OPTYKA GEOMETRYCZNA
Zwierciadło płaskie
- powstawanie obrazu pozornego
A
’
jest obrazem urojonym
A
’
B
’
jest obrazem urojonym
punktu A
przedmiotu AB
OPTYKA GEOMETRYCZNA
Zwierciadło płaskie
- powstawanie obrazu pozornego
A
’
jest obrazem urojonym
A
’
B
’
jest obrazem urojonym
punktu A
przedmiotu AB
Zwierciadło sferyczne wklęsłe
P
’
jest obrazem rzeczywistym
F - ognisko zwierciadła
punktu P
FA = f - ogniskowa
PA - główna oś optyczna
0 - środek krzywizny
CD = DO =
= FO cos
α
OA = OB = OC - promień
krzywizny
FO =
≈
A - wierzchołek zwierciadła
⇒ f = (dla małych α )
r
2
r
2 cos
α
r
2
r
2
Obrazy rzeczywiste tworzone przez zwierciadło wklęsłe (odległość
przedmiotu od zwierciadła x
> f, obrazy odwrócone)
Obraz urojony (x
< f) (nieodwrócony)
Powiększenie obrazu w =
Z podobieństwa trójkątów OCD i OC
’
D
’
: w =
=
Z podobieństwa trójkątów CDA i C
’
D
’
A
’
: w =
więc :
=
⇒
+ =
Dla promieni bliskich osi optycznej f
≈
⇒ =
+ =
Równanie łączące ogniskową f z odległością przedmiotu x i z odległością
obrazu y.
Po przekształceniu : y =
; x =
Powiększenie :
w = = =
gdy x
< f ⇒ w < 0 ale w> 1 - obraz urojony,
powiększony, nieodwrócony.
'
'
C D
CD
'
'
C D
CD
r y
x r
−
−
'
'
C D
CD
y
x
=
y
x
r y
x r
−
−
1
x
1
y
2
r
r
2
2
r
1
f
1
x
1
y
1
f
xf
x f
−
yf
y
f
−
y
x
f
x f
−
y f
f
−
Zwierciadło sferyczne wypukłe
F
’
- ognisko (urojone) P
’
- obraz urojony punktu P
C
’
D
’
- obraz urojony (nieodwrócony) przedmiotu CD
Powiększenie w =
=
=
; f =
⇓
+
=
=
Powiększenie
: w =
< 0 oraz w < 1
tzn. obraz jest zawsze nieodwrócony (prosty) bo w
< 0, jest zawsze
pomniejszony, bo
w < 1 i zawsze pozorny.
C D
CD
x
− +
r x
2
x
y
r
f
' '
−y
− − −
r
y
(
)
r
1
2
1
1
−
+
f
x f
Pryzmat
ϕ
- kąt łamiący pryzmatu
n - współczynnik załamania
pryzmatu
n
’
- współczynnik załamania
otoczenia
= ;
=
ϕ
- jest kątem zewnętrznym
∆ABC ⇒
ϕ
=
β
1
+
β
2
ϑ
- jest kątem zewnętrznym
∆ADC ⇒
ϑ
= (
α
1
-
β
1
)+ (
α
2
-
β
2
)=
= (
α
1
+
α
2
) - (
β
1
+
β
2
)
⇒
kąt odchylenia :
ϑ
=
α
1
+
α
2
-
ϕ
s in
sin
α
β
1
1
n
n
'
s in
sin
α
β
2
2
n
n
'
Najmniejsze odchylenie,
ϑ
min
dla
symetrycznego biegu promienia
α
1
+
α
2
=
α
ϑ
min
= 2
α
-
ϕ
wówczas
ϕ
= 2
β
czyli
β
= ;
α
=
a więc znając
ϑ
min
i
ϕ
można wyznaczyć współczynnik załamania
pryzmatu :
n = n
’
= n
’
(dla powietrza n
’
≈ 1)
ϕ
2
min
.
ϑ
ϕ
+
2
s in
s in
α
β
sin
.
sin
min
ϑ
ϕ
ϕ
+
2
2
Dyspersja (rozszczepienie) światła w pryzmacie
Współczynnik załamania
Schemat spektroskopu
światła zależy od częstości
pryzmatycznego.
fali świetlnej.
Całkowite odbicie światła
Całkowite wewnętrzne odbicie światła może zajść, gdy promień przechodzi z
ośrodka optycznie gęstszego (np. ze szkła lub wody) do ośrodka optycznie
rzadszego (np. powietrze), tzn. gdy n
> n
’
.
sin
s in
α
β
=
'
n
n
'
n
n
s in
s in
α
β
'
n
n
'
n
n
Z prawa Snella :
;
n
’
< n więc
< 1
czyli
< 1 ⇒ sin
α
< sin
β
⇒
α
<
β
Ze wzrostem
α
rośnie
β
, aż dla
α
gr.
β = 90
o
:
sin
α
gr
= sin 90
o
=
Dla
α
>
α
gr.
zachodzi całkowite wewnętrzne odbicie
Zastosowanie efektu całkowitego odbicia :
a) zmiana kierunku biegu promieni o 90
o
b) odwrócenie biegu promieni
Np. przy przejściu z wody (n=1,33) do powietrza (n
’
≅1) :
sin
α
gr
=
= 0,748
α
gr
= 48
o
30
’
Jeśli
α > α
gr
, to promień światła może być „uwięziony” w strumieniu wody.
(zasada działania światłowodu).
1
133
,
Płytka płasko-równoległa
Z prawa Snella:
n
1
sin
α = n
2
sin
β
n
2
sin
β = n
1
sin
γ
⇓
α = γ
tzn. promień 3 jest równoległy
do 1. Przesunięcie QE zależy od
α,
d, n
1
, i n
2
:
OE = d
Złożenie dwóch (i więcej) płytek
płasko równoległych o różnych n też
powoduje tylko równoległe
przesunięcie pro- mienia światła.
s in(
)
cos
α β
β
−
Soczewki
Ciała przeźroczyste ograniczone dwiema powierzchniami kulistymi,
wypukłymi lub wklęsłymi.
a, b, c - skupiające;
d, e, f - rozpraszające
C - środek optyczny (promień przechodzący przez C nie zmienia kierunku);
0
1
i 0
2
- środki krzywizn;
r
1
i r
2
- promienie krzywizn;
Prostą przechodzącą przez 0
1
i 0
2
nazywamy osią główną.
Promienie równoległe do osi skupiają się w ognisku soczewki F
Ogniska soczewki dwuwypukłej (symbol )
Ogniska soczewki dwuklęsłej (symbol )
Odległość ogniska od środka soczewki nazywamy ogniskową f
Promienie równoległe, tworzące z osią soczewki niewielkie kąty, skupiają
się w punkcie leżącym na płaszczyźnie ogniskowej.
Aby wykreślić obraz punktu N należy narysować dwa promienie :
przechodzący przez środek soczewki i równoległy do osi głównej.
x
> 2f
Obrazy w soczewce x = 2f
skupiającej.
f
< x< 2f
x
< f
(P’ N’ - obraz pozorny)
Powiększenie obrazu :
w =
=
Z podobieństwa trójkątów DCF i N
’
P
’
F
= =
czyli =
-
: y
+
= równanie soczewkowe
Zależność odległości obrazu y od odległości przedmiotu x dla soczewki
skupiającej.
Inna postać równania soczewkowego :
(x - f) (y - f) = f
2
równanie Newtona
'
'
N P
NP
Y
X
'
'
N P
NP
y
x
y f
f
−
y
x
y
f
f
f
1
x
1
y
1
f
Obrazy w soczewce rozpraszającej
Równanie soczewkowe dla soczewki
rozpraszającej jest takie samo jak dla
soczewki skupiającej. -1
<w<0 (soczewka
rozpraszająca daje obrazy urojone, bo y
< 0;
proste, bo w
<0; i pomniejszone, bo w<1).
Zależność ogniskowej f od współczynnika załamania światła i od
promieni krzywizny soczewki.
Cienką soczewkę można
uważać za dwa pryzmaty :
Zakładając, że kąty
γ i θ są małe, można napisać :
γ = tgγ = ; γ
‘
= tg
γ
‘
=
θ
1
= sin
θ
1
= ;
θ
2
= sin
θ
2
=
Kąt odchylenia :
ϑ =γ + γ
‘
(jako kąt zewnętrzny trójkąta).
Kąt łamiący pryzmatu :
ϕ = θ
1
+
θ
2
(kąt zewnętrzny trójkąta).
W pryzmacie, przy symetrycznym biegu promieni świetlnych mamy
minimalne odchylenie,
ϑ
min.
Wyznaczony wcześniej współczynnik załamania
pryzmatu:
n =
n
’
1
h
x
2
h
y
1
1
h
r
2
2
h
r
sin
sin
min
ϑ
ϕ
ϕ
+
2
2
dla małych kątów :
n =
n
’
⇒
ϑ
= (
- 1)
ϕ
Po podstawieniu :
γ
+
γ
‘
= ( - 1)(
θ
1
+
θ
2
)
⇒
=
(
- 1) (
) dla cienkich soczewek h
1
= h
2
= h, dzieląc ostatnie
równanie przez h :
= (
- 1) (
)
równanie soczewkowe
inaczej:
(
- 1) (
)
D zdolność skupiająca D = 1 dioptria, gdy f = 1m
sin
sin
min
ϑ
ϕ
ϕ
+
2
2
n
n
'
n
n
'
1
2
h
x
h
y
+
n
n
'
1
1
2
2
h
r
h
r
+
1
x
1
y
+
n
n
'
1
r
1
r
1
2
+
1
f
= n
n
'
1
r
1
r
1
2
+
1
f
=
Analogicznie dla soczewki rozpraszającej :
Wady odwzorowań soczewek
Równanie soczewkowe wyprowadzono przy upraszczających założeniach
(małe kąty, cienkie soczewki, światło monochromatyczne).
W rzeczywistości warunki te nie są dokładnie spełnione, z czego wynikają
błędy odwzorowań.
Aberacja sferyczna
- powstaje gdy wiązka promieni jest szeroka (ognisko
soczewki jest punktem tylko dla wąskiej wiązki bliskiej osi soczewki).
Aberacja chromatyczna
- powstaje gdy światło nie jest monochromatyczne.
Ogniskowa zależy od współczynnika załamania światła, różnego dla różnej
częstości fali.
Astygmatyzm
powstaje gdy wiązka pada ukośnie na soczewkę. Obrazem
punktu P są dwa odcinki wzajemnie prostopadłe, P
’
a i P
’
b
Zastosowania - lupa i mikroskop
Lupa
- soczewka skupiająca o małej
ogniskowej f (czyli dużej zdolności
skupiającej D).
Przedmiot NP ustawia się między soczewką
i ogniskiem F aby obraz N
’
P
’
powstał w
odległości dobrego widzenia oka (jest to
najmniejsza odległość przy której oko widzi
wyraźnie, normalnie wynosi ok. 25 cm).
Powiększenie kątowe (dla małych kątów) :
⇒
x =
⇒
w =
=
≈
(dla małej f)
ψ
φ =
ψ
ϕ
=
=
= =
tg
tg
d
NP
d
NP
w
'
N
'
P
'
N
'
P
d
x
:
1
1
1
x
d
f
+ =
fd
d f
−
d
x
d f
f
−
d
f
Mikroskop
- układ dwóch soczewek skupiających (dwóch układów soczewek)
l = y + x
’
x
’
<
f
2
f
2
- małe
⇓
l
≈ y
l d
Przedmiot PN jest ustawiony w odległości x od obiektywu, trochę większej
od ogniskowej f obiektywu. Obraz P
’
N
’
(rzeczywisty, odwrócony i
powiększony) jest oglądany przez okular jak przez lupę.
Powiększenie mikroskopu :
w = w
1
⋅
w
2
(w
1
- powiększenie obiektywu,
w
2
- powiększenie okularu)
w
1
= ; w
2
=
⇒ w ≈
Ponieważ x
≈
f
1
i y
≈
l :
w =
Zarówno lupa jak i mikroskop zwiększają kąt widzenia małych
przedmiotów (bez przyrządów wynosi on
ϕ
, z przyrządami
ψ
. Fizjologiczny
kąt graniczny oka wynosi ok. 1
’
(tzn. oko rozróżni dwa punkty odległe od
siebie np. o 0,2 mm i umieszczone w odległości 1 m).
f f
1 2
y
x
d
f
2
yd
x f
2
Zdolność rozdzielcza mikroskopu
jest ograniczona wskutek zjawiska
dyfrakcji na otworze (kołowym) obiektywu. Można wykazać, że wskutek
dyfrakcji punkt N utworzy w płaszczyźnie obrazu krążek N
’
o średnicy :
R = 1,22
(
λ
- długość fali świetlnej; a - średnica obiektywu)
λ
a l
Jeśli dwa oglądane punkty P i N znajdują się w odległości
δ od siebie, to
ich obrazy są w odległości
δ
‘
:
Aby obrazy P
’
i N
’
były rozdzielone :
δ
‘
>
R
Więc minimalna odległość punktów P i N przy której ich obrazy P
’
i N
’
są
rozróżnialne (
δ
‘
min.
= R = 1,22 l) :
δ
min.
=
δ
‘
min.
= 1,22
λ
- jest nazywany
aperturą liczbową obiektywu
. Dla najlepszych
obiektywów (imersyjnych):
1,2
⇒
δ
min.
≈
λ
Nie można rozróżnić obiektów mniejszych od długości fali świetlnej -
najlepiej stosować monochromatyczne światło niebieskie,
λ
≈ 0,4 µm.
δ
δ
'
= l
f
λ
a
f
l
f
a
a
f
a
f
≈
Zasada Fermata
Promień świetlny biegnący z jednego punktu do drugiego przebywa drogę,
na której przebycie trzeba zużyć minimum czasu
. (Pierre Fermat, 1650r.)
Z zasady tej można wyprowadzić prawa odbicia i załamania
Rozpatrzmy bieg promienia od A do B,
(nie zakładając (
α
=
β
)
Długość drogi promienia wynosi :
l =
+
2
2
a
x
+
2
2
b
d
x
+
−
(
)
Chcąc wyznaczyć na podstawie zasady Fermata punkt P, którego położenie
określa zmienna x (t =
⇒ t = minim. gdy l = minim.):
(a
2
+ x
2
)
-1/2
2x + [b
2
+ (d - x)
2
]
-1/2
2(d - x)(-1) = 0
l
c
d
dx
1
2
l =
1
2
czyli :
=
sin
α
=
sin
β
(co jest prawem odbicia)
⇓
α
=
β
prawo odbicia
Wyznaczamy drogę promienia z A do B, aby czas był minimalny :
t =
+
n
1
= n
2
=
t =
=
l = n
1
l
1
+ n
2
l
2
- droga optyczna
x
a
x
2
2
+
d
x
b
d
x
−
+
−
2
2
(
)
1
l
1
v
2
2
l
v
c
v
1
c
v
2
1 1
2 2
n
n
c
l
l
+
l
c
c
v
T
T
1
=
λ
λ
1
λ
λ
2
1
1
l
λ
2
l
2
λ
n
1
=
n
2
=
l = c t
l =
λ
+
λ
Droga optyczna l jest równa takiej długości drogi w próżni, że
zmieściłaby się na niej taka sama ilość fal, co na drodze l
1
w ośrodku n
1
i na drodze l
2
w ośrodku n
2
.
Aby t = minim. (zasada Fermata) to l = min.
l = n
1
l
1
+ n
2
l
2
= n
1
+ n
2
n
1
(a
2
+ x
2
)
-1/2
2x + n
2
[b
2
+ (d - x)
2
]
-1/2
2(d-x)(-1) = 0
n
1
= n
2
⇒
n
1
sin
α
= n
2
sin
β
prawo załamania
2
2
a
x
+
2
2
b
d
x
+
−
(
)
d
dx
1
2
l =
1
2
x
a
x
2
2
−
d
x
b
d
x
−
+
−
2
2
(
)