OPTYKA GEOMETRYCZNA

Zwierciadło płaskie

- powstawanie obrazu pozornego

A

’

jest obrazem urojonym

A

’

B

’

jest obrazem urojonym

punktu A

przedmiotu AB

Zwierciadło sferyczne wklęsłe

P

’

jest obrazem rzeczywistym

F - ognisko zwierciadła

punktu P

FA = f - ogniskowa

PA - główna oś optyczna
0 - środek krzywizny

CD = DO =

= FO cos

α

OA = OB = OC - promień
krzywizny

FO =

≈

A - wierzchołek zwierciadła

⇒ f = (dla małych α )

r

2

r

2 cos

α

r

2

r

2

Obrazy rzeczywiste tworzone przez zwierciadło wklęsłe (odległość
przedmiotu od zwierciadła x

> f, obrazy odwrócone)

Obraz urojony (x

< f) (nieodwrócony)

Powiększenie obrazu w =

Z podobieństwa trójkątów OCD i OC

’

D

’

: w =

=

Z podobieństwa trójkątów CDA i C

’

D

’

A

’

: w =

więc :

=

⇒

+ =

Dla promieni bliskich osi optycznej f

≈

⇒ =

+ =

Równanie łączące ogniskową f z odległością przedmiotu x i z odległością

obrazu y.

Po przekształceniu : y =

; x =

Powiększenie :

w = = =

gdy x

< f ⇒ w < 0 ale w> 1 - obraz urojony,

powiększony, nieodwrócony.

'

'

C D

CD

'

'

C D

CD

r y

x r

−

−

'

'

C D

CD

y

x

=

y

x

r y

x r

−

−

1

x

1

y

2

r

r

2

2

r

1

f

1

x

1

y

1

f

xf

x f

−

yf

y

f

−

y

x

f

x f

−

y f

f

−

Zwierciadło sferyczne wypukłe

F

’

- ognisko (urojone) P

’

- obraz urojony punktu P

C

’

D

’

- obraz urojony (nieodwrócony) przedmiotu CD

Powiększenie w =

=

=

; f =

⇓

+

=

=

Powiększenie

: w =

< 0 oraz w  < 1

tzn. obraz jest zawsze nieodwrócony (prosty) bo w

< 0, jest zawsze

pomniejszony, bo

w < 1 i zawsze pozorny.

C D

CD

x

− +

r x

2

x

y

r

f

' '

−y

− − −

r

y

(

)

r

1

2

1

1

−

+

f

x f

Pryzmat

ϕ

- kąt łamiący pryzmatu

n - współczynnik załamania

pryzmatu

n

’

- współczynnik załamania

otoczenia

= ;

=

ϕ

- jest kątem zewnętrznym

∆ABC ⇒

ϕ

=

β

1

+

β

2

ϑ

- jest kątem zewnętrznym

∆ADC ⇒

ϑ

= (

α

1

-

β

1

)+ (

α

2

-

β

2

)=

= (

α

1

+

α

2

) - (

β

1

+

β

2

)

⇒

kąt odchylenia :

ϑ

=

α

1

+

α

2

-

ϕ

s in

sin

α

β

1

1

n

n

'

s in

sin

α

β

2

2

n

n

'

Najmniejsze odchylenie,

ϑ

min

dla

symetrycznego biegu promienia

α

1

+

α

2

=

α

ϑ

min

= 2

α

-

ϕ

wówczas

ϕ

= 2

β

czyli

β

= ;

α

=

a więc znając

ϑ

min

i

ϕ

można wyznaczyć współczynnik załamania

pryzmatu :

n = n

’

= n

’

(dla powietrza n

’

≈ 1)

ϕ

2

min

.

ϑ

ϕ

+

2

s in

s in

α

β

sin

.

sin

min

ϑ

ϕ

ϕ

+

2

2

Dyspersja (rozszczepienie) światła w pryzmacie

Współczynnik załamania

Schemat spektroskopu

światła zależy od częstości

pryzmatycznego.

fali świetlnej.

Całkowite odbicie światła

Całkowite wewnętrzne odbicie światła może zajść, gdy promień przechodzi z
ośrodka optycznie gęstszego (np. ze szkła lub wody) do ośrodka optycznie
rzadszego (np. powietrze), tzn. gdy n

> n

’

.

sin

s in

α

β

=

'

n

n

'

n

n

s in

s in

α

β

'

n

n

'

n

n

Z prawa Snella :

;

n

’

< n więc

< 1

czyli

< 1 ⇒ sin

α

< sin

β

⇒

α

<

β

Ze wzrostem

α

rośnie

β

, aż dla

α

gr.

β = 90

o

:

sin

α

gr

= sin 90

o

=

Dla

α

>

α

gr.

zachodzi całkowite wewnętrzne odbicie

Zastosowanie efektu całkowitego odbicia :

a) zmiana kierunku biegu promieni o 90

o

b) odwrócenie biegu promieni

Np. przy przejściu z wody (n=1,33) do powietrza (n

’

≅1) :

sin

α

gr

=

= 0,748

α

gr

= 48

o

30

’

Jeśli

α > α

gr

, to promień światła może być „uwięziony” w strumieniu wody.

(zasada działania światłowodu).

1

133

,

Płytka płasko-równoległa

Z prawa Snella:
n

1

sin

α = n

2

sin

β

n

2

sin

β = n

1

sin

γ

⇓

α = γ

tzn. promień 3 jest równoległy
do 1. Przesunięcie QE zależy od

α,

d, n

1

, i n

2

:

OE = d

Złożenie dwóch (i więcej) płytek
płasko równoległych o różnych n też
powoduje tylko równoległe
przesunięcie pro- mienia światła.

s in(

)

cos

α β

β

−

Soczewki

Ciała przeźroczyste ograniczone dwiema powierzchniami kulistymi,
wypukłymi lub wklęsłymi.

a, b, c - skupiające;

d, e, f - rozpraszające

C - środek optyczny (promień przechodzący przez C nie zmienia kierunku);
0

1

i 0

2

- środki krzywizn;

r

1

i r

2

- promienie krzywizn;

Prostą przechodzącą przez 0

1

i 0

2

nazywamy osią główną.

Promienie równoległe do osi skupiają się w ognisku soczewki F

Ogniska soczewki dwuwypukłej (symbol )

Ogniska soczewki dwuklęsłej (symbol )

Odległość ogniska od środka soczewki nazywamy ogniskową f

Promienie równoległe, tworzące z osią soczewki niewielkie kąty, skupiają
się w punkcie leżącym na płaszczyźnie ogniskowej.

Aby wykreślić obraz punktu N należy narysować dwa promienie :
przechodzący przez środek soczewki i równoległy do osi głównej.

x

> 2f

Obrazy w soczewce x = 2f
skupiającej.

f

< x< 2f

x

< f

(P’ N’ - obraz pozorny)

Powiększenie obrazu :

w =

=

Z podobieństwa trójkątów DCF i N

’

P

’

F

= =

czyli =

-

: y

+

= równanie soczewkowe

Zależność odległości obrazu y od odległości przedmiotu x dla soczewki
skupiającej.
Inna postać równania soczewkowego :

(x - f) (y - f) = f

2

równanie Newtona

'

'

N P

NP

Y

X

'

'

N P

NP

y

x

y f

f

−

y

x

y

f

f
f

1

x

1

y

1

f

Obrazy w soczewce rozpraszającej

Równanie soczewkowe dla soczewki
rozpraszającej jest takie samo jak dla
soczewki skupiającej. -1

<w<0 (soczewka

rozpraszająca daje obrazy urojone, bo y

< 0;

proste, bo w

<0; i pomniejszone, bo w<1).

Zależność ogniskowej f od współczynnika załamania światła i od

promieni krzywizny soczewki.

Cienką soczewkę można
uważać za dwa pryzmaty :
Zakładając, że kąty

γ i θ są małe, można napisać :

γ = tgγ = ; γ

‘

= tg

γ

‘

=

θ

1

= sin

θ

1

= ;

θ

2

= sin

θ

2

=

Kąt odchylenia :

ϑ =γ + γ

‘

(jako kąt zewnętrzny trójkąta).

Kąt łamiący pryzmatu :

ϕ = θ

1

+

θ

2

(kąt zewnętrzny trójkąta).

W pryzmacie, przy symetrycznym biegu promieni świetlnych mamy
minimalne odchylenie,

ϑ

min.

Wyznaczony wcześniej współczynnik załamania

pryzmatu:

n =

n

’

1

h

x

2

h

y

1

1

h

r

2

2

h

r

sin

sin

min

ϑ

ϕ

ϕ

+

2

2

dla małych kątów :

n =

n

’

⇒

ϑ

= (

- 1)

ϕ

Po podstawieniu :

γ

+

γ

‘

= ( - 1)(

θ

1

+

θ

2

)

⇒

=

(

- 1) (

) dla cienkich soczewek h

1

= h

2

= h, dzieląc ostatnie

równanie przez h :

= (

- 1) (

)

równanie soczewkowe

inaczej:

(

- 1) (

)

D zdolność skupiająca D = 1 dioptria, gdy f = 1m

sin

sin

min

ϑ

ϕ

ϕ

+

2

2

n

n

'

n

n

'

1

2

h

x

h

y

+

n

n

'

1

1

2

2

h

r

h

r

+

1

x

1

y

+

n

n

'

1

r

1

r

1

2

+

1

f

= n

n

'

1

r

1

r

1

2

+

1

f

=

Analogicznie dla soczewki rozpraszającej :

Wady odwzorowań soczewek

Równanie soczewkowe wyprowadzono przy upraszczających założeniach
(małe kąty, cienkie soczewki, światło monochromatyczne).
W rzeczywistości warunki te nie są dokładnie spełnione, z czego wynikają
błędy odwzorowań.

Aberacja sferyczna

- powstaje gdy wiązka promieni jest szeroka (ognisko

soczewki jest punktem tylko dla wąskiej wiązki bliskiej osi soczewki).

Aberacja chromatyczna

- powstaje gdy światło nie jest monochromatyczne.

Ogniskowa zależy od współczynnika załamania światła, różnego dla różnej
częstości fali.

Astygmatyzm

powstaje gdy wiązka pada ukośnie na soczewkę. Obrazem

punktu P są dwa odcinki wzajemnie prostopadłe, P

’

a i P

’

b

Zastosowania - lupa i mikroskop

Lupa

- soczewka skupiająca o małej

ogniskowej f (czyli dużej zdolności
skupiającej D).

Przedmiot NP ustawia się między soczewką
i ogniskiem F aby obraz N

’

P

’

powstał w

odległości dobrego widzenia oka (jest to
najmniejsza odległość przy której oko widzi
wyraźnie, normalnie wynosi ok. 25 cm).

Powiększenie kątowe (dla małych kątów) :

⇒

x =

⇒

w =

=

≈

(dla małej f)

ψ

φ =

ψ

ϕ

=

=

= =

tg

tg

d

NP

d

NP

w

'

N

'

P

'

N

'

P

d

x

:

1

1

1

x

d

f

+ =

fd

d f

−

d

x

d f

f

−

d

f

Mikroskop

- układ dwóch soczewek skupiających (dwóch układów soczewek)

l = y + x

’

x

’

<

f

2

f

2

- małe

⇓

l

≈ y

l d

Przedmiot PN jest ustawiony w odległości x od obiektywu, trochę większej
od ogniskowej f obiektywu. Obraz P

’

N

’

(rzeczywisty, odwrócony i

powiększony) jest oglądany przez okular jak przez lupę.
Powiększenie mikroskopu :

w = w

1

⋅

w

2

(w

1

- powiększenie obiektywu,

w

2

- powiększenie okularu)

w

1

= ; w

2

=

⇒ w ≈

Ponieważ x

≈

f

1

i y

≈

l :

w =

Zarówno lupa jak i mikroskop zwiększają kąt widzenia małych
przedmiotów (bez przyrządów wynosi on

ϕ

, z przyrządami

ψ

. Fizjologiczny

kąt graniczny oka wynosi ok. 1

’

(tzn. oko rozróżni dwa punkty odległe od

siebie np. o 0,2 mm i umieszczone w odległości 1 m).

f f

1 2

y

x

d

f

2

yd

x f

2

Zdolność rozdzielcza mikroskopu

jest ograniczona wskutek zjawiska

dyfrakcji na otworze (kołowym) obiektywu. Można wykazać, że wskutek
dyfrakcji punkt N utworzy w płaszczyźnie obrazu krążek N

’

o średnicy :

R = 1,22

(

λ

- długość fali świetlnej; a - średnica obiektywu)

λ

a l

Jeśli dwa oglądane punkty P i N znajdują się w odległości

δ od siebie, to

ich obrazy są w odległości

δ

‘

:

Aby obrazy P

’

i N

’

były rozdzielone :

δ

‘

>

R

Więc minimalna odległość punktów P i N przy której ich obrazy P

’

i N

’

są

rozróżnialne (

δ

‘

min.

= R = 1,22 l) :

δ

min.

=

δ

‘

min.

= 1,22

λ

- jest nazywany

aperturą liczbową obiektywu

. Dla najlepszych

obiektywów (imersyjnych):

1,2

⇒

δ

min.

≈

λ

Nie można rozróżnić obiektów mniejszych od długości fali świetlnej -
najlepiej stosować monochromatyczne światło niebieskie,

λ

≈ 0,4 µm.

δ

δ

'

= l

f

λ

a

f

l

f

a

a

f

a

f

≈

Zasada Fermata

Promień świetlny biegnący z jednego punktu do drugiego przebywa drogę,
na której przebycie trzeba zużyć minimum czasu

. (Pierre Fermat, 1650r.)

Z zasady tej można wyprowadzić prawa odbicia i załamania

Rozpatrzmy bieg promienia od A do B,
(nie zakładając (

α

=

β

)

Długość drogi promienia wynosi :
l =

+

2

2

a

x

+

2

2

b

d

x

+

−

(

)

Chcąc wyznaczyć na podstawie zasady Fermata punkt P, którego położenie
określa zmienna x (t =

⇒ t = minim. gdy l = minim.):

(a

2

+ x

2

)

-1/2

2x + [b

2

+ (d - x)

2

]

-1/2

2(d - x)(-1) = 0

l

c

d

dx

1

2

l =

1

2

czyli :

=

sin

α

=

sin

β

(co jest prawem odbicia)

⇓

α

=

β

prawo odbicia

Wyznaczamy drogę promienia z A do B, aby czas był minimalny :

t =

+

n

1

= n

2

=

t =

=

l = n

1

l

1

+ n

2

l

2

- droga optyczna

x

a

x

2

2

+

d

x

b

d

x

−

+

−

2

2

(

)

1

l

1

v

2

2

l

v

c

v

1

c

v

2

1 1

2 2

n

n

c

l

l

+

l

c

c

v

T

T

1

=

λ

λ

1

λ

λ

2

1

1

l

λ

2

l

2

λ

n

1

=

n

2

=

l = c t

l =

λ

+

λ

Droga optyczna l jest równa takiej długości drogi w próżni, że
zmieściłaby się na niej taka sama ilość fal, co na drodze l

1

w ośrodku n

1

i na drodze l

2

w ośrodku n

2

.

Aby t = minim. (zasada Fermata) to l = min.

l = n

1

l

1

+ n

2

l

2

= n

1

+ n

2

n

1

(a

2

+ x

2

)

-1/2

2x + n

2

[b

2

+ (d - x)

2

]

-1/2

2(d-x)(-1) = 0

n

1

= n

2

⇒

n

1

sin

α

= n

2

sin

β

prawo załamania

2

2

a

x

+

2

2

b

d

x

+

−

(

)

d

dx

1

2

l =

1

2

x

a

x

2

2

−

d

x

b

d

x

−

+

−

2

2

(

)