Przestrzeo wektorowa.

Baza, wymiar przestrzeni

wektorowej.

Angelika Michałowska

PRZESTRZEŃ WEKTOROWA

Nieformalnie:

Zbiór obiektów (wektorów), które można dodawać i skalować.

Formalnie:

Zbiór , w którym określone są dwa działania:

> dodawanie elementów przestrzeni
> mnożenie przez elementy, nieleżące do danego ciała

DEFINICJA

Przestrzeń liniowa (wektorowa)

Niech x,y ∈ V i ⍺, β ∈ F.
Niepusty zbiór V, w którym określone jest działanie dwuargumentowe: dodawania i
mnożenia, nad ciałem F nazywamy przestrzenią wektorową, jeżeli:
(*) V jest grupą abelową ze względu na dodawanie
(**) Dla wszystkich x,y ∈ V i ⍺, β ∈ F zachodzą równości:

⍺(x+y) = ⍺x + ⍺y

(⍺+ β)x= ⍺x+ βx

⍺(β)x= (⍺β)x

1x=x

UWAGA
Elementy zbioru V – wektory
Elementy ciała F - skalary

DEFINICJA

Liniowa niezależność

Ciąg wektorów x

1

x

2,…,

x

s

przestrzeni wektorowej V nad ciałem F

nazywamy liniowo niezależnym, jeżeli równość

⍺

1

x

1

+

⍺

2

x

2

+ … + ⍺

s

x

s

= 0 (1)

jest możliwa tylko wtedy, gdy ⍺

1

=

⍺

2

= … = ⍺

s

= 0

Przykład 1 (liniowa niezależność)
Badanie liniowej niezależności wektorów A=

B= w przestrzeni liniowej macierzy.































0

0

0

0

2

1

2

1

2

1























0

1

2

0

ROZWIĄZANIE:

⍺

1,

⍺

2

dowolne skalary, należące do F

⍺

1

A +

⍺

2

B= 0 (2)

Otrzymujemy:

(3)

Przyrównując odpowiednie wyrazy dostajemy:

⍺

1

=

⍺

2

= 0 (4)

A zatem wektory A i B są liniowo niezależne.















1

1

0

1

DEFINICJA

WYMIAR PRZESTRZENI WEKTOROWEJ

Przestrzeń wektorową V nazywamy n – wymiarową, jeżeli istnieje w niej tylko
n liniowo niezależnych wektorów.

UWAGA !

Jeżeli można znaleźć dowolną liczbę wektorów niezależnych, wówczas
przestrzeń nazywamy nieskończenie wymiarową.
Przykład:
zbiór wszystkich wielomianów o współczynnikach rzeczywistych nad ciałem
liczb rzeczywistych

DEFINICJA

Baza przestrzeni wektorowej

Dowolny uporządkowany zbiór n wektorów
liniowo niezależnych
n-wymiarowej przestrzeni V nazywamy
bazą przestrzeni.

Przykład 2 (baza)
Pokazać, że wektory
e

1

= (1,0,1,0)

e

2

= (1,1,0,0)

e

3

= (0,1,1,1)

e

4

= (0,0,1,1) tworzą bazę w R

4

Rozwiązanie:
Należy sprawdzić czy te wektory są liniowo niezależne.

⍺

1,

⍺

2

,

⍺

3,

⍺

4

dowolne skalary, należące do F

⍺

1

e

1

+

⍺

2

e

2

+

⍺

3

e

3

+

⍺

4

e

4

= 0 (5)

Otrzymujemy:

(

⍺

1

+

⍺

2

,

⍺

2

+

⍺

3

,

⍺

1

+

⍺

3

+

⍺

4

,

⍺

3

+

⍺

4

) = (0,0,0,0) (6)

Porównując odpowiednie współrzędne i rozwiązując układ równań dostajemy:

⍺

1

=

⍺

2

=

⍺

3

=

⍺

4

= 0 (7)

Zatem e

1

, … , e

4

są liniowo niezależne, a dalej tworzą bazę w R

4

Przykład 3
Przedstawienie wektora x=(2,0,-1,-

2) w bazie z przykładu 2.

Rozwiązanie:
Przyrównując lewą stronę równania (6) z przykładu 2 do wektora x
otrzymujemy:

(

⍺

1

+

⍺

2

,

⍺

2

+

⍺

3

,

⍺

1

+

⍺

3

+

⍺

4

,

⍺

3

+

⍺

4

) = (2,0,-1,-2) (8)

Przyrównując odpowiednie współrzędne otrzymujemy układ równań:

(9)

Rozwiązując go otrzymujemy:

⍺

1

=1,

⍺

2

=1,

⍺

3

=-1,

⍺

4

=-1



































2

1

0

2

4

3

4

3

1

3

2

2

1



















TWIERDZENIE

Układ wektorów e

1, …

e

n

jest bazą przestrzeni wtedy i tylko wtedy, gdy

wektory e

1, …

e

n

są liniowo niezależne i dowolny wektor x tej przestrzeni

jest kombinacją liniową wektorów e

1, …

e

n

DEFINICJA

Kombinacja liniowa

Wektor y przestrzeni V nad ciałem F nazywamy kombinacją liniową
wektorów x

1

,…, x

k

, gdy:

y =

⍺

1

x

1

+

⍺

2

x

2

+ … + ⍺

k

x

k

Bibliografia:
1.

A. Romanowski „Algebra liniowa”

2. Wikipedia:

>

http://pl.wikipedia.org/wiki/Przestrze%C5%84_liniowa

>

http://pl.wikipedia.org/wiki/Baza_%28przestrze%C5%84_liniowa%29