Zestaw 3

3.1 Granica funkcji

Zadanie 3.1. Uzasadnij, »e nast¦puj¡ce granice nie istniej¡:

1. lim

x→∞

sin x

,

2. lim

x→1

x+1
x−1

.

Zadanie 3.2. Oblicz nast¦puj¡ce granice, je±li istniej¡, lub uzasadnij ich brak:

1. lim

x→1

x

3

−x

2

+x−1

x

3

+x

2

−x−1

,

2. lim

x→∞

√

1+x+2

√

1+x

2

,

3. lim

x→∞

√

x + 1 −

√

x − 1

,

4. lim

x→0

+

x

4

−x

2

+1

x

5

+x

3

+x

,

5. lim

x→0

sin 2x
sin 3x

,

6. lim

x→1

x

3

−1

|x−1|

.

Zadanie 3.3. Oblicz nast¦puj¡ce granice, je±li istniej¡, lub uzasadnij ich brak:

1. lim

x→2

x

3

−2x

2

x−2

.

2. lim

x→−2

+

x−5
x+2

.

3. lim

x→1

e

x

1−x2

.

4. lim

x→−∞

(x

7

+ 2x

4

+ 3x + 1)

.

5. lim

x→2

x−2

√

8−x

2

−2

.

6. lim

x→−1

x+1

3

√

x+1

.

7. lim

x→0

sin x

tg 2x

.

3.2 Ci¡gªo±¢ funkcji

Zadanie 3.4. Zbadaj ci¡gªo±¢ funkcji:

1. f(x) =











0

dla x 6 −1,

x

2

− 2x + 3

dla − 1 < x 6 2,

x + 1

dla x > 2.

2. f(x) =

(

2 arc tg

x

x−1

dla x ∈ (−∞, 0] ∪ (1, +∞),

−π

√

x

dla x ∈ (0, 1].

3. f(x) =











2

dla x = −2, x = 0, x = 2,

4 − x

2

dla 0 < |x| < 2,

4

dla |x| > 2.

4. f(x) =











1

x

2

dla x < −1,

(x + 2)

2

dla − 1 6 x 6 2,

3

x

dla x > 2.

Zadanie 3.5.
Dla jakiej warto±ci parametru a ∈ R poni»sze funkcje s¡ ci¡gªe?

1. f(x) =











2

√

x

dla x ∈ [0, 1],

4 − 2x

dla

x ∈ (1,

5
2

),

2x − 7a

dla x ∈ [

5
2

, +∞).

2. f(x) =

(

ln x

dla x > 0,

a + e

x−1

dla x 6 0.

3. f(x) =

(

sin 2x

dla x < π,

a + cos x

dla x > π.

4. f(x) =

(

arc tg

x

x−2

dla x ∈ (−∞, 2),

a · sin

πx

4

dla x ∈ [2, +∞).

3.3 Asymptoty funkcji

Zadanie 3.6. Wyznacz asymptoty wykresu funkcji:

1. f(x) = 4x + 3 +

1

2x

2

.

2. f(x) = e

2+x
1−x

3. f(x) = 2 −

x

2+x

,

4. f(x) =

x

2

x+2

,

5. f(x) =

(x+1)

3

3x

2

,

6. f(x) = x +

x

x

2

−1

.