Jan Rusinek

50

zadań ze statystyki matematycznej dla

studentów

ZARZĄDZANIA

z rozwiązaniami

UWAGA!

Ten tekst jest w trakcie przygotowania i sprawdzania.

Może zawierać błędy. Jest sukcesywnie poprawiany i umiesz-
czany pod aktualną datą! Autor będzie wdzięczny za uwagi:

[e-mail]

Obecna data 18.11.2013

2

3

Wstęp

Zbiorek ten zawiera zadania ze statystyki matematycznej wybra-

ne z zadań przerabianych na zajęciach, zadań domowych i egzamina-
cyjnych na studiach drugiego stopnia kierunku zarządzanie w Wyż-
szej Szkole Menedżerskiej w Warszawie. Część rachunków jest wyko-
nana przy pomocy darmowego programu calc z pakietu OpenOffice.
W zadaniach, w których trzeba samodzielnie obliczać wartości śred-
nie i wariancje, próbki są bardzo niewielkiej liczności. Oczywiście w
praktyce używa się znacznie większych próbek. Chodzi jednak o to,
aby poznać metody, nie tracąc czasu na żmudne (nawet jeśli używamy
komputera, to samo wpisanie danych z dużej próbki zajmuje sporo
czasu) obliczenia.

Mam nadzieję, że zbiorek ten pomoże studentom w opanowaniu

tego przedmiotu i w przygotowaniu się do egzaminu.

4

WZORY I OZNACZENIA

µ – wartość średnia
σ – odchylenie standardowe
n – liczba prób
k – liczba sukcesów w n próbach
x =

1

n

P

n

i=1

x

i

– średnia z próby

s

2

=

1

n−1

P

n

i=1

(x

i

− x)

2

– wariancja z próby

s =

√

s

2

– odchylenie standardowe z próby

s

√

n

– błąd standardowy

u(p) – p-ty kwantyl rozkładu normalnego N (0, 1)
t(p, j) – p-ty kwantyl rozkładu Studenta o j stopniach swobody
χ

2

(p, j) – p-ty kwantyl rozkładu χ

2

o j stopniach swobody

F(p, i, j) – p-ty kwantyl rozkładu Snedecora o i, j stopniach swobody
D

n

obl

– statystyka testowa dla rozkładu Kołmogorowa

d

n

(p) – p-ty kwantyl statystyki D

n

Kołmogorowa

k(p, i, j) – wartość krytyczna rozkładu liczby serii
Wzór na dystrybuantę rozkładu jednostajnego na przedziale [a; b].

F (x) =

(

0

dla

x < a,

x−a

b−a

dla

a ¬ x ¬ b,

1

dla

x > b.

5

A) PRZEDZIAŁY UFNOŚCI DLA ŚREDNIEJ

Model A1.

Rozkład normalny, znane σ.

P = [x − l; x + l], l = u(1 −

α

2

)

σ

√

n

.

Model A2.

Rozkład normalny, nieznane σ.

P = [x − l; x + l], l = t(1 −

α

2

, n − 1)

s

√

n

.

Model A3.

Rozkład dowolny, nieznane σ, n ­ 30.

P = [x − l; x + l], l = u(1 −

α

2

)

s

√

n

.

6

B) PRZEDZIAŁY UFNOŚCI DLA FRAKCJI ELEMENTÓW

WYRÓŻNIONYCH

Model B1.

Raczej duża próba (n ­ 30).

P =

h

k

n

− l;

k

n

+ l

i

, l = u 1 −

α

2

r

k
n

1 −

k
n

n

.

UWAGA. Można też stosować nieco dokładniejszy, ale bardziej skomplikowany
wzór

P =



u(1 −

α

2

)

2

+ 2k

2(n + u(1 −

α

2

)

2

)

− l;

u(1 −

α

2

)

2

+ 2k

2(n + u(1 −

α

2

)

2

)

+ l



, l =

u

q

u(1−

α

2

)

2

4

+

k(n−k)

n

n + u(1 −

α

2

)

2

.

7

C) PRZEDZIAŁY UFNOŚCI DLA ODCHYLENIA

STANDARDOWEGO

Model C1.

Rozkład normalny.

P =



s

r

n − 1

χ

2

(1 −

α

2

, n − 1)

; s

r

n − 1

χ

2

(

α

2

, n − 1)



.

Model C2.

Rozkład normalny, duża próba (n ­ 30).

P =

"

s

p

2(n − 1)

√

2n − 3 + u(1 −

α

2

)

;

s

p

2(n − 1)

√

2n − 3 − u(1 −

α

2

)

#

.

8

MINIMALNA LICZNOŚĆ PRÓBY

Model M1.

Przy wyznaczaniu przedziału ufności [x − l; x + l] dla wartości śred-

niej, rozkład normalny, znane σ.

n ­

u 1 −

α

2

σ

l

!

2

.

Model M2.

Przy wyznaczaniu przedziału ufności [x − l; x + l] dla wartości śred-

niej, rozkład normalny nieznane σ.

n ­



t 1 −

α

2

, n

0

− 1

s

0

l



2

n

0

− 1

n

0

+ 1,

gdzie n

0

liczność wstępnej próby,

x

0

=

1

n

0

n

0

X

i=1

x

i

,

s

2
0

=

1

n

0

− 1

n

0

X

i=1

(x

i

− x

0

)

2

.

Model M3.

Przy wyznaczaniu przedziału ufności



k
n

− l;

k
n

+ l



dla frakcji ele-

mentów wyróżnionych.

n ­

u(1 −

α

2

)

2

4l

2

.

9

TESTY ZGODNOŚCI

Test χ

2

χ

2
obl

=

X

(wartość zaobserwowana − wartość spodziewana)

2

wartość spodziewana

.

Hipotezę odrzucamy, jeśli

χ

2
obl

> χ

2

(1 − α, k − 1),

k – liczba składników w sumie.

Test Kołmogorowa

Sprawdzamy, czy próbki pochodzą z rozkładu o dystrybuancie F (x). Ustawiamy
próbki w ciąg niemalejący: x

1

, . . . x

n

. Statystyka testowa

D

nobl

= sup

x∈IR

|S

n

(x) − F (x)|,

gdzie

S

n

(x) =

(

0

dla

x < x

1

,

i

n

dla

x

i

¬ x < x

i+1

,

1

dla

x ­ x

n

.

Hipotezę odrzucamy, jeśli

D

n

obl

> d

n

(1 − α).

Test serii

Sprawdzamy, czy dwie próbki pochodzą z takego samego rozkładu. α - poziom
istotności, i liczebność pierwszej, a j liczebność drugiej próbki. Dwie próbki usta-
wiamy we wspólny ciąg rosnący. Serią nazywamy podciąg kolejnych elementów z
tej samej próbki. K oznacza liczbę serii. Hipotezę odrzucamy, jeśli

K ¬ k(α, i, j).

10

PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI DLA ŚREDNIEJ

Hipoteza µ = µ

0

, W zbiór krytyczny. Hipotezę odrzucamy, gdy g ∈ W

Model D1.

Rozkład normalny o znanym σ.

g = u

obl

=

x − µ

0

σ

√

n.

W = (−∞; −u(1 − α)] dla hipotezy przeciwnej µ < µ

0

;

W = [u(1 − α); ∞) dla hipotezy przeciwnej µ > µ

0

;

W = (−∞; −u(1 −

α

2

)] ∪ [u(1 −

α

2

); ∞) dla hipotezy przeciwnej µ 6= µ

0

.

Model D2.

Rozkład normalny o nieznanym σ, mała próba.

g = t

obl

=

x − µ

0

s

√

n.

W = (−∞; −t(1 − α, n − 1)] dla hipotezy przeciwnej µ < µ

0

;

W = [t(1 − α, n − 1); ∞) dla hipotezy przeciwnej µ > µ

0

;

W = (−∞; −t(1 −

α

2

, n − 1)] ∪ [t(1 −

α

2

, n − 1); ∞) dla hipotezy przeciwnej µ 6= µ

0

.

Model D3.

Rozkład dowolny o nieznanym σ. Duża próba.

g = u

obl

=

x − µ

0

s

√

n.

W jak w modelu D1.

11

PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI DLA WARIANCJI

Hipoteza σ = σ

0

, W zbiór krytyczny. Hipotezę odrzucamy, gdy g ∈ W .

Model E1

. Rozkład normalny o nieznanych µ i σ, n ¬ 50. Mając do dyspozycji

komputer można ten model stosować i do dużych n.

g = χ

2
obl

=

(n − 1)s

2

σ

2

0

.

W = (0; χ

2

(α, n − 1)] dla hipotezy przeciwnej σ < σ

0

;

W = [χ

2

(1 − α, n − 1); ∞) dla hipotezy przeciwnej σ > σ

0

;

W = (0; χ

2

(

α

2

, n − 1)] ∪ [χ

2

(1 −

α

2

, n − 1); ∞) dla hipotezy przeciwnej σ 6= σ

0

;

Model E2.

- Rozkład normalny o nieznanych µ i σ (n ­ 50).

g = u

obl

=

r

2(n − 1)s

2

σ

2

0

−

√

2n − 3.

W = (−∞; −u(1 − α)] dla hipotezy przeciwnej µ < µ

0

;

W = [u(1 − α); ∞) dla hipotezy przeciwnej µ > µ

0

;

W = (−∞; −u(1 −

α

2

)] ∪ [u(1 −

α

2

); ∞) dla hipotezy przeciwnej µ 6= µ

0

.

12

HIPOTEZY O RÓWNOŚCI FRAKCJI ELEMENTÓW

WYRÓŻNIONYCH

Hipoteza p = p

0

. Hipotezę odrzucamy, gdy g ∈ W .

Model F1

. Próba powinna być raczej duża.

g = u

obl

=

k − np

0

p

np

0

(1 − p

0

)

.

W = (−∞; −u(1 − α)] dla hipotezy przeciwnej p < p

0

;

W = [u(1 − α); ∞) dla hipotezy przeciwnej p > p

0

;

W = (−∞; −u(1 −

α

2

)] ∪ [u(1 −

α

2

); ∞) dla hipotezy przeciwnej p 6= p

0

.

13

HIPOTEZY O RÓWNOŚCI WARIANCJI W DWÓCH

POPULACJACH

Model G1.

Hipoteza σ

1

= σ

2

. Hipotezę odrzucamy, gdy g ∈ W .

Gdy hipotezą przeciwną jest σ

1

> σ

2

, to

g = F

obl

=

s

2
1

s

2
2

.

W = [F (1 − α, n

1

− 1, n

2

− 1); ∞).

Gdy hipotezą przeciwną jest σ

1

< σ

2

, to zamieniamy kolejność próbek.

Gdy hipotezą przeciwną jest σ

1

6= σ

2

, to

g = F

obl

=

max(s

2
1

, s

2
2

)

min(s

2
1

, s

2
2

)

.

W = [F(1 −

α

2

, n

l

− 1, n

m

− 1); ∞), gdzie n

l

liczność probki o większej wariancji,

a n

m

o mniejszej.

14

HIPOTEZY O RÓWNOŚCI WARTOŚCI ŚREDNIEJ W DWÓCH

POPULACJACH

Hipoteza µ

1

= µ

2

, W zbiór krytyczny. Hipotezę odrzucamy, gdy g ∈ W

Model H1

– rozkłady normalne znane σ

1

i σ

2

.

g = u

obl

=

x

1

− x

2

q

σ

2
1

n

1

+

σ

2
2

n

2

.

W = (−∞; −u(1 − α)] dla hipotezy przeciwnej µ

1

< µ

2

;

W = [u(1 − α); ∞) dla hipotezy przeciwnej µ

1

> µ

2

;

W = (−∞; −u(1 −

α

2

)] ∪ [u(1 −

α

2

); ∞) dla hipotezy przeciwnej µ

1

6= µ

2

.

Model H2.

– rozkłady normalne, nieznane, ale równe σ

1

i σ

2

.

g = t

obl

=

x

1

− x

2

q

(n

1

−1)s

2
1

+(n

2

−1)s

2
2

n

1

+n

2

−2

·

n

1

+n

2

n

1

n

2

.

W = (−∞; −t(1 − α, n − 1)] dla hipotezy przeciwnej µ

1

< µ

2

;

W = [t(1 − α, n − 1); ∞) dla hipotezy przeciwnej µ

1

> µ

2

;

W = (−∞; −t(1−

α

2

, n−1)]∪[t(1−

α

2

, n−1); ∞) dla hipotezy przeciwnej µ

1

6= µ

2

.

Model H3.

rozkłady normalne, nieznane σ

1

i σ

2

, nieduża próbka.

Stosujemy statystykę (tzw. statystyka Cochrana i Coxa)

g = C

obl

=

x

1

− x

2

q

s

2
1

n

1

+

s

2
2

n

2

.

Przybliżoną wartość kwantyla c(p, n

1

, n

2

) znajdujemy z wzoru

c(p, n

1

, n

2

) ≈

s

2
1

n

1

t(p, n

1

− 1) +

s

2
2

n

2

t(p, n

2

− 1)

s

2
1

n

1

+

s

2
2

n

2

.

Zbiór krytyczny:
W = (−∞; −c(1 − α, n

1

, n

2

)] dla hipotezy przeciwnej µ

1

< µ

2

;

W = [c(1 − α, n

1

, n

2

); ∞) dla hipotezy przeciwnej µ

1

> µ

2

;

W = (−∞; −c(1 −

α

2

, n

1

, n

2

)] ∪ [c(1 −

α

2

, n

1

, n

2

); ∞) dla hipotezy przeciwnej

µ

1

6= µ

2

;

Model H4

– rozkłady dowolne, nieznane σ

1

i σ

2

– duża próba, n

1

, n

2

­ 50.

g = u

obl

=

x

1

− x

2

q

s

2
1

n

1

+

s

2
2

n

2

.

15

W = (−∞; −u(1 − α)] dla hipotezy przeciwnej µ

1

< µ

2

;

W = [u(1 − α); ∞) dla hipotezy przeciwnej µ

1

> µ

2

;

W = (−∞; −u(1 −

α

2

)] ∪ [u(1 −

α

2

); ∞) dla hipotezy przeciwnej µ

1

6= µ

2

.

16

HIPOTEZY O RÓWNOŚCI FRAKCJI ELEMENTÓW

WYRÓŻNIONYCH W DWÓCH POPULACJACH

Model I1

– raczej duża próbka (n

1

, n

2

­ 50)

Stawiamy hipotezę p

1

= p

2

.

Stosujemy statystykę

g = u

obl

=

k

1

n

1

−

k

2

n

2

q

k

1

+k

2

n

1

n

2

1 −

k

1

+k

2

n

1

+n

2

.

Gdy liczność próby nie jest dostatecznie duża stosujemy statystykę:

u

obl

=



2 arc sin

r

k

1

n

1

− 2 arc sin

r

k

2

n

2



q

n

1

n

2

n

1

+ n

2

.

Zbiór krytyczny:
W = (−∞; −u(1 − α)] dla hipotezy przeciwnej p

1

< p

2

;

W = [u(1 − α); ∞) dla hipotezy przeciwnej p

1

> p

2

;

W = (−∞; −u(1 −

α

2

)] ∪ [u(1 −

α

2

); ∞) dla hipotezy przeciwnej p

1

6= p

2

; gdzie

n

1

i n

2

liczności pierwszej i drugiej próbki, k

1

i k

2

liczby sukcesów w pierwszej

i drugiej próbce.

17

TEST χ

2

NIEZALEŻNOŚCI

χ

2
obl

=

X

(wartość zaobserwowana − wartość spodziewana)

2

wartość spodziewana

.

Test odrzucamy, jeśli

χ

2
obl

> χ

2

(1 − α, (r − 1)(s − 1)),

gdzie r liczba wartości pierwszej cechy, a s liczba wartości drugiej cechy.

Współczynnik Cramera

V =

r

χ

2
obl

n(m − 1)

,

gdzie m = min(r, s)

Współczynnik C Pearsona

C =

r

χ

2
obl

χ

2
obl

+ n

.

n liczba wszystkich danych w macierzy r × s.

18

Jak używać programu calc?

Będziemy posługiwać się tym programem do obliczanie wartości

średniej, wariancji, odchylenia standardowego oraz wynikających z
tego dalszych rezultatów. Pokażemy to na przykładzie.

Zakładamy, że mamy dane empiryczne x

1

= 7, x

2

= 1, x

3

= 5,

x

4

= 3, x

5

= 5 oraz liczbę µ

0

= 3. Mamy policzyć kolejno

x =

1

n

n

X

k=1

x

k

,

s

2

=

1

n − 1

n

X

k=1

(x

i

− x)

2

,

s =

√

s

2

,

a następnie wstawić to do wzoru:

x − µ

0

s

√

n.

Uruchamiamy program calc i wpisujemy dane np. w komórkach

A1 − A5.

Daną µ

0

możemy wpisać np w kolejnej komórce B1, a liczbę prób

(5) np. w komórce B2.

Warto wpisywać te dane w komórkach, a nie w ostatecznym wzo-

rze, bo wtedy przy rozwiązywaniu następnego zadania opartego na
tym samym modelu, wystarczy zmienić dane bez konieczności zmiany
wzoru.

Wybieramy jakąć inną komórkę np. C1 i wpisujemy w niej wzór:

=ŚREDNIA(A1:A5)

Po zaakceptowaniu ukazuje się w tej komórce wynik 4.2.

Wybieramy następną komórkę powiedzmy C2 i wpisujemy w niej

wzór

19

=WARIANCJA(A1:A5)

Po zatwierdzeniu ukazuje się w tej komórce wynik 5.2.

Wybieramy kolejną komórkę np. C3 i wpisujemy w niej wzór

=pierwiastek(c2)

Po zatwierdzeniu ukazuje się w tej komórce wynik 2.28 (w zależ-

ności od tego jaką dokładność wybierzemy).

Wybieramy następną komórkę (np. C4) i wstawiamy w niej wzór

(patrz rysunek)

=(C1-B1)*pierwiastek(B2)/C3

Zauważmy, że możemy wpisywać wzory zarówno małymi jak i

dużymi literami.

Po zaakceptowaniu otrzymamy już ostateczny wynik 1.1767.

Program calc zamiast tablic statystycznych

Większość danych potrzebnych do rozwiązywania zamieszczo-

nych tu zadań zamiast z tablic, możemy wygenerować przy pomocy

20

programu calc. Niektóre są nieco inaczej zdefiniowane niż w tabli-
cach statystycznych, dlatego podajemy dokładnie co trzeba zrobić,
aby otrzymać dane zgodne z tablicami.

Ia) Dystrybuanta rozkładu normalnego

Aby wyznaczyć P (X < x), gdzie X jest zmienną o rozkładzie

N (0, 1), a dana x jest umieszczona np. w komórce A1 wpisujemy w
komórce wyniku

=rozkład.normalny.s(a1)

Ib) Kwantyle rozkładu normalnego

Aby wyznaczyć kwantyl u(p) rozkładu normalnego N (0, 1) np.

dla danej p umieszczonej w komórce B1 wpisujemy w komórce wyniku

=rozkład.normalny.s.odw(b1)

IIa) Dystrybuanta rozkładu t Studenta

Aby wyznaczyć P (X < x), gdzie X jest zmienną o rozkładzie t

Studenta z n stopniami swobody, a dana x jest umieszczona np. w
komórce A1, a dana n w komórce B1 wpisujemy w komórce wyniku

=1-rozkład.t(a1;b1;1)

Program akceptuje tylko x-y dodatnie. Aby wyznaczyć P (X < x) dla
x ujemnych wystarczy skorzystać z wzoru

P (X < x) = P (X > −x) = 1 − P (X < −x).

IIb) Kwantyle rozkładu t Studenta

Aby wyznaczyć kwantyl t(p, n) rozkładu t Studenta dla danej

p umieszczonej w komórce A1, danej n w komórce B1 wpisujemy w
komórce wyniku

=rozkład.t.odw(2*(1-a1);b1)

IIIa) Dystrybuanta rozkładu χ

2

21

Aby wyznaczyć P (X < x), gdzie X jest zmienną o rozkładzie

χ

2

z n stopniami swobody, a dana x jest umieszczona np. w komórce

A1, a dana n w komórce B1 wpisujemy w komórce wyniku

=1-rozkład.chi(a1;b1)

Gęstość rozkładu χ

2

(t) jest różna od zera tylko dla t dodatnich dla-

tego wzór działa tylko dla x ­ 0.

IIIb) Kwantyle rozkładu χ

2

Aby wyznaczyć kwantyl χ

2

(p, n) rozkładu χ

2

dla danej p umiesz-

czonej w komórce A1, danej n w komórce A2 wpisujemy w komórce
wyniku

=rozkład.chi.odw(1-a1;a2)

IVa) Dystrybuanta rozkładu F Snedecora

Aby wyznaczyć P (X < x), gdzie X jest zmienną o rozkładzie F

Snedecora z n, k stopniami swobody, dana x jest umieszczona np. w
komórce A1, a dana n w komórce B1, dana k w komórce C1 wpisujemy
w komórce wyniku

=1-rozkład.f(a1;b1;c1)

IVb) Kwantyle rozkładu F Snedecora

Aby wyznaczyć kwantyl F(p, n, k) rozkładu F dla danej p umiesz-

czonej w komórce B1, danej n w komórce B2 i danej k w komórce B3
wpisujemy w komórce wyniku

=rozkład.f.odw(1-b1;b2;b3)

Korzystanie programu zamiast z tablic ma dodatkową zaletę, że

możemy znajdować wartości kwantyli dla nietypowych α, których nie
ma w tablicach np. 0.03, 0.17 itp. W tablicach zwykle nie ma też
dystrybuant innych rozkładów niż normalny.

Możemy też włączyć te wzory do danego modelu otrzymując

rozwiązanie w całości przy pomocy komputera. Odpowiedni przykład
opiszemy przy rozwiązywaniu konkretnego zadania.

22

Zadania

23

ZADANIE 1.

Dla zmiennej losowej X o rozkładzie jednostajnym

na przedziale [−1; 3] znajdź a) P (X < 0), b) P (X > 2), c) takie c, że
P (X < c) = 0.95 = p, czyli p-ty kwantyl rozkładu jednostajnego na
przedziale [−1; 3].

Rozwiązanie.

Dystrybuanta rozkładu jednostajnego na przedziale [−1; 3] jest

równa

F (x) =







0

dla

x < −1,

x+1

4

dla

−1 ¬ x ¬ 3,

1

dla

x > 3.

Zatem a) P (X < 0) = F (0) =

1
4

., b) P (X > 2) = 1 − P (X <

2) = 1 − F (2) = 1 −

3
4

=

1
4

. c) Trzeba rozwiązać równanie P (X <

c) = 0.95, czyli

c+1

4

= 0.95. Stąd c = 2.8.

24

ZADANIE 2.

Przy pomocy tablic lub komputera znajdź dla zmien-

nej X o rozkładzie normalnym standardowym N (0, 1) i α = 0.02: a)
P (X > 2.3), b) P (X < −1.2), c) u(α), d) u(1 − α), e) u(1 −

α

2

).

Rozwiązanie.

a) i b) znajdujemy w tablicy 1 otrzymując: a) 1−0.9893 = 0.0107;

b) 0.115 c), d) i e) można rozwiązać zarówno komputerem jak i przy
pomocy tablic. Otrzymamy c) u(0.02) = −2.05, d) u(0.98) = 2.05, e)
u(0.99) = 2.33.

25

ZADANIE 3.

Przy pomocy tablic lub komputera znajdź dla zmien-

nej X rozkładzie t Studenta z n = 9 oraz α = 0.05: a) P (X > 1.3),
b) P (X < −1.4), c) t(1 − α, n), d) t(1 −

α

2

, n),

Rozwiązanie.

a) i b) najlepiej rozwiązać programem calc otrzymując: a) 1 −

0.8870 = 0.1129; b) Musimy skorzystać z faktu, że t(−p, n) = 1 −
t(p, n). Otrzymamy wynik 0.0.0975. c) t(0.95, 9) = 1.83,
d) t(0.975, 9) = 2.26.

26

ZADANIE 4.

Przy pomocy tablic lub komputera znajdź dla zmien-

nej X o rozkładzie χ

2

z n = 20 i α = 0.05: a) P (X < 20), b)

P (X > 10), c) χ

2

(α, n), d) χ

2

(1 − α, n) e) χ

2

(1 −

α

2

, n).

Rozwiązanie.

Dla a) i b) skorzystamy z programu calc. Otrzymamy dla a)

wartość 0.542, a dla b) 1 − 0.0318 = 0.9682. Dla c) - e) można też
skorzystać z tablic mamy: c) χ

2

(0.05, 20) = 10.851, d) χ

2

(0.95, 20) =

31.41, e) χ

2

(0.975, 20) = 34.17.

27

ZADANIE 5.

Przy pomocy tablic lub komputera znajdź dla zmien-

nej X o rozkładzie F z n = 8, k = 4, oraz dla α = 0.05: a) P (X > 3),
b) P (X < 4), c) F(1 − α, n, k), d) F(1 −

α

2

, n, k).

Rozwiązanie.

Dla a) i b) skorzystamy z programu calc otrzymując dla a) war-

tość 0.8489, a dla b) wartość 1 − 0.9025 = 0.0975. c) F(0.95, 9, 4) =
6.04, d) F(0.975, 9, 4) = 8.98.

28

ZADANIE 6.

Przy pomocy programu calc znajdź dla próbki

x

1

= 1.31, x

2

= 2.45, x

3

= 3.45, x

4

= −2.71: a) x, b) s

2

, c) s, d) błąd

standardowy.

Rozwiązanie.

a) x = 1.125, b) s

2

= 7.3009, c) s = 2.702, d)

s

√

n

= 1.351.

29

ZADANIE 7.

Zaobserwowano, że waga noworodków w pewnym

szpitalu ma rozkład normalny z wartością średnią 3.6 kg i odchy-
leniem standardowym 0.26 kg. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
dziecko urodzone w tym szpitalu waży: a) więcej niż 4 kg?; b) mniej
niż 3 kg?

Rozwiązanie.

a) a = 4, b = ∞. Stąd c =

4−3.6

0.26

, d = ∞. Zatem

P (4 < X) = 1 − Φ(c) = 0.40.

b) a = −∞, b = 3, Stąd c = −∞, d =

3−3.6

0.26

= −2.31. Zatem

P (X > 3) = Φ(−2.31) = 1 − Φ(2.31) = 1 − 0.989 = 0.0.11.

30

ZADANIE 8.

Czas pracy żarówek produkowanych w pewnym za-

kładzie ma rozkład normalny z wartością średnią 700 godzin i odchy-
leniem standardowym 220 godzin. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
żarówka zepsuje się przed upływem 500 godzin pracy?

Rozwiązanie.

Mamy µ = 700, σ = 220, a = −∞, b = 500. Stąd c = −∞,

d =

500−700

220

= −0.91. Zatem

P (X < 500) = Φ(−0.91) = 1 − Φ(0.91) = 1 − 0.82 = 0.18.

31

ZADANIE 9.

Plony zboża w gospodarstwach rolnych mają roz-

kład normalny z wartością średnią 45 kwintali/ha i odchyleniem stan-
dardowym 14 kwintali/ha. Jaki procent gospodarstw ma wydajność
większą niż 50 kwintali z hektara?

Rozwiązanie.

Dane: µ = 45, σ = 14, a = 50, b = ∞. Stąd c =

50−45

14

= 0.36,

d = ∞. Zatem

P (50 < X) = 1 − Φ(.36) = 1 − 0.64 = 0.36.

Odp. 36%.

32

ZADANIE 10.

Wzrost żołnierzy ma rozkład normalny ze średnią

177 cm i odchyleniem standardowym 13 cm. W jednostce wojskowej
służy 1050 żołnierzy. Do kompanii honorowej zostanie wybranych 90
najwyższych. Ile trzeba mieć wzrostu, aby zostać wybranym?

Rozwiązanie.

W tym zadaniu mamy dane prawdopodobieństwo P (X > a) =

90

1050

= 0.086, a musimy wyznaczyć a. Mamy

0.086 = P (X > a) = 1 − Φ(c),

gdzie c =

a−177

13

. Stąd Φ(c) = 0.914. W tablicach rozkładu normalne-

go znajdujemy, że c = 1.35. Stąd mamy równanie

1.35 =

a − 177

13

,

skąd a = 194.5.

Odp. Trzeba mieć co najmniej 194 cm wzrostu.

33

ZADANIE 11.

Wiadomo, że maszyna do paczkowania cukru pa-

kuje wg rozkładu normalnego z odchyleniem standardowym σ =
2dkg. Nastawiono ją na 1 kg i przebadano losowo 10 torebek otrzymu-
jąc rezultaty w dkg: 103, 96, 99, 97, 99, 100, 101, 95, 97, 99. Oszacuj
punktowo i przedziałowo średnią wagę torebki na poziomie ufności
1 − α = 0.95.

Rozwiązanie.

a) Oszacowanie punktowe:

Mamy

x = 98.60, s = 2.41. Zatem błąd standardowy jest równy

s

√

n

= 0.76.

Ponieważ odchylenie standardowe jest znane stosujemy model

A1, gdzie

l = u(1 −

α

2

)

σ

√

n

.

W naszym przypadku l = 1.24 i

P = [97.36; 99.84].

34

ZADANIE 12.

Rozwiąż poprzednie zadanie przy założeniu, że

odchylenie standardowe nie jest znane.

Rozwiązanie.

Tym razem stosujemy model A2, w którym

P = [x − l; x + l],

l = t(1 −

α

2

, n − 1)

s

√

n

.

W naszym przypadku n = 10, 1 −

α

2

= 0.975, t(0.975) = 2.26.

Stąd l = 1.72, skąd

P = [96.88; 100.32].

35

ZADANIE 13.

Pewien algorytm sortowania przetestowano na 9

bazach danych losowo wymieszanych i uzyskano czasy sortowania
w sekundach: 9, 13, 21, 7, 21, 14, 12, 21, 11. Oszacuj wartość średnią
punktowo i przedziałowo przyjmując, że rozkład jest normalny oraz
współczynnik ufności 1 − α = 0.95.

Rozwiązanie.

a) Oszacowanie punktowe:

Obliczamy wartość średnią i wariancję. Otrzymujemy

x = 14.33,

s = 5.41.

Błąd standardowy jest równy

s

√

9

= 1.8.

b) Oszacowanie przedziałowe:

Ponieważ próba jest mała i odchylenie standardowe nie jest znane

i rozkład jest normalny, stosujemy model A2.

l = t(1 −

α

2

, n − 1)

s

√

n

.

W naszym przypadku znajdujemy t(0.975, 8) = 2.306. Stąd

l = 2.306 ·

5.41

3

= 4.16.

Zatem przedział ufności jest równy [10.18; 18.49].

36

ZADANIE 14.

Pewna duża firma komputerowa chce ustalić śred-

nią wielkość sprzedaży w ciągu dnia. Na podstawie danych z 3 mie-
sięcy (78 dni) obliczono wartość x równą 2953 tys. zł. i odchylenie
standardowe empiryczne s = 1034 tys. zł. Oszacuj średnią wielkość
dziennej sprzedaży przy współczynniku ufności 1 − α = 0.95.

Rozwiązanie.

Ponieważ próbka jest duża, skorzystamy z modelu A3. Mamy

α = 0.05, skąd 1−

α

2

= 0.975. Znajdujemy w tablicach u(1−

α

2

) = 1.96.

Stąd l = 1.96 ·

1034

√

78

= 229.5

Ostatecznie

P = [2723.5; 3182.5].

Znajdujemy

37

ZADANIE 15.

Trzysta wylosowanych rodzin z danej miejscowo-

ści zapytano, czy posiadają w domu komputer. 121 rodzin odpowie-
działo, że tak, w tym 91 rodzin ma komputer stacjonarny, a 42 ro-
dziny laptop. Wyznacz przedziały ufności z 95%-ową wiarygodnością
dla procentu rodzin: a) posiadających komputer; b) posiadających
komputer stacjonarny; c) posiadających laptop; d) posiadających i
komputer stacjonarny i laptop.

Rozwiązanie.

Stosujemy model B1, czyli wzór

P =

 k

n

− l;

k

n

+ l



,

gdzie l = u(1 −

α

2

)

q

k
n

(

1−

k
n

)

n

.

Mamy n = 300. Znajdujemy w tablicach u(1 −

α

2

) = 1.96.

W punkcie a) mamy k = 121, skąd k/n = 0.403 oraz l = 0.056.

Zatem

P = [0.348; 0.459] = [34.8%; 45.9%].

W punkcie b) mamy k = 91, skąd k/n = 0.303 oraz l = 0.052.

Zatem

P = [0.251; 0.355] = [25.1%; 35.5%].

W punkcie c) mamy k = 42, k/n = 0.14, l = 0.039. Stąd

P = [0.101; 0.179] = [10.1%; 17.9%].

W punkcie d) mamy k = 12 (dlaczego?), skąd k/n = 0.04 oraz

l = 0.022. Zatem

P = [0.018; 0.062] = [1.8%; 6.2%].

38

ZADANIE 16.

Pewna firma cukiernicza zakupiła automat do

produkcji i porcjowania lodów. Nastawiono automat na 5 dkg i spraw-
dzono na bardzo dokładnej wadze 9 losowo wybranych porcji otrzy-
mując wyniki w dkg: 5.07, 5.08, 4.91, 4.95, 5.00, 5.09. 4.98, 4.95, 4.96.
Zakładając, że rozkład jest normalny wyznacz przedziały ufności dla
odchylenia standardowego na poziomie ufności 1 − α = 0.99.

Rozwiązanie.

Stosujemy model C1. W tablicach rozkładu χ

2

znajdujemy χ

2

(1−

α

2

, n − 1) = χ

2

(0.995, 8) = 21.96, χ

2

(

α

2

, n − 1) = χ

2

(0.005, 8) = 1.34.

Natępnie mamy s = 0.065659. Stąd

P =

"

s

s

n − 1

χ

2

(1 −

α

2

, n − 1)

; s

s

n − 1

χ

2

(

α

2

, n − 1)

#

= [0.0396; 0.1602].

Opiszemy krok po kroku jak można rozwiązać to zadanie całko-

wicie przy użyciu pakietu calc

Wpisujemy w komórkach A1-A9 dane. Wpisujemy w komórce B2

liczbę 0.99. Wpisujemy w komórce B3 liczbę 9. Wpisujemy w komórce
C1

=średnia(a1:a9)

Wpisujemy w komórce C2

=pierwiastek(wariancja(a1:a9))

Wpisujemy w komórce C3

=rozkład.chi.odw(b1/2;8)

Wpisujemy w komórce C4

=rozkład.chi.odw(1-b1/2;8)

Wpisujemy w komórce C5

=c2*pierwiastek((b3-1)/c3)

39

To będzie lewy koniec przedziału.
Wpisujemy w komórce D5

=c2*pierwiastek((b3-1)/c4)

To będzie prawy koniec przedziału.

40

ZADANIE 17.

W celu sprawdzenia, czy automat do pakowania

mąki porcjuje precyzyjnie firma młynarska przed ewentualnym za-
kupem zważyła 200 kilogramowych torebek mąki i otrzymała wy-
niki w kg: x = 0.99 i odchylenie standardowe z próbki s = 0.077
dkg. Wyznacz przedział ufności dla odchylenia standardowego przy
współczynniku ufności 1 − α = 0.95.

Rozwiązanie.

Dla dużej próby stosujemy nodel C2. Mamy u(1 −

α

2

) = 1.96.

Stąd

P =

"

0.077

√

398

√

397 + 1.96

;

0.077

√

398

√

397 − 1.96

#

= [0.072; 0.083].

41

ZADANIE 18.

Mamy zważyć sztabkę złota. Chcemy, na pozio-

mie ufności 0.95 otrzymać przedział ufności [x − l; x + l] z l = 0.01
mg. Elektroniczna waga ma rozkład błędów normalny z odchyleniem
standardowym 0.02 mg. Ile niezależnych pomiarów trzeba wykonać?

Rozwiązanie.

Ponieważ odchylenie standardowe jest znane, stosujemy wzór

M1. Z tablic kwantyli rozkładu normalnego znajdujemy u(1 −

α

2

) =

1.96. A więc

n >

 1.96 · 0.02

0.01



2

= 15.37.

Trzeba wykonać 16 pomiarów.

42

ZADANIE 19.

Pewien program sortujący dane został przete-

stowany na 7 losowo wybranych różnego rodzaju plikach długości
1000000 rekordów, i otrzymano czas sortowania w sek. 111, 22, 33,
42, 199, 77, 138. Ile jeszcze należy dodatkowo dokonać testów, aby
otrzymać na poziomie ufności 1 − α = 0.95 przedział ufności nie dłuż-
szy niż 80 sek?. Zakładamy, że cecha ma rozkład normalny.

Rozwiązanie.

Zastosujemy procedurę Steina (model M2). Mamy x

0

= 88.86,

s

0

= 64.5, l =

80

2

= 40, n

0

= 7, t(0.975, 6) = 2.447. Wstawiając to

wszystko do wzoru M2 otrzymujemy

n >



2.447 ·

64.5

40



2

·

6

7

+ 1 = 14.35.

Trzeba jeszcze dodać 15 − 7 = 8 dodatkowych pomiarów.

43

ZADANIE 20.

Pewien informatyk skonstruował program rozpo-

znający linie papilarne. Ile prób należy przeprowadzić, aby na pozio-
mie ufności 1 − α = 0.95 otrzymać przedział ufności długości 10%?

Rozwiązanie.

Zastosujemy wzór M3. Mamy u(1 −

α

2

) = 1.96, l =

0.10

2

= 0.05.

Zatem

n ­

1.96

2

4 · 0.05

2

= 384.2.

Trzeba wykonać 385 prób.

44

ZADANIE 21.

Pewien sklep chce przeprowadzić badanie, jaki

procent klientów po raz drugi dokonuje zakupów w tym sklepie. Ilu
klientów powinien uwzględnić w badaniu aby na poziomie ufności
1 − α = 0.9 otrzymać przedział ufności długości 6%?

Rozwiązanie.

Ponownie skorzystamy z wzoru M3. Mamy u(1 −

α

2

) = 1.64.

l = 0.03.

n ­

1.64

2

4 · 0.03

2

= 747.11.

Powinien w badaniu uwzględnić 748 klientów.

1

1

Liczba 1.64 jako wartość kwantyla u(0.95) jest w tablicach podana w przy-

bliżeniu. Dlatego, jeśli użyjemy do obliczeń programu calc to użyta zostanie jako
u(0.95) dokładniejsza liczba 1.64485 i otrzymamy w tym zadaniu wynik 751.

45

ZADANIE 22.

Rzucamy 20 razy kostką. Otrzymaliśmy wyniki

otrzymane w tabelce:

liczba oczek

1

2

3

4

5

6

liczba rzutów

0

2

7

5

3

3

Zweryfikuj hipotezę, że kość jest „uczciwa”, przyjmując α = 0.05.

Rozwiązanie.

Zastosujemy test χ

2

. Wartość spodziewana dla każdej liczby oczek

to

20

6

= 3.33. W takim razie wartość statystyki testowej wynosi

χ

2
obl

=

(0 − 3.33)

2

3.33

+

(2 − 3.33)

2

3.33

+

(7 − 3.33)

2

3.33

+

(5 − 3.33)

2

3.33

+

(3 − 3.33)

2

3.33

+

(3 − 3.33)

2

3.33

= 8.8.

W tablicach kwantyli rozkładu χ

2

lub przy pomocy komputera

znajdujemy χ

2

(0.95, 5) = 11.071.

Nie ma powodu odrzucania hipotezy, bo 8.8 < 11.071.

46

ZADANIE 23.

Ruletka ma 4 równe pola: dwa czerwone, jedno

białe i jedno czarne. Uruchomiono ją 100 razy; 60 razy wypadło po-
le czerwone, 29 razy białe i 11 razy czarne. Zweryfikuj hipotezę, że
ruletka jest „uczciwa” przyjmując: a) α = 0.05 i b) α = 0.005.

Rozwiązanie.

Ponownie zastosujemy test χ

2

. Przy 100 losowaniach wartości

spodziewane to: 50 razy pole czerwone i po 25 razy pole białe i pole
czarne. Zatem statystyka testowa wynosi

χ

2
obl

=

(60 − 50)

2

50

+

(29 − 25)

2

25

+

(11 − 25)

2

25

= 10.48.

W tablicach rozkładu χ

2

lub przy pomocy komputera znajduje-

my χ

2

(0.95, 2) = 5.991 oraz χ

2

(0.995, 2) = 10.597 Hipotezę odrzuca-

my w punkcie a), a punkcie b) nie.

47

ZADANIE 24.

Łucznik strzelał z łuku do tarczy o promieniu 10

cm. W 10 próbach otrzymał następujące odległości od środka tarczy
(z dokładnością 1cm): 4, 7, 8, 8, 0, 3, 2, 5, 7, 6. Zweryfikuj na poziomie
istotności α = 0.05 hipotezę, że rozkład odległości trafień od środka
tarczy jest jednostajny na przedziale [0; 10].

Rozwiązanie.

Stosujemy test Kołmogorowa. Rozkład jednostajny na przedziale

[0; 10] ma dystrybuantę

F (x) =







0

dla

x < 0,

x

10

dla

0 ¬ x ¬ 10,

1

dla

x > 10.

Tworzymy tabelę

x

i

F (x

i

)

i−1

9

i

9




i−1

9

− F (x

i

)







i

9

− F (x

i

)




0

0

0

0,1

0

0,1

2

0,2

0,1

0,2

0,1

0,0

3

0,3

0,2

0,3

0,1

0,0

4

0,4

0,3

0,4

0,1

0,0

5

0,5

0,4

0,5

0,1

0,0

6

0,6

0,5

0,6

0,1

0,0

7

0,7

0,6

0,7

0,1

0,0

7

0,7

0,7

0,8

0,0

0,1

8

0,8

0,8

0,9

0,0

0,1

8

0,8

0,9

1,0

0,1

0,2

max

0,1

0,2

Stąd maksimum=0.2. W tablicach rozkładu Kołmogorowa znaj-

dujemy d

10

(0.95) = 0.409. Wartość statystyki testowej jest mniejsza.

Hipotezy nie odrzucamy.

48

ZADANIE 25.

Zważono losowo 9 paczek wysyłanych w pewnym

urzędzie pocztowym i uzyskano wyniki w kg. 6.0, 1.5, 0.7, 2.5, 6.3,
1.1, 2.2, 2.8, 1.1. Postaw hipotezę, że rozkład jest typu N (x, s)

2

i zweryfikuj ją na poziomie istotności α = 0.05.

Rozwiązanie.

Obliczając przy pomocy komputera mamy x = 1.52, s = 0, 70.

stawiamy hipotezę, że próbka pochodzi z rozkładu N (1.52, 0.70). Sto-
sujemy test Kołmogorowa. Tworzymy tabelkę:

x

i

F (x

i

)

i−1

9

i

9




i−1

9

− F (x

i

)







i

9

− F (x

i

)




0.7

0,17

0

0,11

0,17

0,06

1.1

0,22

0,11

0,22

0,11

0,00

1.1

0,22

0,22

0,33

0,00

0,11

1.5

0,28

0,33

0,44

0,05

0,16

2.2

0,41

0,44

0,56

0,04

0,15

2.5

0,46

0,56

0,67

0,09

0,20

2.8

0,52

0,67

0,78

0,14

0,26

6.0

0,94

0,78

0,89

0,16

0,06

6.3

0,96

0,89

1,00

0,07

0,06

max

0,17

0,26

D

n

obl

= 0.26. Znajdujemy w tablicach d

9

(0.95) = 0.43. Hipotezy

nie odrzucamy.

2

W zasadzie test Kołmogorowa powinno stosować się wtedy, gdy parametry

rozkładu, z którym porównujemy próbkę są z góry dane.

49

ZADANIE 26.

Próbka dała następujące wyniki 0, 0, 0, 0, 0, 6.

Pokaż przy pomocy testu Kołmogorowa, że na poziomie istotności
α = 0.10 należy odrzucić hipotezę, że rozkład jest typu N (x, s).

Rozwiązanie.

Mamy x = 1, s = 2.45. Tworzymy tabelkę dla testu Kołmogoro-

wa. Stawiamy hipotezę, że próbka pochodzi od rozkładu N (1, 0.245).

x

i

F (x

i

)

i−1

6

i

6




i−1

6

− F (x

i

)







i

6

− F (x

i

)




0

0.33

0

0.17

0.34

0.17

0

0.33

0.17

0.33

0.17

0.01

0

0.33

0.33

0.50

0.01

0.16

0

0.33

0.50

0.67

0.16

0.32

0

0.33

0.67

0.83

0.33

0.49

6

0.96

0.83

1

0.15

0.02

max

0.34

0.49

D

n

obl

jest równe 0.49. Natomiast d

6

(0.90) = 0.468. Zatem hipo-

tezę odrzucamy.

50

ZADANIE 27.

Rozważ próbę z poprzedniego zadania. Pokaż, że

przy innym wyborze µ na tym samym poziomie istotności nie odrzu-
cimy hipotezy, że rozkład jest typu N (µ, s).

Rozwiązanie.

Jeśli ustalimy średnią na przykład na 0.5, to test Kołmogorowa

da rezultat

x

i

F (x

i

)

i−1

6

i

6




i−1

6

− F (x

i

)







i

6

− F (x

i

)




0

0.42

0

0.17

0.42

0.25

0

0.42

0.17

0.33

0.25

0.09

0

0.42

0.33

0.50

0.09

0.08

0

0.42

0.50

0.67

0.08

0.25

0

0.42

0.67

0.83

0.24

0.41

6

0.99

0.83

1

0.15

0.01

max

0.42

0.41

D

n

obl

= 0.42. Natomiast d

6

(0.90) = 0.468. Zatem hipotezy nie

odrzucamy.

51

ZADANIE 28.

Jeszcze raz rozważ próbkę z poprzedniego zada-

nia. Pokaż, że nie odrzucimy hipotezy na tym samym poziomie istot-
ności, że rozkład jest jednostajny na przedziale [a; b] przy pewnym
wyborze a i b.

Rozwiązanie.

Wybierzmy np. a = −6, b = 8. Wtedy

F (x) =







0

dla

x < −6

x+6

14

dla

x ∈ [−6; 8]

1

dla

x > 8.

Zatem tabela do testu Kołmogorowa wygląda następująco:

x

i

F (x

i

)

i−1

6

i

6




i−1

6

− F (x

i

)







i

6

− F (x

i

)




0

0.43

0

0.17

0.43

0.26

0

0.43

0.17

0.33

0.26

0.10

0

0.43

0.33

0.50

0.10

0.07

0

0.43

0.50

0.67

0.07

0.24

0

0.43

0.67

0.83

0.24

0.40

6

0.86

0.83

1

0.02

0.14

max

0.43

0.40

Maksimum jest równe 0.43. Natomiast d

6

(0.90) = 0.468. Zatem

hipotezy nie odrzucamy.

52

ZADANIE 29.

Pewien sklep sprowadził jabłka tej samej odmiany

od dwóch dostawców. Wybrał losowo po 7 jabłek z każdej dostawy i
zważył je. Otrzymał rezultaty w gramach: u pierwszego dostawcy 123,
111, 134, 144, 122, 133, 145. U drugiego dostawcy 122, 133, 117, 129,
137, 159, 161. Czy na poziomie istotności α = 0.05 można stwierdzić,
że obaj dostawcy dają analogiczną ofertę?

Rozwiązanie.

Zastosujemy test serii. Ustawimy wszystkie wartości w ciąg ro-

snący. Oznaczmy pierwszego dostawcę przez x, drugiego przez y.
Otrzymamy tabelkę:

111 117

122

122

123 129

133

133

134 137 144 145 159 161

x

y

x(y) y(x)

x

y

x(y) y(x)

x

y

x

x

y

y

W dwóch przypadkach mamy te same wartości w obu próbkach,

zatem serii może być najmniej 8, a najwięcej 10, w zależności od tego
jak ustawimy próbki o tej samej wartości.

Znajdujemy w tablicy 8 k(0.05, 7, 7) = 4. Widzimy, że niezależ-

nie od ustawienia kolejności takich samych wartości, mamy K > 4.
Uznajemy, że obaj dostawcy mają podobną ofertę.

53

ZADANIE 30.

Producent wag twierdzi, że jego wagi działają

z odchyleniem standardowym 0.1 dkg. Aby sprawdzić, czy dostar-
czone nam z hurtowni torebki cukru są kilogramowe, zważyliśmy 100
losowo wybranych torebek i otrzymaliśmy wartość średnią 0.995 kg.
Czy na poziomie istotności α = 0.05 możemy mieć do hurtownika
zastrzeżenia?

Rozwiązanie.

Należy zastosować model D1. Stawiamy hipotezę µ = 100 prze-

ciwko hipotezie µ < 100. Wartość statystyki testowej jest równa (po
przeliczeniu wszystkich danych na dekagramy)

u

obl

=

99.5 − 100

0.1

· 10 = −5.

Zbiorem krytycznym jest przedział

(−∞; −u(0.95)] = (−∞; −1.64].

Wartość statystyki testowej należy do zbioru krytycznego (i to wy-
raźnie!). Powinniśmy mieć poważne zastrzeżenia.

54

ZADANIE 31.

Twórca programu obliczeniowego twierdzi, że je-

go program rozwiązuje pewne równania różniczkowe na danym pro-
cesorze w czasie około 2 sek. z odchyleniem standardowym 1 sek.
Przetestowano go na 10 zadaniach z różnymi danymi początkowymi
i uzyskano czasy w sekundach: 0.8, 1.9, 2.3, 2.4, 2.4, 0.9, 3.5, 4.2, 2.4,
2.9. Sprawdź na poziomie istotności α = 0.1 czy autor programu się
„nie przechwala”.

Rozwiązanie.

Sposób I.

Zastosujemy test Kołmogorowa, aby się przekonać, że możemy

rozkład uważać za normalny z parametrami zadeklarowanymi przez
twórcę programu, czyli typu N (2, 1).

Tworzymy tabelę. Przypominamy, że F (x) = Φ

x−µ

σ

= Φ

x−



.

x

i

F (x

i

)

i−1

10

i

10




i−1

10

− F (x

i

)







i

10

− F (x

i

)




0.8

0.12

0

0.0

0.12

0.02

0.9

0.14

0.1

0.2

0.04

0.06

1.9

0.46

0.2

0.3

0.26

0.16

2.3

0.62

0.3

0.4

0.32

0.22

2.4

0.66

0.4

0.5

0.26

0.16

2.4

0.66

0.5

0.6

0.16

0.06

2.4

0.66

0.6

0.7

0.06

0.04

2.9

0.82

0.7

0.8

0.12

0.02

3.5

0.93

0.8

0.9

0.13

0.03

4.2

0.99

0.9

1.0

0.09

0.01

max

0.32

0.22

Zatem D

n

obl

= 0.32, a d

10

(0.1) = 0.381. Ponieważ 0.32 < 0.381,

hipotezy nie odrzucamy.

Sposób II.

Przyjmujemy, że rozkład jest normalny i stawiamy hipotezę µ =

2 wobec hipotezy przeciwnej µ > 2. Stoujemy model D2. Wyliczamy
x = 2.37, s = 1.04.

Statystyka testowa wynosi

t

obl

=

2.37 − 2

1.041

·

√

10 = 1.12.

55

Zbiór krytyczny jest równy

W = [t(0.9, 9); ∞) = [1.38; ∞).

Ponieważ t

obl

6∈ W hipotezy nie odrzucamy.

56

ZADANIE 32.

Producent baterii twierdzi, że czas pracy bate-

rii wynosi co najmniej 30 godzin. Przebadano 100 baterii i uzyskano
średni czas pracy 28 godzin i 20 minut i odchylenie standardowe 7
godzin 25 minut. Na poziomie istotności α = 0.05 sprawdź czy pro-
ducent ma rację.

Rozwiązanie.

Ponieważ próba jest duża stosujemy model D3. Po przeliczaniu

danych na minuty mamy x = 1700, s = 445, µ

0

= 1800. Stawiamy

hipotezę µ = 1800 wobec hipotezy przeciwnej µ < 1800.

Wartość statystyki testowej wynosi

u

obl

=

1700 − 1800

445

·

√

100 = −2.25.

Zbiór krytyczny jest równy

W = (−∞; −u(0.95)] = (−∞; −1.64].

Ponieważ u

obl

∈ W hipotezę odrzucamy. Producent nie ma racji.

57

ZADANIE 33.

Jaki jest graniczny poziom istotności, przy któ-

rym odrzucimy hipotezę w poprzednim zadaniu?

Rozwiązanie.

Wartość statystyki testowej wynosi −2.25. Trzeba znaleźć takie

1 − α, że −u(1 − α) = −2.25, czyli obliczyć wartość dystrybuanty
standardowego rozkładu normalnego w punkcie 2.25. Korzystając z
tablic lub komputera otrzymujemy.

1 − α = Φ(.) = ..

Zatem granicznym poziomem istotności jest α = 0.01222.

58

ZADANIE 34.

Aby oszacować dokładność pomiarów wykony-

wanych elektroniczną wagą sześciokrotnie zważono ten sam obiekt
i otrzymano wyniki (w gramach): 11.11, 11, 20, 11.10, 11.13, 11.12,
11.21. Zakładając, że próbka pochodzi z rozkładu normalnego, na
poziomie istotności 0.05 zweryfikuj hipotezę σ = 0.04 g. przeciwko
hipotezie σ > 0.04 g.

Rozwiązanie.

Obliczamy x = 11, 145, s = 0, 04764.

Ponieważ rozkład cechy jest normalny, stosujemy model E1.

Statystka testowa wynosi

χ

2
obl

=

(n − 1)s

2

σ

2

0

= 7.09,

a zbiór krytyczny

W = [11.07; ∞).

Wartość statystyki testowej nie należy do W . Hipotezy nie od-

rzucamy.

59

ZADANIE 35.

Dla danych z poprzedniego zadania wyznacz gra-

niczny poziom istotności α, przy którym odrzucimy hipotezę.

Rozwiązanie.

Wartość statystyki testowej jest równa 7.09. Trzeba wyznaczyć

takie α, że χ

2

(1 − α, 5) = 7.09, czyli wyznaczyć wartość dystrybuan-

ty F rozkładu χ

2

z 5 stopniami swobody w punkcie 7.09. Użyjemy

programu calc i otrzymamy 1 − α = 0.79, skąd α = 0.21.

60

ZADANIE 36.

Aby zbadać dokładność pracy mikrometra zmie-

rzono 60 razy grubość drutu i uzyskano empiryczne odchylenie stan-
dardowe 0.05 mm. Przy założeniu, że rozkład błędów pomiaru jest
normalny zbadać na poziomie istotności α = 0.05 hipotezę, że mikro-
metr mierzy z dokładnością 0.04 mm. Rozwiąż zadanie przy pomocy
modeli E1 i E2.

Rozwiązanie.

Stawiamy hipotezę σ = 0.04 przeciwko hipotezie σ > 0.04.

Stosujemy model E1. Statystka testowa wynosi

χ

2
obl

=

(n − 1)s

2

σ

2

0

= 92.19,

a zbiór krytyczny

W = [χ

2

(0.95, 59); ∞).

Wartość χ

2

(0.95, 59) obliczamy przy pomocy programu calc otrzy-

mując wartość 77.93. Zatem

W = [77.93; ∞).

Jak widać wartość statystyki testowej należy do zbioru krytycznego,
a zatem hipotezę odrzucamy.

Stosujemy model E2. Statystyka testowa wynosi

u

obl

=

r

118 · 0.05

2

0.04

2

−

√

117 = 2.76,

a zbiór krytyczny

W = [1.64; ∞).

I przy tej metodzie hipotezę odrzucamy.

Przy obu metodach wyraźnie!

61

ZADANIE 37.

Rzucamy 300 razy monetą. Orzeł wypadł 165 ra-

zy. Na poziomie istotności α = 0.05 sprawdź hipotezę, że moneta jest
symetryczna.

Rozwiązanie.

Stosujemy model F1. Mamy p

0

= 0.5, n = 300, k = 165. Stawia-

my hipotezę p = 0.5 wobec hipotezy przeciwnej p 6= 0.5.

Wartość statystyki testowej jest równa

u

obl

=

k − np

0

pnp

0

(1 − p

0

)

= 1.73.

Natomiast zbiór krytyczny jest równy

(−∞; −1.96] ∪ [1.96; ∞).

u

obl

6∈ W , zatem hipotezy nie odrzucamy.

62

ZADANIE 38.

Wyznacz graniczny poziom istotności α, przy któ-

rym odrzucimy hipotezę z poprzedniego zadania.

Rozwiązanie.

Trzeba znaleźć takie α, że u(1−

α

2

) = 1.73, czyli obliczyć wartość

dystrybuanty Φ w punkcie 1.73. Otrzymujemy

1 −

α

2

= 0.9582,

skąd α = 0.0836.

63

ZADANIE 39.

Rozwiąż poprzednie dwa zadania przy pomocy

testu zgodności χ

2

.

Rozwiązanie.

Orłów wypadło 165, a reszek 135, w obu wypadkach wartość

spodziewana to 150. Zatem wartość statystyki testowej jest równa

χ

2
obl

=

(165 − 150)

2

150

+

(135 − 150)

2

150

= 3.

Liczba wyników n jest równa 2, zatem liczymy

χ

2

(0.95, 2 − 1) = 3.841.

Ponieważ 3 < 3.841, hipotezy nie odrzucamy.

Aby wyznaczyć graniczny poziom istotności musimy policzyć

wartość dystrybuanty rozkładu χ

2

o jednym stopniu swobody w punk-

cie 3. Najlepiej posłużyć się komputerem (np. programem calc, bo
w tablicach tego nie mamy). Otrzymujemy wartość 0.9167. Stąd α =
0.0833.

Zauważmy, jak bardzo bliskie są wyniki przy obu metodach!

64

ZADANIE 40.

Policzono pewnego dnia klientów internetowego

sklepu i okazało się, że na 155 klientów, którzy wzięli udział w ankiecie
podając płeć, 31 było kobietami. Na poziomie istotności α = 0.05
zweryfikuj hipotezę, że procent klientów kobiet w tym sklepie wynosi
25%.

Rozwiązanie.

Stosujemy model F1. Mamy p

0

= 0.25, n = 155, k = 31. Stawia-

my hipotezę p = 0.25 wobec hipotezy przeciwnej p 6= 0.25.

Wartość statystyki testowej wynosi

u

obl

=

k − np

0

pnp

0

(1 − p

0

)

= −1.44.

Zbiór krytyczny:

W = (−∞; −1.96] ∪ [1.96; ∞).

Wartość −1.44 nie należy do zbioru krytycznego. Nie odrzucamy hi-
potezy.

65

ZADANIE 41.

Pewien sklep z odzieżą chce sprawdzić, czy rów-

nież na terenie jego działalności potwierdzą się dane, że co najmniej
90% klientów stanowią panie. Przez tydzień skrupulatnie liczono klien-
tów i okazało się, że na 527 osób, pań było 450. Czy dane te przeczą
ogólnej statystyce na poziomie istotności α = 0.05?

Rozwiązanie.

Ponownie trzeba zastosować model F1. Mamy p

0

= 0.9, n = 527,

k = 450. Stawiamy hipotezę p = 0.9 wobec hipotezy przeciwnej p <
0.9 (dlaczego?).

Wartość statystyki testowej wynosi

u

obl

=

k − np

0

pnp

0

(1 − p

0

)

= −3.53.

Zbiór krytyczny:

W = (−∞; −1.64].

Wartość −3.53 należy do zbioru krytycznego. Odrzucamy hipotezę.

66

ZADANIE 42.

Dwa narzędzia pomiarowe przebadano mierząc ni-

mi po 20 razy pewien obiekt. Uzyskano następujące rezultaty: s

1

=

0.13, s

2

= 0.20. Czy na poziomie istotności α = 0.05 można zakładać,

że oba urządzenia mierzą jednakowo dokładnie?

Rozwiązanie.

Przyjmujemy hipotezę σ

1

= σ

2

wobec hipotezy przeciwnej σ

1

6=

σ

2

.

Stosujemy model G1. Ponieważ większa jest wariancja w drugiej

próbce, przyjmujemy statystykę

F

obl

=

s

2

2

s

2

1

= 2.37.

Zbiór krytyczny

W = F(1 −

α

2

, 19, 19); ∞) = [2.53; ∞).

2.37 6∈ W , hipotezy nie odrzucamy.

67

ZADANIE 43.

Właściciel sklepu zauważył, że jego waga nie wa-

ży dokładnie. Zważył 50 razy tę samą paczkę kilogramową cukru i
otrzymał odchylenie standardowe 2 dkg. Oddał wagę do remontu,
i po naprawie zważył ponownie 50 razy kilogram cukru otrzymując
odchylenie standardowe 0.5 dkg. Czy może na poziomie istotności
α = 0.05 uznać naprawę za dobrą?

Rozwiązanie.

Zastosujemy model G1. Stawiamy hipotezę σ

1

= σ

2

wobec hipo-

tezy przeciwnej σ

1

> σ

2

. Statystyka testowa jest równa

F

obl

=

s

2

1

s

2

2

= 16.

Natomiast zbiór krytyczny jest równy

W = F(1 − α, 49, 49); ∞) = [1.61; ∞).

Wartość statystyki testowej wyraźnie należy do zbioru krytycznego.
Hipotezę o równości wariancji odrzucamy. Możemy stąd wywniosko-
wać, że waga została porządnie naprawiona!

68

ZADANIE 44.

W pewnej fabryce zmierzono średnice śrub na

dwóch przyrządach pomiarowych od dwóch różnych dostawców uzy-
skując wyniki w cm: 0.99, 0.97, 0.97, 1.00, 0.98, 0.99, oraz odpo-
wiednio 1.06, 1.07, 1.03, 1.01, 1.08. Wiadomo, że pierwszy przyrząd
pomiarowy działa z dokładnością σ

1

= 0.01 cm, a drugi przyrząd

z dokładnością σ

2

= 0.02 cm. Zakładamy, że rozpatrywana cecha

długości śrub ma rozkład normalny. Zweryfikuj na poziomie istotno-
ści α = 0.05 hipotezę, że długości śrub u obu dostawców są takie
same.

Rozwiązanie.

Nasze dane n

1

= 6, n

2

= 5. Ponieważ znane są odchylenia stan-

dardowe możemy zastosować model H1. Stawiamy hipotezę µ

1

= µ

2

wobec hipotezy przeciwnej µ

1

6= µ

2

. Obliczamy

x

1

= 0.9833, x

2

=

1.050. (odchyleń standardowych w tym modelu nie trzeba obliczać).
Statystyka testowa jest równa

u

obl

=

x

1

− x

2

r

σ

2
1

n

2
1

+

σ

2
2

n

2
2

= −6.78.

Zbiór krytyczny

W = (−∞; −1.96] ∪ [1.96; ∞).

Hipotezę wyraźnie odrzucamy.

69

ZADANIE 45.

Jaki jest graniczny poziom istotności, przy któ-

rym odrzucimy hipotezę w poprzednim zadaniu?

Rozwiązanie.

Wartość statystyki testowej jest równa 6.78. Musimy zatem zna-

leźć takie α, aby −u(1 −

α

2

) = −6.78. Trzeba policzyć dystrybuantę

Φ(.). Jest ona praktyczne równa 1 (największy argument w ta-
blicach jest zwykle 3.5). Wartość ta policzona programem calc jest
równa 0.999999996. Stąd α = 0.000000007. Możemy zatem uznać, że
hipotezę odrzucimy na każdym sensownym poziomie istotności.

70

ZADANIE 46.

Rozwiąż zadanie 40 bez informacji o odchyleniach

standardowych.

Rozwiązanie.

Zadanie rozwiążemy w dwóch etapach. W pierwszym etapie spraw-

dzimy, czy możemy przyjąć, że obie próby mają podobne odchylenie
standardowe. Dodatkowo obliczamy s

1

= 0.01211, s

2

= 0.02915.

Stosujemy model G1. Statystyka testowa jest równa

F

obl

=

s

2

2

s

2

1

= 5.8.

Zbiór krytyczny

W = [F(0.975, 5 − 1, 6 − 1); ∞) = [7.39; ∞).

Możemy uznać, że odchylenia standardowe są równe. Zatem w

drugim, głównym etapie stosujemy model H2.

t

obl

=

x

1

− x

2

q

(n

1

−1)s

2
1

+(n

2

−1)s

2
2

n

1

+n

2

−2

·

n

1

+n

2

n

1

n

2

.

Wstawiając nasze dane otrzymujemy wartość −5.14. Zbiór krytyczny
jest postaci

W = (−∞; −t(0.975, 9)] ∪ [t(0.975, 9); ∞),

czyli

W = (−∞; −2.26] ∪ [2.26; ∞).

I w tym wypadku hipotezę wyraźnie odrzucamy.

71

ZADANIE 47.

Zbadano płace 5 kobiet i 5 mężczyzn pracujących

w pewnej firmie. Otrzymano dla kobiet dane (w złotych) 1700, 1300,
1900, 1900, 3500, a dla mężczyzn 1600, 1700, 1800, 2700, 4500. Spraw-
dzić na poziomie istotności α = 0.05, czy można stwierdzić, że płace
kobiet są niższe w tej firmie niż mężczyzn. Zakładamy, że płace mają
rozkłady normalne.

Rozwiązanie.

Najpierw obliczamy x

1

= 2060, s

1

= 841.43, x

2

= 2460, s

2

=

1221.88.

Test przeprowadzimy w dwóch etapach.

W etapie pierwszym sprawdzimy, czy oba odchylenia standardo-

we możemy uznać za jednakowe. W zależności od tego do właściwego
testu wybierzemy model H2 lub H3.

ETAP 1.

Stawiamy hipotezę σ

1

= σ

2

wobec hipotezy przeciwnej σ

1

6= σ

2

.

Stosujemy model G1. Druga próbka ma większą wariancję, zatem
nasza statystyka testowa jest równa

F

obl

=

s

2

2

s

2

1

= 2.11.

Natomiast zbiór krytyczny jest równy

W = [F(1 −

α

2

, 5 − 1, 5 − 1); ∞) = [9.6; ∞).

Nie odrzucamy hipotezy o równość odchyleń standardowych. Zatem
w trzecim etapie zastosujemy model H2.

ETAP 2.

Stawiamy hipotezę µ

1

= µ

2

wobec hipotezy przeciwnej µ

1

< µ

2

.

Statystyka testowa jest równa

t

obl

=

x

1

− x

2

q

(n

1

−1)s

2
1

+(n

2

−1)s

2
2

n

1

+n

2

−2

·

n

1

+n

2

n

1

n

2

.

Dla naszych danych otrzymujemy wynik −0.6. Zbiór krytyczny

W = (−∞; −2.31] ∪ [2.31; ∞).

Hipotezy nie odrzucamy. Przyjmujemy, że płace są podobne.

72

ZADANIE 48.

W zakładzie z poprzedniego zadania odeszła z

pracy kobieta zarabiająca 3500 złotych i do próby losowej wybrano
tylko poprzednie 4 kobiety. Rozwiąż poprzednie zadanie przy nowych
danych.

Rozwiązanie.

Teraz mamy n

1

= 4, x

1

= 1700, s

1

= 282.84. Pozostałe dane bez

zmian.

Test równości wariancji wypada teraz negatywnie, bo wartość

statystyki testowej jest równa 18.66, natomiast zbiór krytyczny jest
równy W = [15.1; ∞).

Zatem w drugim etapie stosujemy model H3. Wartość statystyki

C

obl

= −1.35, natomiast zbiór krytyczny W = (−∞; −2.8] ∪ [2.8; ∞).

Widzimy, że C

obl

6∈ W , zatem hipotezy nie odrzucamy.

73

ZADANIE 49.

Policja przeprowadziła badania prędkości samo-

chodów w pewnym niebezpiecznym miejscu na próbach liczności 200
dla samochodów osobowych i ciężarowych i uzyskała wyniki: dla oso-
bowych 101 km/h przy odchyleniu standardowym 7.8 km/h, a dla cię-
żarowych 88 km/h przy odchyleniu standardowym 10.9 km/h. Zwery-
fikuj na poziomie istotności α = 0.05 hipotezę, że samochody osobowe
w tym miejscu jeżdżą nie prędzej niż samochody ciężarowe.

Rozwiązanie.

Próbki są duże, stosujemy więc model H4. Mamy x

1

= 101,

s

1

= 7.8, x

2

= 88, s

2

= 10.9, n

1

= n

2

= 200. Stawiamy hipotezę

µ

1

= µ

2

wobec hipotezy µ

1

> µ

2

.

Statystyka testowa dana jest wzorem

u

obl

=

x

1

− x

2

q

s

2
1

n

1

+

s

2
2

n

2

.

W naszym wypadku

u

obl

= 13.72,

a zbiór krytyczny ma postać

W = [1.64; ∞).

Hipotezę bardzo zdecydowanie odrzucamy.

74

ZADANIE 50.

Do sklepu pewnego dnia przyszło: 180 kobiet, spo-

śród których 88 dokonało zakupu, oraz 122 mężczyzn, spośród nich
101 dokonało zakupu. Czy słuszna jest hipoteza, że procent osób do-
konujących zakupu po wejściu do sklepu nie zależy od płci? Przyjmij
α = 0.05.

Rozwiązanie.

Trzeba zastosować model I1.

Mamy n

1

= 180, k

1

= 88, n

2

= 122, k

2

= 101. Stawiamy hipote-

zę p

1

= p

2

wobec hipotezy przeciwnej p

1

6= p

2

. Stosujemy statystykę

u

obl

=

k

1

n

1

−

k

2

n

2

r

k

1

+k

2

n

1

n

2



1 −

k

1

+k

2

n

1

+n

2



.

Podstawiając nasze dane otrzymujemy

u

obl

= −5.97,

natomiast zbiór krytyczny

W = (−∞; −1.96] ∪ [1.96; ∞).

u

obl

należy do zbioru krytycznego, hipotezę odrzucamy.

75

ZADANIE 51.

Pewna firma niezadowolona z wielkości sprzedaży

postanowiła zatrudnić agencję reklamową. Tabelka pokazuje średnią
tygodniową sprzedaż wybranych asortymentów (w tys. zł.) po zatrud-
nieniu tej agencji. Czy słuszna jest hipoteza, że zatrudnienie agencji
nie zmieniło wielkości sprzedaży. Zakładamy, że wszystkie próbki po-
chodzą z rozkładu normalnego i przyjmujemy α = 0.05

wielkość sprzedaży przed

9

11

17

4

7

9

wielkość sprzedaży po

21

21

18

5

9

19

Rozwiązanie.

Tworzymy nową zmienną Y = X

2

− X

1

. Mamy y

1

= 12, y

2

= 10,

y

3

= 1, y

4

= 1, y

5

= 2, y

6

= 10. Mamy y = 6.00, s = 5.18. Testujemy

hipotezę µ = 0 wobec hipotezy µ > 0.

Ponieważ próbka jest nieliczna, stosujemy model E2. Wartość

statystyki wynosi 1.89, a zbiór krytyczny W = [2.02; ∞). Hipotezy nie
odrzucamy. Wynika z tego, że zatrudnienie agencji tylko nieznacznie
poprawiło sprzedaż.

76

ZADANIE 52.

W pewnym niebezpiecznym miejscu doszło w pew-

nym miesiącu do 32 kolizji drogowych. Policja ustawiła tam ostrze-
gawczy oświetlony znak. Po ustawieniu tego znaku w najbliższym
miesiącu doszło do 19 kolizji. Czy można uznać, że sytuacja się po-
prawiła? Przyjmij α = 0.05.

Rozwiązanie.

Problem ten można próbować rozwiązać kilkoma sposobami. Po

pierwsze możemy zastosować model I1, ale nie będzie on w stu pro-
centach dobry, bo próby nie są niezależne.

Można liczbę wypadków potraktować jako liczbę „sukcesów” w

rozkładzie dwupunktowym np. obliczając liczbę godzin w miesią-
cu (744) i przyjąć, że każdy wypadek zdarzył się w innej godzinie.
Następnie rozważać zmienną k = k

1

− k

2

= 13 przyjąć hipotezę

p = p

0

= 0, wobec hipotezy p > 0 i zastosować model F1. Ale we

wzorze na statystykę testową p

0

musi być większe od zera.

Możemy rozumowanie poprawić tak. Możemy przyjąć, że mini-

malna liczba kolizji zawsze będzie: np. 1 na 1000 godzin. I jako hipo-
tezę zerową przyjąć p = 0.001 wobec hipotezy przeciwnej p > 0.001.
Jeśli te dane: n = 744, k = 13, p

0

= 0.0001 wstawimy do modelu

F1, to wartość statystyki testowej wyjdzie 14.22, a zbiór krytyczny
będzie równy W = [1.64; ∞). Hipotezę zdecydowanie odrzucamy. To
oznacza, że sytuacja się wyraźnie poprawiła.

77

ZADANIE 53.

Wyniki egzaminu ze statystyki studentów cho-

dzących na wykłady (C) i niechodzących (N) w pewnej grupie wg
rezultatów (zaliczony - ZAL i niezaliczony - NZAL) podane są w ta-
belce

ZAL

NZAL

C

2

102

N

28

36

Zbadaj, czy hipoteza zaliczenie egzaminu jest niezależne od tego

czy student chodzi na zajęcia jest słuszna. Przyjmij α = 0.05.

Rozwiązanie.

Dodając dane w kolumnach i wierszach zapiszmy naszą tabelkę

następująco

ZAL

NZAL

razem

C

2

102

104

N

28

36

64

razem

30

138

168

Zastosujemy test χ

2

. Obliczamy

χ

2
obl

=

2 − 30 ·

104
168

2

30 ·

104
168

+

102 − 138 ·

104
168

2

138 ·

104
168

+

28 − 30 ·

64

168

2

30 ·

64

168

+

36 − 138 ·

64

168

2

138 ·

64

168

≈ 47.

Natomiast χ

2

(0.95, (2−1)·(2−1)) = 3.84. Hipotezę zdecydowanie

odrzucamy. Warto chodzić na zajęcia.

78

ZADANIE 54.

Wyznacz współczynniki Cramera i C Pearsona

dla poprzedniego zadania.

Rozwiązanie.

Mamy n = 168, m = 2.

V =

s

χ

2
obl

n(m − 1)

≈ 0.53.

C =

s

χ

2
obl

χ

2
obl

+ n

≈ 0.47.

Tablice

79

Tablice

Tablica 1. Wartości Φ(u) rozkładu normalnego N (0, 1)

u

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359
0,1

,5398

,5438

,5478

,5517

,5557

,5596

,5636

,5675

,5714

,5753

0,2

,5793

,5832

,5871

,5910

,5948

,5987

,6026

,6064

,6103

,6141

0,3

,6179

,6217

,6255

,6293

,6331

,6368

,6406

,6443

,6480

,6517

0,4

,6554

,6591

,6628

,6664

,6700

,6736

,6772

,6808

,6844

,6879

0,5

,6915

,6950

,6985

,7019

,7054

,7088

,7123

,7157

,7190

,7224

0,6

,7257

,7290

,7324

,7357

,7389

,7422

,7454

,7486

,7517

,7549

0,7

,7580

,7611

,7642

,7673

,7704

,7734

,7764

,7794

,7823

,7852

0,8

,7881

,7910

,7939

,7967

,7995

,8023

,8051

,8078

,8106

,8133

0,9

,8159

,8186

,8212

,8238

,8264

,8289

,8315

,8340

,8365 ,8389

1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621
1,1

,8643

,8665

,8686

,8708

,8729

,8749

,8770

,8790

,8810

,8830

1,2

,8849

,8869

,8888

,8907

,8925

,8944

,8962

,8980

,8997

,9015

1,3

,9032

,9049

,9066

,9082

,9099

,9115

,9131

,9147

,9162

,9177

1,4

,9192

,9207

,9222

,9236

,9251

,9265

,9279

,9292

,9306

,9319

1,5

,9332

,9345

,9357

,9370

,9382

,9394

,9406

,9418

,9429

,9441

1,6

,9452

,9463

,9474

,9484

,9495

,9505

,9515

,9525

,9535

,9545

1,7

,9554

,9564

,9573

,9582

,9591

,9599

,9608

,9616

,9625

,9633

1,8

,9641

,9649

,9656

,9664

,9671

,9678

,9686

,9693

,9699

,9706

1,9

,9713

,9719

,9726

,9732

,9738

,9744

,9750

,9756

,9761

,9767

2,0 0,9772 0,9779 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817
2,1

,9821

,9826

,9830

,9834

,9838

,9842

,9846

,9850

,9854

,9857

2,2

,9861

,9864

,9868

,9871

,9875

,9878

,9881

,9884

,9887

,9890

2,3

,9893

,9896

,9898

,9901

,9904

,9906

,9909

,9911

,9913

,9916

2,4

,9918

,9920

,9922

,9925

,9927

,9929

,9931

,9932

,9934

,9936

2,5

,9938

,9940

,9941

,9943

,9945

,9946

,9948

,9949

,9951

,9952

2,6

,9953

,9955

,9956

,9957

,9959

,9960

,9961

,9962

,9963

,9964

2,7

,9965

,9966

,9967

,9968

,9969

,9970

,9971

,9972

,9973

,9974

2,8

,9974

,9975

,9976

,9977

,9977

,9978

,9979

,9979

,9980

,9981

2,9

,9981

,9982

,9982

,9983

,9984

,9984

,9985

,9985

,9986

,9986

3,0

,9987

,9987

,9987

,9988

,9988

,9989

,9989

,9989

,9990

,9990

3,1

,9990

,9991

,9991

,9991

,9992

,9992

,9992

,9992

,9993

,9993

3,2

,9993

,9993

,9994

,9994

,9994

,9994

,9994

,9995

,9995

,9995

3,3

,9995

,9995

,9995

,9996

,9996

,9996

,9996

,9996

,9996

,9997

3,4

,9997

,9997

,9997

,9997

,9997

,9997

,9997

,9997

,9997

,9998

80

Tablica 2. Kwantyle rozkładu normalnego N (0, 1), u(p) = Φ

−

(p)

p

Φ

−

(p)

0.50

0.0000

0.51

0.0251

0.52

0.0502

0.53

0.0753

0.54

0.1005

0.55

0.1257

0.56

0.1510

0.57

0.1764

0.58

0.2019

0.59

0.2276

0.60

0.2534

0.61

0.2794

0.62

0.3055

0.63

0.3319

0.64

0.3585

0.65

0.3854

0.66

0.4125

0.67

0.4400

0.68

0.4677

0.69

0.4959

0.70

0.5244

0.71

0.5534

0.72

0.5829

0.73

0.6129

0.74

0.6434

p

Φ

−

(p)

0.75

0.6745

0.76

0.7063

0.77

0.7389

0.78

0.7722

0.79

0.8065

0.80

0.8417

0.81

0.8779

0.82

0.9154

0.83

0.9542

0.84

0.9945

0.85

1.0365

0.86

1.0804

0.87

1.1264

0.88

1.1750

0.89

1.2266

0.90

1.2816

0.91

1.3408

0.92

1.4051

0.93

1.4758

0.94

1.5548

0.95

1.6449

0.96

1.7507

0.97

1.8808

0.98

2.0537

0.99

2.3263

Tablica 2.5 Uproszczone kwantyle u(p) rozkładu normalnego

N (0, 1)

p

0,90

0,95

0,975

0,99

0,995

u(p)

1,28

1,64

1,96

2,33

2,58

Tablice

81

Tablica 3. Kwantyle t(p, k) rzędu p rozkładu Studenta o k

stopniach swobody

p

k

0,90

0,95

0,975

0,99

0,995

1

3,078

6,314

12,706

31,821

63,657

2

1,886

2,920

4,303

6,965

9,925

3

,638

,353

3,182

4,541

5,841

4

,533

,132

2,776

3,747

4,604

5

,476

,015

,571

,365

,032

6

1,440

1,943

2,447

3,143

3,707

7

,415

,895

,365

2,998

,499

8

,397

,859

,306

,897

,355

9

,383

,833

,262

,821

,250

10

,372

,812

,228

,764

,169

11

1,363

1,795

2,201

2,718

3,106

12

,356

,782

,179

,681

,054

13

,350

,771

,160

,650

,012

14

,345

,761

,145

,624

2,977

15

,341

,753

,131

,602

,947

16

1,337

1,746

2,120

2,583

2,921

17

,333

,740

,110

,567

,898

18

,330

,734

,101

,552

,878

19

,328

,729

,093

,539

,861

20

,325

,725

,086

,528

,845

21

1,323

1,721

2,080

2,518

2,831

22

,321

,717

,074

,508

,819

23

,319

,714

,069

,500

,807

24

,318

,711

,064

,492

,797

25

,316

,708

,060

,485

,787

26

1,315

1,706

2,055

2.479

2,779

27

,314

,703

,052

,473

,771

28

,312

,701

,048

,467

,763

29

,311

,699

,045

,462

,756

30

,310

,697

,042

,457

,750

82

Tablica 3. Kwantyle t(p, k) rzędu p rozkładu Studenta o k

stopniach swobody c.d.

p

k

0,90

0,95

0,975

0,99

0,995

31

1,309

1,695

2,039

2,453

2,744

32

,309

,694

,037

,449

,738

33

,308

,692

,034

,445

,733

34

,307

,691

,032

,441

,728

35

,306

,690

,030

,438

,724

36

1,305

1,688

2,028

2,434

2,720

37

,305

,687

,025

,431

,715

38

,304

,686

,024

,429

,712

39

,304

,685

,023

,425

,708

40

,303

,684

,021

,423

,704

41

1,303

1,683

2,019

2,421

2,701

42

,302

,682

,018

,418

,698

43

,302

,681

,017

,416

,695

44

,301

,680

,015

,414

,692

45

,301

,679

,014

,412

,690

46

1.300

1,679

2,013

2,410

2,687

47

,300

,678

,012

,408

,685

48

,299

,677

,011

,407

,682

49

,299

,677

,010

,405

,680

50

,299

,676

,009

,403

,678

55

1,297

1,673

2,004

2,396

2,668

60

,295

,671

,000

,390

,660

65

,295

,669

1,997

,385

,654

70

,294

,667

,994

,381

648

75

,293

,665

,992

,377

,643

80

1,292

1,664

1,990

2,374

2,639

90

,291

,662

,987

,369

632

100

,290

,660

,984

,364

,626

120

,289

,658

,980

,358

,617

150

,287

,655

,976

,351

,609

200

1,286

1,653

1,972

2,345

2,601

300

,284

,650

,968

,339

,592

500

,283

,648

,965

,334

,586

1000

,282

,646

,962

,330

,581

∞

,282

,645

,960

,326

,576

Tablice

83

Tablica 4. Kwantyle χ

2

(p, k) rzędu p rozkładu χ

2

o k stopniach

swobody

p

k

0,005

0,01

0,025

0,05

0,95

0,975

0,99

0,995

1

-

-

0,001

0,004

3,841

5,024

6,635

7,879

2

0,010

0,020

0,051

0,103

5,991

7,378

9,210 10,597

3

0,072

0,115

0,216

0,352

7,815

9,348 11,345 12,838

4

0,207

0,297

0,484

0,711

9,488 11,143 13,277 14,860

5

0,412

0,554

0,831

1,145 11,071 12,833 15,086 16,750

6

0,676

0,872

1,237

1,635 12,592 14,449 16,812 18,548

7

0,989

1,239

1,690

2,167 14,067 16,013 18,475 20,278

8

1,344

1,646

2,180

2,733 15,507 17,535 20,090 21,955

9

1,735

2,088

2,700

3,325 16,919 19,023 21,666 23,589

10

2,156

2,558

3,247

3,940 18,307 20,483 23,209 25,188

11

2,603

3,053

3,816

4,575 19,675 21,920 24,725 26,757

12

3,074

3,571

4,404

5,226 21,026 23,337 26,217 28,299

13

3,565

4,107

5,009

5,892 22,362 24,736 27,688 29,819

14

4,075

4,660

5,629

6,571 23,685 26,119 29,141 31,319

15

4,601

5,229

6,262

7,261 24,996 27,488 30,578 32,801

16

5,142

5,812

6,908

7,962 26,296 28,845 32,000 34,267

17

5,697

6,408

7,564

8,672 27,587 30,191 33,409 35,718

18

6,265

7,015

8,231

9,390 28,869 31,526 34,805 37,156

19

6,844

7,633

8,907 10,117 30,144 32,852 36,191 38,582

20

7,434

8,260

9,591 10,851 31,410 34,170 37,566 39,997

21

8,034

8,897 10,283 11,591 32,671 35,479 38,932 41,401

22

8,643

9,542 10,982 12,336 33,924 36,781 40,289 42,796

23

9,260 10,196 11,689 13,091 35,172 38,076 41,638 44,181

24

9,886 10,856 12,401 13,848 36,415 39,364 42,980 45,559

25 10,520 11,524 13,120 14,611 37,652 40,646 44,314 46,928
26 11,160 12,198 13,844 15,379 38,885 41,923 45,642 48,290
27 11,808 12,879 14,573 16,151 40,113 43,194 46,963 49,645
28 12,461 13,565 15,308 16,928 41,337 44,461 48,278 50,993
29 13,121 14,257 16,047 17,708 42,557 45,722 49,588 52,336
30 13,787 14,954 16,791 18,493 43,773 46,979 50,892 53,672

84

Tablica 4. Kwantyle χ

2

(p, k) rzędu p rozkładu χ

2

o k stopniach

swobody c.d

p

k

0,005

0,01

0,025

0,05

0,95

0,975

0,99

0,995

31 14,458 15,655 17,539 19,281 44,985 48,232 52,191 55,003
32 15,134 16,362 18,291 20,072 46,194 49,480 43,486 56,328
33 15,815 17,074 19,047 20,867 47,400 50,725 54,776 57,648
34 16,501 17,789 19,806 21,664 48,602 51,966 56,061 58,964
35 17,192 18,509 20,569 22,465 49,802 53,203 57,342 60,275
36 17,887 19,233 21,336 23,269 50,998 54,437 58,619 61,581
37 18,586 19,960 22,106 24,075 52,192 55,668 59,892 62,883
38 19,289 20,691 22,878 24,884 53,384 56,896 61,162 64,181
39 19,996 21,426 23,654 25,695 54,572 58,120 62,428 65,476
40 20,707 22,164 24,433 26,509 55,758 59,342 63,691 66,766

41 21,421 22,906 25,215 27,326 56,942 60,561 64,950 68,053
42 22,138 23,650 25,999 28,144 58,124 61,777 66,206 69,336
43 22,859 24,398 26,785 28,965 59,304 62,990 67,459 70,616
44 23,584 25,148 27,575 29,787 60,481 64,201 68,710 71,893
45 24,311 25,901 28,366 30,612 61,656 65,410 69,957 73,166
46 25,041 26,657 29,160 31,439 62,830 66,617 71,201 74,437
47 25,775 27,416 29,956 32,268 64,001 67,821 72,443 75,704
48 26,511 28,177 30,755 33,098 65,171 69,023 73,683 76,969
49 27,249 28,941 31,555 33,930 66,339 70,222 74,919 78,231
50 27,991 29,707 32,357 34,764 67,505 71,420 76,154 79,490

Tablice

85

Tablica 5. Kwantyle F(1 − α, k

1

, k

2

) rzędu 1 − α rozkładu F

Snedecora o k

1

, k

2

stopniach swobody, 1 − α = 0.95

k

1

k

2

1

2

3

4

5

6

7

8

1

161

200

216

225

230

234

237

239

2

18,50

19

19,2

19,2

19,3

19,3

19,4

19,4

3

10,10

9,55

9,28

9,12

9,01

8,94

8,89

8,85

4

7,71

6,94

6,59

6,39

6,26

6,16

6,09

6,04

5

6,61

5,79

5,41

5,19

5,05

4,95

4,88

4,82

6

5,99

,14

4,76

4,53

4,39

,28

,21

,15

7

,59

4,74

,35

,12

3,97

3,87

3,79

3,73

8

,32

,46

,07

3,84

,69

,58

,50

,44

9

,12

,26

3,86

,63

,48

,37

,29

,23

10

4,96

,10

,71

,48

,33

,22

,14

,07

11

4,84

3,98

3,59

3,36

3,20

3,09

3,01

2,95

12

,75

,89

,49

,26

,11

,00

2,91

,85

13

,67

,81

,41

,18

,03

2,92

,83

,77

14

,60

,74

,34

,11

2,96

,85

,76

,70

15

,54

,68

,29

,06

,90

,79

,71

,64

16

,49

,63

,24

,01

,85

,74

,66

,59

17

,45

,59

,20

2,96

,81

,70

,61

,55

18

,41

,55

,16

,93

,77

,66

,58

,51

19

,38

,52

,13

,90

,74

,63

,54

,48

20

,35

,49

,10

,87

,71

,60

,51

,45

21

4,32

3,47

3,07

2,84

2,68

2,57

2,49

2,42

22

,30

,44

,05

,82

,66

,55

,46

,40

23

,28

,42

,03

,80

,64

,53

,44

,37

24

,26

,40

,01

,78

,62

,51

,42

36

25

,24

,39

2,99

,76

,60

,49

,40

,34

26

,23

,37

,98

,74

,59

,47

,39

,32

27

,21

,35

,96

,73

,57

,46

,37

,31

28

,20

,34

,95

,71

,56

,45

,36

,29

29

,18

,33

,93

,70

,55

,43

,35

,28

30

,17

,32

,92

,69

,53

,42

,33

,27

40

4,08

3,23

2,84

2,61

2,45

2,34

2,25

2,18

60

,00

,15

,76

,53

,37

,25

,17

,10

120

3,92

,07

,68

,44

,29

,17

,08

,01

∞

,84

,00

,60

,37

,21

,10

,01

1,94

86

Tablica 5. Kwantyle F(1 − α, k

1

, k

2

) rzędu 1 − α rozkładu F

Snedecora o k

1

, k

2

stopniach swobody c.d., 1 − α = 0.95

k

1

k

2

10

12

20

40

60

100

∞

1

242

244

248

251

252

253

254

2

19,40

19,4

19,4

19,5

19,5

19,5

19,5

3

8,79

8,74

8,66

8,59

8,57

8,55

8,53

4

5,96

5,91

5,80

5,72

5,69

5,66

5,63

5

4,74

4,68

4,56

4,46

4,43

4,41

4,37

6

,06

,00

3,87

3,77

3,74

3,71

3,67

7

3,64

3,57

,44

,34

,30

,27

,23

8

,35

,28

,15

,04

,01

2,97

2,93

9

,14

,07

2,94

2,83

2,79

,76

,71

10

2,98

2,91

,77

,66

,62

,59

,54

11

2,85

2,79

2,65

2,53

2,49

2,46

2,40

12

,75

,69

,54

,43

,38

,35

,30

13

,67

,60

,46

,34

,30

,26

,21

14

,60

,53

,39

,27

,22

,19

,13

15

,54

,48

,33

,20

,16

,12

,07

16

,49

,42

,28

,15

,11

,07

,01

17

,45

,38

,23

,10

,06

,02

1,96

18

,41

,34

,19

,06

,02

1,98

,92

19

,38

,31

,16

,03

1,98

,94

,88

20

,35

,28

,12

1,99

,95

,91

,84

21

2,32

2,25

2,10

1,96

1,92

1,88

1,81

22

,30

,23

,07

,94

,89

,85

,78

23

,27

,20

,05

,91

,86

,82

,76

24

,25

,18

,03

,89

,84

,80

,73

25

,24

,16

,01

,87

,82

,78

,71

26

,22

,15

1,99

,85

,80

,76

,69

27

,20

,13

,97

,84

,79

,74

,67

28

,19

,12

,96

,82

,77

,73

,65

29

,18

,10

,94

,81

,75

,71

,64

30

,16

,09

,93

,79

,74

,70

,62

40

2,08

2,00

1,84

1,69

1,64

1,59

1,51

60

1,99

1,92

,75

,59

,53

,48

,39

120

,91

,83

,65

,49

,42

,36

,25

∞

,83

,75

,57

,39

,32

,24

,00

Tablice

87

Tablica 5. Kwantyle F(1 − α, k

1

, k

2

) rzędu 1 − α rozkładu F

Snedecora o k

1

, k

2

stopniach swobody, c.d 1 − α = 0.975

k

1

k

2

1

2

3

4

5

6

7

8

1

648

800

864

900

922

937

948

957

2

38,50

39

39,2

39,2

39,3

39,3

39,4

39,4

3

17,40

16

15,4

15,1

14,9

14,7

14,6

14,5

4

12,2

10,6

9,98

9,60

9,36

9,20

9,07

8,98

5

10,0

8,43

7,76

7,39

7,15

6,98

6,85

6,76

6

8,81

7,26

6,60

6,23

5,99

5,82

5,70

5,60

7

,07

6,54

5,89

5,52

,29

,12

4,99

4,90

8

7,57

,06

,42

,05

4,82

4,65

,53

,43

9

,21

5,71

,08

4,72

,48

,32

,20

,10

10

6,94

,46

4,83

,47

,24

,07

3,95

3,85

11

6,72

5,26

4,63

4,28

4,04

3,88

3,76

3,66

12

,55

,10

,47

,12

3,89

,73

,61

,51

13

,41

4,97

,35

,00

,77

,60

,48

,39

14

,30

,86

,24

3,89

,66

,50

,38

,29

15

,20

,76

,15

,80

,58

,41

,29

,20

16

,12

,69

,08

,73

,50

,34

,22

,12

17

,04

,62

,01

,66

,44

,28

,16

,06

18

5,98

,56

3,95

,61

,38

,22

,10

,01

19

,92

,51

,90

,56

,33

,17

,05

2,96

20

,87

,46

,86

,51

,29

,13

,01

,91

21

5,83

4,42

3,82

3,48

3,25

3,09

197

2,87

22

,79

,38

,78

,44

,22

,05

,93

,84

23

,75

,35

,75

,41

,18

,02

,90

,81

24

,72

,32

,72

,38

,15

2,99

,87

,78

25

,69

,29

,69

,35

,13

,97

,85

,75

26

,66

,27

,67

,33

,10

,94

,82

,73

27

,63

,24

,65

,31

,08

,92

,80

,71

28

,61

,22

,63

,29

,06

,90

,78

,69

29

,59

,20

,61

,27

,04

,88

,76

,67

30

,57

,18

,59

,25

,03

,87

,75

,65

40

5,42

4,05

3,46

3,13

2,90

2,74

162

2,53

60

,29

3,93

,34

,01

,79

,63

,51

,41

120

,15

,80

,22

2,89

,67

,51

39

30

∞

,02

,69

,12

,79

,57

,41

,29

,19

88

Tablica 5. Kwantyle F(1 − α, k

1

, k

2

) rzędu 1 − α rozkładu F

Snedecora o k

1

, k

2

stopniach swobody c.d.,

1 − α = 0.975

k

1

k

2

10

12

20

40

60

100

∞

1

969

977

993

1006

1010

1013

1018

2

39,4

39,4

39,4

39,5

39,5

39,5

39,5

3

14,4

14,3

14,2

14,0

14,0

14,0

13,9

4

8,84

8,75

8,56

8,41

8,36

8,32

8,26

5

6,62

6,52

6,33

6,18

6,12

6,08

6,02

6

5,46

5,37

5,17

5,01

4,92

4,92

4,85

7

4,76

4,67

4,47

4,31

,25

,21

,14

8

,30

,20

,00

3,84

3,78

3,74

3,67

9

3,96

3,87

3,67

,51

,45

,40

,33

10

,72

,62

,42

,26

,20

,15

,08

11

3,53

3,43

3,23

3,06

3,00

2,96

2,88

12

,37

,28

,07

2,91

2,85

,80

,72

13

,25

,15

2,95

,78

,72

,67

,60

14

,15

,05

,84

,67

,61

,56

,49

15

,06

2,96

,76

,58

,52

,47

,40

16

2,99

,89

,68

,51

,45

,40

,32

17

,92

,82

,62

,44

,38

,33

,25

18

,87

,77

,56

,38

,32

,27

,19

19

,82

,72

,51

,33

,27

22

,13

20

,77

,68

,46

,29

,22

,17

,09

21

2,73

2,64

2,42

2,25

2,18

2,13

2,04

22

,70

,60

,39

,21

,14

,09

,00

23

,67

,57

,36

,18

,11

,06

1,97

24

,64

,54

,33

,15

,08

,02

,94

25

,61

,51

,30

,12

,05

,00

,91

26

,59

,49

,28

,09

,03

1,97

,88

27

,57

,47

,25

,07

,00

,94

,85

28

,55

,45

,23

,05

1,98

,92

,83

29

,53

,43

,21

,03

,96

,90

,81

30

,51

,41

,20

,01

,94

,88

,79

40

2,39

2,29

2,07

1,88

1,80

1,74

1,64

60

,27

,17

1,94

,74

,67

,60

,48

120

,15

,05

,82

,61

,52

,45

,31

∞

,05

1,94

,71

,48

,39

,30

,00

Tablice

89

Tablica 6. Kwantyle d

n

(1 − α) statystyki D

n

Kołmogorowa

α

α

n

0,10

0,05

0,01

n

0,10

0,05

0,01

1

0,950

0,975

0,995

51

0,168

0,187

0,224

2

,776

,842

,929

52

,166

,185

,222

3

,636

,708

,829

53

,165

,183

,220

4

,565

,624

,734

54

,163

,181

,218

5

,509

,563

,669

55

,162

,180

,216

6

,468

,519

,617

56

,160

,178

,214

7

,436

,483

,576

57

,159

,177

,212

8

,410

,454

,542

58

,158

,175

,210

9

,387

,430

,513

59

,156

,174

,208

10

,369

,409

,489

60

,155

,172

,207

11

,352

,391

,468

61

,154

,171

,205

12

,338

,375

,449

62

,153

,170

,203

13

,325

,361

,432

63

,151

,168

,202

14

,314

,349

,418

64

,150

,167

,200

15

,304

,338

,404

65

,149

,166

,199

16

,295

,327

,392

66

,148

,164

,197

17

,286

,318

,381

67

,147

,163

,196

18

,279

,309

,371

68

,146

,162

,194

19

,271

,301

,361

69

,145

,161

,193

20

,265

,294

,352

70

,144

,160

,192

21

,259

,287

,344

71

,143

,159

,190

22

,253

,281

,337

72

,142

,158

,189

23

,247

,275

,330

73

,141

,156

,188

24

,242

,269

,323

74

,140

,155

,186

25

,238

,264

,317

75

,139

,154

,185

26

,233

,259

,311

76

,138

,153

,184

27

,229

,254

,305

77

,137

,152

,183

28

,225

,250

,300

78

,136

,151

,182

29

,221

,246

,294

79

,136

,151

,181

30

,218

,242

,290

80

,135

,150

,179

90

Tablica 6. Kwantyle d

n

(1 − α) statystyki D

n

Kołmogorowa c.d.

α

α

n

0,10

0,05

0,01

n

0,10

0,05

0,01

31

,214

,238

,285

81

,134

,149

,178

32

,211

,234

,281

82

,133

,148

,177

33

,208

,231

,277

83

,132

,147

,176

34

,205

,227

,273

84

,131

,146

,175

35

,202

,224

,269

85

,131

,145

,174

36

,199

,221

,265

86

,130

,144

,173

37

,196

,218

,262

87

,129

,144

,172

38

,194

,215

,258

88

,128

,143

,171

39

,191

,213

,255

89

,128

,142

,170

40

,189

,210

,252

90

,127

,141

,169

41

,187

,208

,249

91

,126

,140

,168

42

,185

,205

,246

92

,126

,140

,168

43

,183

,203

,243

93

,125

,139

,167

44

,181

,201

,241

94

,124

,138

,166

45

,179

,198

,238

95

,124

,137

,165

46

,177

,196

,235

96

,123

,137

,164

47

,175

,194

,233

97

,122

,136

,163

48

,173

,192

,231

98

,122

,135

,162

49

,171

,190

,228

99

,121

,135

,162

50

,170

,188

,226

100

,121

,134

,161

Tablice

91

Tablica 8. Wartości krytyczne k(α, n

1

n

2

) rozkładu liczby serii;

k(α, n

1

, n

2

) = k(α, n

1

, n

2

)

α = 0, 05

→

n

1

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 n

2

↓

3 3 3 3 4

4

4

4

4

5

5

5

5

5

5

5

5

↓ n

2

3 4 4 4

5

5

5

5

5

6

6

6

6

6

6

6

5

2

4 4 5

5

5

6

6

6

6

6

7

7

7

7

7

6

2 2

5 5

6

6

6

6

7

7

7

7

8

8

8

8

7

2 3 3

6

6

6

7

7

7

8

8

8

8

8

9

9

8

2 3 3 4

6

7

7

8

8

8

8

9

9

9

9

10

9

3 3 4 4 4

7

8

8

8

9

9

9

10 10 10

11

10

3 3 4 4 5

5

8

9

9

9

10 10 10 10 10

12

11

3 4 4 5 5

5

6

9

9

10 10 10 11 11 11

13

12

3 4 4 5 5

6

6

7

10 10 11 11 11 12 12

14

13

3 4 5 5 6

6

6

7

7

11 11 11 12 12 12

15

14

3 4 5 5 6

6

7

7

8

8

11 12 12 13 13

16

15

4 4 5 5 6

7

7

8

8

8

9

12 13 13 13

17

16

4 4 5 6 6

7

7

8

8

9

9

10

13 14 14

18

17

4 5 5 6 7

7

8

8

9

9

10 10 10

14 14

19

18

4 5 5 6 7

7

8

8

9

9

10 11 11 11

15

20

19

4 5 6 6 7

8

8

9

9

10 10 11 11 12 12

20

4 5 6 6 7

8

8

9

10 10 11 11 11 12 12 13

→

n

1

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

α = 0.01