Dział III Prognozowanie na podstawie modeli autoregresji.
Autoregresja – regresja w której zmienna zależna jest objaśniana poprzez wartości zmiennej
zależnej z przeszłości (inaczej poprzez opóźnione w czasie wartości zmiennej objaśnianej)
Zapis modelu autoregresji (zapis na tablicy)
Autokorelacja – Zależność wartości bieżących obserwowalnych w czasie t od wartości
wcześniejszych obserwowalnych w czasie t-1 (inaczej jest to zależność wartości bieżących
danej zmiennej od wartości z okresów poprzednich tej samej zmiennej).
Biały szum – nieprognozowany, czysto losowy składnik resztowy modelu. Własności białego
szumu:
1.
2.
,
Dla tych samych momentów wariancja jest stała i skończona w czasie. Brak autokorelacji
składnika losowego.
Rysunek 1. Biały szum
Badanie autokorelacji składnika losowego
1. Test Durbina-Watsona – test służący do badania zjawiska autokorelacji rzędu I składnika
losowego.
H0:
1
=0 (współczynnik autokorelacji rzędu I składnika losowego jest równy 0, co oznacza brak
autokorelacji rzędu I)
H1:
1
0 (współczynnik autokorelacji rzędu I składnika losowego jest różny od 0, co oznacza
występowanie autokorelacji rzędu I)
Do badania autokorelacji rzędu I służy statystyka DW, którą porównuje się z dolną oraz górną granicą
odczytaną z tablic rozkładu testu DW uzależnioną od wielkości próby oraz liczby szacowanych
parametrów w modelu bez wyrazu wolnego.
Jeżeli DW>2, wówczas należy wyprowadzić statystykę DW*=4-DW
DW, DW* > dU (górna granica testu), wówczas występuje brak podstaw do odrzucenia hipotezy
zerowej, która wskazuje na brak autokorelacji rzędu I.
DW, DW* ≤ dL (dolna granica testu), wówczas występuje odrzucenie hipotezy zerowej na korzyść
alternatywnej, co oznacza występowanie autokorelacji rzędu I.
dL< DW, DW* ≤ dU wówczas test DW nie rozstrzyga o istnieniu autokorelacji składnika losowego,
należy zastosować inny test, jest to obszar niekonkluzywny testu.
2. Test Quinoille’a (wartości współczynników autokorelacji cząstkowej dla testu należy szukać w
wartościach funkcji PACF)
H0:
= 0 (współczynnik autokorelacji rzędu m nie występuje) (
=1,2,…,k)
H1:
0 (współczynnik autokorelacji rzędu m występuje) (
=1,2,…,k)
Test ten pozwala badać autokorelację cząstkową rzędów wyższych.
Wartość statystyki testu przyrównuje się do wartości krytycznej równej
, gdzie N jest liczebnością
próby.
Jeżeli
, wówczas następuje odrzucenie hipotezy zerowej H0 na korzyść alternatywnej.
Stwierdza się występowanie autokorelacji m rzędu składnika losowego.
Jeśli
, wówczas nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej H0, zatem brak jest
autokorelacji m rzędu składnika losowego
Przykład badania autokorelacji cząstkowej na podstawie funkcji PACF (zadanie z wejściówki nr 1).
Decyzja
1. Obliczenie wartości krytycznej testu Quinoile’a
wg wzoru
.
2. Stosując metodę od góry do dołu badamy
przekroczenia
wartości
współczynnika
autokorelacji cząstkowej
3. Procedura trwa dopóki nie nastąpi odrzucenie
hipotezy zerowej dla
UWAGA! Ustalony rząd autokorelacji odpowiada
szukanemu rzędowi autoregresji.
1
0.58
2
0.28
3
-0.19
4
0.49
odrzucenie H0, oznacza
występowanie
autokorelacji
rzędu 4
składnika
losowego,
procedura zatrzymuje się.
5
-0.09
brak
podstaw do odrzucenia
H0, testujemy dalej
6
0.10
,
brak
podstaw do odrzucenia
H0, testujemy dalej
Ocena wartości prognostycznej modelu
Test Ljunga Boxa (Q) – służy do badania autokorelacji rzędów wyższych
H0:
1
= … =
m
= 0 (współczynnik autokorelacji rzędu m nie występuje)
H1:
1
…
m
0 (współczynnik autokorelacji rzędu m występuje)
Reguła decyzyjna: PATRZ – TESTOWANIE PRZY WYKORZYSTANIU WARTOŚCI P-
VALUE!!!
Test Jarque’a – Bery (JB) – służy do badania, czy rozkład składnika losowego jest rozkładem
normalnym.
H0: F(e
i
) = F
N
(e
i
) (rozkład składnika losowego jest rozkładem normalnym)
H1: F(e
i
)
F
N
(e
i
) (składnik losowy ma rozkład inny niż rozkład normalny)
Reguła decyzyjna: PATRZ – TESTOWANIE PRZY WYKORZYSTANIU WARTOŚCI P-
VALUE!!!
Test Chowa (F
CHOWA
) – służy do badania zmian strukturalnych w parametrach modelu, weryfikuje
hipoteze o stabilności parametrów modelu.
H0: parametry modelu są stabilne w czasie
H1: parametry modelu są niestabilne w czasie
Reguła decyzyjna: PATRZ – TESTOWANIE PRZY WYKORZYSTANIU WARTOŚCI P-
VALUE!!!
Test na liniowość zależności (LM
liniowość
).
H0: zależność w modelu jest liniowa
H1: zależność w modelu jest nie liniowa
Reguła decyzyjna: PATRZ – TESTOWANIE PRZY WYKORZYSTANIU WARTOŚCI P-
VALUE!!!
Test White’a (LM
hetero
) – test służy do badania jednorodności wariancji (homoskedastyczności
wariancji)
H0:
k
= 0 (wariancja jest homoskedastyczna)
H1:
k
0 (wariancja jest heteroscedastyczna)
Reguła decyzyjna: PATRZ – TESTOWANIE PRZY WYKORZYSTANIU WARTOŚCI P-
VALUE!!!
Interpretacja współczynnika determinacji R
2
– wyraża udział zmienności części teoretycznej modelu w
całkowitej zmienności zmiennej objaśnianej. Jest miarą dopasowania modelu do danych
empirycznych. Powinien przyjmować wartości większe niż 85%.
Przykład. R
2
= 90% - oznacza to, że zmienne objaśniające w modelu wyjaśniają 90% zmienności
zmiennej objaśnianej. Dopasowanie modelu do danych empirycznych z próby jest wysokie i
przekracza granicę 85%.
Interpretacja współczynnika zmienności V
U
– wyraża procentowy udział średniego błędu reszt w
średniej wartości zmiennej objaśnianej. V
U
nie powinien przekraczać wartości 15%.
Przykład. V
U
= 12% oznacza, że udział procentowy błędu resztowego w średniej wartości
zmiennej objaśnianej wynosi 12% i nie przekracza progu 15%
Jak obliczać wartości prognoz – rozpisać przykład na tablicy dla modelu wewnętrznej
struktury.