Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
FIZYKA W MECHATRONICE
Opracował:
Grzegorz Banaszek
GDAŃSK 2009/2010
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
FIZYKA W MECHATRONICE
Opracował:
Grzegorz Banaszek
GDAŃSK 2009/2010
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
2
SPIS TREŚCI
I.
MECHANIKA
3
II.
WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW
16
III.
DRGANIA
26
IV.
MECHANIKA PŁYNÓW
32
V.
TERMODYNAMIKA
39
VI.
ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA
44
VII.
UKŁADY LOGICZNE
56
VIII. MODELOWANIE W MECHATRONICE
61
IX.
BIBLIOGRAFIA
67
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
3
I. MECHANIKA
STATYKA
1) Stopnie swobody:
W mechanice mamy dwa rodzaje stopni swobody:
translacyjne: x, y, z,
rotacyjne:
υ
x
, υ
y
, υ
z
.
Dowolna bryła sztywna w przestrzeni trójwymiarowej posiada 6 stopni swobody.
2) Obciążenia skupione:
siła P [N]
moment siły (para sił) M [Nm]
3) Obciążenia rozłożone:
siła rozłożona liniowo q [N/m]
siła rozłożona powierzchniowo p [N/m
2
]
siła rozłożona objętościowo γ [N/m
3
]
para sił rozłożona liniowo m [Nm/m]
4) Zapis wektorowy obciążeń w układzie xyz
siła
x
y
z
P
P i
P j P k
moment siły (para sił)
x
y
z
M
M i
M j M k
,
gdzie:
i , i , i
wersory osi,
y
z
x
υ
y
υ
z
υ
x
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
4
P
x
, P
y
, P
z
składowe wektora siły,
M
x
, M
y
, M
z
składowe wektora momentu siły.
5) Redukcja dowolnego układu sił do siły głównej (wypadkowej) i głównego
momentu (wypadkowego) -pary sił
Dowolny układ sił można zastąpić układem równoważnym złożonym z jednej siły głównej,
przyłożonej w dowolnym punkcie A,
A
W , i jednej pary sił (głównego momentu),
A
M :
A
x
y
z
W
W i
W j W k
A
x
y
z
M
M i
M j M k
,
gdzie:
n
x
xi
i 1
n
y
yi
i 1
n
z
zi
i 1
W
P
W
P
W
P
n
x
xi
i 1
n
y
yi
i 1
n
z
zi
i 1
M
M
M
M
M
M
.
6) Warunki równowagi układów sił:
Równowaga jest stanem układu, w którym nie zmienia on swojego położenia względem
otoczenia. Warunki równowagi wynikają z I prawa Newtona. Liczba równań równowagi
odpowiada ilości stopni swobody, jakie posiada układ, na który działają siły.
Podstawowe warunki równowagi dla poszczególnych przypadków stanu obciążeń:
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
5
przestrzenny dowolny układ sił
n
xi
i 1
n
yi
i 1
n
zi
i 1
n
xi
i 1
n
yi
i 1
n
zi
i 1
P
0
P
0
P
0
M
0
M
0
M
0
przestrzenny zbieżny układ sił
n
xi
i 1
n
yi
i 1
n
zi
i 1
P
0
P
0
P
0
przestrzenny układ sił równoległych (do osi z)
n
zi
i 1
n
xi
i 1
n
yi
i 1
P
0
M
0
M
0
układ płaski dowolny sił
n
xi
i 1
n
yi
i 1
n
Ai
i 1
P
0
P
0
M
0
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
6
układ płaski zbieżny sił
n
xi
i 1
n
yi
i 1
P
0
P
0
układ płaski sił równoległych (do osi y)
n
yi
i 1
n
Ai
i 1
P
0
M
0
układ jednowymiarowy sił -równoległy do osi x
n
xi
i 1
P
0
.
7) Więzy i ich reakcje
Więzy są to ograniczenia ruchu nakładane na ciała, które odbierają tym ciałom stopnie
swobody. Fizycznie są to podparcia, zamocowania, utwierdzenia, przeguby, łożyskowanie,
cięgna krępujące ruch, inne ciała.
podpora przegubowa stała
podpora przegubowa ruchoma
idealnie sztywne podparcie (utwierdzenie)
przegub kulisty
elementy prętowe
cięgna wiotkie (mogą pracować tylko na rozciąganie)
podparcie kierunkowe – gładka płaszczyzna, ostra krawędź.
8) Zasada oswobodzenia ciała od więzów
Każde ciało nieswobodne można przedstawić jako bryłę swobodną, odrzucając więzy i
zastępując ich działanie na ciało odpowiednio przyłożonymi siłami reakcj.
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
7
KINEMATYKA I DYNAMIKA
Porównanie wielkości fizycznych dla ruchu postępowego i obrotowego
Wielkość
fizyczna
Rodzaj ruchu
postępowy
obrotowy
Czas
t[s]
t[s]
Położenie(droga)
r ,
s [m]
,
[rad]
Prędkość
dr
v
dt
(kątowa)
d
dt
Przyspieszenie
dv
a
dt
(kątowe)
d
dt
Masa
m[kg]
(masowy moment bezwładności)
J[kg·m
2
]
Siła
P [N]
moment siły (para sił) M [N·m]
Pęd
p
m v [kg·m/s]
(kręt) K J
[kg·m
2
/s]
Popęd (impuls)
2
1
t
t
Fdt [N·s]
F
t , gdy F=const.
(pokręt)
2
1
t
t
Mdt [Nm·s]
M
t , gdy M=const.
II zasada
dynamiki
Newtona
m a
P
0
0
J
M
Siła
bezwładności
(d'Alemberta)
A
m a
A
M
J
Energia
kinetyczna
2
k
m v
E
2
[J]
2
k
J
E
2
[J]
Praca stałej siły
W
F s [J]
W
M
[J]
Moc stałej siły
dW
N
F v
dt
[W]
dW
N
M
dt
[W]
Zależności wiążące
M
r P
K
r p
r m v
a
r
v
r
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
8
Kinematyka ruchu jednostajnie zmiennego
Droga
2
0
0
a t
s
s
v
t
2
2
0
0
t
t
2
Prędkość
0
v
v
a t
0
t
Przyspieszenie
a=const.
ε=const.
II Zasada dynamiki Newtona
Ruch postępowy
Ruch obrotowy
Ruch płaski
n
C
xi
i 1
n
C
yi
i 1
m x
P
m y
P
n
0
0i
i 1
I
M
0 – nieruchoma oś obrotu
n
C
xi
i 1
n
C
yi
i 1
n
C
Ci
i 1
m x
P
m y
P
I
M
C – środek masy ciała
Energia kinetyczna
Ruch postępowy
Ruch obrotowy
Ruch płaski
2
k
m v
E
2
2
0
k
J
E
2
2
2
C
C
k
m v
J
E
2
2
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
9
ZADANIA
ZAD. 1)
Z jakiej wysokości h z równi powinien zsuwać się bez tarcia klocek o masie m, aby w
najwyższym punkcie toru kołowego o promieniu R nie oderwał się od tego toru? Wszelkie
opory pominąć. Wyznaczyć reakcję toru na klocek w funkcji położenia kątowego .
ZAD. 2)
Klocek o masie m zsuwa się bez tarcia wewnątrz toru zakrzywionego o promieniu R.
Następnie porusza się na odcinku poziomym o współczynniku tarcia µ, uginając sprężynę o
sztywności k. Oblicz maksymalne ugięcie sprężyny.
ZAD. 3)
Wyznacz przyspieszenie klocków układu przedstawionego na rysunku. Określ prędkość
uderzenia klocka m1 o podłoże oraz czas w chwili uderzenia. Ruch odbywa się ze stanu
spoczynku. Tarcza jest nieważka. Współczynnik tarcia ślizgowego klocka o podłoże wynosi
µ.
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
10
ZADANIE 4
Z równi nachylonej do poziomu pod kątem α z wysokości H stacza się bez poślizgu kula bez
prędkości początkowej. Wyznaczyć maksymalną wysokość h
max
, na jaką wzniesie się kula po
opuszczeniu toru zakrzywionego. Opory toczenia pominąć.
h
max=?
2α
H
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
11
ZAD. 5)
Na nieruchomej scenie teatralnej o masie M i promieniu R stoi człowiek o masie m. W
pewnej chwili człowiek rozpoczyna spacer wzdłuż obwodu sceny ze stałą prędkością V
(względem podłoża). Traktując scenę jak tarczę a człowieka jak masę skupioną, wyznacz
prędkość kątową sceny.
ZAD. 6)
Belkę o długości L zamocowano przegubowo na końcu i odchylono do pionu. Wyznaczyć
prędkość kątową belki w położeniach I i II.
ZAD. 7)
Tarczę o promieniu r rozpędzono do prędkości V
0.
Na jaką wysokość h wzniesie się tarcza na
równi o kącie nachylenia υ, jeżeli jej prędkość zmaleje o połowę a toczenie odbywa się bez
poślizgu? Jaka będzie maksymalna wysokość h, na którą wtoczy się tarcza. Podobne
doświadczenie wykonano z kulą posiadającą ten sam promień r. Który z obiektów wzniesie
się wyżej?
I
II
M
m
R
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
12
ZAD. 8)
Do układu dwóch ciał (rys.) przyłożono siłę F. Jakie będzie przyspieszenie liniowe tego
układu? Opory toczenia pominąć, tarcza toczy się bez poślizgu, a współczynnik tarcia
ślizgowego klocka o podłożę wynosi µ. Masa każdego ciała wynosi m, promień tarczy równy
jest r.
ZAD. 9)
Do układu dwóch sprężyn o sztywnościach k
1
i k
2
, przyłożono siłę F. Jakie będzie ugięcie
sprężyn?
ZAD. 10)
Łańcuch o długości 1/2 obwodu koła o promieniu R znajduje się w spoczynku na gładkiej
czaszy kulistej. W pewnej chwili łańcuch rozpoczyna zsuwanie po czaszy. Wyznaczyć
prędkość łańcucha w chwili gdy jego ostatnie ogniwo opuści czaszę.
k
1
k
2
F
F
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
13
ZAD. 11)
Oswobodzić układ z więzów, narysować niewiadome wielkości reakcyjne zgodne z
nałożonymi więzami oraz określić statyczną wyznaczalność układu.
ZAD. 13)
Dla układów przedstawionych na rysunkach wyznaczyć reakcje w podporach i siły w
przegubach.
a)
M
3L
2L
2L
F
q
L
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
14
b)
c)
q
2L
3L
F
L
2L
α
M
a
a
a
a
a
a
a
P
2P
3P
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
15
d)
e)
3L
M
F
L
α
q
L
L
L
2P
M=PL
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
16
II. WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW
1) Prawo Hooke'a
Do granicy sprężystości materiału naprężenia są wprost proporcjonalne do odkształceń. Dla
jednoosiowego stanu rozciągania/ściskania można zapisać:
E
gdzie:
E [N/m
2
]
moduł Younga sprężystości wzdłużnej materiału,
ε [-]
odkształcenie względne,
L
L
,
L
[m]
przyrost długości,
L [m]
długość początkowa .
Korzystając z definicji naprężeń dla jednoosiowego stanu rozciągania i ściskania otrzymamy:
N
L
E
A
L
N L
L
E A
.
2) Pojęcie naprężenia
sila
naprężenie
powierzchnia
normalna
styczna
dP elementarna siła
dA - elementarna
powierzchnia
dN
dT
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
17
naprężenie normalne
dN
dA
naprężenie styczne
dT
dA
3) Siły wewnątrzmateriałowe
siła normalna N
siła poprzeczna (tnąca) T
moment gnący M
g
moment skręcający M
s
N
T
Ms
Mg
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
18
4) Podstawowe stany wytrzymałościowe
NAPRĘŻENIA
NORMALNE σ [MPa]
STYCZNE τ [MPa]
Rozciąganie/Ściskanie
Zginanie
Ścinanie(czyste
technologicznie)
Skręcanie
r / c
N
A
A[m
2
]-pole przekroju
poprzecznego
g
g
x
M
y
I
g
max
g
x
M
W
I
x
[m
4
]-moment
bezwładności osiowy
W
x
[m
3
]-wskaźnik przekroju
na zginanie
t
T
A
A[m
2
]-pole przekroju
poprzecznego
s
s
0
M
I
max
s
s
0
M
W
I
0
[m
4
]-moment
bezwładności biegunowy
W
0
[m
3
]-wskaźnik przekroju
na skręcanie
5) Naprężenia dopuszczalne
nieb
dop
k
n
gdzie:
nieb
[Pa]
naprężenie niebezpieczne, najczęściej jest to granica plastyczności materiału,
Re
n [-]
współczynnik bezpieczeństwa (pewności), zawsze n > 1.
6) Warunki wytrzymałościowe
rozciąganie
r / c
r / c
N
k
A
ścinanie
t
t
T
k
A
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
19
zginanie
g
g
g
x
M
k
W
skręcanie
s
s
s
0
M
k
W
7) Wskaźniki przekrojów podstawowych figur płaskich
kołowy pełny
3
x
3
0
d
W
32
d
W
16
kołowy drążony
4
4
x
4
4
0
(D
d )
W
32 D
(D
d )
W
16 D
prostokątny b×h
2
x
b h
W
6
.
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
20
ZADANIA
ZAD. 1)
a) Jaką siłę należy przyłożyć do stempla wycinającego kształty z blach o grubości g
pokazanych na rysunku? Dane: Re
t
=220MPa, g=1.5 mm, a=3cm, b=4cm, r=5cm-
promień wyciętego fragmentu koła.
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
21
b) Jaką średnicę d powinny mieć sworznie, aby nie uległy ścięciu, jeżeli współczynnik
bezpieczeństwa przyjęto n=3. Re
t
=180MPa, P=10kN
c) Jaką średnicę d powinien mieć sworzeń mocujący krążek linowy, aby nie uległ
ścięciu. Przyjąć współczynnik bezpieczeństwa n=3.5. Re
t
=250MPa, P=3.45kN.
d
sworzeń
P
P
d
d
P
P
P
P
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
22
ZAD. 2)
Dla układów przedstawionych na poniższych rysunkach wyznaczyć siły normalne w prętach
oraz naprężenia. Kształty i wymiary przekrojów podano na rysunkach. Określić odkształcenia
prętów.
A
q
a
2a
b
h
L
A
q
a
2L
b
α
a
2b
M
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
23
a
a
2b
b
d
1
2
L
Q
α
2b
b
a
a
q
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
24
ZAD. 3)
Dla belek przedstawionych na rysunkach wyznaczyć:
a) reakcje podpór,
b) momenty gnące w charakterystycznych punktach belki,
c) siły tnące w tych punktach,
d) maksymalne naprężenia gnące dla przedstawionego przekroju poprzecznego belki,
2P
L
L
2L
M=PL
X
d
α
β
L
1
2
Q
a
a
d
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
25
a
a
2P
L
2
L
A
M= PL
B
α= 30°
q
A
B
3L
L
F = qL
M=2qL
2
L
L
M=2PL
3P
A
d
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
26
III. DRGANIA
1) Ruch harmoniczny (nietłumiony)
Równanie ruchu
x(t)
A sin(
t
)
Prędkość
dx(t)
v(t)
A
cos(
t
)
dt
Maksymalna prędkość
max
v
A
Przyspieszenie
2
2
2
d x(t)
a(t)
A
sin(
t
)
dt
Maksymalne przyspieszenie
2
max
a
A
Energia kinetyczna
2
2
2
2
k
1
1
E (t)
m v (t)
m A
cos (
t
)
2
2
Energia potencjalna
2
2
2
p
1
1
E (t)
k x (t)
A sin (
t
)
2
2
Zasada zachowania energii mechanicznej-drgania nietłumione
2
2
2
2
2
mech
k
p
1
1
1
1
E
(t)
E (t) E (t)
m v (t)
k x (t)
m A
k A
const.
2
2
2
2
2) Tłumienie wiskotyczne
W modelu tłumienia wiskotycznego, siła oporu (dyssypacji energii) jest proporcjonalna do
prędkości względnej końców tłumika
tl
2
1
2
1
F
b (v
v )
b (x
x ) ,
natomiast energię rozpraszaną (funkcję dyssypacji energii) obliczamy ze wzoru
2
2
2
1
2
1
1
1
D
b (v
v )
b (x
x )
2
2
.
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
27
3) Elementy sprężyste i tłumiące:
liniowe – siły w sprężynie i tłumiku:
spr
2
1
tl
2
1
F
k (x
x )
F
b (x
x )
,
gdzie:
k[N/m], b[N/(m/s)], x
i
[m],
x
[m/s]
obrotowe (rotacyjne) – momenty sił w sprężynie i tłumiku:
spr
0
2
1
tl
0
2
1
M
k
(
)
M
b
(
)
gdzie:
k
0
[N·m/rad], b
0
[N·m/(rad/s)], υ
i
[rad],
[rad/s]
4) Łączenie elementów sprężystych i tłumiących
szeregowe
n
zast
i 1
i
n
zast
i 1
i
1
1
k
k
1
1
b
b
równoległe
n
zast
i
i 1
n
zast
i
i 1
k
k
b
b
5) Różniczkowe równanie drgań swobodnych tłumionych:
Dla drgań układu o 1 stopniu swobody z tłumieniem wiskotycznym równanie ruchu
przyjmuje postać
zast
zast
zast
2
0
m
x
b
x
k
x
0
x
2 h x
x
0
,
gdzie:
m
zast
,b
zast
,k
zast
zastępcze (zredukowane) współczynniki bezwładności, tłumienia i sztywności,
zast
0
zast
k
m
częstość drgań własnych nietłumionych (rezonansowa),
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
28
0
0
2
T
okres drgań własnych nietłumionych,
zast
zast
b
h
2 m
współczynnik tłumienia.
Dla małego tłumienia, tzn. gdy ω
0
>h, częstość i okres tłumionych drgań własnych obliczamy
z zależności:
2
2
tl
0
tl
tl
h
2
T
.
6) Logarytmiczny dekrement tłumienia
W przypadku tłumienia wiskotycznego stosunek dwóch wychyleń odległych od siebie o T
tl
jest wielkością stałą, a jego logarytm naturalny jest bezwymiarową miarą tłumienia układu i
nosi nazwę logarytmicznego dekrementu tłumienia
tl
tl
x(t)
ln
h T
x(t
T )
.
7) Energia drgań tłumionych
2 h t
0
E(t)
E e
,
gdzie:
E
0
[J]
energia początkowa (dla t=0),
t[s]
czas.
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
29
ZADANIA
Dla układów przedstawionych na rysunkach określić:
a) różniczkowe równanie ruchu drgań swobodnych,
b) zastępcze (zredukowane) współczynniki bezwładności, tłumienia, sztywności,
c) częstość i okres drgań swobodnych tłumionych i nietłumionych (dla tłumienia małego,
tzn. ω
0
>h),
d) logarytmiczny dekrement tłumienia.
ZAD. 1)
ZAD. 2)
k
0
k
b
2L
L
m
k
2k
m
m r kula
O
b
x
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
30
ZAD. 3)
ZAD. 4)
a
b
ρ
c
m
g
k
m
r
m
b
µ= 0
Kula, m, r
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
31
ZAD. 5)
ZAD. 6)
b
k
L
L
A
J
A
k
x
h
k
2k
μ = 0
m
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
32
IV. MECHANIKA PŁYNÓW
1) Ciśnienie hydrostatyczne
hydrost
p
g h ,
gdzie:
ρ[kg/m
2
]
gęstość cieczy,
g=9.81 m/s
2
przyspieszenie grawitacyjne,
h[m]
wysokość słupa cieczy.
2) Ciśnienie całkowite
0
hydrost
0
p
p
p
p
g h
p
0
ciśnienie zewnętrzne na poziomie uznawanym za h=0, a dla zbiorników
otwartych ciśnienie atmosferyczne na powierzchni cieczy (w warunkach
normalnych jest to 1013 hPa)
3) Objętościowe natężenie przepływu
q
A v ,
gdzie:
A[m
2
]
powierzchnia przekroju poprzecznego rurociągu,
v[m/s]
prędkość płynu.
4) Masowe natężenie przepływu
m
q
A v
.
5) Prawo ciągłości przepływu (strugi)
1
1
2
2
A v
A v
const .
6) Równanie Bernoulliego, zasada zachowania energii
W przypadku cieczy nieściśliwej, nielepkiej, gdy przepływ jest stacjonarny, energię jednostki
masy płynu obliczamy z zależności
2
2
1
1
2
2
1
2
v
p
v
p
g h
g h
const
2
2
gdzie:
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
33
h[m]
wysokość w układzie odniesienia, w którym liczona jest energia potencjalna.
Poszczególne człony równania to energia kinetyczna, energia potencjalna, energia ciśnienia.
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
34
ZADANIA
ZAD. 1)
Wyznaczyć maksymalną wysokość H napełnienia zbiornika, przy której będzie jeszcze
zagwarantowana szczelność klapy o długości L. Określić wartość i miejsce przyłożenia
wypadkowej naporu na obie części klapy, jeżeli jej szerokość wynosiła b.
ZAD. 2)
Z zaworu hydrantu umieszczonego na wysokości h nad ziemią wypływa woda. Wyznaczyć
prędkość wypływu wody, zasięg strumienia oraz czas, po upływie którego woda opadnie na
ziemię. Ciśnienie na wysokości zaworu wynosi p
1
, a zewnętrzne p
atm
.
L
P
0
P
1
h
L
H
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
35
ZAD. 3)
Wyznaczyć prędkości V
1
i V
2
wypływu cieczy z otwartego zbiornika systemem dwóch rur o
jednakowych średnicach d umieszczonych jak przedstawiono na rysunku w odległości h od
środka otworu wylotowego. Dla jakiej wysokości H, natężenie przepływu w górnej rurce
będzie 2 razy mniejsze od natężenia przepływu w dolnej?
P
atm
H
d
d
V
1
V
2
h
h
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
36
ZAD. 4)
A dyszy o powierzchni przekroju poprzecznego A wypływa strumień cieczy o gęstości ρ z
prędkością V w kierunku poziomym. Następnie strumień uderza o pionową płytę opierającą
się o dwie sprężyny o sztywności k każda. Wyznaczyć siłę naporu N strumienia na płytę oraz
ugięcie x płyty.
X
X
V
k
k
A
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
37
ZAD.5)
Określić wysokość h na jaką wystrzeli strumień wody z dyszy. Różnica poziomów lustra
cieczy w zbiorniku i końcówki dyszy wynosi H, ciśnienie wewnątrz zbiornika p
1
, natomiast
ciśnienie zewnętrzne p
0
.Powierzchnie zbiornika i dyszy są odpowiednio A
1
, A
2
.
H
h
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
38
ZAD. 6)
Wyznaczyć masę M przeciwwagi zastosowanej do zabezpieczenia klapy przed otwarciem,
jeżeli wiadomo, że słup cieczy o wysokości H powoduje jej otwarcie. Szerokość klapy
wynosi b. Określić wielkość siły naporu na klapę i punkt jej przyłożenia.
Q
L
H
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
39
V. TERMODYNAMIKA
1) Podstawowy wzór kinetycznej teorii gazów
kin,sr
2 N
p
E
3 V
,
gdzie:
p [N/m
2
]
ciśnienie
N [-]
liczba cząstek
V [m
3
]
objętość
kin,sr
E
[J]
energia kinetyczna średnia
kin,sr
3
E
k T
2
,
T [K]
temperatura bezwzględna,
23
A
R
J
k
1.38 10
N
K
stała Boltzmanna
2) Równanie Clapeyrona stanu gazu doskonałego
m
p V
R T
,
gdzie:
m [kg]
masa gazu,
[kg/kmol] masa molowa,
kJ
R
8.314
kmol K
uniwersalna stała gazowa,
3) Liczba Avogadra
Jeden mol substancji jest to taka masa, która zawiera ilość cząstek równą liczbie Avogadra
23
A
N
6.022 10 cząstek.
4) Mieszaniny gazów (doskonałych)
1
2
i
p V
(n
n
... n
...) R T ,
gdzie:
n
i
liczba moli i-tego składnika
p. V, T
parametry całej mieszaniny.
5) Prawo Daltona o wypadkowym ciśnieniu
1
2
i
p
p
p
... p
...
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
40
p
i
[N/m
2
]
ciśnienie i-tego składnika.
6) Przemiany gazowe
a) izotermiczna ( T=const ), prawo Boyle'a-Mariotte'a
1
1
2
2
p V
const
p V
p
V
b) izobaryczna ( p=const ), prawo Gay-Lussaca
1
1
1
2
1
2
V
const
T
V
V
T
T
c) izochoryczna ( V=const ), prawo Charlesa
1
2
1
2
p
const
T
p
p
T
T
d) adiabatyczna ( Q=0 ), równanie Poissona
1
1
2
2
p V
const
p V
p
V
gdzie:
p
v
C
C
wykładnik adiabaty.
e) politropowa ( ogólna przemiana gazów doskonałych )
m
m
m
1
1
2
2
p V
const
p V
p
V
gdzie:
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
41
p
v
C C
m
C C
jest wykładnikiem politropy.
7) Równanie Mayera
p
v
C
C
R ,
gdzie:
C
p
, C
v
[J/(mol·K)]
ciepła właściwe przy stałym ciśnieniu i stałej objętości.
8) I zasada termodynamiki
W dowolnej przemianie termodynamicznej układu zamkniętego zmiana
U energii
wewnętrznej jest równa ciepłu Q dostarczonemu do układu i pracy W wykonanej nad
układem
U
Q W ,
gdzie
2
1
Q
m c (t
t ) .
9) II zasada termodynamiki, obieg porównawczy Carnota
Silnik cieplny pracujący cyklicznie, pobiera ciepło Q
1
ze źródła ciepła o temperaturze T
1
i
następnie w wyniku procesu cyklicznego (kołowego) oddaje ciepło Q
2
do chłodnicy o
temperaturze T
2
oraz wykonuje pewną pracę W (oddaje pracę W>0).
Sprawnością silnika nazywa się stosunek uzyskanej pracy W w całym cyklu do ciepła
pobranego Q
1
, czyli
1
2
1
1
Q
Q
W
Q
Q
.
Z wszystkich maszyn cieplnych najwyższą sprawność posiada tzw. Maszyna Carnota, której
cykl składa się z dwóch przemian adiabatycznych i dwóch izotermicznych. Wówczas
1
2
2
1
1
T
T
T
1
T
T
.
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
42
ZADANIA
ZAD. 1)
W pojemniku kulistym o promieniu R=1 m znajduje się m=300 g tlenu. Oblicz koncentrację
molekuł tlenu w kuli.
ZAD. 2)
Do argonu o masie m=0.3 kg dostarczono podczas procesu przemiany izobarycznej Q=4.5 kJ
ciepła. Jak i o ile zmieni się średnia energia kinetyczna każdej molekuły? Masa molowa
argonu µ=39.9 g/mol.
ZAD. 3)
Obliczyć ciśnienie mieszaniny składającej się z tlenu (n
1
=10
14
molekuł), azotu (n
2
=3.8·10
15
molekuł) oraz m=8.9·10
-11
kg argonu. Temperatura mieszaniny wynosi t=130 ºC, a objętość
V=3.2·10
-3
m
3
.
ZAD. 4)
Wyznaczyć ilość odprowadzonego ciepła oraz pracę jaką wykonano podczas izobarycznego
sprężania tlenu o masie m=12 kg jeżeli jego objętość zmalała n=2 razy. Początkowa
temperatura wynosiła t=110 ºC.
ZAD. 5)
Walcowe naczynie o długości L
1
=0.6 m zawiera zamknięte tłokiem powietrze o temperaturze
t
1
=25 ºC pod ciśnieniem p
1
=2.3·10
5
Pa. Tłok przesunięto o ΔL=0.3 m sprężając adiabatycznie
zawarte w nim powietrze. Oblicz ciśnienie i temperaturę końcową jeżeli wykładnik adiabaty
dla powietrza wynosi κ=1.4.
ZAD. 6)
Tlen o masie m=200 g ogrzano od temperatury t
1
=40 ºC do t
2
=70ºC. Zakładając, że gaz jest
idealny oblicz ilość pobranego ciepła oraz zmianę energii wewnętrznej tlenu w przypadku,
gdy ogrzewanie zachodziło: a) izochorycznie, b)izobarycznie.
ZAD. 7)
Obliczyć sprawność obiegu termodynamicznego składającego się z dwóch izoterm i dwóch
izobar, jeżeli czynnikiem roboczym jest gaz doskonały. Temperatury gazu w procesach
izotermicznych są T
1
i T
2
, a ciśnienia p
1
i p
2
.
ZAD. 8)
Podczas izobarycznego sprężania azotu wykonana została praca równa L=14 kJ. Obliczyć
ilość straconego ciepła oraz zmianę energii wewnętrznej gazu.
ZAD. 9)
Jaka ilość ciepła potrzebna jest do ogrzania V=5 m
3
tlenku węgla od temperatury t
1
=0 ºC do
temperatury t
2
=210 ºC? Gaz znajduje się w cylindrycznym naczyniu przykrytym od góry
poruszającym się bez tarcia lekkim tłokiem. Ciśnienie atmosferyczne p
0
=9,40·10
4
Pa.
ZAD. 10)
Przy izotermicznym sprężaniu m=3.1 kg tlenku węgla objętość jego zmniejszyła się cztery
razy. Obliczyć pracę wykonaną podczas sprężania, jeżeli temperatura gazu wynosiła 12 ºC.
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
43
ZAD. 11)
Azot (N
2
) o masie m=6 kg rozpręża się politropowo. Ciśnienie gazu maleje od wartości
p
1
=15·10
5
Pa do p
2
=1.5·10
5
Pa. Obliczyć ilość ciepła jaka wymieniona zostaje podczas tego
procesu, jeżeli końcowa temperatura wynosiła t
2
=40 ºC. Wykładnik politropy m=1.75, ciepło
właściwe gazu c
p
=1047 kJ/(kg·K).
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
44
VI. ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA
PRĄD STAŁY
1) Natężenia prądu
dq
I
dt
I
e n v S
I
E S
gdzie:
q, e [C]
ładunek elektryczny,
t [s]
czas,
v [m/s]
średnia prędkość uporządkowanego ruchu elektronów,
S [m
2
]
powierzchnia przekroju poprzecznego przewodu,
E [N/C=V/m] natężenie pola,
n
koncentracja nośników prądu,
A
n
N
[kg/m
3
]
gęstość materiału przewodzącego,
N
A
liczba Avogadra,
[kg/kmol] masa molowa.,
[1/(
m)] elektryczne przewodnictwo właściwe
e
1
,
e
[
m]
elektryczny opór właściwy materiału.
2) Prawo Ohma
U
I
R
,
gdzie:
U [V]
napięcie,
R [
]
opór elektryczny
e
L
R
S
,
L [m]
długość przewodnika,
S [m
2
]
pole powierzchni przekroju poprzecznego,
e
0e
(1
t)
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
45
t [ºC]
temperatura
0e
opór właściwy w temperaturze 0ºC.
3) Prawa Kirchhoffa
I prawo
Suma algebraiczna natężeń prądów wpływających do węzła i wypływających z węzła równa
jest zeru:
1
2
3
I
I
I
... 0 ,
II prawo
Suma algebraiczna spadków napięć na elementach obwodu zamkniętego jest równa zeru:
1
2
3
U
U
U
... 0.
Spadki napięcia na elementach obwodu elektrycznego, tzn.: opornikach, kondensatorach,
cewkach i ogniwach wynoszą odpowiednio:
R
U
I R
t
C
0
1
Q
U
Idt
C
C
L
dI
U
L
dt
U
I r ,
r [Ω]
opór wewnętrzny ogniwa.
4) Prawo Ohma dla obwodu
i
i
i
I
R
r
,
gdzie:
i
[V]
suma sił elektromotorycznych.
5) Łączenie oporników, kondensatorów i ogniw – wielkości zastępcze:
łączenie szeregowe
zast
i
R
R
zast
i
1
1
C
C
zast
i
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
46
zast
i
r
r
łączenie równoległe
zast
i
1
1
R
R
zast
i
C
C
zast
1
2
i
i
zast
r
r
n
.
6) Praca prądu
W
U I t
7) Moc prądu
N
U I
8) Prawo Joule'a-Lentza
2
2
Q
U I t
U
Q
t
R
Q
I
R t
PRĄD PRZEMIENNY
1) Prawo Ampera
dF
I dL B
gdzie:
dF [N]
siła działająca na elementarny odcinek przewodu,
dL [m]
elementarny odcinek przewodu,
I [A]
natężenie prądu,
B [T]
indukcja magnetyczna.
2) Prawo Biota – Savarta – Laplace'a
0
3
I dL r
dB
4
r
gdzie:
µ
0
[(Vs)/(Am)] przenikalność magnetyczna próżni,
µ[(Vs)/(Am)] względna przenikalność magnetyczna ośrodka,
r [m]
wektor wodzący poprowadzony z elementu I dL
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
47
3) Zależność indukcji i natężenia pola magnetycznego
0
B
H
4) Pole magnetyczne poruszającego się ładunku
0
3
q v r
B
4
r
,
gdzie
v[m/s]
prędkość ładunku.
5) Pole magnetyczne wokół przewodnika liniowego
0
1
2
0
I
B
(cos
cos
)
4
r
,
gdzie:
r
0
[m]
odległość od przewodnika do rozpatrywanego punktu,
υ
1
, υ
2
kąty jakie tworzą proste poprowadzone z rozpatrywanego punktu do końców
przewodnika z tym przewodnikiem.
W szczególności dla nieskończonego przewodnika prostoliniowego
0
0
2 I
B
4
r
6) Moment magnetyczny zamkniętego obwodu
m
p
I S,
gdzie
S[m
2
]
pole powierzchni ramki zamkniętej obwodem.
7) Pole magnetyczne na osi okrągłego zwoju w dowolnym punkcie osi
0
m
2
2 3/ 2
2 p
B
4
(R
h )
,
gdzie:
R [m]
promień zwoju,
h [m]
odległość od środka zwoju do rozpatrywanego punktu.
8) Pole magnetyczne wewnątrz toroidu
0
N I
B
2
r
,
gdzie
N
całkowita liczba zwoi.
9) Pole magnetyczne solenoidu
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
48
0
1
2
B
n I (cos
cos
)
2
,
gdzie:
n
liczba zwojów na jednostkę długości,
α1, α
2
kąty jakie tworzą proste poprowadzone z rozpatrywanego punktu leżącego na
osi solenoidu z końcami solenoidu.
Dla nieskończenie długiego solenoidu
0
B
n I .
10) Siła wzajemnego oddziaływania dwóch przewodników z prądem
0
2
2
1
1
12
2
3
12
I
dL
[I dL
r ]
F
4
r
0
1
1
2
2
21
1
3
21
I dL
[I
dL
r ]
F
4
r
Dla dwóch równoległych przewodów odległych o r i o długościach L każdy siła wzajemnego
oddziaływania wynosi:
0
1
2
1
2
I I L
F
F
2
r
.
11) Mechaniczny moment sił działających na ramkę z prądem w jednorodnym polu
magnetycznym
m
M
p
B
12) Siła Lorentza oddziaływania pola elektrycznego i magnetycznego na ładunek
L
F
q E
q v B
gdzie
v[m/s]
prędkość ładunku.
13) Strumień magnetyczny
BdS
,
gdzie
dS [m
2
]
elementarna
powierzchnia
zorientowana
wektorem
jednostkowym
prostopadłym do niej .
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
49
14) Siła elektromotoryczna indukcji (Prawo Faradaya)
ind
d
dt
15) Natężenie indukowanego prądu
ind
1 d
I
R dt
R
16) Siła elektromotoryczna samoindukcji
samoind
d
dI
L
dt
dt
gdzie
L [H]
indukcyjność obwodu.
17) Energia pola magnetycznego prądu elektrycznego
2
m
1
W
L I
2
18) Prąd przemienny
0
m
0
m
0
m
0
m
0
B S cos(
t
)
cos(
t
)
cos(
t
)
I
I
cos(
t
)
U
U
cos(
t
)
,
gdzie:
Φ
m
, ε
m
, I
m
, U
m
wartości maksymalne (amplitudy),
υ
0
kąt przesunięcia fazowego,
ω[rad/s]
częstość kołowa wirowania pola magnetycznego (ramki obwodu).
19) Wartości skuteczne prądu i napięcia
m
sk
m
sk
I
I
2
U
U
2
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
50
20) Odbiorniki w układach elektrycznych
Spadki napięcia na odbiornikach
Opór czynny
R
Opór bierny indukcyjny
X
L
(Reaktancja indukcyjna)
Opór bierny pojemnościowy
X
C
(Reaktancja
pojemnościowa)
R
U
I R
L
L
U
I X
I 2
f L
C
C
I
U
I X
2
f C
Zastępczy opór szeregowego obwodu R-L-C
opór pozorny - ZAWADA (IMPEDANCJA) oraz kąt przesunięcia fazowego
2
2
1
Z
R
(
L
)
C
1
L
C
tg( )
R
21) Prawo Ohma dla obwodu R-L-C
2
2
sk
R
L
C
sk
sk
U
U
(U
U )
U
I
Z
.
22) Transformatory
Transformatory to urządzenia służące do przekształcania napięcia i natężenia prądu
przemiennego.
przełożenie (przekładnia) transformatora
2
2
1
1
U
n
U
n
,
gdzie
n
1
, n
2
liczba zwojów uzwojenia pierwotnego i wtórnego
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
51
zależność napięcia i natężenia – transformator idealny (100% sprawności)
1
2
2
1
U
I
1
U
I
.
sprawność rzeczywistego transformatora
2
1
P
P
,
gdzie
P
1
, P
2
moce dla uzwojeń pierwotnego i wtórnego.
23) Drgania i fale elektromagnetyczne
okres drgań w obwodzie drgającym R-L-C
2
2
T
1
R
(
)
L C
2 L
rezonans dla obwodu idealnego (bez strat) L-C, gdy X
L
=X
C
1
2
f L
2
f C
T
2
L C
.
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
52
ZADANIA
ZAD. 1)
Do sieci prądu sinusoidalnego podłączono szeregowo odbiorniki R-L-C o wartościach:
R=25Ω, L=0.23H oraz C=27 µF. Napięcie sieci wynosi U=120 V, częstotliwość f=50 Hz.
Obliczyć:
impedancję,
prąd w obwodzie,
kąt przesunięcia fazowego napięcia względem prądu,
spadki napięcia na poszczególnych odbiornikach,
sporządzić wykresy wektorowe napięć i oporów.
G
U
C
L
R
I
U
R
U
L
U
C
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
53
ZAD. 2)
Obwód rozgałęziony składający się z cewki o rezystencji R
1
=15 Ω i indukcyjności L=0.05 H
oraz opornika o rezystencji R
2
=22 Ω i znikomo małej indukcji przyłączono do sieci prądu
przemiennego o napięciu U=230V i częstotliwości f=50 Hz. Obliczyć prądy w
poszczególnych gałęziach obwodu. Wyznaczyć impedancję układu i sporządzić wykresy
wektorowe napięć, prądów i oporów.
U
I
L
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
54
ZAD. 3)
W jednej linii obwodu rozgałęzionego umieszczono cewkę o indukcyjności L=0.067 H oraz
opór czynny rezystencji R
1
=30 Ω. W drugiej gałęzi znalazł się kondensator o pojemności
C=123 µF. Układ podłączono następnie do źródła prądu przemiennego o napięciu U=230V i
częstotliwości f=50 Hz. Obliczyć prądy w poszczególnych gałęziach obwodu. Wyznaczyć
impedancję układu i sporządzić wykresy wektorowe napięć, prądów i oporów.
ZAD. 4)
Obliczyć natężenie pola elektrycznego E wewnątrz kwadratu o boku L, jeżeli w narożnikach
znajdują się kolejno ułożone ładunki Q, 2Q, 3Q, 4Q.
ZAD. 5)
Kondensator odłączono od źródła napięcia U i następnie usunięto dielektryk o względnej
przenikalności elektrycznej ε
r
rozdzielający okładki. Jak zmieni się napięcie, natężenie i
ładunek na okładkach tego kondensatora?
ZAD. 6)
Przewodnik jest naładowany gęstością powierzchniową σ=3 C/m
2
. Obliczyć gęstość energii
ρ
en
w pobliżu tej powierzchni, jeżeli jest ona zanurzona w dielektryku o względnej
przenikalności ε
r
=3.5.
I
U
L
R
C
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
55
ZAD.7)
Przez miedziany przewodnik o oporze właściwym ρ
e
=1.83·10
-8
Ωm i przekroju S=2.1 mm
2
płynie prąd o natężeniu I=0.9 A. Oblicz natężenie pola elektrycznego w tym przewodniku.
ZAD. 8)
Ramkę umieszczono w jednorodnym polu indukcji B=0.67 T. Amplituda wzbudzonego
prądu wyniosła I
m
=12 A. Wiedząc, że pole powierzchni ramki S=230 cm
2
, liczba zwojów w
ramce N=18 oraz łączny opór zwojów R=12 Ω, wyznaczyć liczbę obrotów ramki w jednostce
czasu.
ZAD. 9)
W układzie szeregowo połączonych odbiorników R-L-C dołączono dodatkowy taki sam opór
R. Wyznaczyć kąty fazowe υ
1
, υ
2
przesunięcia między natężeniem prądu w obwodzie a
napięciem zasilającym przed i po dołączeniu opornika, jeżeli wiadomo, że moc wydzielana w
obwodzie nie uległa zmianie.
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
56
VII. UKŁADY LOGICZNE
1) Funkcje logiczne
Funkcję y=f(x
1
,x
2
,..,x
n
) nazywamy logiczną jeżeli zarówno wartości tej funkcji, jak i jej
argumenty przyjmują tylko dwie wartości - przykładowo 0 lub 1 ( PRAWDA (TRUE) lub
FAŁSZ (FALSE)).
Funkcja y, mająca n zmiennych, jest określona dla 2
n
zestawów wartości zmiennych.
2) Bramki logiczne
Bramką nazywamy prosty obwód elektroniczny (elektryczny, pneumatyczny, inny)
realizujący funkcję logiczną.
Najbardziej rozpowszechnione funkcje logiczne, mające swoją reprezentację w postaci
bramek logicznych to:
NOT
OR
AND
NOR
NAND
XOR
XNOR
Własności tych funkcji i ich reprezentację graficzną przedstawiono w tabeli poniżej.
3) Prawa logiki matematycznej – algebra Boole’a
Podstawowe prawa logiki matematycznej:
prawo przemienności
1
2
2
1
x
x
x
x
1
2
2
1
x x
x
x
prawa łączności
1
2
3
1
2
3
(x
x ) x
x
(x
x )
1
2
3
1
2
3
(x x ) x
x (x
x )
prawa rozdzielności
1
2
3
1
3
2
3
(x
x ) x
x x
x x
1
2
3
1
3
2
3
x x
x
(x
x ) (x
x )
prawa dopełnienia (de Morgana)
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
57
1
2
1
2
x
x
x x
1
2
1
2
x x
x
x
prawa powtórzenia
x
x
x ... x
x
x x x ... x
x
Ponadto, przy przekształcaniu funkcji logicznych, stosowane są następujące własności:
1
1
2
1
1
1
2
1
2
1
1
2
1
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
x 0
0
x 1
x
x x
0
x (x
x )
x
x (x
x )
x x
x
0
x
x 1 1
x
x
1
x
x x
x
x
x x
x
x
x
x
x x
x x
x
(x
x ) (x
x )
x
W praktyce stosowane jest często twierdzenie algebry Boole'a, wg którego każdą funkcję
logiczną można przedstawić za pomocą sumy iloczynów lub iloczynu sum wszystkich jej
zmiennych. Takie przedstawienie funkcji nazywane jest odpowiednio dysjunkcyjną i
koniunkcyjną postacią kanoniczną.
System funktorów, za pomocą którego można zbudować dowolną funkcję logiczną nazywa
się systemem funkcjonalnie pełnym.
Systemy takie są utworzone m.in. przez następujące funktory:
negacji i koniunkcji,
negacji i alternatywy,
negacji koniunkcji,
negacji alternatywy.
4) Układy logiczne
Układy fizyczne, które realizują określone funkcje logiczne nazywane są układami
(elementami) logicznymi. Najczęściej stosowane są układy logiczne wykorzystujące elementy
elektroniczne, pneumatyczne oraz hydrauliczne.
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
58
TABELA FUNKCJI LOGICZNYCH
Funkcja
Nazwa
(ang.)
Tabela funkcji
Symbol graficzny
bramki
Negacja
y
x
NOT
x
y
x
0
1
1
0
Alternatywa
1
2
y
x
x
OR
1
x
2
x
1
2
y
x
x
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
Koniunkcja
1
2
y
x x
AND
1
x
2
x
1
2
y
x x
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Negacja alternatywy
1
2
y
x
x
NOR
1
x
2
x
1
2
y
x
x
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
Negacja koniunkcji
1
2
y
x x
NAND
1
x
2
x
1
2
y
x x
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
59
ZADANIA
Dla układu logicznego danego w postaci tabeli napisać za pomocą dysjunkcyjnej i
koniunkcyjnej postaci kanonicznej funkcję logiczną realizującą ten układ. Następnie
zminimalizować (optymalizacja) funkcję oraz wykorzystując bramki NAND lub NOR,
narysować schemat połączeń takiego układu.
a)
x
1
x
2
x
3
f(x
1
, x
2
, x
3
)
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
b)
x
1
x
2
x
3
f(x
1
, x
2
, x
3
)
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
c)
x
1
x
2
x
3
f(x
1
, x
2
, x
3
)
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
60
d)
x
1
x
2
x
3
f(x
1
, x
2
, x
3
)
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
61
VIII. MODELOWANIE W MECHATRONICE
1) Modelowanie fizyczne i matematyczne
model fizyczny – jest uproszczeniem obiektu rzeczywistego, które polega na
pozostawieniu tych cech fizycznych (np.: mechanicznych (własności
bezwładnościowe, wymiary geometryczne, sztywność, itp.), elektrycznych
(oporność, indukcyjność, itp.), hydraulicznych, termodynamicznych, i innych,
które mają istotny wpływ na zjawiska i procesy zachodzące z obiektem, a
pominięciu takich cech, które nie mają żadnego lub pomijalnie mały wpływ na
te zjawiska (np.: dla układów mechanicznych drgających są to kolor i zapach),
model matematyczny – stanowi opis analityczny za pomocą równań (lub
czasami nierówności) matematycznych zachowania się modelu fizycznego i
jest tworzony na podstawie zależności fizycznych opisujących zjawiska
zachodzące w analizowanym obiekcie. W układach mechanicznych są to np.:
prawa dynamiki Newtona, zasady zachowania, itp..
2) Schemat blokowy analizy obiektów
sygnał wejściowy – dowolna wielkość fizyczna, poprzez którą oddziałujemy
na badany układ, wywołując zmianę w jego zachowaniu,
sygnał wyjściowy – dowolna wielkość fizyczna charakteryzująca badany
obiekt, której zmienność w czasie nas interesuje.
3) Transmitancja operatorowa układu
Jest to podstawowa wielkość definiowana w automatyce i sterowaniu, która wiąże ze sobą
sygnał wejściowy, sygnał wyjściowy oraz wielkości fizyczne charakteryzujące analizowany
obiekt.
ANALIZOWANY OBIEKT
(
opisany np. TRANSMITANCJĄ
OPRERATOROWĄ H(s)
)
SYGNAŁ
WYJŚCIOWY
SYGNAŁ
WEJŚCIOWY
ZAKŁÓCENIA
x(t)
y(t)
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
62
Z definicji, transmitancja operatorowa układu jest to stosunek transformaty Laplace'a
sygnału wyjściowego do transformaty Laplace'a sygnału wejściowego, przy zerowych
warunkach początkowych.
przy
zerowych
warunkach
początkowych
Y(s)
H(s)
X(s)
,
gdzie:
s
zmienna zespolona przekształcenia Laplace'a,
s
j
w przypadku transmitancji widmowej układu,
2
j
1
jednostka urojona.
4) Przykład modelowania i analizy układu mechanicznego
model fizyczny układu
Sygnałem wejściowym jest wymuszenie kinematyczne x(t) - przemieszczenie swobodnego
końca sprężynki o sztywności k
1
. Sygnał wyjściowy to przemieszczenie y(t) klocka o masie
m.
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
63
model matematyczny
1
0
k x
r r
J
Fr
''
( -
) =
+
-równanie ruchu dla tarczy,
y
k
by
my
F
2
'
''
-równanie ruchu dla klocka,
r
y
-związek kinematyczny przemieszczeń.
transmitancja operatorowa układu
1
2
0
2
1
2
k
Y s
L s
H s
J
X s
M s
m s
b s
k
k
r
( )
( )
( ) =
=
=
( )
( )
(
+
)
+ ( ) + (
+
)
.
symulacja komputerowa działania układu – realizacja w programie
MATLAB
% plik w Matlabie
% DANE LICZBOWE
Jo=2.5;
m=5;
r=0.3;
k1=10000;
k2=7000;
b=67;
L=[k1];
% LICZNIK
M=[(Jo/r^2+m) b (k1+k2)];
% MIANOWNIK
printsys(L,M)
% WYSWIETLENIE TRANSM. OPERAT. UKL.
subplot(2,2,1)
bode(L,M)
% WYKRESY BODE'A
grid
subplot(2,2,2)
nyquist(L,M)
% WYKRES NYQUIST
subplot(2,2,3)
step(L,M)
% ODPOWIEDZ SKOKOWA
grid
subplot(2,2,4)
impulse(L,M)
% ODPOWIEDZ IMPULSOWA
grid
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
64
graficzna reprezentacja wyników w programie Matlab
realizacja układu w systemie SIMULINK
Na podstawie równań modelu matematycznego można wyznaczyć różniczkowe równanie
ruchu klocka w postaci
1
1
2
0
2
1
(
) [
(
) ]
y
k x by
k
k y
J
m
r
,
dla której realizacja w programie SIMULINK przedstawia się następująco:
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
65
wyniki uzyskane na drodze symulacji
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
66
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
67
IX. BIBLIOGRAFIA
1. Wittbrodt E., Sawiak S., Mechanika ogólna. Teoria i zadania. Wydawnictwo
Politechniki Gdańskiej, Gdańsk 2005
2. Kucenko A. N., Rublew J. W., Zbiór zadań z fizyki dla wyższych uczelni
technicznych, PWN, Warszawa 1980
3. Osiński Z., red., Zbiór zadań z teorii drgań, PWN, Warszawa 1989
4. Jakubowicz A., Orłoś Z., Wytrzymałość materiałów, WNT, Warszawa 1984
5. Heimann B., Gerth W., Popp K., Mechatronika. PWN, Warszawa 2001
6. Jędrzejewski J., Kruczek W., Kujawski A., Zbiór zadań z fizyki, t.1+t.2, WNT,
Warszawa 2000
7. Heimann B., Gerth W., Popp K., Mechatronika. PWN, Warszawa 2001
8. Kucenko A. N., Rublew J. W., Zbiór zadań z fizyki dla wyższych uczelni
technicznych, PWN, Warszawa 1980
9. Brański W., Herman M.A., Widomski L., Zbiór zadań z fizyki. Elektryczność i
magnetyzm, PWN, Warszawa 1981
10. Pudlik W. (red), Termodynamika. Zadania i przykłady obliczeniowe,
Wydawnictwo Politechniki Gdańskiej, Gdańsk 2000
11. Tesch K., Mechanika płynów, Wydawnictwo Politechniki Gdańskiej, Gdańsk 2008
12. Zawalich E., Zawalich J., Elektrotechnika dla mechaników-zadania. Wydawnictwo
Politechniki Gdańskiej, Gdańsk 2003
13. Findeisen W. (red), Automatyka. Poradnik inżyniera, WNT, Warszawa 1969
14. Próchnicki W., Dzida M., Zbiór zadań z podstaw automatyki, Wydawnictwo
Politechniki Gdańskiej, Gdańsk 1993
15. Majewski W., Układy logiczne, WNT, Warszawa 1999
16. Banaszek G., Matlab i Simulink. Materiały pomocnicze do ćwiczeń
laboratoryjnych z Podstaw Automatyki. Opracowanie wewnętrzne, Gdańsk 2008.