Zadania z KOMBINATORYKI
Zad.1.
W grupie liczącej 20 osób należy wybrać dwie sześcioosobowe delegacje. Ile istnieje sposobów sformowania tych delegacji?
Zad.2.
W pudełku znajduje się 20 śrub, w tym 3 wadliwe. Losujemy bez zwracania 5 śrub. Ile istnieje sposobów wylosowania jednej śruby wadliwej?
Zad.3.
Ile jest sposobów ustawienia w szereg pięciu chłopców i czterech dziewczynek tak, aby:
a) chłopcy i dziewczynki stali na zmianę,
b) pierwszy i drugi stał chłopiec,
c) najpierw stały dziewczynki , a następnie chłopcy,
d) pierwsza stała dziewczynka?
Zad.4.
Ile jest liczb trzycyfrowych:
a) parzystych,
b) podzielnych przez 5,
c) o tej samej cyfrze setek i jedności,
d) większych od 546,
e) mniejszych od 345?
Uwaga. Cyfry oznaczające setki, dziesiątki i jedności losujemy z podzbiorów zbioru Z={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
Zad.5.
W pudełku znajduje się 5 kul białych i 4 czarne. Na ile sposobów można wyjąć z pudełka 3 kule tak, aby otrzymać:
a) 3 kule czarne,
b) 3 kule białe,
c) dwie kule białe i jedną czarną,
d) co najmniej jedna kulę białą?
Zad.6.
Rozdanie brydżowe to podział uporządkowany zbioru 52 kart na cztery po 13 kart w każdym,
a) ile jest takich rozdań,
b) ile jest rozdań, w których każdy z czterech graczy otrzymuje jednego asa?
Zad.7.
Ile jest rozdań brydżowych, w których wybrany gracz otrzyma:
a) 5 pików, 4 kiery, 3 kara i 1 trefla,
b) 5 kart w jednym kolorze, 4 w innym i w dwóch pozostałych 3 i 1 kartę (układ 5-4-3-1),
c) układ 5-3-3-2,
d) układ 4-4-4-1?
Zad.8
W Dużym Lotku losowane jest 6 liczb z 49-ciu. Ile jest różnych zakładów z:
a) pięcioma trafieniami,
b) czterema trafieniami,
c) trzema trafieniami.
Zad. 9
Ile jest liczb podzielnych przez 3, do których zapisu użyto wyłącznie cyfr 0 i 1, jeśli liczby te:
są 4-cyfrowe
są 5-cyfrowe
są 8-cyfrowe?
Zad. 10
Dwie drużyny rozgrywają ze sobą mecz piłki nożnej. Ile jest możliwych wyników, jeśli wiadomo, że każda z drużyn strzeliła:
nie więcej niż 3 bramki
nie więcej niż 4 bramki?
Zad. 11
Na ile sposobów można rozdzielić 5 różnych przedmiotów miedzy 2 osoby, aby każda osoba dostała co najmniej jeden przedmiot?
Zad. 12
Z urny zawierającej 4 kule ponumerowane od 1 do 4 losujemy 2 kule. Wyniki tego doświadczenia przedstaw za pomocą drzewka. Rozważ dwa przypadki:
losowanie ze zwracaniem
losowanie bez zwracania.
Przykładowe zadania maturalne z działu KOMBINATORYKA
Grupa 1 (zadania zamknięte)
Zadanie 1. (1 pkt)
Wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, które są podzielne przez 6 lub przez 10, jest
A. 25 B. 24 C. 21 D. 20
Zadanie 2. (1 pkt)
Wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, których obie cyfry są mniejsze od 5 jest
A. 16 B. 20 C. 25 D. 30
Zadanie 3. (1 pkt)
Liczba sposobów, na jakie Ala i Bartek mogą usiąść na dwóch spośród pięciu miejsc w kinie, jest równa
A. 25 B. 20 C. 15 D. 12
Zadanie 4. (1pkt)
Z cyfr 0,7,8,9 Ola tworzy trzycyfrowe kody, które będą otwierać hotelowe drzwi, przy czym cyfry w kodzie mogą się powtarzać. Ola utworzyła już 20 takich kodów. Ile kodów może jeszcze utworzyć?
A. 4 B. 44 C. 223 D. 236
Zadanie 5. (1pkt)
Ile prostych można poprowadzić przez 6 punktów, z których żadne trzy nie leżą na jednej prostej?
A. 15 B. 30 C. 60 D.120
Zadanie 6. (1pkt)
Liczba zdarzeń elementarnych w rzucie n monetami jest równa 64. zatem n jest równe:
A. 32 B. 6 C. 4 D. 128
Zadanie 7. (1pkt)
Trzy kobiety jadą windą pięciopiętrowego budynku. Każda z nich chce wysiąść na innym piętrze. Na ile sposobów mogą dokonać wyboru?
A. 30 B. 125 C. 27 D. 60
Zadanie 8. (1pkt)
Ela ma 2 czerwone i 3 zielone kapelusze oraz 5 czerwonych i 6 zielonych torebek. Chce ubrać się, tak aby kapelusz był w tym samym kolorze co torebka. Może zatem ubrać się na:
A. więcej niż 180 sposobów B. Mniej niż 30 sposobów
C. Mniej niż 20 sposobów D. Więcej niż 30 sposobów
Grupa 2 (zadania otwarte krótkiej odpowiedzi)
Zadanie 9. (2 pkt)
Ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje
jedna cyfra nieparzysta i trzy cyfry parzyste?
Uwaga: przypominamy, że zero jest liczbą parzystą.
Zadanie 10. (2 pkt)
Ile jest liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez 15 lub 20?
Zadanie 11. (2 pkt)
Ile jest liczb naturalnych trzycyfrowych, w których cyfra dziesiątek jest o 2 większa od cyfry
jedności?
Zadanie 12. (2 pkt)
Na jednej prostej zaznaczono 3 punkty, a na drugiej 4 punkty (patrz rysunek). Ile jest
wszystkich trójkątów, których wierzchołkami są trzy spośród zaznaczonych punktów ?
Zadanie 13. (2pkt)
Trzech chłopców i 4 dziewczęta ustawiają się w dwóch rzędach. W pierwszym rzędzie mają stać dziewczęta, w drugim chłopcy. Ile może być takich ustawień?
Zadanie 14. (2pkt)
Koloniści mogą ustawić się parami na 380 sposobów. Ilu jest kolonistów?
Grupa 3 (zadania otwarte rozszerzonej odpowiedzi)
Zadanie 15.
Oblicz sumę wszystkich liczb trzycyfrowych zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr wybranych ze zbioru {0, 1, 2, 3}.