(3) Przestrzeń i wektory
Patrz C. Kittel i inni, Mechanika
Przestrzeń euklidesowa
(bez zakrzywienia, , )
D
180
=
+
+
γ
β
α
• jednorodna: niezmiennicza względem
przesunięcia
• izotropowa: niezmiennicza względem obrotu
(kierunku)
• promień krzywizny nie mniejszy niż 10
26
m
(nie mówimy tu zakrzywieniu biegu promieni
w pobliżu dużych mas)
Wielkość wektorowa
• Wielkość, która posiada:
– długość (miarę)
– kierunek
– zwrot
• punkt zaczepienia może być różny dla całej
klasy wektorów związanych. Klasę tę nazywamy
wektorem swobodnym. Czyli wszystkie wektory
o tej samej długości, kierunku i zwrocie są tym
samym wektorem (swobodnym)
Suma wektorów
(równoległobok)
(
) (
)
C
B
A
C
B
A
A
B
B
A
+
+
=
+
+
+
=
+
Mnożenie przez skalar
(liczbę)
(
)
A
B
B
A
k
k
k
+
=
+
Długość i wersor
(wektor jednostkowy)
1
ˆ
ˆ
≡
≡
=
A
A
A
A
A
A
A
B
A+B
A
B
A+B
2A
2B
2(A+B)
A
A
A
ˆ
5
5
=
≡
Â
prędkość – styczna do toru
przyspieszenie styczne i normalne
(dośrodkowe)
( ) ( )
( )
dt
t
d
t
t
v
r
v
=
=
G
( )
( )
( )
(
) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
dt
t
d
v
t
t
dt
v
d
t
dt
t
d
v
t
dt
v
d
dt
t
v
d
dt
t
d
t
n
s
v
a
v
a
v
v
v
v
a
=
=
+
=
=
=
ˆ
ˆ
( ) ( )
( )
r
r
v
t
a
dt
v
d
t
a
n
s
2
2
ω
=
=
=
Rzut ukośny
•
Określamy układ odniesienia
•
ustalamy parametry i warunki
początkowe
z
[
]
[
]
x
[
]
[
]
g
a
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
h
r
o
z
y
x
o
o
o
−
=
=
=
+
=
=
≡
+
=
+
+
=
≡
=
≡
=
≡
,
0
,
0
1
sin
cos
ˆ
sin
,
0
,
cos
ˆ
sin
cos
sin
,
0
,
cos
,
0
,
0
2
2
0
0
0
2
2
0
2
2
0
2
2
2
0
0
0
0
0
G
G
G
G
a
v
v
v
v
r
α
α
α
α
α
α
α
α
h
v
0
v
0
cos
α
v
0
v
0
sin
α
α
g
a
Rzut ukośny
• Równanie prędkości
z
x
[
]
[
]
g
a
v
v
v
o
o
−
=
=
=
≡
,
0
,
0
sin
,
0
,
cos
0
0
G
G
a
v
α
α
h
v
0
v
0
cos
α
v
0
=5
0 m
/s
v
0
sin
α
g
=10 m/s
2
a
( )
[
] [
]
( )
[
]
gt
v
v
t
t
g
v
v
t
o
o
o
o
−
=
−
+
=
α
α
α
α
sin
,
0
,
cos
,
0
,
0
sin
,
0
,
cos
v
v
( ) ( )
t
t
t
v
a
v
v
+
=
=
0
G
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
v(t)=(v
x
2
(t)+v
z
2
(t))
1/2
-------------
v
z
(t)=0 ---------
-----------------
------------ V
x
(t)
=30 m/s
w
arto
ść
pr
ę
dk
oś
ci
, v
(
m
/s
)
Czas (s)
v
0
=50 m/s
v
z
(t) = 0 = v
oz
- gt
m ax
t
m ax
= v
0z
/g = v
0
s in
α
/g = 3 s
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
v
z
(t)=30 m/s-10 m/s
2
*t
pr
ed
ko
ść
pi
ono
w
a
, v
z
(m
/s
)
czas (s)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
10
20
30
40
V
x
(t)
=40 m/s
pr
ędk
o
ść
po
zi
om
a,
v
x
(m
/s
)
czas (s)
α
=36.87
Rzut ukośny
• Równanie drogi
z
x
[
]
[
]
[
]
g
a
v
v
h
o
o
−
=
=
=
=
,
0
,
0
sin
,
0
,
cos
,
0
,
0
0
0
G
a
v
r
α
α
h
v
0
v
0
cos
α
v
0
=5
0 m
/s
v
0
sin
α
g
=10 m/s
2
a
( )
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−
+
=
2
2
1
sin
,
0
,
cos
gt
t
v
h
t
v
t
o
o
α
α
r
( ) ( )
2
0
0
2
1
t
t
t
t
r
a
v
r
r
+
+
=
=
G
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
100
200
300
400
500
dr
og
a
l(
t)
(
m
)
Czas (s)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-50
0
50
100
150
z(t)
=30 m/s * t -10 m/s
2
*t
2
/2)
wy
so
ko
ść
, z
(t) (m
)
cza s (s)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
100
200
300
x(t)
= 40 m/s * t
od
le
go
ść
po
zi
o
m
a
,
x(
t)
(
m
)
czas (s)
α
=36.87
h=100 m
( )
( )
( ) ( )
t
d
t
v
t
v
t
v
dt
t
v
t
s
t
z
y
x
t
′
′
+
′
+
′
=
=
=
∫
∫
0
2
2
2
0
)
(
Rzut ukośny
• Tor, z(x)
( )
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−
+
=
2
2
1
sin
,
0
,
cos
gt
t
v
h
t
v
t
o
o
α
α
r
0
50
100
150
200
250
300
350
400
-100
0
100
wy
so
ko
ść
, z
(
m
)
odlegość pozioma , x (m)
z(x)=100 m+t*(30 m/s)/(40 m/s)+
-(10 m/s
2
)*t
2
/[2*(40 m/s)
2
]
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-50
0
50
100
150
z(t)
=30 m/s * t -10 m/s
2
*t
2
/2)
wy
so
ko
ść
,
z
(t
)
(m
)
cza s (s)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
100
200
300
x(t)
= 40 m/s * t
od
le
go
ść
po
zi
om
a
,
x(
t)
(
m
)
czas (s)
( )
( )
( )
( )
2
2
cos
2
1
sin
cos
cos
cos
2
1
sin
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
+
=
=
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
=
−
+
=
α
α
α
α
α
α
o
o
o
o
o
o
v
x
g
v
x
v
h
x
z
v
x
x
t
t
v
t
x
gt
t
v
h
t
z
( )
α
α
2
2
0
2
cos
2v
gx
tg
x
h
x
z
−
+
=
Rzut ukośny
• przyspieszenie
styczne i normalne,
• kierunek ruchu.
0
50
100
150
200
250
300
350
400
-100
0
100
a
s
=
g
sin
(
α
)
a
n
=g
co
s(
α
)
α
<0
wy
so
ko
ść
,
z
(
m
)
odlegość pozioma , x (m)
α
a=g=[0,0,g]
( )
[
]
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
t
g
t
a
t
r
t
v
gt
v
v
v
t
v
t
v
t
gt
v
v
t
n
o
o
x
o
o
α
α
α
α
α
α
α
cos
sin
cos
cos
cos
sin
,
0
,
cos
2
2
0
0
2
2
0
0
0
0
=
=
−
+
=
=
−
=
v
( )
( )
0
3
cos
α
o
gv
t
v
t
r
=
• krzywizna toru
Rzut poziomy
[
]
[
]
[
]
2
0
0
0
0
10
,
0
,
0
20
0
,
0
,
100
,
0
,
0
s
m
g
g
a
s
m
v
v
v
m
h
h
r
o
o
=
−
=
=
=
=
≡
=
=
≡
G
G
G
a
v
r
0
50
100
150
200
-400
-300
-200
-100
0
100
wy
so
ko
ść
, z
(
m
)
odlegoś ć pozioma , x (m)
z(x)=
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-400
-300
-200
-100
0
100
z(t)
=
wy
so
ko
ść
, z
(t) (m
)
czas (s )
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
50
100
150
x(t)
=
odl
eg
ość
pozi
oma
,
x(
t)
(
m
)
czas (s)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
20
40
60
80
100
v(t)=(v
x
2
(t)+v
z
2
(t))
1/2
=
wa
rt
ość
pr
ędk
oś
ci
, v
(
m
/s
)
Czas (s)
v
0
=20 m/s
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-100
-80
-60
-40
-20
0
v
z
(t)=
pr
e
dk
ość
pi
ono
w
a
, v
z
(
m
/s
)
czas (s)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
10
20
30
V
x
(t)
=
pr
ędk
ość
pozi
oma
, v
x
(
m
/s
)
czas (s)
( )
( ) ( ) ( )
[
]
( )
( )
( )
( ) ( )
=
=
=
+
+
=
=
=
t
v
t
v
t
tg
v
v
v
t
v
t
v
t
v
t
v
t
x
z
z
y
x
z
y
x
α
2
2
2
,
,
v
( ) ( ) ( ) ( )
[
]
( )
=
=
=
x
z
t
z
t
y
t
x
t
,
,
r
Rzut poziomy
[
]
[
]
[
]
2
0
0
0
0
10
,
0
,
0
20
0
,
0
,
100
,
0
,
0
s
m
g
g
a
s
m
v
v
v
m
h
h
r
o
o
=
−
=
=
=
=
≡
=
=
≡
G
G
G
a
v
r
0
50
100
150
200
-400
-300
-200
-100
0
100
wy
so
ko
ść
, z
(
m
)
odlegoś ć pozioma, x (m)
z(x)=100 (m)m-*t
2
/80 (m/s
2
)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-400
-300
-200
-100
0
100
z(t)
= 100 m-10 m/s
2
*t
2
/2
wy
so
ko
ść
, z
(t) (m
)
czas (s )
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
50
100
150
x(t)
= 20 m/s * t
odl
eg
ość
pozi
oma
,
x(
t)
(
m
)
czas (s)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
20
40
60
80
100
v(t)=(v
x
2
(t)+v
z
2
(t))
1/2
=
=(400 m
2
/s
2
+100 m
2
/s
4
*t
2
)
1/2
wa
rt
ość
pr
ę
dk
oś
ci
, v
(
m
/s
)
Czas (s)
v
0
=20 m/s
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-100
-80
-60
-40
-20
0
v
z
(t)=-10 m/s
2
*t
pr
e
d
ko
ść
pi
ono
w
a
, v
z
(
m
/s
)
czas (s)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
10
20
30
V
x
(t)
=20 m/s
pr
ę
dk
ość
pozi
o
ma
, v
x
(
m
/s
)
czas (s)
( )
( ) ( ) ( )
[
]
( )
( )
( )
( ) ( )
=
=
=
+
+
=
=
=
t
v
t
v
t
tg
v
v
v
t
v
t
v
t
v
t
v
t
x
z
z
y
x
z
y
x
α
2
2
2
,
,
v
( ) ( ) ( ) ( )
[
]
( )
=
=
=
x
z
t
z
t
y
t
x
t
,
,
r
Ruch po okręgu
( )
( )
( )
[
]
( )
( )
( )
( )
[
]
( )
( )
( )
( )
[
]
0
,
sin
,
cos
0
,
cos
,
sin
0
,
sin
,
cos
2
2
t
r
t
r
dt
t
d
t
t
r
t
r
dt
t
d
t
t
r
t
r
t
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
−
−
=
=
−
=
=
=
v
a
r
v
r
0
2
4
6
8
10
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
a
n
=
ω
2
r=v
0
2
/r
v
x
(t)/a
n
v
y
(y
)/a
n
kąt (faza)
α=ωt
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
v
x
(t)/v
0
v
y
(y
)/v
0
kąt (faza)
α=ωt
v
0
=
ωr
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
y(t)
= r sin(
ω
t)
x(t)
=
r
co
s(
ω
t)
x(
t)
/r
y(y
)/r
ką t (faza)
α=ωt
r
v
t
const
r
const
dt
dl
v
dt
d
r
l
=
=
=
=
=
≡
≡
ω
ω
α
ω
α
ω
α
x=r
cos
α
y=r
sin
α
r
α
v
r
v
y
v
x
Ruch po okręgu
( )
( )
( )
[
]
( )
( )
( )
( )
[
]
( )
( )
( )
( )
[
]
0
,
sin
,
cos
0
,
cos
,
sin
0
,
sin
,
cos
2
2
t
r
t
r
dt
t
d
t
t
r
t
r
dt
t
d
t
t
r
t
r
t
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
−
−
=
=
−
=
=
=
v
a
r
v
r
0
2
4
6
8
10
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
a
n
=
ω
2
r=v
0
2
/r
v
x
(t)/a
n
v
y
(y
)/a
n
kąt (faza)
α=ωt
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
v
x
(t)/v
0
v
y
(y)/v
0
kąt (faza)
α=ωt
v
0
=
ωr
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
y(
t)
= r sin(
ω
t)
x(t)
=
r
co
s(
ω
t)
x(t)/r
y(
y)
/r
ką t (faza)
α=ωt
x=r
cos
α
x=r
sin
α
r
α
v
r
v
x
( )
( )
r
a
t
t
2
2
ω
ω
−
=
−
=
r
a
( )
( )
t
dt
t
d
r
r
2
2
2
ω
−
=
v
y
Ruch drgający
- ruch rzutu punktu biegnącego po kole na oś, np. x.
- ruch opisany równaniem:
- ruch x(t) spełniający równanie:
- ruch ciał sprężystych
0
2
4
6
8
10
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
a(t)
= -
ω
2
r
cos(
ωt)
v
x
(t)/a
n
ką t (faza )
α=ωt
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
v(t)
= -
ωr sin(ωt)
v
x
(t)/v
0
ką t (faza )
α=ωt
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
x(t)
= r cos(
ωt)
x(
t)/r
ką t (faza )
α=ωt
x=r cos
ω
t
r
α
r
( )
( )
( )
t
x
dt
t
x
d
t
a
x
2
2
2
ω
−
=
=
( )
t
r
t
x
ω
cos
=
( )
( )
( )
( )
( )
( )
t
x
m
t
F
t
kx
t
x
t
a
m
t
F
x
x
x
2
2
ω
ω
−
=
=
−
−
=
=
[
]
[
]
[
]
2
0
0
0
0
10
,
0
,
0
0
0
,
0
,
0
0
0
,
0
,
0
s
m
g
g
a
s
m
v
v
m
h
r
o
=
−
=
=
=
=
≡
=
=
≡
G
G
G
a
v
r
Swobodny spadek
( )
( )
[
]
( )
[
]
g
t
gt
t
gt
t
−
=
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
,
0
,
0
,
0
,
0
2
,
0
,
0
2
a
v
r
• stała ruchu
• zasada zacchowania
g
v
gt
h
2
2
2
2
−
=
−
=
const
mv
mgh
=
+
2
2
• praca wkładana (przez siłe
grawitacji) powoduje wzrost energii
kinetycznej.
• wprowadzimy pojęcie energii
potencjalnej (pola grawitacyjnego)
Iloczyn skalarny wektorów
(
)
z
z
y
y
x
x
B
A
B
A
B
A
AB
+
+
=
=
⋅
B
A,
B
A
cos
B
A
B cos(A,B)
rzut wektora B na wektor A
Warunek ortogonalności
Wektory są prostopadłe wtedy i tylko wtedy gdy
0
=
⋅B
A
Współrzędne kartezjanskie
[
]
(
) (
) (
)
z
A
y
y
A
y
x
A
x
A
z
A
y
A
x
A
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
,
,
ˆ
ˆ
ˆ
⋅
+
⋅
+
⋅
=
=
⋅
=
⋅
=
⋅
=
z
y
x
x
y
x
A
A
A
A
A
A
x
A
ˆ
⋅
Kosinusy kierunkowe
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
z
A
y
A
x
A
z
A
y
A
x
A
ˆ
cos
ˆ
cos
ˆ
cos
1
ˆ
cos
ˆ
cos
ˆ
cos
2
2
2
⋅
+
⋅
+
⋅
=
=
⋅
=
⋅
=
⋅
A
A
A
A
A
A
z
y
x
Praca i moc
Praca wykonana przez silę F na odcinku drogi
r
F
∆
⋅
=
W
Moc dostarczana do układu F
poruszającego się z prędkością v
v
F
r
F
⋅
=
⋅
=
=
dt
d
dt
dW
P
Praca w polu grawitacyjnym
swobodny spadek
powolne unoszenie
h
P=mg
unoszenie
wk
ładamy prac
ę
obni
żanie
kula ma potencjaln
ą
zdolno
ść
wykonania
pracy
P=mg
h
Siła grawitacji wykonuje
pracę nad kulą
W=mgh
F=P=mg
h
Siła zewnętrzna
wykonuje pracę nad
kulą
W=mgh
Energia potencjalna
siła zewnętrzna, F, wykonuje pracę nad układem kula+Ziemia
F=P=mg=[0,0,-mg]
∆r sin
θ
∆
r
cos
θ
∆r=[∆r sin
θ, 0,
∆r cos
θ
]
h
mg
W
∆
=
∆
⋅
=
∆
r
F
P=mg
wkład pracy zależy jedynie od zmiany wysokości !!!
Energia potencjalna
h
B
F=P=mg
h
A
(
)
A
B
B
A
B
A
h
h
mg
d
W
−
=
⋅
=
∫
→
r
F
wkład pracy zależy jedynie od zmiany wysokości !!!
Praca i energia potencjalna
• Praca, W
AB
, w polu grawitacyjnym nie zależy od
toru, zależy jedynie od miejsca rozpoczęcia,r
A
, i
zakończenia, r
B
.
• Każdemu punktowi w przestrzeni można tak
przypisać energię potencjalną, E
p
(r),
żeby: W
AB
= E
p
(r
B
)- E
p
(r
A
).
• Jedynie różnica energii potencjalnej ma sens
fizyczny. Energia potencjalna określona jest z
„dokładnością do stałej addytywnej”.
Pole grawitacyjne
• Siła, natężenie pola, potencjał
( )
mgz
E
p
=
r
r
F
∆
⋅
=
∆
p
E
( )
( )
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
≡
∇
≡
≡
=
dz
dE
dy
dE
dx
dE
r
E
r
E
d
dE
p
p
p
p
p
p
,
,
grad
r
F
Pole grawitacyjne
r
F
∆
⋅
=
∆
p
E
( )
mgz
E
p
=
r
h
F
ˆ
mg
−
=
( )
r
Mm
G
E
p
−
=
r
( )
r
r
F
ˆ
2
r
Mm
G
−
=
iloczyn wektorowy
(
)
(
)
)
,
sin
ˆ
ˆ
)
,
sin
ˆ
B
A
AB
C
B
A
AB
=
⊥
⊥
=
×
=
B
C
A
C
C
B
A
C
[
]
x
y
y
x
z
x
x
z
y
z
z
y
z
y
x
z
y
x
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
B
B
A
A
A
−
−
−
=
=
=
,
,
ˆ
ˆ
ˆ
z
y
x
C
A
B
zwrot C: reguła śruby
C=AxB
Document Outline
- (3) Przestrzeń i wektory
- Przestrzeń euklidesowa(bez zakrzywienia, , )
- Wielkość wektorowa
- Suma wektorów(równoległobok)
- prędkość – styczna do toru
- Rzut ukośny
- Rzut ukośny
- Rzut ukośny
- Rzut ukośny
- Rzut ukośny
- Rzut poziomy
- Rzut poziomy
- Ruch po okręgu
- Ruch po okręgu
- Ruch drgający - ruch rzutu punktu biegnącego po kole na oś, np. x.- ruch opisany równaniem:- ruch x(t) spełniający rów
- Swobodny spadek
- Iloczyn skalarny wektorów
- Warunek ortogonalności
- Praca i moc
- Praca w polu grawitacyjnym
- Energia potencjalna
- Energia potencjalna
- Praca i energia potencjalna
- Pole grawitacyjne
- Pole grawitacyjne
- iloczyn wektorowy
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
1 1 Przestrzen wektorowa
Przestrzen wektorowa
Kodowanie nowy wykład, Przestrzenie wektorowe, 3
przestrzenie wektorowe
Wyklad BAZA W PRZESTRZENI WEKTOROWEJ, szkola, Matematyka
przestrzenie wektorowe
przestrzen wektorowa dodatkowo
04 przestrzen wektorowaid 4853 Nieznany (2)
1 1 Przestrzen wektorowa
przestrzen wektorowa dodatkowo
przestrzen wektorowa
makowski,podstawy przetwarzania sygnałów, przestrzenie wektorów, baza
przestrzeń wektorowa agh
więcej podobnych podstron