WYDZIAŁ BUDOWNICTWA

Rodzaj studiów:

stacjonarne I st.

Nazwa przedmiotu (kursu):

MATEMATKA 1

(Mathematics 1)

Nr w planie studiów:

8

Typ przedmiotu:

obowi

ą

zkowy

Nazwisko wykładowcy:
Dr Józef Szymczak

J

ę

zyk wykładowy:

polski

Rok/semestr stud:

I / 1

Rodzaj zaj

ęć

– liczba godzin/tydzie

ń

:

W – 3E, C – 2

Liczba pkt. ECTS:

7

Charakterystyka przedmiotu:
1. Elementy logiki i teorii zbiorów.
2. Ciało liczb zespolonych: działania na liczbach zespolonych, ró

ż

ne postacie liczby

zespolonej, pierwiastki wielomianów.
3. Macierze i wyznaczniki: algebra macierzy, wyznacznik macierzy i jego własno

ś

ci,

macierz osobliwa, macierz odwrotna, rz

ą

d macierzy.

4. Układy równa

ń

liniowych, wzory Cramera, metoda eliminacji Gaussa. Warto

ś

ci i

wektory własne macierzy symetrycznej.
5. Algebra wektorów.
6. Elementy geometrii analitycznej: prosta i inne krzywe na płaszczy

ź

nie, opis

parametryczny krzywej, prosta i płaszczyzna w przestrzeni R

3

, niektóre powierzchnie.

7. Funkcje jednej zmiennej – podstawowe własno

ś

ci, przegl

ą

d funkcji elementarnych.

8. Ci

ą

gi liczbowe i ich granice.

9. Granica funkcji, poj

ę

cie ci

ą

gło

ś

ci funkcji.

10. Pochodna funkcji jednej zmiennej i jej zastosowania, tw. Taylora, monotoniczno

ść

i

ekstrema, badanie przebiegu zmienno

ś

ci funkcji.

Tematyka

ć

wicze

ń

pokrywa si

ę

z tematyk

ą

wykładów.

2 g.

4 g.

5 g.

6 g.
4 g.

6 g.
4 g.
3 g.
3 g.

8 g.

Cel nauczania przedmiotu:

Zapoznanie studentów z podstawowymi poj

ę

ciami algebraicznymi i analitycznymi, ze

zwróceniem uwagi na ich zastosowanie w zagadnieniach technicznych. Kształcenie
umiej

ę

tno

ś

ci posługiwania si

ę

poznanym aparatem matematycznym jako niezb

ę

dnym do

studiowania przedmiotów zawodowych.

Wymagania wst

ę

pne:

Wiadomo

ś

ci z matematyki w zakresie szkoły

ś

redniej

Metody oceny pracy studenta:
a)

Ć

wiczenia: zaliczenie na podstawie 3 sprawdzianów i aktywno

ś

ci na zaj

ę

ciach.

b) Wykład: egzamin pisemny (po zaliczeniu

ć

wicze

ń

).

Zalecana literatura przedmiotu:

[1] Jurlewicz T., Skoczylas Z.: Algebra liniowa 1, 2. Definicje, twierdzenia, wzory. Skrypty

Politechniki Wrocławskiej, OW GiS, Wrocław 2005.

[2] Jurlewicz T., Skoczylas Z.: Algebra liniowa 1, 2. Przykłady i zadania. Skrypty Politechniki

Wrocławskiej, OW GiS, Wrocław 2005.

[3] Leitner R.: Zarys matematyki wy

ż

szej dla studentów, WNT Warszawa 1995.

[4] Gewert M, Skoczylas Z.: Analiza Matematyczna 1, Definicje twierdzenia wzory, OW GiS,

Wrocław 2005

[5] Gewert M, Skoczylas Z.: Analiza Matematyczna 1, Przykłady i zadania, OW GiS, Wrocław

2005.

[6] Krysicki Wł., Włodarski L.: Analiza matematyczna w zadaniach, Tom 1, PWN, W-wa 1998-

2001.

Budownictwo, matematyka 1

1 lista zadań Elementy logiki i algebry zbiorów.

Zad. 1. Sprawdź metodą zero-jedynkową prawa rachunku zdań podane na wykładzie. Czy
prawami rachunku zdań są wyrażenia:
(a) p

⇔

p , (b) (p

∨

q) ⇒ q , (c) (p

∧

q ⇒ r)

⇔

[p ⇒ (q ⇒ r)] ,

(d) p ⇒ (

∼

p

∨

q), (e)

∼

p

⇔

∼

(p

∧

∼

q) , (f) (p ⇒ q) ⇒ (q ⇒ p) ,

(g)

∼

(p ⇒

∼

p), (h)

∼

(p ⇒ q) ⇒ (p ⇒

∼

q), (i) (p

∨

q) ⇒ [(p ⇒ q) ⇒ q] ?

Zad. 2. Zdefiniuj alternatywę za pomocą koniunkcji i negacji.

Zad. 3. Określ wartość logiczną każdego zdania i napisz jego zaprzeczenie:

.

1)

+

x

<

(y

x

y

1),

+

x

<

(y

y

x

0),

=

y

+

x

(

y

x

0),

=

y

+

(x

y

x

0),

=

y

+

(x

y

x

),

0

2

(x

x

),

0

2

(x

x

2

2

2

2

∃

∀

∀

∃

∃

∀

∃

∃

∀

∀

≥

−

∃

≥

−

∀

Zad. 4. Dane są zbiory: A = 〈2; 4〉, B = (-

∞

; 3), D = {-2, 0, 1}, E = 〈-2; 1), F = 〈4; +

∞

),

G = (2; 4〉, H = {2, 4}, K = {-5}.
a) Wykonać na tych zbiorach działania

∪

,

∩

,

−

, podając ilustrację graficzną na osi liczbowej.

b) Wyznaczyć N

∩

B, R

+

∩

B, R

-

∩

B, A

′

, B

′

, G

′

, (A\B)

′

(R jest przestrzenią).

c) Sprawdzić prawa de Morgana dla par zbiorów: A i B oraz E i B.
d) Podać ilustrację graficzną iloczynu kartezjańskiego każdej pary zbiorów.
e) Zbadać ograniczoność każdego ze zbiorów; wyznaczyć dla każdego zbioru (jeśli istnieje)
maksimum, minimum, supremum, infimum.

Zad. 6. Dla zbiorów: A = x: x =

1

2n

n

N

B = x: x =

1

n

m

n,m

N

,

,

,

,

∈













+

∈













1

C = x: x =

1

k

Z D = x: x =

1

2

n

N E = x: x

n

n

N

F = x: x

2n 1

2n

n

N

n

3

1

k

,

,

,

,

,

,

,

∈













∈













=

∈













=

−

∈













zbadać ich ograniczoność, wyznaczyć (jeśli istnieje) maximum, minimum, supremum, infimum.

Zad. 7. Wyznaczyć

I

U

T

t

oraz

∈

∈

t

T

t

t

A

A

, gdy

(a)













−

≤

≤

∈

=

∈













−

<

≤

+

−

∈

=

t

t

t

x

R

x

A

x

R

x

A

t

t

1

t

1

1

1

3

:

(b)

N,

t

,

2

3

:

, t

∈

N.

Budownictwo, matematyka 1

2 lista zadań Liczby zespolone


Zad. 1. Wykonać działania:

2i),

+

i)(3

i)(1

+

(4

c)

4i),

+

3i)(1

(2

b)

4i),

(2

+

3i)

+

(1

a)

−

−

−

d)

)

3

7

(

)

3

7

(

i

i

+

⋅

−

,

i

3

)

3

i

-

(1

i

,

i

+

3

5i

+

4

,

i

2

i

+

1

2

g)

f)

e)

+

⋅

−

.

Zad. 2. Dla jakich rzeczywistych x i y spełnione jest równanie: (3

−

2i)

⋅

x + (4 + i)

⋅

y = 2 – 6i ?

Rozwiązać równanie:

3i

4

)

z

3(z

z

z

−

=

−

+

⋅

.

Zad. 3. Przedstawić w postaci trygonometrycznej i wykładniczej liczby zespolone:

−

i,

i

2

2

,

i

+

1

i

1

,

i

2

3

2

1

,

i

3

1

−

−

−

+

−

−

, i

1999

.

Zad. 4. Na płaszczyźnie zespolonej narysować zbiór punktów spełniających warunki:

.

,

,

,

3

6

z

z

4

,

3

i

-

2

+

z

,

1

i

+

z

2

1

-

z

1,

=

Imz

2

Rez

0

arg

,

2

z

<

1

,

1

z

=

≥

=

≤

−

≤

≤

≤

≤

<

≤

π

π

z

Zad. 5. Obliczyć:

,

/2)i

(

+

1

,

/4)i

(

-

i

,

,

e

e

i)

-

(1

e

i)

+

(1

4

sin

i

4

cos

+

1

i

2

3

2

1

,

i)

(-1

,

i)

+

(1

3

2

5

5

10

4

π

π

π

π

π



























+

−

−

+

9

)

3

1

(

i

+

−

,

.

,

i

3

-

1

,

16

,

1

-

,

i

-

,

i

,

1

1

4

3

4

3

3

4

Zad. 6. Wyrazić sin3

α

i cos3

α

przez sin

α

i cos

α

(wzory wyprowadzić przy wykorzystaniu

liczb zespolonych).


Zad. 7. Rozwiązać równania w dziedzinie zespolonej:

0,

=

4

6x

+

4x

x

0,

=

4

3x

+

x

0,

=

5

+

2x

+

x

2

3

2

4

2

−

−

−

x

2

+ 32 = 0, x

8

+ 15x

4

– 16 = 0, x

4

+ 1 = 0.

Zad. 8. Przedstawić sinx i cosx za pomocą funkcji wykładniczej o wykładniku zespolonym,

korzystając ze wzoru Eulera:

.

isinx

+

cosx

=

ix

e

Budownictwo, matematyka 1

3 lista zadań Macierze i wyznaczniki

Zad. 1. Dane są macierze

A =

1

B =

0

- 2

-

2

3

4

5

6

1

1

1

1













,

. Wyznaczyć

A + B, 2A

−

3B, A

T

+ B

T

, A

⋅

B

T

, A

T

⋅

B. Czy można wykonać mnożenie A

⋅

B ?

Zad. 2. Dane są macierze zależności między półproduktami p

1

, p

2

, p

3

i surowcami s

1

, s

2

, s

3

oraz między wyrobami

gotowymi w

1

, w

2

i półproduktami p

1

, p

2

, p

3

. Wyznaczyć macierz zależności między wyrobami w

1

, w

2

i

surowcami s

1

, s

2

, s

3

.

p

1

p

2

p

3

w

1

w

2

s

1

4

0

2

p

1

2

1

s

2

1

2

3

p

2

2

0

s

3

0

3

1

p

3

1

3

Zad. 3. Znaleźć wszystkie macierze symetryczne X spełniające warunek

X X =

- 4

0

0

j

⋅







.

Zad. 4. Sprawdzić na wybranych przykładach macierzy, czy zachodzą równości:

(

)

(

)

.

B

-

A

B)

(A

B)

(A

e)

,

B

A

B)

(A

d)

E

A

E)

(A

E)

(A

c)

,

A

B

B

A

b)

,

B

A

B

+

A

a)

2

2

2

2

2

2

T

T

T

T

T

T

=

⋅

+

⋅

=

⋅

=

⋅

+

⋅

=

⋅

+

=

-

-

-

(A i B to macierze kwadratowe stopnia k, E to macierz jednostkowa)

Zad. 5. Obliczyć następujące wyznaczniki:

4

3

4

2

1

1

2

1

-

1

3

0

2

2

1

-

2

1

,

3

1

-

0

2

2

1

1

2

2

,

3

0

0

4

2

0

5

2

1

,

cos

sin

-

sin

cos

,

j

-

1

-

j

1

-

j

1

j

-

1

-

α

α

α

α

+

+

,

a

b

c

a

1

b

1

c

1

a

k

b

k

c

k

+

+

+

+

+

+

.

Zad. 6. Wyznaczyć macierze odwrotne do danych macierzy:

A =

2

1

2

3

, B =

, C =

1

2

3

0

1

2

D =

4

0

5

0

1

2

3

0

4













































a

b

c

0

0

0

4

,

.

Zad. 7. Znaleźć macierze X, dla których zachodzą podane równości:

a)

[ ]

[

]

,

4

0

=

X

4

1

⋅

b)













⋅













5

3

=

X

1

2

1

1

, c)





































=

+

−

0

1

-

1

2

4

3

2

1

X

1

.

Zad. 8. Rozwiązać równania macierzowe wykorzystując macierze odwrotne:

















































































=

⋅

⋅

=

⋅

=

⋅

4

1

3

2

1

3

0

1

X

0

1

1

2

c)

,

2

4

4

0

0

2

2

2

2

3

X

b)

,

2

3

0

1

1

2

X

2

1

-

1

-

1

-

1

0

0

1

-

2

a)

Zad. 9. Wyznaczyć rzędy następujących macierzy, wykonując przekształcenia elementarne na tych macierzach:

A =

1

4

1

0

, B =

3 0

, C =

1

5

3

1

2

7

2

0

1

8

7

2

1

1

- 5

3

2

1

- 6

1

.

2

0

2

0

1

2

0

0

1

3

1

3 1

5

1





























































Budownictwo, matematyka 1

4 lista zadań Rozwiązywanie układów równań liniowych.

Zad. 1. Zapisać podany układ równań w postaci macierzowej:













−

−

−

=

+

−

5

=

3u

z

+

x

3

=

u

+

x

0

=

2z

3y

1

3z

2y

x

.

Zad. 2. Podane układy równań rozwiązać wzorami Cramera oraz za pomocą macierzy odwrotnej:

a)

x

7y = 2

2x + 3y = 5

; b)

x

y

z = 1

3x + 4y

2z = 1

3x

2y

2z

1

; c)

x

2y

3z

1

2x

y

5z

1

3x

4y

8z

3

−

−

−

−

−

−

−

=

−

+

=

− +

=

−

+

=



























.

Zad. 3. Podane układy Cramera rozwiązać metodą eliminacji Jordana-Gaussa:

a)

3x

2y

6

5x + 4y = 3

; b)

x + y

2z

5

2y

3z

6

x

y

5z

; c)

x + y + z = 5

y + z + t = 5

z + t = 3

x + t = 6

−

=

−

=

+

=

− + −

= −































3

Zad. 4. Rozwiązać podane układy równań metodą eliminacji Jordana-Gaussa:

;

2

=

t

+

2z

+

y

+

4x

0

=

t

2z

+

y

2x

1

=

t

+

y

+

x

c)

;

8

5z

13y

2x

2

17y

3x

6

5z

4y

x

0

=

z

6y

+

x

b)

;

5

z

3y

4x

2

2y

x

1

z

y

2x

a)

































−

−

=

+

+

=

+

=

+

−

−

−

=

+

+

=

+

=

+

-



































=

+

+

=

+

+

+

−

=

+

−

=

−

+

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

2

3t

3z

2x

5

7t

z

2y

x

3

4t

2z

2y

0

t

2z

y

x

f)

;

4

=

2t

2z

+

2y

3x

1

=

t

+

z

y

+

2x

3

=

t

+

z

3y

5x

2

=

2t

+

2z

y

x

e)

;

6

=

4t

7z

+

4y

+

2x

5

=

t

+

7z

+

6y

+

3x

1

=

t

3z

+

2y

+

x

d)

.

Zad. 5. Zbadać rozwiązalność układu równań w zależności od parametru a i podać rozwiązania, gdy
istnieją:

















































































=

⋅

−

−

−

=

⋅

−

−

a

1

2

X

11

4

7

1

1

1

1

2

4

1

2

1

b)

;

0

0

0

X

1

a

3

1

1

2

3

a

1

a)

.

Zad. 6. Podać liczbę rozwiązań danego układu równań w zależności od parametrów p i q:













=

+

−

=

−

+

=

+

+

−

−

1

z

y

2

3x

2

z

2y

qx

2

pz

y

x

2

1

=

z

2y

x

.

Budownictwo, matematyka 1

5 lista zadań. Elementy geometrii analitycznej.

1. Dodawanie wektorów i mnożenie wektora przez liczbę. Długość wektora. Iloczyn skalarny wektorów

−

określenie i zastosowania

2. Iloczyn wektorowy i mieszany wektorów z przestrzeni R

3

−

interpretacja i zastosowania.

3. Wektory

r

u i

r

v tworzą kąt

ϕ π

=

/ 3 . Wiedząc, że

2

v

i

1

u

=

=

r

r

obliczyć

r r

r

r

a b, a b

⋅

,

, jeśli

r

r r

r

r

r

a = 2u - v, b = u + 3v .

4. Znaleźć kąt między przekątnymi równoległoboku rozpiętego na wektorach

r

r

r

r

r

r

a = 2m + n i b = m

n

−

,

gdzie

r

r

r r

m

n

2 i

m, n

=

=

∠

=

(

)

π

3

.

5. Wektor

r

a

=

− −

[ ,

,

]

5 1 3 przedstawić w postaci sumy dwóch wektorów, z których jeden jest równoległy, a

drugi prostopadły do wektora

r
b

= −

[

, ,

]

.

1 1 2

6. Uprościć wyrażenie: 2 i (j

k) + 3j (i

k) + 4k ( i

j)

r r

r

r

r

r

r

r

r

⋅ ×

⋅ ×

⋅ ×

7. Dane są punkty M(1, 2, 0), P(-2, 3, 1), Q(0, -1, 0), S(-2, -3, 4). Wyznaczyć
a) długości boków trójkąta MPQ;

b) rzut wektora

C

M

r

na wektor

P

M

r

rza b

a b

a

r

r

r r

r

( )

=

⋅











;

c) pole trójkąta MPQ;
d) objętość czworościanu MPQS oraz długość wysokości z wierzchołka S.

8. Sprawdzić, że wektory

r

r

r

u = [1, 0, 1], v = [2,-1, 0], w = [0, 2, 1] nie leżą w jednej płaszczyźnie.

Przedstawić wektor [3, 1, -1] za pomocą powyższych wektorów.
Czy wektory [1, 0, 1], [2, -1, 0], [3, -2, -1] leżą w jednej płaszczyźnie ?


9. Równanie kierunkowe, ogólne, odcinkowe prostej na płaszczyźnie. Równania parametryczne prostej na
płaszczyźnie.

10. Dane są punkty M=(1, -1), P=(3, 4), Q=(-1, 2). Napisać równania boków trójkąta MPQ. Napisać
równania prostej równoległej i prostej prostopadłej do prostej MP i przechodzących przez punkt Q.
Znaleźć wysokość trójkąta MNQ poprowadzoną z wierzchołka Q.

11. Wykazać, że punkt M=(3, 0) leży wewnątrz okręgu x

2

+ y

2

−

4x +2y + 1 = 0 oraz napisać równanie

cięciwy tego okręgu, którą punkt M dzieli na połowy.


12. Równanie ogólne płaszczyzny w przestrzeni R

3

. Postać odcinkowa równania płaszczyzny.

Naszkicować płaszczyzny: x = 2, z = 3, y = 4, x

−

y = 0, x + 2z = 2, 4x + 2y + z

−

4 = 0.

13. Równania parametryczne prostej w przestrzeni R

3

. Postać krawędziowa równania prostej.

14. Dane są punkty M=(1, 3, 0), P=(2, 4, 5), Q=(3, 5, 9), S=(0, 1, 2). Sprawdzić, czy punkty te leżą w
jednej płaszczyźnie. Sprawdzić, czy punkty M, P, Q leżą na jednej prostej.

15. Napisać równanie ogólne płaszczyzny Π mając dane:
a) Π zawiera punkty M=(-1, -3, 2), P=(5, -1, 0), Q=(-2, 0, 0);
b) Π zawiera oś Oz i punkt M=(5, -2, 7);
c) Π jest równoległa do osi Ox i zawiera punkty M = (1, -1, -3), P = (-5, 4, -2);
d) Π zawiera punkt M=(2, 7, -3) oraz prostą x = 2t, y = t - 1, z = -t + 2;

e) Π zawiera prostą

x

4t

1

y

3t

1

z

t

=

−

= − −

=











i jest równoległa do prostej

x

4t

2

y

3t

3

z

2t

=

−

=

+

=











;

f) Π jest prostopadła do prostej

1

2

2

1

1

−

−

=

+

=

z

y

x

i zawiera punkt M=(0, -1, 2).

16. Napisać równania prostej przechodzącej przez punkt M=(1, 2, 3) oraz
a) równoległej do wektora [-1, 0, 2];
b) przechodzącej przez punkt (2, 2, -3);
c) równoległej do prostej x = -3 + 2t, y = 2 - 3t, z = 5;

d) równoległej do prostej

x + y + z

3 = 0

2x + y + 5 = 0

−







;

e) prostopadłej do płaszczyzny: 2x

−

y + 3z

−

2 = 0.

17. Napisać równania parametryczne odcinka MN, gdzie M=(1, 2, 1), N=(3, 1, 5).

18. Jaka jest odległość punktu (1, 1, 1) od płaszczyzny x + y + 2z

−

5 = 0 ?

Jaka jest odległość prostej x =

−

1 + 2t, y =

−

3 + 2t, z = -2t od płaszczyzny x + y + 2z

−

5 = 0 ?

Jaka jest odległość płaszczyzny x + y + 2z + 1 = 0 od płaszczyzny x + y + 2z

−

5 = 0 ?

19. Znaleźć rzut prostej

2

1

3

4

4

−

+

=

−

=

z

y

x

na płaszczyznę x – y + 3z + 8 = 0.

20. Obliczyć odległość punktu (1, 1, 1) od prostej

x

y

z

+

=

+

=

−

1

2

3

2

2

oraz odległość między tą prostą

a prostą x = 1 + t, y = 2 + 2t, z = 1

−

t.

21. Znaleźć miejsce geometryczne punktów przestrzeni R

3

równo odległych od punktów M=(-1, 1, 1) i

N=(1, -1, -1).

22. Zbadać wzajemne położenie dwóch dowolnych prostych w przestrzeni R

3

. (Najpierw sprawdzamy

równoległość wektorów kierunkowych tych prostych. Jeśli nie są równoległe, to należy wyznaczyć iloczyn
mieszany odpowiednich wektorów. W przypadku zerowania się tego iloczynu proste leżą w jednej płasz-
czyźnie i przecinają się).


23. Równania elipsy, hiperboli i paraboli na płaszczyźnie R

2

.

24. W przestrzeni R

3

naszkicować wykresy powierzchni określonych równościami:

a) x + y = 3, b) (x

1)

y

1, c) z = 1 - y , d) x + y + z = 4, e) x = 4z,

2

2

2

2

2

2

2

2

2

−

+

=

f) z =

x + y

g) z = 2 + x + y , h) z =

y

i) x + 4z = 4, j) z = 2

x + y

2

2

2

2

2

2

2

2

,

,

−

−

.

J. Szymczak