 3x  5

4. fx  2x



 5x  3

5. fx  3x



 4x  1

6. y  2x



 10x  12

a)podaj współczynniki trójmianu kwadratowego

b)wyznacz wyróżnik trójmianu kwadratowego

c)określ współrzędne wierzchołka paraboli

d)podaj postać kanoniczną funkcji kwadratowej

e)znajdź miejsce zerowe funkcji jeżeli to możliwe

f)rozłóż na czynniki liniowe jeżeli to możliwe

g)narysuj wykres funkcji

h)podaj przedziały monotoniczności.

i)dla jakich argumentów funkcja przybiera wartości dodatnie

Zadanie 2.Rozwiąż równania i nierówności kwadratowe.

1. 



 3  35  0

2.6



 7  3

3.2



 9  5  2  1



4. 4



   3



 0

5. 



 8  15  0

6. 3    5  1

7. 4



 9  0

8.4  



0

Zadanie 3.Dla jakich wartości parametru m (

4 * +) równanie ma dwa różne rozwiązania.

1. 



 24  5   4



 1  0

2. 2



 3  1  4  0

3. 4



 44  4  3  0

4. 4  1 



 4  2   2  0

Zadanie 4.Dla jakich wartości parametru k (

5 * +) równanie nie ma rozwiązania.

1. 



 3  24   4  1 4  3  0

2. 



 24  1   4



 3  0

3. 4



 4  3   4  3  0

4. 4



 2  24   5  4  0

Zadanie 5. Dla jakich wartości parametru k równanie ma dwa różne pierwiastki tego samego znaku:

1.2



 4  4  6  0

2. 



 24  2   44  0

3. 4  1 



 24  4  2  0

4. 4  1 



 24  24  3  0

Zadanie 6.Napisz wzór funkcji liniowej, gdy :

a)jej wykres jest nachylony do osi pod kątem

6

1

oraz miejscem zerowym jest

2√3

b) jej wykres jest równoległy do prostej

7  4  6 i przechodzi przez punkt 81,7

c)jej wykres jest prostopadły do prostej

7  2  5 i przecina OY w punkcie 6.

Zadanie 7. Oblicz dla jakich wartości k funkcja liniowa :

1. 9  25  6   4 jest malejąca

2. 9  :

1;<=

>

?   3 jest rosnąca

3. 9 

=;<@

;AB

  5 jest nierosnąca

IV. Funkcja wykładnicza i logarytmiczna

Zadanie 1. Wykonaj działania na logarytmach

1.

log √3

log 9  log 27 

2. log

B

1

F

9

√3

G

1



3.

3 log

B

1

9  log



26  2 log



√13

log

@

5  log

H

1

3



4. 2

IJK

L√L

@



5. 4

B

 IJK

L

1<1 IJK

L

@



6. log



3 · log



4 · log

1

2 

Zadanie 2. Narysować funkcje wykładnicze

1. 9  2

N<B

2. 9  3

|N|

3. 9  F

1

2G

|N|

4. 9  F

1

4G

N

 1

5. 9  1  2

NAB

6. 9  2 · F

1

2G

NA1

 2

Zadanie 3. Narysować funkcje logarytmiczne

1. 9  log



  1  2

2. 9  log

B



  2  2

3. 9  log

1

||  1

4. 9  2 log

B

1

  3

5. 9  F

1

2G

IJK

L

N

6. 9  log







Zadanie 4. Rozwiąż równania i nierówności wykładnicze

1. 2

NA>

 32

2. 2

|=NAB|

 F

1

2G

A=

3. √6

1AN

 6

N<=

4. 3

NA=

· 27

1AN

 9

1NA1

5. 7

N

L

A@N<>

 1

6. 2

N<1

 2

N

 112

7. 4

N<B

 4

N

 72

8. 4

N

 3 · 2

N

 2  0

9. 7

N

 6 · 7

N

 5  0

10. √5  2

=NA

 √5  2

ONAB

11. 2

=NAB



1

16

12. F

1

2G

=NAB

 16

13. 4

N

· 8  F

1

2G

NA=

14. F

1

3G

N

L

A1N<@

1

27

15. 3

NA1

N<



1

3

16. 0,2

N

 25

1NA

17. √2

N

 0,5

=NAB

18. 5

N

 6 · 5

N

 5 0

19. 3

N

 3

N<B

 3

20. 4

N<B

 4

N

 72

Zadanie 5. Rozwiąż równania i nierówności logarytmiczne

1. log

1

  2  2

2. log

N

64  3

3. log

N<B

57 

1

2

4. lnQ  7

5. logx  logx  1  log6

6. ln2x  lnx  1  1
7. log

B



  3  log

B



  1

8. log



Flog

=

F

3

2  log

1

GG  1

9. 2 log   1 log   3

10. Flog

B



  1  4G log

B



  1  4

11. log

N<

4  8  2

12. log

N

L

AB

2



 2  2

13. log

B



  log

R





 2

14. log

O

  log

=H





15. log



  1 

1

2

16. log







 6  8  3

17. log

S,1

  1  2log

S,1

10 2

18.2 lnx  1  2ln5  T10
19. log

B



  3  log

B



  1  1

20. log

>AN

  2 1

21. log

NA1

  4 1

22. log



F1  log

B

1

G  2

23. loglog



  0

24. log

@

  2  log

S,S=

1





 4  4  1

Zadanie 6.Dla jakich wartości parametru m równanie ma dwa różne rozwiązania

1. 4

N

 3 · 2

N

 4  0

2. 9

N

 3

N<B

 1  34  0

3. 4

N

 2

N<

 4



 1  0

4. 9

N

 10 · 3

N

 54  3  0

V. Funkcja wielomianowa i wymierna

Zadanie 1. Rozwiąż równania i nierówności wielomianowe

1. 



 4   3   0

2. 



 2  1   1



 0

3.5



  1 



 1  0

4. 2

1

 8



 8 

=

 9  0

5.2

>

 

@

 64  32  0

6. 2

@

 6

=

 4

1

 12



 6  18  0

7. 

=

 3

1

  3  

1

 9

8. 

1

 3



 4  0

9. 

1

 3  2  0

10. 



 2



 12  13

11. 2   



 3  2  0

12. 9  



3



 2  1 0

13. 

1

 3



 5  15  0

14.5

1

 



 15  3  0

15. 

=

 4

1

 5



 0

16. 3  





1

 2



 4  0

17. 4  3 2



 3  1 3



 4  1  0

18. 

1

 2



 6  12

Zadanie 2. Narysować wykres funkcji i podać równania asymptot :

1. 9 

2

  1  3

2. 9 

7

  √2

3. 9  2 

3

  1

4. 9 

5

  2  4

5. 7 

2  3



6. 7 

3  10

  4

7. 7 

3  7

  5

8. 7 

3  

  4

9. 7 

2  2

2  3

10. 7 

2





 

11. 7  U

2  1

 U

12. 7  U

  3

  2U

11. 7 

||  2

||  3

12. 7 

2

||  1

Zadanie 3. Rozwiąż równania i nierówności wymierne

1.

2  1

 

4

2  1  5

2.

  1

  2 

  1

  3

3.1 

1

   

5



4.









   2  

1

2

5.

9

 

7  

  1  1

6.

2  5

4    3

7.

  1

2  3  2

8.

6

3  5 3

9.

4  

  5 

1

1  

10.

3  9 1   



 16



0

11.





 4





 5  6  1

12.





 





 7  6  0

VI. Dziedziny i wykresy

Zadanie 1.Wyznacz dziedzinę funkcji :

1. 9  V

5  

2  1  1

2. 9  V





   2





 4

3. 9  Q

N

L

NA

 arcsin 



 4

4. 9  2

\] N

N<

 arctg 

3  1



5. 9  







 4 



 3  2

69  2   



 6  5 .

7. 9  

1

 7



 3  21 









   2

8. 9  T F

1

 

  2

  6G

Zadanie 2. Narysować wykresy funkcji i podać dziedzinę oraz zbiór wartości:

1. 9  _

2  1  * ∞, a1b

ln  1  * 1, Q

Q

\]N

 * cQa, ∞

a

2. 9 

d

e

f

e

g



   2  * c4a, a0b

ln  2  * 0,

1

Q





 25  * c

1

Q

a ,5

a

3. 9 

d

e

f

e

g arcsinx  1  *

c4a, a0b

|



 4|  1  * 0, √

3

3

2  √3  * c

√3

3

a ,∞

a

4. 9 

d

e

f

e

g

  1   2  * ∞, a3b

2

N

 1  * 3,

1

2

ln 2  √3  * c

1

2

a ,∞

a

5. 9  _ln F 

1

2G  2  * c

1

4 , 3b

2

N

L

<N

 * 3,3

a

6. 9 

d

f

gF1

3G

|NAB|

 * ∞, 2

  3

  4  * c2, ∞

a

a

VII. Granice i ciągłość

1.Oblicz granicę funkcji w punkcie



S

1. lim

NiAO

2

  7

2. lim

Ni=

2  1

5  2

3. lim

NiAB





 5  4



1

 1

4. lim

Ni

√



 5  3

2  

5. lim

NiB





   2



1

 



   1

6. lim

NiA





 4



1

 2



 4  8

7. lim

NiS

2



 9

8. lim

NiS

√3    √3

2

9. lim

Ni1





 9





 3

10. lim

NiB

2  √  3





 1

2.Oblicz granice na krańcach nieskończoności.

1. lim

Ni<j



1

 3



 9

2. lim

NiAj

2

1

 3



 18

3. lim

NiAj

2

=

 3

1

 6



 12  8

4. lim

Ni<j



>

 4

=

 5

5. lim

Ni<j



1

 8

3



 5  8

6. lim

Ni<j

7



 8

2



 16  64

7. lim

NiAj





 5  1

3



 2  1

8. lim

NiAj





 7  6

3  5

9. lim

NiAj





 2  



 1

10. lim

Ni<j

4



 4



 

11. lim

NiAj

√

=

 3



3



 4  3

12. lim

Ni<j

√



 5  5

4  3

3.Oblicz granice jednostronne

1. lim

Ni

k







 4

2. lim

NiB

l

2  3





 

3. lim

NiS

l

2  1





 2

4. lim

Ni1

k

2

3  

5. lim

Ni=

k

3





 4

6. lim

Ni@

l





 4





   20

7. lim

NiB

k

9

2  1

8. lim

NiA>

l

2  7





 36

Zadanie 4. Oblicz granice

1.

lim

NiS

mn]1N

N

2.

lim

NiS



mn]1N

N



op1N

@N

3.

lim

NiS

mn]N

=N

4.

lim

Ni∞

1 

1
N

N



5.

lim

Ni∞

1 


N

N



6.

lim

Ni∞



N

N<B

N



7.

lim

NiS

mn]=N

op

L

N

8.

lim

NiS

Nmn]N

N

L

qrmN

9.

lim

NiS

mn]>N

1N

10.

lim

Ni∞

1 

6
N

N



11.

lim

Ni∞

1 

B

N

N



12.

lim

Ni∞



N<1
N<@

N



Zadanie 5.Oblicz następujące granice stosując regułę de l’ Hospitala

1. lim

Ni1

√  1  2

2  6

2. lim

NiA∞





 3  8

2  1

3. lim

NiS

st5

st4

4. lim

Ni



=

 

1

 3



 5  2



1

 4



 5  2

1. lim

NiB

√  3  √5  

√  1

2. lim

Ni





   2





 4  4

3. lim

NiS

uvT2  st

  uvT

4. lim

Ni∞





 3  4

8  

1

Zadanie 6. Sprawdź , czy funkcja jest ciągła w podanym punkcie

1. 9  3

1

 2



 1 

r

 0

2. 9 

4  





 1 

r

 4

3. 9  √  2 

r

 7

4. 9  / 2  3  * ∞, 1

  2  * c1, ∞ a 

S

 1a

5. 9  w



 6  4  x 3

2   3

a 

S

 3

6. 9  /



 5  6  * ∞, 2

  2  * c2, ∞ a

a



S

 2

VIII. Asymptoty

Zadanie 1.Wyznacz asymptoty poziome i pionowe wykresu funkcji, gdy:

1. 9 

1    



1  



2. 9 

2  

  1

3. 9 

4  5

2  

4. 9 

2







 1

5. 9 



2  1

6. 9 

2



 2





 4

Zadanie 2.Wyznacz równanie asymptoty ukośnej wykresu funkcji f, gdy:

1. 9 





  1

2. 9 





 2  2

1  

3. 9 





 3

  2

4. 9 



1





 1

Zadanie 3. Wyznacz równania asymptot funkcji

1. 7   

uvT



2. 7 

3



 1



3. 7  Q

N

4. 7  



 4

5. 7 

2

1

 3

  1

6. 7  2|| 

1



IX. Pochodna funkcji

Zadanie 1.wyznacz pochodne funkcji.

1. 9  √

2. 9  √

y

3. 9  √

y

 







y

4. 9  √



y





√



y

5. 9  3  4

6. 9  3



 4  2

7. 9  

1

7 

O

 2

>

 3

=

 √3

8. 9 

3  1

2  5

9. 9 





 1





 2  3

10. 9  3  2 

1

 1

11. 9    3 



 1

12. 9  3  4



13. 9  4Q

A=N

14. 9  Q

N

15. 9  2



T

16. 9  T√z{u

Zadanie 2. Oblicz pochodne w punkcie



|

1. 9  4



 2; 

|

 2

2. 9  √2  1 ; 

|

 5

3. 9 

  1

  2 ; 

|

 3

4. 9  2  1 Q

N

; 

|

 0

5. 9  uvT2 ; 

|



}

3

Zadanie 3.Znajdź równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie p, jeśli

1. 9  



 3  5, 8  1,3

2. 9  2√ , 8  4,4
3. 9 

  1

  2 , 8  

S

, 4

4. 9 





 6

  2



, 8  

S

,

5

2

5. 9  4  



, 8  

S

, 2

6. 9  



 2  3, 8  2,3

7. 9  3√ , 8  9, 9
8. 9 

2  

  1 , 8  

S

, 4

9. 9 





 4

  1



, 8  

S

,

5

4

10. 9  2  



, 8  

S

, 1

Zadanie 4.Wyznacz przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji:

1. 9  

1



3

2 



2. 9 

1

5 

@

 

=

 

1

3. 9  

=

 2



 1

4. 9  

1

 3  2

5. 9  

1

 



 16  16

6. 9 





3  

7. 9 





  1

8. 9 





 2  2

  1

9. 9 



1

 3

  2

10. 9 







 1

Zadanie 5. Zbadaj parzystość i nieparzystość funkcji :

 9  

@

 

=

 2



   1

~ 9  



 16

z 9 





 9

2  

9 



1

 1





Zadanie 6. Wyznaczyć drugą pochodną funkcji

9 :

 9 



  1

~ 9 



1

  1

z 9  √3  

9  



√3  2

Q 9  

@

 

=

 2



   1

t 9  3   Q

N

 9   T

v 9  



T

€ 9  



Q

N

Zadanie 3.Wyznaczyć przedziały wklęsłości i wypukłości funkcji oraz punkty przegięcia jej wykresu (o
ile istnieją) :

 9 



=

12 



1

6  3



 2  1

~ 9  



=

4 



1

3 





2    2

z 9 







 1

9 





1  

Q 9 

1  T



9 9  ln 1  



X. Przebieg zmienności funkcji

Zadanie 1. Wykonać przebieg zmienności funkcji

1.

fx  2x

1

 3x



 12x  18

2.

fx  xx  4



3.

fx 



L

<B



L

A=

4.

fx 

AB



5.

fx  x



e

A

6.

fx  2x

1

 x



 8x  2

7.

fx  2xx  1



8.

fx 



y

A

9.

fx 



y

B<

L

10.

fx  xe

A

ƒ

„

XI. Całki nieoznaczone

Zadanie 1. Oblicz całki

1.

…



 



 

2.

…  ~

1

 

3.

… 

†

L

 

4.

…

6
N

 

5.

… 10z{u



  

6.

…

N

L

‡

ˆ

<N

N

L

=

7.

…uvT  z{u  

8.

…

N

y

A‰

y

NA‰

 

9.

… 



2

1

 3



 

10.

…

N

N

L

AB

L

 

11.

…

N<B

N

L

<N<

 

12.

…

mn]√N

√N

 

13.

…

\]N

N

 

14.

…

Š<1
Š<B

‹ 

15.

…uvT  z{u



 

16.

…

BAN

L

BAN

„

 

17.

… : 

B

√BAN

L

?  

18.

…

N

y

AR

N

L

<N<=

 

19.

… 162

N

 1  

20.

…

ŒN

√NB<√N



21.

…

ŠŒŠ

>Š

L

A@



22.

…

qrm

<1mn]

Ž 

23.

…

‡

√ˆ

√N

 

24.

…

mn]\]N

N

 

Zadanie 2. Obliczyć całki:

1.

…

N

‡

ˆ

 

2.

… Q

N

z{u  

3.

… uvT3  

4.

… T



  

5.

… 3

N

z{u  

6.

…

N

qrm

L

N

=

7.

… 



Q

N

 

8.

… cos 2 uvT  

9.

… T  

10.

… Q

yˆ

L

 

11.

… 

1

T  

12.

… 



z{u  

13.

… Q

N

uvT

1N



 

14.

… Žzst  

15.

…

ŒN

N

L

AN<@S



16.

…

=N<@

N

L

A>N<B1

 

17.

…

N

L

N<1 N

L

AN<BS

 

18.

…

B

B>N

„

AB

 

19.

…

ŒN

RN

L

AN



Zadanie 3. Obliczyć całki :

1.

…

N

N

L

A=NA@

 

2.

…

B

N

L

AON<1

 

3.

…

B

AN

L

A=N

 

4.

…

N

L

<N<B

N

y

AN

L

 

5.

…

B

NN_<B

L

 

6.

…

B

HN

y

A>N

L

<=N

=

7.

…

N



AN

N<B

y

 

8.

…

N

N<1 N

L

<N<@

=

XII. Całki oznaczone

Zadanie 1. Oblicz całki oznaczone

1. ‘ 3  2x dx



S

2. ‘ 3  x  4x



dx

S

AB

3. ‘ 3x

=

 x



 1 dx

S

AB

4. ‘

:1  √x1  √x ?

1

√x

dx

B

S

5. ‘

x



 2x  2  x

1

x  1

dx

S

AB

6. ‘

x

1

 2x



 3x  6

x  2

dx

S

A

7. ‘ |4  3  



| 

=

S

8. ‘ uvT

S

A6



9. ‘ 



T

‡

B



10. ‘ √2  9

R

S



11. ‘ 4  





B

AB

12. ‘

T

1



 

‡

B

13. ‘ Q

AN

B

S



14. ‘ 3x  5 dx

B

AB

15. ‘ 3  x  4x



dx

B

S

16. ‘ 2x

=

 3x



 4 dx



A

17. ‘

:1  √x

y

1  √x

y

?

1

√x

dx

B

S

18. ‘

x



 2x  2  x

1

x  1

dx

S

AB

19. ‘

x

=

 x

1

 16x



 16x

x



 16

dx



B

20. ‘ |



   2| 

1

A

21. ‘ z{u

6



S



22. ‘ √ T

‡

L

‡



23. ‘ √1  4

S

A>



24. ‘ 1  





B

AB

25. ‘

T





 

‡

L

B

26. ‘ 2  1 Q

AN

B

S



Zadanie 2. Znajdź pola powierzchni figur ograniczonych podanymi krzywymi

1.

7  5 

B


 7  0,   6,   0

2.

7  



 3 7  0,   2,   2

3.

7  √, 7  0,   0,   4

4.

7  ||, 7  0,   2,   5

5.

7  

1

, 7  1,   0

6.

7  



 6, 7  2

7.

7    3



, 7  0,   1

8.

7  



 4 7  0

9.

7  √  4, 7  0,   0

10.

7  ||, 7  

1

11.

7  

1

, 7  0,   1,   2

12.

7  

=

 3



, 7  



XIII. Całki niewłaściwe

Zadanie 1. Zbadaj zbieżność następujących całek niewłaściwych :

1.

…

ŒN

N√\]N

‡

B

2.

…

ŒN

NA

y

„

1



3.

… √ T 

B

S

4.

… zst 

†

L

S

5.

…

‡

ˆ

‡A‡

ˆ

B

S



6. … Q

A1N

j

S



7. ‘





=

 



j

B

8. ‘







 4

j

1

9. ‘









1

 8

j

Aj

10.

…

ŒN

√=AN

=

S

11

.

…

√A\]N

N

B

S



12.

…

ŒN

√RAN

y

R

S

13.

…

ŒN

mn]N

†

L

S

14.

… 

N

RAN

R

S



15. …

ŒN

N

„

AN

L

j

B

16. ‘ Q

AN

j

S



17. …

ŒN

N<B

j

S

18

. …

ŒN

@N

L

A=N<B

j

Aj

XIV. Równania różniczkowe

Zadanie 1. Rozwiąż równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych

1. 7

“



27



2.

7

7”  7



 1

3. 7



 1   7



 1 7  0

4. 7

“



37  7



5. 



7

“

 uvT

1



6.1  



 7

7

  0

7. 7



 1   



 1 7  0

8. 7

“

 7

1

 7

Zadanie 2. Rozwiąż równania różniczkowe jednorodne

1.

y

“

 2xy  0

2.

y

“



•

B<

L

–—˜™

3.

y

“

cosx  ysinx  0

4.

y

“

 ytgx  0

Zadanie 3. Rozwiąż równania różniczkowe jednorodne

1.

/y

“

x  yx  0

y0  2

a

2.

/x



 1 y

“

 2y  0

y2  2

a

3.

š

7

“

 

N

A=›

70  1

a

4.

/7

“

 27  0

71  2

a

Literatura

1.

Joanna Kujawa- „Zbiór zadań z matematyki dla szkół średnich”

2.

Krzysztof Kłoczkow- „Zbiór zadań z matematyki dla licealistów kl. I-III.”

3.

Krzysztof Kłoczkow- „Analiza matematyczna dla licealistów.”

4.

Marek Lassak- „Zadania z analizy matematycznej”

5.

Alicja Cewe i Halina Nahorska „Matura z matematyki od roku 2010 ”