Budownictwo, matematyka 1

6 lista zadań.

Przegląd funkcji elementarnych

1. Przypomnieć pojęcie funkcji, dziedziny funkcji i zbioru jej wartości, definicje funkcji: rosnącej,
malejącej, parzystej, nieparzystej, okresowej i przykłady takich funkcji. Naszkicować wykresy
następujących funkcji i omówić ich własności (wg pojęć wcześniej wyszczególnionych):

,

3

)

(

a)

2

−

=

x

x

f

,

3

2

)

(

b)

2

+

−

−

=

x

x

x

f

,

3

)

(

c)

x

x

f

=

,

1

)

(

d)

x

x

f

−

=

,

2

1

)

(

e)

x

x

f

=

,

1

)

(

f)

−

=

x

x

x

f

,

2

1

)

(

g)

x

x

f













=

,

2

2

)

(

h)

−

=

x

x

f

,

2

log

)

(

i)

x

x

f

=

(

)

,

3

log

)

(

j)

2

1

+

=

x

x

f

,

2

sin

2

)

(

k)

x

x

f

=

,

2

cos

)

(

l)

x

x

f

=

.

cot

)

(

m)

x

x

f

=

2. Przekształcając odpowiednio wykres funkcji

y

x

=

2

, naszkicować wykresy funkcji:

a) y

x

= −

2

2

,

(

)

,

3

b)

2

+

=

x

y

(

)

,

2

1

c)

2

+

−

=

x

y

.

3

4

d)

2

+

−

x

x

3. Przekształcając odpowiednio wykres funkcji

x

y

2

=

, naszkicować wykresy funkcji:

.

4

2

d)

,

1

2

c)

,

1

2

b)

,

2

a)

2

+

−

=

−

=

+

=

=

−

+

x

x

x

x

y

y

y

y

4. Rozwiąż równania i nierówności:

5,

2x

x

d)

,

0

c)

,

0

3

2

x

b)

,

0

2

2

a)

5

2

4

2

>

+

≥

−

<

−

−

≥

−

+

−

x

x

x

x

x

,

2

16

x

i)

,

x

x

h)

,

9

g)

,

4

4

f)

,

1

4

2

e)

2

2

2

x

x

x

x

x

x

−

=

−

<

>

=

−

<

+

+

3

3

1

1

,

1

6

2

7

1

+

x

3

3

2

1

l)

k)

,

0

j)

2

−

−

+

−

+

+

−

+

<

<

−

<

≥

x

x

x

x

x

x

x

x

.

5. Przypomnieć podstawowe wzory trygonometryczne, wzory redukcyjne i wzory na rozwiązanie równań

.

cot

cot

,

tan

tan

,

cos

cos

,

sin

sin

α

α

α

α

=

=

=

=

x

x

x

x

Rozwiązać równania i nierówności

trygonometryczne:

.

1

j)

,

1

cot

i)

,

cos

h)

,

sin

g)

,

sin

cos

sin

f)

,

cos

e)

,

tan

sin

d)

,

tan

c)

,

cos

b)

,

sin

a)

cos

1

cos

2

3

2

1

2

1

2

2

1

2

1

2

2

3

2

3

2

2

2

≥

>

>

<

⋅

=

=

=

=

=

=

−

−

−

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

6. Wyznaczyć dziedzinę funkcji oraz zbiór jej wartości (przeciwdziedzinę):

).

tan

3

log(

)

(

f)

,

sin

2

1

)

(

e)

,

)

1

log(

1

)

(

d)

,

1

log

)

(

c)

,

2

)

(

b)

,

1

+

x

x

=

(x)

a)

2

2

2

x

x

f

x

x

f

x

x

f

x

x

f

x

x

x

f

f

−

=

+

=

−

+

=

+

=

−

=

7. Określić, czy podane odwzorowania f: X

→

Y są „na” jeżeli:

a) f(x) = sin x, X = 〈0; 2

π

〉, Y = 〈-1; 1〉,

b) f(x) = x

2

, X =

R, Y = 〈0;

∞

),

c) f(x) = 2

x

, X =

R, Y = 〈0;

∞

),

d) f(x) = x + 1/x, X = (0;

∞

), Y =

R,

e) f(x) = x + 1/x, X = (0;

∞

), Y = 〈2;

∞

).

8. Jakie okresy podstawowe mają funkcje okresowe:
a) f(x) =



cos 2x



, b) g(x) = (

−

1)

k

, k

∈

Z ?

9. Uzasadnić, że podane funkcje są parzyste lub nieparzyste:

.

x

x

=

u(x)

h)

,

x

3

x

3

=

t(x)

g)

x,

sin

=

p(x)

f)

,

x

x

+

2

=

l(x)

e)

,

x

sin x

=

k(x)

d)

,

sin x

=

h(x)

c)

,

x

2

+

x

2

=

g(x)

b)

1,

+

3x

-

x

=

f(x)

a)

3

3

2

3

2

4

⋅

−

−

−

10. Czy podane funkcje są ograniczone na wskazanych zbiorach:

R

,

1

+

x

1

=

k(x)

c)

1);

(0;

,

x

log

=

h(x)

b)

;

3)

(1;

,

x

1

=

g(x)

a)

2

2

?

11. Określić monotoniczność znanych funkcji elementarnych.

12. Określić złożenie funkcji:

f f f g, g f, g g

o

o

o

o

,

oraz dziedziny tak złożonych funkcji jeżeli:

a) f(x) = x

g(x) =

x b) f(x) = 2

g(x) = cos x;

c) f(x) = x g(x) =

1

x

d) f(x) =

x

1 + x

, g(x) =

1

x

.

2

3

3

2

x

,

;

,

,

;

13. Wyznaczyć funkcje odwrotne do danych funkcji oraz określić ich dziedziny i przeciwdziedziny:

(

)

f(x)

3x

2, f(x)

x

1

2x

1

, f(x)

2

2, f(x)

log

x

3

f(x) = 2 - x + 1

f(x)

x

2x dla x

1; )

x 1

2

5

2

=

+

=

−

+

=

+

=

+

=

−

∈

∞

−

,

,

.

14. Własności funkcji cyklometrycznych. Wyznaczyć wartości:

,

2

2

-

arccos

,

2

3

arcsin

,

2

1

arcsin

−

arctg 3 arctg(-1), arcctg 3 arcctg0

.

,

,

15. Obliczyć wartość wyrażenia: arcsin (

−

x) + arctg (2x) + arccos (2x), jeżeli arccos x =

2

3

π

.

16. Obliczyć wartość wyrażenia:

























5

3

arccos

2

sin

b)

,

3

2

2arcsin

cos

)

a

.

17. Naszkicować wykres funkcji f(x), jeżeli:

[ ]

[ ]

[ ]

.

2

)

sgn(sin

1

)

(

e)

,

)

(

d)

sgnx

x

f(x)

c)

,

sin

)

(

b)

,

2

)

(

a)

x

x

f

x

x

x

f

x

x

f

x

x

f

+

=

−

=

⋅

=

=

=

(











0.

<

gdy x

1,

-

0

=

gdy x

0,

0

>

gdy x

1,

=

sgnx

; [x] oznacza największą liczbę całkowitą nie przekraczającą liczby x).

Budownictwo, matematyka 1

7 lista zadań. Granica i ciągłość funkcji.

1. Przypomnieć niektóre podstawowe granice ciągów. Wyznaczyć granice danych ciągów:

,

+

=

a

h)

,

=

a

g)

,

=

a

f)

,

n

3

n

=

a

e)

,

=

a

d)

,

+

n

=

a

c)

,

1

n

+

n

n

=

a

b)

,

=

a

)

a

n

n

n

3

+

n

n

2

2

2

4

3

5

2

1

+

3n

4n

+

n

sin

n

+

...

+

3

+

2

+

1

2

3n

+

n

n

5

n

2n

n

n

n

2

n

2

n

n

3

n

n

2

+

n

3

−

−

−

−

−

−

n

( )

.

=

a

l)

,

=

a

k)

,

=

a

i)

1

2n

n

3n

n

1

n

1

n

2

+

n

n

2

+

1

n

n

n

−

























+

+

2. Pojęcie granicy funkcji w punkcie x

0

w sensie definicji Heinego. Twierdzenia o granicy funkcji

złożonych.

3. Wyznaczyć wskazane granice funkcji:

a) lim

b) lim

sin2x

5x

c) lim

tgx

3x

d) lim

e) lim

x

1

4

x

0

x

0

x

0

x

4

x

1

x

1

e

1

e

1

1

2x

3

x

2

3x

x

→

→

→

→

→

−

−

−

−

+

−

−

,

,

,

,

,

(

)

f lim (1

x)

g) lim

x

x

h) lim

x

-

x

0

1

x

2

x

3

x

x

2

3x

1

x

2

x

1

)

,

,

→

+

→∞

→ ∞

+

−

−

+ −

+ +











.

4. Podać wartości granic jednostronnych:

lim sgn ,

sgn ,

x

x

x

→ −

→

→ −

→ −

→ −

→

0

lim

lim

1

x

, lim tg

x, lim [x], lim [x

x

0

+

x

0

3

x

1

2

x

0

x

0

+

],

π

.

e

lim

,

2

lim

,

2

lim

,

2

sgn

1

lim

,

2

sgn

1

lim

,

2

3

lim

1

2

1

x

1

+

0

x

1

0

x

0

+

0

x

2

−

−

→

→

−

→

−

→

→

+

→

+

+

−

x

x

x

x

x

x

x

x

x

5. Podać określenie funkcji ciągłej w punkcie x

0

, ciągłej w przedziale otwartym (a; b), ciągłej w

przedziale zamkniętym 〈a; b〉. Co to są punkty nieciągłości pierwszego i drugiego rodzaju ?

6. W jakich punktach dane funkcje nie są ciągłe:

[x]

x

[x],

,

x

1

arctg

,

1

x

x

,

x

sinx

,

2

2

−

−

+

x

x

x

?

7. Zbadać ciągłość funkcji:

.

0

=

x

dla

1

0

x

dla

x

sinx

=

g(x)

b)

,

0

x

dla

1)

-

(x

0

<

x

dla

1

x

f(x)

a)

2















≠

≥

+

=

Budownictwo, matematyka 1

8 lista zadań. Pochodna funkcji jednej zmiennej i jej zastosowania

1. Określenie pochodnej funkcji w punkcie.

Wyznaczyć z definicji pochodną w punkcie x

0

funkcji: a) f(x) = x

2

−

3x, b) f(x) = x

1

2

+

.

2. Podstawowe wzory dotyczące obliczania pochodnych znanych funkcji elementarnych. Pochodna sumy,
iloczynu i ilorazu funkcji. Pochodna funkcji złożonej (przeliczyć różne prostsze przypadki).

3. Wyznaczyć pochodne funkcji: y = x

⋅

sinx, y = x

3

⋅

cos

2

x, y = x

4

⋅

e

−

x

, y = x

⋅

e

1/x

, y =

2x

3x

2

−

,

,

x

+

1

1

,

x

+

1

x

1

x

lnx

1

+

x

arctg

=

y

2),

-

(3x

sin

=

y

,

ln

=

y

),

1

x

+

ln(x

=

y

=

y

,

=

y

2

2

2

+

−

.

cosx

x

x

=

y

,

x

=

y

x

1

arcsin

=

y

ln(2x),

x

=

y

,

3

−

4. Wyznaczyć pochodną rzędu n-tego funkcji:

y = x y = lnx, y = sinx, y = a

y = e

y = x e

6

x

2x

x

,

,

,

.

⋅

5. Wyznaczyć pochodną rzędu czwartego funkcji y = sin

2

x w punkcie x = 0 oraz pochodną rzędu

trzeciego funkcji y = arcsinx w punkcie x = 0.

6. Określenie różniczki funkcji. Kiedy można zastąpić przyrost

∆

f funkcji jej różniczką df ?

Obliczyć przyrosty i różniczki funkcji f(x) = x

2

jeżeli x

0

= 1 oraz

∆

x jest równy kolejno: 5, 1, 0

.

1, 0

.

01.

Obliczyć przybliżoną wartość wyrażeń:

.

.

.

05)

ln(1

,

e

,

02

4

1

1

wykorzystując pojęcie różniczki.

7. Wyznaczyć równanie stycznej i normalnej do wykresu funkcji y = x

3

–2x

2

+1 w punkcie P=(2, 1).

8. Znaleźć kąt przecięcia krzywych: y = 2x

2

– x + 1 i y = x

2

+ 4x - 3.

9. Wykazać, że styczna do hiperboli xy = 1 ogranicza z osiami układu współrzędnych trójkąt o stałym
polu.

10. Stosując twierdzenie de l’Hospitala obliczyć granice:

)

(

lim

,

ln

lim

,

)

2

1

ln(

1

lim

,

1

ln

lim

,

sin

sin

tg

lim

,

2

sin

1

lim

1

sin

1

0

x

0

x

2

0

x

3

1

0

0

x

x

x

x

x

x

x

x

x

e

x

x

x

x

x

x

x

x

e

−

→

→

→

→

→

→

⋅

+

−

−

−

−

−

,

lim

lim

lim

lim

x

0

x

x

0

x

-

→

−

−

→∞

→

→ ∞

−

+

(

),

.

(

ln ),

,

(

)

1

1

1

1

2

x

e

x

e

x

x

x

x

x

e

x

11. Znaleźć wzór Taylora dla następujących funkcji:

.

0

=

x

x),

+

ln(1

=

y

c)

0;

=

x

sinx,

=

y

b)

0;

=

x

,

x

e

=

y

a)

o

o

o

2

12. Określić monotoniczność i wyznaczyć ekstrema lokalne następujących funkcji:

;

x

lnx

=

y

d)

;

x

1

exp

x

=

y

c)

;

lnx

x

=

y

b)

;

x

1

x

y

a)

2

2













−

⋅

−

=

;

2

0;

x

),

2

cos(

+

cos(x)

=

y

f)

;

)

1

ln(

arctg(x)

=

y

e)

2

1

2

2

1

>

∈<

+

−

π

x

x

)

x

1

(

x

9

=

y

g)

3

2

2

−

⋅

.

13. Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji w podanym przedziale:

;

0

;

2

x

,

4x

1

=

y

a)

>

−

∈<

−

;

4

;

1

x

,

e

x

=

y

b)

x

4

2

>

∈<

.

1

;

1

x

,

2

+

x

4

+

2x

+

x

=

y

c)

2

>

−

∈<

14. Wyznaczyć przedziały wypukłości, wklęsłości i punkty przegięcia krzywych:

a) y = ln(x - 4) ; b) y = 3x - 10x - 30x - 2x ; c) y = xe ; d) y =

x

4 - x

2

5

4

3

1

x

2

;

e) y =

x

lnx

; f) y = ln x

lnx

2

.

+

15. Przeprowadzić badanie następujących funkcji:

a) y =

2x

(x - 1)

; b) y =

(x - 1)

(x + 1)

; c) y = x 1 - x ; d) y = xe

;

3

2

3

2

2

1

x

−

e) y = (x + 2)e ; f) y = (x

e

x

; g) y = ln(x +

x

1

x

2

2

.

−

+

3

1

)

)

J. Szymczak