1

III.

Prognozowanie na podstawie modeli autoregresyjnych

Cechą charakterystyczną modeli autoregresyjnych jest to, że nie określają one ilościowo związków zachodzących pomiędzy zmienną objaśnianą a zmiennymi objaśniającymi. Model autoregresyjny ma postać :

Y = f Y , Y ,......, Y

,

1

−

−2

−

ε / 1 /

t

( t t

t p

t )

W modelu tym zmienna objaśniana jest funkcją realizacji samej siebie w okresach poprzedzających okres badany oraz składnika losowego.

W praktyce najczęściej spotyka się przypadki, gdy funkcja f jest liniowa ; p

Y

α

α Y

ε t = ,1

n

,......

2

/ 2 /

t =

0 + ∑

j t− j +

t

j=1

gdzie :

Y

zmienna objaśniana przez dane równanie

t −

Y

zmienne objaśniające w postaci opóźnionych w czasie

t− j (

j =

,

1,2,...... p)−

zmiennych objaśnianych

α ,α

0

j

(

j =

,

1,2,...... p)− parametry strukturalne modelu

bądź potęgowa :

p

α

j

ε t

Y = α0 ∏ Y e / 3 /

t

t − j

j=1

co po zlogarytmowaniu daje postać :

p

ln Y

α

α ln Y

ε / 4 /

t =

0 + ∑

j

t− j +

t

j=1

W z autoregresyjnym charakterem modelu powstaje kilka problemów natury

estymacyjnej,

Pierwszy z nich to określenia wartości parametru p , przy czym p oznacza

„maksymalne oddalenia czasowe” (rząd autoregresji), przy którym zmienne objaśniające mogą jeszcze wpływać na zmienną objaśnianą a więc od którego zależy jak daleko sięgamy w przyszłość przy uwzględnieniu wartości zmiennej objaśnianej Y w modelu. Ustalenie t

„dobrej” a tym bardziej optymalnej wartości tego parametru nie jest proste, gdyż zazwyczaj konieczna jest znajomość pewnych dodatkowych pozastatystycznych informacji o charakterze zmian Y w czasie. Wartość p najczęściej jest uzyskiwana drogą prób i błędów a t

niekiedy na podstawie subiektywnego wyczucia badacza. Pewne trudności występują w

2

przypadku dużych wartości parametru p , gdyż zmniejsza to liczbę obserwacji przy estymacji modelu. Postępowanie takie daje na ogół dobre wyniki (zapewnia zbudowanie modelu o niskim rzędzie wahań przypadkowych), wymaga jednak wielokrotnego szacowania modeli dla różnych zestawów zmiennych objaśniających i jest pracochłonne, nawet wtedy gdy stosuje się pakiety komputerowe. Podstawą wyboru „optymalnej” wartości parametru p może stanowić funkcja1:

2

k ln n

SR( k )= ln S +

k

=

,

1

,

0

,......,

2

K / 5 /

k

n

gdzie :

2

S

ocena wariancji składnika losowego modelu autoregresji rzędu k

k −

K − maksymalny rząd autokorelacji

Jako najlepszą wartość parametru p wybiera się taką, dla której : SR( p)= min SR( k ) k =

,

1

,

0

,......,

2

K / 6 /

Do oszacowania parametrów modelu autoregresyjnego należy odpowiednio przygotować dane wyjściowe.

Tablica 1. Przygotowanie danych wyjściowych do szacowania parametrów strukturalnych modeli z opóźnionymi w czasie zmiennymi objaśniającymi ( p = 5)

Y

Y

Y

......

Y

t

t 1

−

t−2

t−5

1

y

--- --- ...... ---

y 2

1

y

--- ...... ---

y 3

y 2

1

y

...... ---

y 4

y 3

y 2

...... ---

y 5

y 4

y 3

...... ---

y 6

y 5

y 4

......

1

y

Μ

Μ

Μ

Μ

Μ

y

y

y

......

y

n

n 1

−

n−2

n−

p

1 M. Cieślak (red.), Prognozowanie gospodarcze, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej we Wrocławiu, Wrocław 1993, s.112

3

I tak niech :

y − oznacza wektor ( n − p)× )

1 zaobserwowanych wartości zmiennej

objaśnianej Y

t

X − macierz o wymiarach ( n − p)× ( p + )

1 zaobserwowanych wartości

zmiennych objaśniających Y

t− j

(

j =

p

1,2,...... )

α − wektor ( p + )

1 × )

1 nieznanych a priori wartości parametrów

α ,α

j

=

0

( j 1,2,.....,p)

ε − wektor ( n − p)× )

1 składników losowych.

1 y

y

....

y

p

p−1

1 





1 y

y

....

y

p+1

2



p



X = Μ Μ Μ

/ 7 /

....

Μ 





1 y

y

.... y

n−1

n−2

n− p 

 y

α0 

ε p+1 

p+1 





 





y

α1

ε

y =  p+2 

 

α =

ε =  p+2  / 8 /

 Μ 

 

Μ

 Μ 





 





 y

α

ε

n 

 p 

 n 

Parametry modeli autoregresyjnych szacuje się najczęściej klasyczną metodą najmniejszych kwadratów. Wprawdzie metoda ta w tym przypadku nie jest najefektywniejszą (uzyskiwane estymatory nie są zgodne i najefektywniejsze), lecz na ogół rezygnuje się z wysokiej efektywności na rzecz prostszych obliczeń numerycznych. W przypadku metody najmniejszych kwadratów oceny parametrów obliczamy na postawie dobrze znanej formuły : 1

a

(XT −

=

X) XTy / 9 /

Oceny jakości oszacowanego modelu dokonujemy zgodnie z zasadami estymacji jednorównaniowych modeli ekonometrycznych.

Jak już wspomniano metoda najmniejszych kwadratów daje oceny parametrów, które są niezgodne i obciążone. Wynika to z faktu, że istnieje korelacja pomiędzy zmienną objaśnianą a składnikiem losowym a tym samym istnieje też korelacja pomiędzy zmienną objaśniającą, która jest opóźnioną w czasie zmienną objaśnianą a składnikiem losowym.

Rozważmy model autoregresyjny rzędu pierwszego postaci :

Y

α

α Y

α X

ε

/ 10 /

t =

+

t− +

t +

t

t

=1,2,......,n

0

1

1

2

4

Można domniemywać, że składniki losowe modelu są związane autokorelacją rzędu pierwszego. W przypadku tego typu modeli do weryfikacji tej hipotezy nie należy stosować testu Durbina − Watsona . Można posłużyć się natomiast jego pewną odmianą testem h − Durbina albo testem mnożnika Lagrange’a na autokorelację ( test LM

)2.

Test h − Durbina oparty jest na statystyce :

n − 1

h = 1 r

/ 11 /

1 − ( n − ) 2

1 S 1 a

Dla dużej próby ( n > 30) statystyka h ma rozkład normalny N( ) 1

;

0 . Mankamentem tego

testu jest możliwość otrzymania ujemnego wyrażenia pod pierwiastkiem. Z tego względu w opisanym przypadku lepiej jest posłużyć się testem mnożnika Lagrange’a na autokorelację ( test LM

).

Realizacja tego testu przebiega w następujących krokach :

Krok 1 : Szacujemy za KMNK model

Krok 2 : Obliczamy reszty e

dla

t

= ,

1 ,......,

2

n

t

Krok 3 : Szacujemy model pomocniczy postaci :

e

β

β Y

β X

β e

ξ

/ 12 /

t =

+

t− +

t +

t− +

t

t

= 2,3,......,n

0

1

1

2

3

1

i obliczamy współczynnik determinacji 2

R dla tego modelu.

Krok 4 : Stawiamy hipotezę H : ρ = 0

H : ρ ≠

0

1

wobec hipotezy alternatywnej

0

1

1

Dla dostatecznie dużej liczby obserwacji ( n > 30) statystyka : LM = ( n − )

1 2

R ma rozkład 2

χ o jednym stopniu swobody / 13 /

Wartość krytyczną testu przy poziomie istotności γ i jednym stopniu swobody oznaczamy 2

χ

2

∗ . Jeśli LM > χ

∗ to hipotezę zerową odrzucamy na korzyść

hipotezy alternatywnej.

Warto zaznaczyć, że test LM na autokorelację można zastosować w przypadku testowania zjawiska autokorelacji rzędu wyższego niż jeden.

2 R. Ramanathan, Introductory Econometrics with Applications, HBJ Publishers, 1989 za : S. Dorosiewicz i inni, Ekonometria, Oficyna Wydawnicza SGH, Warszawa 1998, s. 56 .

5

Jeśli w wyniku zastosowania testu LM stwierdzimy, że występuje autokorelacja składników losowych zamiast KMNK możemy zastosować modyfikację metody

Cochrana − Orcutta 3.

Postępowanie przebiega następująco :

Krok 1 : Szacujemy parametry modelu autoregresyjnego i wyznaczamy reszty e

dla

t

= ,

1 ,......,

2

n

t

Krok 2 : Szacujemy model :

e = ρ e −1 + ξ / 14 /

t

t

t

i uzyskujemy oszacowanie współczynnika autokorelacji reszt rzędu pierwszego 1 r

Krok 3 : Przeprowadzamy dla t

= ,

3 ,......,

4

n transformację zmiennych

∗

y

y

r y

t =

t − 1 t 1

−

∗

y

y

r y

/ 15 /

t

=

1

−

t

−

1

−

1 t−2

∗

x

x

r x

t =

t − 1 t 1

−

Krok 4 : Szacujemy parametry modelu :

∗

∗

∗

Y

β

β Y

β X t = ,

3 ,......,

4

n / 16 /

t

= 0 + 1 t−1 + 2 t

Obliczamy reszty ∗

e i za pomocą testu LM sprawdzamy czy wstępuje

t

autokorelacja składników losowych. Jeżeli występuje powracamy do kroku 2. Jeżeli nie występuje przechodzimy do kroku 5

W wyniku opisanego wyżej postępowania otrzymamy zgodne estymatory

parametrów modelu, ale estymatory wariancji tych parametrów nie będą zgodne.

Krok 5 : Dla reszt z ostatnio oszacowanego modelu konstruujemy model ekonometryczny postaci :

e∗ = δ 0 + δ Y ∗

1 −1 + δ X ∗

2

+ δ e

3 −1 + η / 17 /

t

t

t

t

t

i szacujemy parametry. Błędy szacunku parametrów δ ,δ ,δ

0

1

2 są zgodnymi

oszacowaniami błędów szacunku parametrów α ,α ,α

0

1

2 .

3 S. Dorosiewicz i inni, Ekonometria, Oficyna Wydawnicza SGH, Warszawa 1998, s. 56-57 .

6

Po oszacowaniu parametrów modelu i jego weryfikacji można ten model użyć do celów prognostycznych. Przyszłą wartość zmiennej prognozowanej uzyskuje się podstawiając do modelu wartości zmiennej z poprzednich okresów. Konstrukcja prognoz na dalsze okresy mająca charakter sekwencyjny polega na wykorzystaniu do obliczeń prognoz wyznaczonych dla poprzednich okresów :

∗

y

a

a y

a y

a y

/ 18 /

n

=

+

n +

n

+ ......

1

+

+

0

1

2

1

−

p

n− p 1

+

∗

∗

y

a

a y

a y

a y

/ 19 /

n

=

+

n

+

n + ......

+

+

2

0

1

1

+

2

p

n− p+2

Literatura :

1. M. Cieślak (red.), Prognozowanie gospodarcze, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej we Wrocławiu, Wrocław 1993

2. S. Dorosiewicz i inni, Ekonometria, Oficyna Wydawnicza SGH, Warszawa 1998

3. A. Zeliaś, Teoria prognozy, PWE, Warszawa 1997